Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông tỉnh sơn la

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS.Hoàng Ngọc Anh, người
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hình thành,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: Phòng Sau Đại học Trường Đại học Tây
Bắc, Khoa Toán – Lý – Tin Trường Đại học Tây Bắc, các thầy (cô) giáo ở
Trường Đại học Tây Bắc, trường ĐHSP Hà Nội đã giảng dạy, hướng dẫn tôi
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin trân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ
Toán trường THPT Gia Phù - Phù Yên - Sơn La đã tạo điều kiện thuận lợi
giúp tôi hoàn thành đề tài của mình.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, cổ vũ tôi trong suốt quá
trình học tập và làm luận văn.
Sơn La, tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Lê Quang Đạt


MỤC LỤC
Trang

Lời cam đoan………………………………………………………….….…..
Lời cảm ơn………………………………………………………………..…..
Mục lục…………………………………………………………………..……
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ………………………………….....i
Danh mục các bảng biểu …………………………………………………...ii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 4
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................... 5
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 5
5. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 5
6. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 6
7. Bố cục luận văn ............................................................................................ 6
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 7
1.1. Tư duy ........................................................................................................ 7
1.1.1. Tư duy, các hình thức tư duy toán học, các thao tác tư duy ................... 7
1.2. Sáng tạo và quá trình sáng tạo ................................................................. 13
1.2.1. Sáng tạo ................................................................................................ 13
1.2.2. Quá trình sáng tạo ................................................................................. 14
1.3. Tư duy sáng tạo ....................................................................................... 15
1.3.1. Khái niệm tư duy sáng tạo .................................................................... 15
1.3.2. Các thành phần của tư duy sáng tạo ..................................................... 16
1.3.3. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.... 20
1.3.4. Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông ........ 21
1.4. Dạy học bài tập toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ............. 23
1.4.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học ................................... 23
1.4.2. Phương pháp giải bài tập toán .............................................................. 24
1.4.3. Các dạng bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố tư duy sáng tạo ........ 29
1.5. Một số thực trạng của việc dạy và học nhằm phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh vào dạy phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh lớp

12 tỉnh Sơn La................................................................................................. 36


1.5.1. Đặc điểm về nhận thức của học sinh, thực trạng của việc dạy và học
nhằm phát huy tư duy sáng tạo trong dạy môn toán đối với học sinh lớp 12
tỉnh Sơn La...................................................................................................... 36
1.5.2. Thực trạng việc vận dụng phương pháp dạy học nhằm phát huy tính
sáng tạo cho học sinh vào quá trình dạy của giáo viên tỉnh Sơn La…………39
Tiểu kết chương 1 ............................................................................................ 41
Chương 2: XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN NHẰM PHÁT HUY
TÍNH SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT TỈNH SƠN LA................... 43
2.1. Chương trình hình học lớp 12 phần phương pháp tọa độ trong không
gian…………………………………………………………………………..43
2.1.1. Nội dung………………………………………………………………43
2.1.2. Mục tiêu của chương………………………………………………….43
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm
phát huy tính sáng tạo ……………………………………………………....44
2.2.1. Một số vấn đề về xây dựng hệ thống bài tập phương pháp toạ độ trong
không gian dành cho học sinh ở bậc THPT………………….……….……..44
2.2.2. Hệ thống bài tập……………………….……………………...……....45
2.2.3. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến phương trình đường thẳng trong
không gian……………………….……………………...……………...........47
2.2.4. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến phương trình mặt phẳng trong
không gian……………………….……………………...……......................65
2.2.5. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến điểm, đường thẳng và mặt phẳng
……………………….…………………………...…….................................73
2.2.6. Các dạng bài tập cơ bản liên quan đến mặt cầu .................................... 80
2.2.7. Bài tập hình học không gian áp dụng phương pháp tọa độ................... 92
Tiểu kết chương 2 ........................................................................................... 93

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................... 94
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ................................... 94
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm.................................................................... 94
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm ................................................................... 94
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 94
3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................... 95
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ......................................................................... 95
3.3.2. Thời gian thực nghiệm .......................................................................... 96
3.3.3. Phương pháp thực nghiệm .................................................................... 97


3.4. Phân tích và đánh giá kết quả dạy thực nghiệm....................................... 97
3.4.1. Phân tích định tính ................................................................................ 97
3.4.2. Phân tích định lượng ............................................................................. 98
3.5. Một số vấn đề nảy sinh từ thực nghiệm sư phạm .................................. 101
Tiểu kết chương 3 ......................................................................................... 101
KẾT LUẬN ................................................................................................. 103
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 104
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

CNH

:

Công nghiệp hóa

DH

:

Dạy học

GV

:

Giáo viên

HĐH

:

Hiện đại hóa

HS

:

Học sinh

NXB

:

Nhà xuất bản

MP

:

Mặt phẳng

PH&GQVĐ

:

Phát hiện và giải quyết vấn đề

PPDH

:

Phương pháp dạy học

PPTĐ

:

Phương pháp tọa độ

PT

:

Phương trình

PTTS

:

Phương trình tham số

SGK

:

Sách giáo khoa

THPT

:

Trung học phổ thông

VTPT

:

Véc tơ pháp tuyến

VTCP

:

Véc tơ chỉ phương

i


DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1: Kết quả báo cáo cuối năm các trường THPT năm học 2013-2014 và
năm học 2014-2015 ........................................................................................ 38
Bảng 1.2: Kết quả dự giờ thăm lớp (môn Toán) của một số trường trong tỉnh
Sơn La năm học 2014 – 2015 ......................................................................... 40
Bảng 3.1. Danh sách lớp thực nghiệm, đối chứng và giáo viên giảng dạy thực
nghiệm sư phạm .............................................................................................. 95
Bảng 3.2: Thống kê chất lượng môn toán ở các lớp trong năm học 2013 –
2014 ................................................................................................................ 96
Bảng 3.3. Thống kê chất lượng khảo sát môn toán đầu năm học 2014 – 2015 .... 96
Bảng 3.4: Thống kê các điểm số của bài kiểm tra 15 phút ................................. 98
Bảng 3.5: Thống kê các điểm số của bài kiểm tra 45 phút (1 tiết) ................. 98
Bảng 3.6a: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 15 phút ........................... 99
Bảng 3.6b: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 15 phút ........................... 99
Bảng 3.7a: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 45 phút (1 tiết) ............... 99
Bảng 3.7b: Bảng phân tích số liệu với bài kiểm tra 45 phút (1 tiết) ............. 100

ii


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

1.1. Rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng,
cấp thiết của nhà trường phổ thông
Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã
đề ra mục tiêu của Giáo dục phổ thông như sau: “Mục tiêu của Giáo dục phổ
thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm
mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và
sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây
dựng tư cách và trách nhiệm công dân chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên
hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.(Điều
27: Mục tiêu Giáo dục phổ thông, tr.75).
Để thực hiện mục tiêu trên, Luật giáo dục đã qui định rõ: “Phương pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của
học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn học, bồi dưỡng năng
lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú trong học tập cho học sinh”. (Luật giáo
dục, Chương 2- mục 2, điều 28).
Nghị quyết trung ương Đảng khoá IV về định hướng đổi mới phương
pháp dạy học đã chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào
tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những
vấn đề thường gặp, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là: dân
giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”.
Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII, 1997 khẳng định: “Phải đổi mới
phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương
1


pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều
kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại
học”.

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa
XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. [22] đã chỉ rõ về mục
tiêu cụ thể: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất,
hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu,
định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn
diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ,
tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”.
Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục
hiện nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham gia
quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Xã hội ngày nay đang phát
triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ. Do đó nó đòi hỏi con
người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển
mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống … Như vậy rèn luyện khả
năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết của nhà trường
phổ thông.
1.2. Trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, môn
Toán đóng vai trò quan trọng
Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu
các môn học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các
ngành khoa học kĩ thuật và đời sống con người.
Môn toán có hệ thống bài tập đa dạng phong phú, sự khái quát và trừu
tượng cao, sự liên kết liên tục các kiến thức toán học theo từng năm học, từng
cấp học, mà một trong các chức năng quan trọng của nó là phát triển tư duy
2


cho học sinh, trong đó đỉnh cao là tư duy sáng tạo.
Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọng
trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.

Tuy nhiên, dạy học hiện nay còn chịu tác động nặng nề bởi mục tiêu thi
cử, mục tiêu thành tích. Vì thế, giáo viên chủ yếu là truyền thụ kiến thức, tập
trung rèn luyện kĩ năng giải Toán, nặng về cường độ lao động, mà nhẹ về rèn
luyện tư duy, nhất là tư duy sáng tạo cho học sinh. Học sinh luôn ở trạng thái
quá tải, làm các bài tập theo khuôn mẫu có sẵn, mà ít có điều kiện suy nghĩ,
tìm tòi, khám phá, phát triển bài toán theo nhiều cách, nhiều tình huống.
Do đó, đòi hỏi phải tìm ra các biện pháp thích hợp trong khi dạy Toán để
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, sẽ giúp học sinh tự tin vào bản thân để
không ngừng khám phá, tìm tòi, phát hiện cái mới; tư duy sáng tạo sẽ giúp
học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực và niềm tin để chinh phục
những khó khăn trong học tập, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về nguồn nhân
lực của xã hội.
1.3. Thực tiễn giáo dục của tỉnh Sơn La
Sơn La là một trong những tỉnh miền núi phía Tây bắc của Tổ quốc.
Điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn, trong khi đó sự quan tâm, đầu tư về
công tác giáo dục còn tồn tại một số hạn chế và bất cập. Đội ngũ giáo viên
chưa đồng bộ, có nhiều bộ môn còn thiếu giáo viên, giáo viên trình độ sau đại
học rất ít, cơ sở vật chất đến trang thiết bị dạy học còn nhiều thiếu thốn. Đối
tượng học sinh đến trường bao gồm chủ yếu là con em đồng bào dân tộc thiểu
số, sự nhận thức của các em còn nhiều hạn chế do điều kiện kinh tế gia đình
khó khăn, do thiếu thốn về cơ sở vật chất trường, giao thông đi lại khó khăn
và các thông tin phục vụ cho học tập. Bên cạnh đó việc tìm ra biện pháp để áp
dụng phù hợp với từng đối tượng và điều kiện cụ thể ở từng địa phương là
khó khăn đối với ngành giáo dục nói chung và tỉnh Sơn La nói riêng.
3


1.4. Vấn đề phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu
Trên thế giới, các công trình của nhà tâm lý học Mỹ Giulford và

Torance, các nhà tâm lý học, giáo dục học phương Tây, Liên Xô (cũ), Nhật
Bản, Trung Quốc đã nghiên cứu sâu về năng lực tư duy sáng tạo.
Ở Việt Nam, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá
Kim, Vương Dương Minh và Tôn Thân, Trần Bá Hoành cũng có nhiều công trình
nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong giảng dạy bộ môn
Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Gần đây
có một số luận văn thạc sĩ cũng nghiên cứu về vấn đề này. Tuy nhiên, các tác
giả thường không đi sâu nghiên cứu, xây dựng hệ thống bài tập về phương
pháp tọa độ trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh
THPT. Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những nội dung cơ
bản của chương trình toán học THPT. Việc xây dựng hệ thống bài tập về
phương pháp tọa độ trong không gian sẽ giúp học sinh tiếp nhận được tri
thức, có phương pháp chiếm lĩnh tri thức, từ đó phát triển tư duy tích cực sáng
tạo, nhằm chuẩn bị năng lực thích ứng với đời sống xã hội, phát hiện kịp thời
và giải quyết hợp lý các vấn đề nảy sinh.
Xuất phát từ những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Xây dựng và
sử dụng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm phát
huy tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông tỉnh Sơn La”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc vận dụng lí luận dạy học giải bài tập toán để xây dựng
và sử dụng hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ trong không gian nhằm
góp phần phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT tỉnh Sơn La, qua đó nâng
4


cao chất lượng dạy và học môn toán.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Là quá trình dạy học nội dung phương pháp tọa
độ trong không gian lớp 12 trung học phổ thông.

3.2. Phạm vi nghiên cứu: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập về phương
pháp tọa độ trong không gian lớp 12 góp phần phát huy tính sáng tạo cho học
sinh THPT tỉnh Sơn La.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng
của tư duy sáng tạo;
- Nghiên cứu lí luận về phương pháp giải bài tập toán, phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải bài tập toán;
- Nghiên cứu thực trạng dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong
không gian lớp 12 ở một số trường THPT tỉnh Sơn La;
- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phương pháp tọa độ trong
không gian lớp 12 phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh;
- Đề xuất các biện pháp phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh qua chủ đề dạy
học “Phương pháp tọa độ trong không gian”;
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện
thực, tính hiệu quả của đề tài.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Nghiên cứu sách giáo khoa hình học 12 hiện hành, và sách toán tham
khảo liên quan đến phần hình học tọa độ không gian lớp 12;
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học dạy học, lí luận dạy
học môn Toán;
- Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các tài liệu sách báo, các công trình
5


khoa học có liên quan đến đề tài.
5.2. Phương pháp điều tra xã hội học
- Quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của các em học sinh trong
những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm.

- Phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên toán và học sinh
lớp 12 về thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và những
khó khăn trong khi dạy và học phần hình học tọa độ không gian lớp 12.
- Mẫu khảo sát : Các lớp 12A1, 12A2, 12A3, 12B1, 12B2 trường THPT
Gia Phù, giáo viên tổ toán trường THPT Gia Phù huyện Phù Yên tỉnh Sơn La.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm của
lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
- Xử lý số liệu điều tra, số liệu thu được từ các bài kiểm tra trong quá
trình thực nghiệm nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả
của giả thuyết nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng và sử dụng được được hệ thống bài tập về phương pháp tọa độ
trong không gian có thể khai thác được từ các tình huống dạy học chủ đề thì có
thể phát huy tính sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh nắm vững được các kiến
thức cơ bản, có khả năng vận dụng vào thực tiễn, từ đó phát huy tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của học sinh và góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội
dung này ở các trường THPT trên địa bàn tỉnh Sơn La.
7. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo,
nội dung chính của luận văn dự kiến gồm ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập phương pháp tọa độ
trong không gian nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ
6


thông tỉnh Sơn La.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tư duy
1.1.1. Tư duy, các hình thức tư duy toán học, các thao tác tư duy
1.1.1.1. Tư duy
Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan
trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt
động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp,
phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ
không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu
biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong
mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận
trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá,
phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải
quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm. Kết quả của quá
trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.”
Trong cuốn "Rèn luyện tư duy trong dạy học toán", PGS.TS Trần Thúc
Trình có định nghĩa: "Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những thuộc
tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng
mà trước đó chủ thể chưa biết" [26].
Theo Pap-lôp: Tư duy là "sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc
biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan
bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán...Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một

7


hình thức nhất định của sự vận động của vật chất với sự hoạt động của
óc...Khoa học hiện đại đã chứng minh rằng tư duy là đặc tính của vật chất".
Pap-lôp đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ
cấu vật chất của hoạt động tâm lý. Ông viết: " ...Hoạt động tâm lý là kết quả

của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của óc...".
Một đặc điểm nổi bật của tư duy là tính ‘’có vấn đề ‘’. Ở hoàn cảnh,
tình huống có vấn đề mà sự giải quyết vấn đề đó gợi lên nhu cầu và nằm trong
khả năng hiểu biết tri thức của chủ thể nhận thức thì tư duy được hình thành
và phát triển.
Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng những nét độc đáo của phong
cách tư duy toán học là:
1. Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế.
2. Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích.
3. Phân chia rành mạch các bước suy luận.
4. Sử dụng chính xác các kí hiệu.
5. Lập luận có căn cứ đầy đủ.
Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào tư
duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
1.1.1.2. Các hình thức tư duy toán học
+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối
tượng và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diện và
nội hàm. Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diện,
còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm
của lớp đối tượng đó. Giữa nội hàm và ngoại diện có mối liên hệ mang tính
quy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diện càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diện của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B, thì
8


khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được
gọi là một khái niệm loại của A.
Ví dụ: Ta định nghĩa hình chóp đều từ khái niệm hinh chóp: " Hình chóp
đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của

mặt đáy". Như vậy ta đã mở rộng nội hàm của khái niệm hình chóp bằng cách
bổ xung tính chất ‘’ đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của
mặt đáy’’ thì được lớp các hình chóp đều là một bộ phận thực sự của lớp các
hình chóp, và hình chóp đều là một loại hình chóp đặc biệt.
+ Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một
dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc
đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:
Trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trường hợp thứ hai phán
đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận.
Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán
đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các
luận điểm.
Ví dụ: Xét mệnh đề : "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường
thẳng song song" là một phán đoán và là phán đoán sai, vì điều này chỉ đúng khi hai
đường thẳng đó cùng thuộc một mặt phẳng.
+ Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất
định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân
theo những quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy
nạp. Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến
cái chung.
Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
9


nạp để đi đến luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại suy
diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
Ví dụ: Nếu một tam giác có diện tích là S thì hình chiếu của nó có diện
tích S’ bằng tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và

mặt phẳng chiếu.
S’ = S.cos 
Chứng minh: Gọi S là diện tích tam giác ABC, S’ là diện tích của tam
giác A’B’C’, hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P), và gọi  là
góc giữa (P) với (ABC).
- Nếu   900 thì công thức hiển nhiên đúng. Sau đây ta giả sử   900 .
- Ta xét hai trường hợp :
+ Trường hợp 1: Tam giác ABC có một cạnh song song hay nằm trong
mặt chiếu (P).
Giả sử cạnh AB nằm trong (P), gọi C’ là hình chiếu của đỉnh C trên (P).
C



A

H

P

C’

B

Trong mp(P) ta kẻ CH  AB ta có   C'HC và C'H  CH.Cos.
Do đó

1
1
S'  AB.C'H  AB.CH.cos   S'  S.cos 

2
2
+ Trường hợp 2: Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm

trong mặt chiếu (P).

10


Ta có thể giả sử (P) đi qua đỉnh A sao cho các đỉnh B và C ở cùng một
phía đối với mp(P).
C
B
A

C’
B’

D

P

Gọi D là giao điểm cuả BC với (P) và B’, C’ là hình chiếu của B,C trên
(P), thế thì D thuộc B’C’. Theo trường hợp 1 ta có :
S
=S
.cosφ
ADC' ADC
S
=S

.cosφ
ADB' ADB

(1)
(2)

Trừ từng vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được : SAB'C' =SABC .cosφ , nghĩa là ta có
S’ = S.cos 
Ta có thể mở rộng kết quả trên cho diện tích hình chiếu của một đa giác
như sau :
- Nếu S là diện tích của một đa giác phẳng, S’ là diện tích của đa giác
chiếu và  là góc giữa mặt phẳng của đa giác và mặt phẳng chiếu thì ta có:
S’ = S.cos 
+ Trong ví dụ trên từ một trường hợp riêng đối với tam giác ABC ta đã
đưa đến kết luận cho trường hợp chung là đa giác phẳng, phép suy luận như
vậy chính là phép suy luận quy nạp.
1.1.1.3. Các thao tác tư duy
+ Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng
nhận thức các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Còn tổng hợp là
các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách
11


rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết không thể tách rời,
chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành
theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Trong
học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao
tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
+ So sánh-tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống

nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay
không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ
với phân tích - tổng hợp và đối với hình thức tư duy đó có thể ở mức đơn giản
hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện
tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra dự đoán hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức
độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
+ Khái quát hóa-đặc biệt hóa: Khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm
hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những
thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính
chung bản chất.
Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập
hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng
cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát”
[14].
Như vậy có thể nói, khái quát hóa là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát
hơn. Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố
12


của khái niệm, định lý, bài toán… thành những dự đoán mang tính tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá.
Theo G. Pôlya [20]: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong
tập hợp đã cho”
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác
sang việc nghiên cứu đa giác đều. Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc

biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều. Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái
riêng hơn.
Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình
minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp
riêng lẻ, cụ thể.
Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm,
chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố
định đặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự
đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán.
1.2. Sáng tạo và quá trình sáng tạo
1.2.1. Sáng tạo
Theo từ điển tiếng Việt thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết
mới, không bị gò bó, không phụ thuộc vào cái đã có. Cái mới đó có thể là tính
chất mới của sự vật, một đối tượng, có thể là một quan hệ mới, một phương
pháp mới.
Lecne cho rằng: " Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về
chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao
tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt".

13


Solso R.L quan niệm: " Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem
lại một cách nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay
tình huống".
GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: " Người có óc sáng tạo là người
có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra" [24].
Có hai mức độ sáng tạo:
- Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận
gốc các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng. Như sự phát

hiện ra hình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa...
- Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng.
Như sự phát triển của máy tính, của lazer...
Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu
họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc
lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết.
Như vậy một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các
thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là người giải
chưa biết thuật toán để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bước đi
chưa biết trước.
1.2.2. Quá trình sáng tạo
Như J.Adama đã viết: "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực
toán học" đã chỉ ra quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn:
+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập
tài liệu liên quan.
+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức,
tiềm thức lại chiếm ưu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm.
+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước
nhảy vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo.
14


+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả. Ý thức lại được
tham gia tích cực. Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có
thể chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng
tạo mới được khẳng định.
Đặc điểm của quá trình sáng tạo:
+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới.
+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc.
+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tượng quen thuộc.

+ Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.
+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng
tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo
trong khi đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái
hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con
người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi" cao độ, khi đó các tư
tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những
kết quả mới.
1.3. Tư duy sáng tạo
1.3.1. Khái niệm tư duy sáng tạo
Trong cuốn sách " Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh
qua môn toán ở trường THCS" của Nguyễn Bá Kim - Vương Dương Minh Tôn Thân, các tác giả cho rằng: " Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập,
tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới
thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất" [15].
15


Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: " Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự
sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục".
Tuy nhiên tư duy sáng tạo có tính chất tương đối. Một phát hiện có thể
coi là sáng tạo trong một hoàn cảnh nào đó, chưa chắc đã được coi là sáng tạo
trong một tình huống, hoàn cảnh khác. Một phát hiện có thể coi là sáng tạo
với người này nhưng không phải mới mẻ với người khác. Bởi vì tính mới mẻ
của hoạt động tư duy sáng tạo có thể hiểu theo hai cấp độ.
+ Theo nghĩa khách quan: Mới mẻ vì từ trước chưa hề có, chưa có người
nào khác sáng tạo ra, sản phẩm có ý nghĩa thực tiễn với loài người.

+ Theo chủ quan: Sản phẩm không mới mẻ với người khác nhưng mới
mẻ với người “đẻ” ra nó, người đã “thai nghén” ra nó mà không theo một
khuôn mẫu nào. Tuy sản phẩm không có ý nghĩa với hoạt động thực tiễn của
loài người, nhưng có ý nghĩa đối với sự phát triển nhân cách của người sáng
tạo ra nó.
1.3.2. Các thành phần của tư duy sáng tạo
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân thì tư
duy sáng tạo có các thành phần cơ bản sau đây, [15]:
+ Tính mềm dẻo: Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự
của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm
khác; định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới,
tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra
bản chất của sự vật và điều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm
thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của
con người.
+ Tính nhuần nhuyễn: Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự
tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết
mới và ý tưởng mới.
16


Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng
nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả
năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này có thể nói số lượng làm
nảy sinh chất lượng.
+ Tính độc đáo: Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau:
1) Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
2) Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài
tưởng như không có liên hệ với nhau.
3) Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.

Ba yếu tố nêu trên là ba yếu tố cơ bản của sáng tạo, là thành phần cốt
lõi của tư duy sáng tạo. Tuy nhiên tư duy sáng tạo còn có các yếu tố khác
như:
+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và
hành động, phát triển các ý tưởng, kiểm tra và chứng minh các ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề,
sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu,… và từ đó đề xuất hướng giải
quyết tạo ra cái mới.
Ngoài ra có thể kể đến: Tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán,
năng lực định nghĩa lại.
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan
hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện
cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau
(tĩnh nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có
thể tìm được phương án lạ, độc đáo (đặc sắc). Các yếu tố cơ bản này lại có
quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện,

17


tính nhạy cảm vấn đề,… Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần
tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong những hoạt động của con người.
Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tư duy sáng tạo:
Ví dụ: Lập phương trình của mp(P) đi qua đường thẳng d:
x  13 y  1 z

 và tiếp xúc với mặt cầu (S):
1
1

4
x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  67  0

Sau đây là một số lời giải thể hiện được các thành phần của tư duy sáng tạo:
Giải:
Cách 1: Với tư duy mềm dẻo ta nhận thấy: Một đường thẳng hoàn toàn
xác định với hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng ta có cách giải sau:
Do mp(P) chứa điểm M(13; – 1; 0) nên mp(P) có phương trình dạng:

A( x – 13 ) + B( y+1 ) + Cz = 0 , A2 + B2 + C2  0 , n(A;B;C)
Lấy điểm N(10; 2; 12) thuộc đường thẳng d, thay vào phương trình
mp(P) ta có A = B + 4C, kết hợp với điều kiện tiếp xúc suy ra phương trình:
 B  4C
B  5C  2B2  8BC  17C2  B2  2BC  8C2  0  
 B  2C

Thay vào phương trình mp(P) ta có hai phương trình tiếp diện với mặt
cầu (S) đi qua đường thẳng d là :
mp(P1) : –2x + 2y – z + 28 = 0 và mp(P2) : 8x + 4y + z – 100 = 0.
Một yếu tố sáng tạo trong giải toán là không những tìm ra được nhiều
lời giải mà còn phải tìm được lời giải tối ưu nhất, càng sử dụng ít kiến thức
phức tạp càng tốt.
Cách 2: Ta có thể khai thác tính chất d nằm trong mp(P) tiếp xúc với mặt
cầu (S)  véc tơ chỉ phương của đường thẳng d vuông góc với véc tơ pháp
tuyến của mp(P) .Ta có cách giải sau:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 9
18