DS 10 chuong IV bat dang thuc BAT PHUONG TRINH (1)

CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a. a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca
b. a² + b² + 1 ≥ ab + a + b
c. a²/4 + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc
d. a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc
e. a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae
1 1 1
1
1
1
+ + ≥
+
+
với a, b, c > 0
a b c
ab
bc
ca
g. a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ≥ 0

f.

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a.

a 3 + b3
a+b 3
≥(
) với a, b ≥ 0

2
2

c. a4 + 3 ≥ 4a
e. a 4 + b 4 ≤
5

a

6

b2

b. a4 + b4 ≥ a³b + ab³
d. a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 0.

+

b

6

a2

5

; với a, b ≠ 0. f.
4

1

1+ a

2

+

1
1+ b

2

≥

2
; với ab ≥ 1
1 + ab

4

g. (a + b )(a + b) ≥ (a + b )(a² + b²); với ab > 0.
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
bất đẳng thức sau

a
a a +c
< 1 thì <
(1). Áp dụng (1) chứng minh các
b
b b+c

a
b
c
+
+
<2
a +b b+c c+a
a
b
c
d
+
+
+
<2
b. 1 <
a +b+c b+c+d c+d+a d+a +b
a+b
b+c
c+d
d+a
+
+
+
<3
c. 2 <
a+b+c b+c+d c+d+a d+a +b

a.

Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng (1) chứng minh các bất
đẳng thức sau
a. (a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca)
b. 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²
4
4
4
c. a + b + c ≥ abc(a + b + c)
Bài 5. Cho a, b không âm. Chứng minh bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ ab(a + b) (1). Áp dụng (1) chứng
minh các bất đẳng thức sau
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3 3
≤
với a, b, c > 0.
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
1
1
1
b. 3 3 + 3 3 + 3 3
≤ 1 với a, b, c > 0 và abc = 1.
a + b +1 b + c +1 c + a +1

a.

c.

3

3

4(a 3 + b3 ) + 3 4(b 3 + c 3 ) + 3 4(c 3 + a 3 ) ≥ 2(a + b + c) với mọi a, b, c ≥ 0

Bài 6. Chứng minh bất đẳng thức Mincốpxki: a 2 + x 2 + b2 + y 2 ≥ (a + b) 2 + (x + y)2
Áp dụng (1) thực hiện các yêu cầu sau
a. Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1. Chứng minh: 1 + a 2 + 1 + b 2 ≥ 5
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a2 +

1
b2

c. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh:

+ b2 +
x2 +

(1)

1
a2
1

x2

+ y2 +

1
y2

+ z2 +

d. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 223 + x 2 + 223 + y 2 + 223 + z 2
Bài 7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh

1
z2

≥ 82


a. ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)
b. abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c. 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > 0
d. a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³
HD: a. Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > |b – c| → a² > b² – 2bc + c².
b. Gợi ý a² > a² – (b – c)².
c. Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0.
d. Phân tích thành nhân tử.
Bài 8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
b. (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc
bc ca ab
+ +

≥a+b+c
a
b c
a
b
c
3
+
+
≥
f.
b+c c+a a+b 2

c. (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc)3
e.

d.

ab
bc
ca
a +b+c
+
+
≤
a+b b+c c+a
2

Bài 9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1

a

1
b

1
c

a. (a³ + b³ + c³) ( + + ) ≥ (a + b + c)²
b. 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
c. 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³
a 3 b3
HD: a. Chú ý: +
≥ 2ab.
b a

b. Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b).
c. Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
Bài 10. Cho a, b > 0. Chứng minh

1 1
4
+ ≥
(1). Áp dụng chứng minh
a b a+b

1 1 1
1
1
1

+ + ≥ 2(
+
+
) với a, b, c > 0.
a b c
a +b b+c c+a
1
1
1
1
1
1
+
+
≥ 2(
+
+
) với a, b, c > 0.
b.
a+b b+c c+a
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
1 1 1
1
1
1
+
+
≤1
c. Cho a, b, c > 0 thỏa + + = 4 . Chứng minh:
a b c

2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
ab
bc
ca
a +b+c
+
+
≤
d.
; với a, b, c > 0.
a+b b+c c+a
2
2xy
8yz
4xz
+
+
e. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + 2y + 3z = 12. Chứng minh:
≤6
x + 2y 2y + 4z 4z + x

a.

f. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh
1
1
1
1 1 1
+
+

≥ 2( + + )
p−a p−b p−c
a b c

HD: Biến đổi tương đương chứng minh được (1).
d. (1) <=>

ab
1
≤ (a + b) .
a+b 4

e. Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12
f.

1
1
4
4
+
≥
=
p−a p−b p−a+p−b c

Bài 11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a. (a² + b² + c²) (

1 1 1
9
+ + ≥

(1). Áp dụng (1) chứng minh bất đẳng thức
a b c a +b+c

1
1
1
+
+
) ≥ 3(a + b + c)/2.
a+b b+c c+a


b. Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

x
y
z
+
+
x +1 y +1 z +1

c. Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

1
a 2 + 2bc

+

1

b 2 + 2ac

+

1
c 2 + 2ab

d. Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng

1
a 2 + b2 + c2

+

1 1 1
+ +
≥ 30
ab bc ca

Bài 12. Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
x 18
+ ; với x > 0
2 x
x
5
+ ; với 0 < x < 1
c. y =
1− x x

x

2
+
; với x > 1
2 x −1
2x 3 − 2x 2 + 1
d. y =
với x > 0
x2

a. y =

b. y =

Bài 13. Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a. y = (x + 2)(12 – 3x) với –2 ≤ x ≤ 4
b. y = (2x + 5)(11 – 3x) với –5/2 ≤ x ≤ 11/3
c. y =

|x |
2
x + 3x + 9

d. y =

x2
(x 2 + 2)3

Bài 14. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a. a² + b² ≥ 2 với a + b = 2

b. 3a² + 5b² ≥

735
, với 2a – 3b = 7
47

c. a² + b² ≥ 4/5, với a + 2b = 2
d. (x – 2y + 1)² + (2x – 4y + 5)² ≥ 9/5
Bài 15. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a. a² + b² ≥ 1/2, với a + b ≥ 1.

b. a³ + b³ ≥

1
, với a + b ≥ 1.
4

c. a4 + b4 ≥ 1/8, với a + b ≥ 1.
d. a4 + b4 ≥ 2, với a + b = 2.
Bài 16. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = 1 − x2 + 1 − y2 + 1 − z2
Bài 17. Cho ba số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 1. Chứng minh
x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
x

y
z

Bài 18. Cho a, b, c ≥ –1/4 và a + b + c = 1. Chứng minh 7 < 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 ≤ 21
Bài 19. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a. A =

4 1
+
, với x + y = 1
x 4y

b. B = x + y, với

2 3
+ =6
x y

Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 1 + y + y 1 + x , với mọi x, y thỏa mãn x² + y² = 1.
Bài 21. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức
a. A = 7 − x + 2 + x , với –2 ≤ x ≤ 7
b. B = 6 x − 1 + 8 3 − x , với 1 ≤ x ≤ 3
c. C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = 9
Bài 22. Giải các bất phương trình sau
3
5

a. 3x − <

7 − 2x

3

b.

2x + 14
7
>x+
5
4

Bài 23. Giải và biện luận bất phương trình sau:

m(x − 2) x − m x + 1
+
>
6
3
2

Bài 24. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a. m²x + 1 ≥ m + (3m – 2)x.
b. mx – m² > mx – 4
Bài 25. Giải các hệ bất phương trình sau


3x + 1 ≥ 2x + 7
a. 
 4x + 3 > 2x + 19

 2 − 5x ≤ x + 14


c.  3x − 5 11 − x
 5 < 3

 4x − 5 < 3(x − 2)
b. 
3x + 13 > 4(2x − 3)

Bài 26. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau
5

6x + 7 > 4x + 7
a. 
 8x + 3 < 2x + 25
 2

1

15x − 2 > 2x + 3
b. 
 2(x − 4) < 3x − 14

2

Bài 27. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
7x − 2 ≥ −4x + 19
 2x − 3m + 2 < 0

b. 

 x + 4m 2 ≤ 2mx + 1
3x + 2 > 2x − 1

d. 

a. 
c. 

x −1 > 0
 mx − 3 > 0
 mx − 1 > 0
(3m − 2)x − m > 0

Bài 28. Giải các bất phương trình
a. (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0 b. (2x – 7)(5 – x) ≥ 0
d. x³ + 8x² + 17x + 10 < 0.
Bài 29. Giải các bất phương trình
(x + 1)(x + 2)
>0
−x + 3
2x + 3
d.
≤x+1
x −1

a.

x −3 x +5
>
x +1 x − 2

2x 2 + x
e.
≥1–x
1 − 2x

b.

c. x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0

c.

Bài 30. Giải các bất phương trình
a. |5x – 12| < 3
b. |3x + 15| ≥ 3
c. |x – 2| > x + 1
Bài 31. Giải và biện luận các bất phương trình
a.

2x + m − 1
>0
x +1

b.

mx − m + 1
<0
x −1

c.

2x − 5
+x≥0
2−x

d. |2x – 5| ≤ x + 1
x − 1(x − m + 2) > 0

Bài 32. Xét dấu các biểu thức sau
a. 3x² – 2x + 1

b. (x² – 4x + 3)(x – 5)

Bài 33. Giải các bất phương trình
a. –2x² + 5x < 2
b. 5x² – 4x < 12
d. x² – x – 6 ≤ 0

e.

2

−3x − x + 4
x 2 + 3x + 5

>0

Bài 34. Giải các hệ bất phương trình sau
 x 2 + 6x + 5 > 0
a.  2
 x + x − 6 < 0

 4x − 7 < x 2
d.  2
 x − 2x − 1 ≥ 0

 2x 2 + x − 6 > 0
b.  2
3x + 3 ≥ 10x

e. –4 ≤

x 2 − 2x − 7
≤1
x2 + 1

c. 2x² – 7x + 5

d.

(3x 2 − x)(3 − x 2 )
4x 2 + x − 3

c. –2x² + 3x ≥ 7
f.

4x 2 + 3x − 1
x 2 + 5x + 7

>0

 2x 2 + 5x > 4

c.  2
 x + 3x < 10

f. 1/13 ≤

x 2 − 2x − 2
≤1
x 2 − 5x + 7

Bài 35. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a. 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0
b. x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0
c. mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0
d. (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
e. |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – 3 > 0
Bài 36. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a. (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0
b. (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c. mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0
d. (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Bài 37. Giải các bất phương trình
a. 2x² < |5x – 3|
b. x – 8 > |x² + 3x – 4|
c. |x – 3| – |x + 1| < 2


d. |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5|
f.

x−2

≥3
x − 5x + 6
2

e. |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0
x − 4x
2

g.

x +x+2
2

≤1

h.

2x − 5
+1 > 0
x −3

Bài 38. Giải các phương trình sau
a. 3 x + 5 + 3 x + 6 = 3 2x + 11
b. 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1
c. 3 x + 1 + 3 x + 2 = − 3 x + 3
Bài 39. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a. 3x 2 + 5x + 8 − 3x 2 + 5x + 1 = 1 b. 3 5x + 7 − 3 5x − 13 − 1 = 0
c. 3 9 − x + 1 + 3 7 + x + 1 = 4
e.

4

47 − 2x + 4 35 + 2x = 4

d.
f.

3

24 + x − 3 5 + x = 1
x 2 + 4356 + x
− x x 2 + 4356 − x 2 = 5
x

Bài 40. Giải các bất phương trình sau
a. x 2 + x − 12 < 8 − x
b. x 2 − x − 12 < 7 − x
c. − x 2 − 4x + 21 < x + 3
d. x 2 − 3x − 10 > x − 2
e. 2x + 6x 2 + 1 > x + 1
f. 2x + 3 + x + 2 ≤ 1
g. x + 3 − 7 − x − 2x − 8 > 0
h. 2 − x > 7 − x − −3 − 2x
Bài 41. Giải các bất phương trình sau
a. (x − 3)(8 − x) + x² – 11x + 26 > 0
b. (x + 5)(x − 2) + 3 x(x + 3) > 0
c. (x + 1)(x + 4) – 5 x 2 + 5x + 28 < 0
Bài 42. Giải các bất phương trình sau
a.

x 2 − 4x ≤ 2
3− x

b.

d. 3x 2 + 5x + 7 − 3x 2 + 5x + 2 ≥ 1
−x 2 + x + 6
−x 2 + x + 6
≥
2x + 5
x+4

Bài 43. Giải các bất phương trình sau
a. x + 2 ≤ 3 x 2 + 8
b. 3 x + 1 > x − 3
Bài 44. Giải các bất phương trình sau
a. |x² – 4x – 5| < 4x – 17
b. |x – 1| + |x + 2| < 3
c. 2|x – 3| – |3x + 1| – x – 5 ≤ 0
d. |x² – 5x + 4| ≤ |x² – 4|
e. |x – 6| > |x² – 5x + 9|
f. |x² – 2x – 3| – 2 – |2x – 1| > 0
4
9
+
với 0 < x < 1.
x 1− x
Bài 46. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x − 1 + 5 − x với 1 ≤ x ≤ 5.

Bài 45. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

Bài 47. Giải bất phương trình
a. (x² + x + 1)(x² + x + 3) ≥ 15
c. (x − 3) x 2 + 4 ≤ x² – 9

b. (x + 4)(x + 1) – 3 x 2 + 5x + 2 < 6
d. x² – 4x – 6 ≥ 2x 2 − 8x + 12