Nghiên cứu kỹ thuật điều chế đa sóng mang và điều chế bội phân ứng dụng cho các hệ thống CDMA

LỜI MỞ ĐẦU
Trong hệ thống truyền tin, việc truyền tín hiệu được điều chế qua môi kênh
truyền có nhiễu, biên độ, thời gian thay đổi thì bên thu làm sao khôi phục lại tín
hiệu gốc ban đầu là một bài toán đặt ra. Với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian
và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, phân tích
Wavelet dựa trên một ý tưởng: tín hiệu được khai triển trên một tập hợp của các
hàm được giãn hay nén cho phép thay đổi độ phân giải thời gian và độ phân giải tần
số khi phân tích tín hiệu.
Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ
thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả
năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như mã hoá băng con, thiên
văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,
âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ, quang học, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng
thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần.
Trong khuôn khổ đồ án này, em xin phép được giới thiệu những vấn đề cơ
bản của phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của Wavelet, nhấn mạnh ứng dụng lý
thuyết wavelet sử dụng điều chế fractal trong điều chế đa sóng mang.
Trong quá trình thực hiện đồ án không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong
nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô giáo, các bạn để đồ án được hoàn
thiện và mang tính thực tế hơn.
Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Thuý
Anh và PGS.TS. Nguyễn Hữu Trung và đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều
kiện cho em hoàn thành tốt đồ án này.
Em xin chân thành cảm ơn!

1


MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................1

MỤC LỤC ...................................................................................................................2
DANH MỤC HÌNH ....................................................................................................4
CHƯƠNG 1 ................................................................................................................6
GIỚI THIỆU ...............................................................................................................6
1. Giới thiệu chung ..................................................................................................6
1.1 Các công cụ phân tích thời gian - tần số .................................................. 7
1.2 Độ phân giải thời gian và tần số .............................................................. 8
2. Các phần thực hiện trong đồ án...........................................................................9
CHƯƠNG 2 ..............................................................................................................10
LÝ THUYẾT WAVELET ........................................................................................10
2.1 Giới thiệu chung về Wavelet...........................................................................10
2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet .............................................................11
2.2.1 Biến đổi Fourier .................................................................................. 11
2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet ............................................................... 14
2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier ................. 15
2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier..................... 15
2.3 Biến đổi Wavelet liên tục ................................................................................17
2.3.1 Định nghĩa ........................................................................................... 17
2.3.2 Đặc điểm của CWT ............................................................................. 19
2.3.3 Ví dụ Wavelet Morlet ......................................................................... 21
2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc .................................................................................22
2.4.1 Định nghĩa DWT ................................................................................. 22
2.4.2 Tính chất biến đổi DWT ..................................................................... 23
2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar............................................................................. 24
2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc ..............................................................25
2.5.1 Phân tích đa phân giải ......................................................................... 25
2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc............................................. 27
2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT ...................................................................... 32
2.5.4 Phân loại Wavelet ............................................................................... 35
2.6 Phân tích gói Wavelet .....................................................................................36

2.6.1 Nguyên tử gói Wavelet ....................................................................... 37
2


2.6.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet ................................................ 39
2.6.3 Lựa chọn phân tích tối ưu ................................................................... 39
2.7 Các họ Wavelet ...............................................................................................40
2.8 Ứng dụng của Wavelet ....................................................................................42
CHƯƠNG 3 ..............................................................................................................45
ỨNG DỤNG WAVELET TRONG KỸ THUẬT ĐIỀU CHẾ ĐA SÓNG MANG .45
3.1 Giới thiệu.........................................................................................................45
3.2 Phát biểu bài toán ............................................................................................45
3.3 Rời rạc hóa tín hiệu và mô hình kênh Fading .................................................46
3.3.1 Rời rạc hóa tín hiệu ............................................................................. 46
3.3.2 Mô hình kênh Fading .......................................................................... 47
3.4 Mô hình điều chế QAM ..................................................................................52
3.5 Điều chế Fractal ..............................................................................................54
3.5.1 Giới thiệu ........................................................................................... 54
3.5.2 Công thức điều chế Fractal ................................................................. 57
3.5.3 Điều chế tỷ lệ ...................................................................................... 58
3.5.4 Điều chế Fractal dựa trên wavelet....................................................... 60
3.5.5 Thiết kế bộ phát: Điều chế .................................................................. 64
3.5.6 thiết kế bộ thu: Giải điều chế .............................................................. 70
3.6 Kết luận ...........................................................................................................79
CHƯƠNG 4 ..............................................................................................................81
MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN ..................................................................................81
4.1 Giới thiệu về chương trình mô phỏng hệ thống thu phát sử dụng điều chế
fractal .....................................................................................................................81
4.1.1 Giới thiệu chung.................................................................................. 81
4.1.2 Mô phỏng theo thuật toán đề xuất....................................................... 81

4.2 Nhận xét kết quả khử nhiễu thu được .............................................................82
4.3 Kết luận và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo ............................................82
4.3.1 Những kết luận chính của đồ án.......................................................... 82
4.3.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo ................................................................ 83
Tài liệu tham khảo .....................................................................................................84

3


DANH MỤC HÌNH
Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian
...................................................................................................................................12
Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số. Trục hoành biểu diễn thời
gian, trục tung biểu diễn tần số .................................................................................13
Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.3) ........................................................15
Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt
phẳng thời gian - tần số .............................................................................................16
Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội
tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số...........................................................................17
Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet ........................................................................21
Hình 2.7: Wavelet Haar ............................................................................................25
Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải. Không gian L2
biểu diễn toàn bộ không gian. V j biểu diễn một không gian con, Wj biểu diễn chi tiết
...................................................................................................................................26
Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con ............................29
Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử ............................................31
Hình 2.11: Băng lọc hai kênh ...................................................................................32
Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử ................................37
Hình 2.13: So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và gói
Wavelet......................................................................................................................37

Hình 3.1: Mô hình điều chế ......................................................................................45
Hình 3.2: Sơ đồ nguyên tắc lấy mẫu tín hiệu ...........................................................46
Hình 3.3: Sơ đồ bộ điều chế QAM ...........................................................................53
Hình 3.4: Một hệ thống truyền tin truyền chuỗi dữ liệu q[n] có biên độ liên tục hay
rời rạc qua kênh truyền có nhiễu, có biên độ thời gian biến đổi ...............................54
Hình 3.5 Mô hình kênh cho kịch bản truyền tin cơ bản ...........................................55
4


Hình 3.6: Hàm cosin Weierstrass .............................................................................58
Hình 3.7: Sơ đồ điều chế cho các tín hiệu tỷ lệ ........................................................60
Hình 3.8: Chia nhỏ băng tần của tín hiệu tỷ lệ và điều chế ......................................61
Hình 3.9 Chuyển đổi Fourier cường độ của các cặp wavelet ..................................61
Hình 3.10 Sơ đồ wavelet cho điều chế fractal .........................................................63
Hình 3.11 Trọng số phổ tần của các băng bởi DTFT tín hiệu gốc ..........................64
Hình 3.12 Biểu diễn thời gian - tần số của tín hiệu đồng nhất với bậc H=-1/2 .......65
Hình 3.13 Hiệu quả phổ của điều chế Fractal. Tại mỗi băng thông B, đường liền nét
biểu diễn tốc độ lớn nhất mà dữ liệu truyền có thể khôi phục được không có ảnh
hưởng của nhiễu. Đường nét đứt biểu diễn hiệu năng đáp ứng của kế hoạch chuẩn
...................................................................................................................................66
Hình 3.14 Một phần hiển thị thời gian-tần số của tín hiệu được truyền đi cho điều
chế Fractal của vector dữ liệu hữu hạn q. Trường hợp H = -1/2...............................69
Hình 3.15 Hiệu năng tỉ lệ lỗi của điều chế Fractal với dữ liệu số. Đường liền nét chỉ
hiệu năng của điều chế Fractal, còn đường nét đứt chỉ hiệu năng của điều chế chuẩn
sử dụng mã lặp ..........................................................................................................75
Hình 3.16 Sự cân bằng giữa lỗi, tốc độ, và băng thông cho điều chế fractal với tối
ưu thiết bị thu cho nhiễu và dữ liệu tương tự. Đường liền nét biểu diễn cho hiệu
năng của điều chế fractal, còn đường nét đứt tương ứng là hiệu năng của điều chế
chuẩn sử dụng mã lặp ................................................................................................79
Hình 4.1: Kết quả SNR thu được sau giải điều chế..................................................82

5


CHƯƠNG 1
1. Giới thiệu chung

GIỚI THIỆU

Trong hệ thống truyền tin, việc truyền tín hiệu được điều chế qua môi kênh
truyền có nhiễu, biên độ, thời gian thay đổi thì bên thu làm sao khôi phục lại tín
hiệu gốc ban đầu là một bài toán đặt ra. Khử nhiễu tín hiệu là một vấn đề được các
nhà nghiên cứu quan tâm cả về phương diện lý thuyết và thực tiễn. Việc khử nhiễu
đặt ra vấn đề là làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với
mong muốn khôi phục tín hiệu bị nhiễu càng giống với tín hiệu nguyên bản càng tốt
mà vẫn giữ lại được những đặc điểm quan trọng của tín hiệu. Có nhiều thuật toán
khác nhau được công bố, mỗi thuật toán có những ưu và nhược điểm riêng. Những
phương pháp khử nhiễu truyền thống sử dụng phương pháp lọc tuyến tính như lọc
Wiener (Wiener filtering), lọc phù hợp (Matched filtering), lọc thích nghi (Adaptive
filtering),…
Lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển khoảng
hai mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đã xuất
hiện từ trước đó rất lâu. Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn từ
cuối những năm 1970 và 1980. Ban đầu J. Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi
Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ phân giải
thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số
cho các thành phần tần số thấp hơn. Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời
gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ
phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại
muốn có độ phân giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi. Để giải quyết

vấn đề này, J.Morlet đã đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ
sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay

6


trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn. Để theo dõi toàn bộ thay đổi của
tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian.
Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng: tín hiệu được khai triển trên một tập
hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet).
t −b

 a 

ψ

(1.1)

Trong đó a là tỷ lệ (scale), đây là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ
phân giải thời gian và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu. Quy trình phân tích
wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích
(analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet). Phân tích thời gian được
thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích
tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ.
Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ
thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả
năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học,
kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,
âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo
động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân

từng phần (partial differential equation).

1.1 Các công cụ phân tích thời gian - tần số
Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier.
Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi
STFT và biến đổi Wavelet.
Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier. Tín hiệu
ƒ(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổ w(t − τ ) , sau đó thực hiện biến đổi Fourier
truyền thống. Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ:
cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín

7


hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại. Một ví dụ điển
hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946.
Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay
co vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên ψ (t ) . Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu
thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau. Biến đổi WT được
xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần
số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp.

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số
Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là
một vấn đề quan trọng cần quan tâm. Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một
mức định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức
định vị cao theo tần số. Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời
gian và độ phân giải tần số.
Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích
bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó. Diện tích cơ bản trong

mặt phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile). Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa
sổ hình chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số.
Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng
cho biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và
lấy tỷ lệ. Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn đến sự dịch ô ngói theo τ qua trục
jw t
thời gian. Tương tự như vậy, nhân với e S dẫn đến dịch ô ngói bởi wS. Ngoài ra,

cần chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay
không có kích thước hẹp vô hạn. Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm
cơ sở được sử dụng cho khai triển.
Giả thiết tín hiệu f (t ) tập trung quanh t0 với phổ tần số F(w) tập trung quanh
w0,

∆ t biểu diễn độ phân giải thời gian của f (t ) , ∆ w là độ phân giải tần số của

F(w).

8


∞

∆t =
2

1
(t − t0 )2 f (t ) 2 dt
∫
E −∞

∆w =
2

1 1
E 2π

(1.2)

∞

∫ (w − w ) F (w)
2

0

2

dw

(1.3)

−∞

với E là năng lượng của tín hiệu. Độ phân giải thời gian và tần số liên hệ
theo nguyên lý bất định Heisenberg. Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho độ
phân giải thời gian và tần số được biểu diễn bởi tích ∆ t ∆ w . Nếu f (t ) phân rã nhanh
hơn 1 / t khi t → ∞ thì nguyên lý bất định khẳng định:

∆t ∆ w ≥

2

2

1
2

(1.4)

2. Các phần thực hiện trong đồ án
Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài “Nghiên cứu kỹ thuật điều chế đa
sóng mang và điều chế bội phân ứng dụng cho các hệ thống CDMA”, đồ án của
em được cấu trúc như sau:
Chương 1: Giới thiệu. Giới thiệu chung một số khái niệm trong đồ án, trình
bày mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong đồ án.
Chương 2: Lý thuyết Wavelet. Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet,
những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau. Giới thiệu những ưu
điểm và ứng dụng của Wavelet, đặc biệt trong ứng dụng điều chế đa sóng mang.
Chương 3: Ứng dụng Wavelet trong kỹ thuật điều chế đa sóng mang.
Phát biểu bài toán, trình bày về các kỹ thuật sử dụng trong mô hình truyền thông sử
dụng điều chế Fractal, thiết kế bộ thu và bộ phát.
Chương 4: Mô phỏng và kết luận. Giới thiệu chương trình mô phỏng điều
chế Fractal được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng và phân tích kết
quả.

9


CHƯƠNG 2
LÝ THUYẾT WAVELET

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ. Các hàm Wavelet thoả
mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm
khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18
khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để
biểu diễn một hàm khác. Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để
phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt. Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo
các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau. Khi quan sát tín hiệu với một
cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung. Tương tự, nếu chúng ta quan
sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn.
Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi
là Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet). Phân
tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ,
trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng
Wavelet mẹ. Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một
khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm
Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet
tương ứng. Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ
số dưới một ngưỡng nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc. Mã
hoá rời rạc (sparse coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong
lĩnh vực nén dữ liệu.
Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm
học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần

10


kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học,

fractals, turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học
như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation).

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet
2.2.1 Biến đổi Fourier
Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một hàm
tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức.
Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu tiên ý
tưởng của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho
các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian. Sau đó tổng kết
này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính. Năm
1965, một thuật toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier
Transform) được phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành một công
cụ phổ biến.
Định nghĩa biến đổi Fourier:
∞

∫ f (t )e

F ( w) =

− jwt

dt

−∞

(2.1)

∞

f (t ) =

∫ F (w)e

iwt

dw

−∞

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích
phân từ -∝ tới +∝. Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay
đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary). Điều đó có nghĩa là
biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần
số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ
đó.
Để khắc phục vấn đề này, biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là
biến đổi Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra. Trong
biến đổi STFT, tín hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng
11


đoạn được phân chia có thể coi là dừng (stationary). Với mục đích này, hàm cửa sổ
được lựa chọn. Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự
dừng của tín hiệu là phù hợp. Định nghĩa STFT:

STFT (l , w) = ∫ [ f (t ) w* (t − l )]e − jwt dt

(2.2)

t

với w là hàm cửa sổ.
Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử
dụng. Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng
của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại.

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần sốthời gian
Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần
số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg. Các phương trình cơ bản không
thể đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết
được các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc
chắn khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại.
Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân
tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng. Nếu như các thành
phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh
độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt. Tuy nhiên, trong trường

12


hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp
là khó khăn.
Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật
lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào,
tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử
dụng phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet
Transform). Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với
những độ phân giải khác nhau. Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không

được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT.

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số. Trục hoành biểu
diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số
Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân
giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian
kém hơn ở tần số thấp. Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc
có các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần
tần số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, đó là trường hợp của hầu hết các tín
13


hiệu y sinh: tín hiệu điện não đồ EEG (electroencephalogram), điện cơ đồ EMG
(electromyogram), và điện tâm đồ ECG (electrocardiogram).

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92):
+∞

C (a, b) = ∫ f (t )ψ * a ,b (t )dt
−∞

với

−

1

t −b


 a 

ψ a ,b (t ) = a 2ψ 

(2.3)
(2.4)

là hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là
khoảng dịch, ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t). Thuật ngữ Wavelet
nghĩa là sóng nhỏ. Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm
cửa sổ.
Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ
được dịch chuyển trên tín hiệu. Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời
gian trong miền khai triển (transform domain). Tuy nhiên, chúng ta không có tham
số tần số như trong biến đổi STFT. Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái
niệm tỷ lệ, là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu. Các tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở
rộng hay giãn các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng để nén tín hiệu. Việc lấy tỷ lệ
Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu. Các
Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao
(phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần
thô) của tín hiệu.
Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau – xem hình 2.3:
Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản.
Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín
hiệu. Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn. Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình
dạng của Wavelet đã chọn.
Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn
bộ tín hiệu.
14

Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3.

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.3)

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là
phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay
đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n.
Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và
DWT là tương tự nhau. Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận
chuyển vị của ma trận nguyên gốc. Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là
một phép quay không gian hàm tới một miền khác. Với FFT, miền mới này bao
gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin. Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm
các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet)
hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet).
Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được
phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử
dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất.

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier
Điểm khác biệt đáng chú ý nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là
các hàm Wavelet riêng được khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và
cosin của biến đổi Fourier thì không. Đặc điểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các
wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng Wavelet được rải

15


rác ra “sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet. Sự rải rác này, dẫn đến một số ứng

dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu.
Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số
giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt
phẳng thời gian-tần số. Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong
FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời
gian-tần số.

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên
mặt phẳng thời gian - tần số
Một ưu điểm của biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi. Để tách các
điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm
đó để có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài.

16


Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và
sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số
Một điểm cần ghi nhớ rằng các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp
đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin. Thay vào đó, các
biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng. Do vậy, phân
tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn
so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục
2.3.1 Định nghĩa
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:
+∞

W (a, b) = ∫ f (t )ψ * a ,b (t )dt

−∞

(2.5)

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t) là
liên hợp phức của hàm wavelet ψa,b(t). Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet

ψ a ,b (t ) có thể thu được từ Wavelet cơ bản:
−

1
2

t −b

 a 

ψ a ,b (t ) = a ψ 

17

(2.6)


với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψ a ,b (t ) là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung
bình bằng không:

∞

∫ψ (t )dt = 0 . Hàm Wavelet ψ a ,b (t ) có dạng bất biến trong không

−∞

gian L (R) của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá a
2

−

1
2

.

Tín hiệu có thể được khôi phục nhờ biến đổi Wavelet ngược:
f (t ) =

1
Cψ

+∞+∞

∫ ∫W (a, b)ψ

−∞−∞

a ,b

(t )

dadb

a2

(2.7)

trong đó Cψ phải thoả mãn điều kiện:
ψˆ (ω )
Cψ = ∫
dω < +∞
ω
−∞
2

+∞

(2.8)

với ψˆ (ω ) là biến đổi Fourier của hàm Wavelet ψ a ,b (t ) . Cψ là hằng số phụ
thuộc vào hàm Wavelet ψ a ,b (t ) . Cψ là hữu hạn chỉ khi hàm ψˆ (0) = 0 hay điều kiện
tương đương:
+∞

∫ψ (t )dt = 0

(2.9)

−∞

Để chắc chắn rằng các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới không và do
vậy chúng được khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn
điều kiện:

+∞

∫ (1 + t

α

ψ (t ) dt < +∞, α > 0

(2.10)

−∞

Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT. Sự gián đoạn hoá
CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ. Tốc độ lấy mẫu có
thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist.
Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu
nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu. Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần
số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm.

18


2.3.2 Đặc điểm của CWT
Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện thừa nhận
(admisibility condition) và các điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và các
đặc điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng nhỏ). Người ta chứng minh rằng tích
phân bình phương các hàm ψ (t ) thoả mãn điều kiện admissibility:

∫

Ψ (ω )

ω

2

dω < +∞

(2.11)

có thể được sử dụng để phân tích ban đầu và sau đó khôi phục lại tín hiệu mà
không tổn hao thông tin. Trong biểu thức (2.11) hàm Ψ (ω ) là biến đổi Fourier của
ψ (t ) . Điều kiện admissibility chỉ ra rằng biến đổi Fourier của hàm ψ (t ) triệt tiêu ở f

= 0.
Ψ (ω )

2

ω =0

=0

(2.12)

Điểm không ở tần số bằng 0 cũng có nghĩa rằng giá trị trung bình của
Wavelet trong miền thời gian phải bằng 0:

∫ Ψ (t )dt = 0

(2.13)

và do vậy phải có dạng dao động. Nói cách khác, ψ (t ) phải là dạng sóng.
Người ta sử dụng các điều kiện thêm (additional condition) của các hàm
Wavelet để làm cho biến đổi Wavelet giảm nhanh chóng cùng với sự giảm tỷ lệ a.
Đó là điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm
Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số. Regularity là
một khái niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm
momen triệt tiêu (vanishing moment).
Nếu khai triển biến đổi Wavelet (2.5) thành chuỗi Taylor ở t = 0 cho tới bậc
n (dễ dàng rút b = 0), ta có:
W (a,0) =


tp  t 
1  n ( p)
(
)
f
0
ψ  dt + O(n + 1)
∑
∫
p!  a 
a  p =0


19

(2.14)

Ở đây ƒp có nghĩa là đạo hàm bậc p của ƒ và O(n + 1) nghĩa là phần dư của
biểu thức. Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng Mp:
M p = ∫ t pψ (t )dt

(2.15)

thì có thể viết lại (2.13) thành khai triển hữu hạn:

1
W (a,0) =
a


f 1 (0)
f 2 (0)
f n (0)
2
n +1
n+ 2 
3
 f (0)M 0 a + 1! M 1a + 2! M 2 a + ... + n! M n a + O a 



( )

(2.16)
Từ điều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế

phải là bằng 0. Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn
cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho
tín hiệu trơn ƒ(t). Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ. Nếu Wavelet
có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N. Trên thực tế,
nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn
vào ứng dụng.
2.3.2.1 Tính tuyến tính
Tính chất tuyến tính của biến đổi Wavelet có tính chất tuyến tính của tích vô
hướng.
Wψ (αf + βg )(a, b) = α (Wψ f )(a, b ) + β (Wψ g )(a, b)

(2.17)

2.3.2.2 Tính dịch (translation)

(

)

Wψ D u f (a, b) = (Wψ f )(a, b − u )

(2.18)

Như vậy việc dịch tín hiệu ban đầu trong miền thời gian sẽ tương ứng với
dịch trong biến đổi Wavelet liên tục.
2.3.2.3 Tính tỷ lệ (scaling)

(W f )(a, b) = (W f )(v
ψ

v

ψ

−1

a, vb), f v (t ) =

v f (vt )

(2.19)

Tính chất tỷ lệ làm cho biến đổi wavelet thực sự phù hợp để phân tích các
cấu trúc dạng bậc. Nó như là một kính hiển vi toán học với các đặc tính không phụ
thuộc vào sự phóng đại .

20


2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng
Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như
công thức Parseval của biến đổi Fourier.
Định lý: Nếu hàm f (t ) ∈ L2 ( R) và có biến đổi Wavelet liên tục là Wf(a,b)
thì:
∞

∫

f (t ) dt =
2

−∞

1
Cψ

∞ ∞

∫ ∫ W (a, b )
f

−∞−∞

2

dadb
a2

(2.20)

2.3.2.5 Tính định vị (localization)
Biến đổi Wavelet liên tục có tính định vị tốt, đặc biệt là với những thay đổi
đột ngột trong miền thời gian ở tần số cao (hay tỷ lệ thấp), đây là một ưu điểm so
với các phép biến đổi truyền thống.

2.3.3 Ví dụ Wavelet Morlet
ψ (t ) =

ψ (ω ) =
Hệ số

1 − jω 0 t − t 2 / 2
e
e
2π

1 −(ω −ω0 )2 / 2
e
2π

1
được chọn để cho ψ (ω ) = 1 (chuẩn hoá năng lượng).
2π

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet

21

(2.21)


2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc
Vì những hàm Wavelet ψ a,b (ω ) được định nghĩa đối với mọi điểm trong
không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψ a,b (ω ) rất dư
thừa. Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới
thiệu. Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ
dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu.
Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín
hiệu rời rạc được phát triển. Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong
lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band

coding). Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển
được gọi là mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa
phân giải (MRA).
Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp
hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b). Trong DWT,
biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số.
Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác
nhau.

2.4.1 Định nghĩa DWT
Chúng ta có hàm rời rạc f(n) và định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc DWT
đưa ra bởi:
C (a, b ) = C ( j , k ) = ∑ f (n )ψ j ,k (n )

(2.22)

n∈Z

với ψ j,k là Wavelet rời rạc được định nghĩa:

ψ j ,k ( n ) =

1
2j

 n −2jk 
 = 2 − j / 2ψ 2 − j n − k
j
 2


(

ψ 

)

(2.23)

Các tham số a, b được xác định: a = 2j, b = 2j k.
Biến đổi DWT có thể biến đổi ngược nếu như tập hợp tương ứng của các
mẫu xác định một khung Wavelet:
22


A f

2

≤ ∑ f ,ψ (a, b )

2

≤B f

2

(2.24)

a ,b

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds).
Biến đổi ngược được xác định như sau:

f (n ) = ∑∑ C ( j , k )ψ j ,k (n )

(2.25)

j∈Z k∈Z

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (2.24) là A=B=1, thì phép biến đổi
là trực giao.
Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j. Tuy nhiên tổng
này có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet
với toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữu
hạn (2.25) theo k là đúng với một số xấp xỉ.
Để tìm hiểu tại sao phép tổng (2.25) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ,
phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA. Khái niệm MRA
được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các
Wavelet sau này.

2.4.2 Tính chất biến đổi DWT
Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M. Số hệ
số này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) được xác định như
sau: Nếu ψ (x ) là khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet đầu
tiên triệt tiêu, nghĩa là:
dk
ψ (x ) < ∞ tức là
dt k

∫ x ψ (x )dx = 0 với 1 ≤ k ≤ M
k

(2.26)

Wavelet phải thoả mãn hai phương trình tỷ lệ:

φ (x ) = 2 ∑ h(k )φ (x − k )

(2.27)

k

ψ (x ) = 2 ∑ (− 1)k h(− k + 1)φ (x − k )
k

Ngoài ra, hàm tỷ lệ là trực giao với phép tịnh tiến của nó:

23

(2.28)


∫ φ (x )φ (x − k )dx = 0

(2.29)

Và các Wavelet cần phải trực giao với hàm tỷ lệ của chính nó, ví dụ:

∫ψ (x )ψ (2 x − k )dx = 0

(2.30)

Các hệ số tỷ lệ phải thoả mãn điều kiện admissbility cũng như điều kiện trực
giao:
M

∑ h(k ) =

2

k =1

∑ h(k )h(k + 2m) = δ (m)
0m

(2.31)

k

có nghĩa rằng tổng trên là không với mọi m khác không. Một biểu thức quan
trọng khác, là hệ quả của điều kiện trên là:

∑ h(n )h(n − 2k ) = 0

(2.32)

n

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi

dãy h(k) và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ
số của bộ lọc h(k).

2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar
Hàm tỷ lệ:

1,0 ≤ t < 1
0, t ∉ [0,1)

φ (t ) = 

(2.33)

Hàm Wavelet mẹ:

1,0 ≤ t < 1 / 2

ψ (t ) = − 1,1 / 2 ≤ t < 1
0, t ∉ [0,1)


24

(2.34)


Hình 2.7: Wavelet Haar

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc
2.5.1 Phân tích đa phân giải

Định nghĩa: Không gian L2 = L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự.
2
Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂ L (R ) :

V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 
Các tính chất của họ không gian V j :
• V j ⊂ V j +1 , ∀j ∈ Z

(2.35a)

2
• ∨ Vn = L và  n∈Z Vn = {0}

(2.35b)

n∈Z

• f (t ) ∈ V j ⇔ f (2t ) ∈ V j +1 , j ∈ Z

(2.35c)

• f (t ) ∈ V0 ⇔ f (t − k ) ∈ V0 , k ∈ Z

(2.35d)

• {φ (t − k )}k∈Z xác định một cơ sở trực chuẩn cho V0

(2.35e)

Như vậy họ {φ (t − k ), k ∈ Z } tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian

tham chiếu V0 . Các không gian V j lồng vào nhau. Không gian L2(R) đóng kín tập
hợp mọi V j .

25