Mã hóa băng con và ứng dụng

LỜI CAM ĐOAN
Trong những năm gần đây kỹ thuật Điện tử - Viễn thông có những tiến bộ,
không ngừng phát triển, cùng phát triển với các nền khoa học của nhân loại.
Bản thân tác giả đang công tác và giảng dạy ở trường Cao Đẳng nghề kinh tế
kỹ thuật Vinatex , rất đam mê nghiên cứu về lĩnh vực xử lý số tín hiệu.
Chính vì vậy được tiếp xúc và được nghiên cứu về xử lý số tín hiệu, tín hiệu
hình ảnh đối với tác giả là một niềm vui lớn, là một sự thuận lợi trong công việc.
Được sự động viên, hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung – Trường
Đại học Bách khoa Hà nội, tác giả đã chọn hướng nghiên cứu về xử lý tín hiệu hình
ảnh, và đề tài “ Mã hóa băng con và ứng dụng” đã ra đời.
Để viết ra bản luận văn này tác giả xin cam đoan và chịu mọi trách nhiệm về
bản luận văn này trước Viện đào tạo sau đại học, chịu trách nhiệm trước Viện Điện
tử Viễn thông và Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
Tác giả

Phạm Ngọc Thạch

Trang 1


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Quốc Trung đã hướng
dẫn, chỉ bảo tận tình, giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo viện Điện tử - Viễn Thông
trường Đại học Bách khoa Hà Nội, các thầy giáo cô giáo đã giảng dạy và quản lý
lớp Cao học khóa 2012A KTTT
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và làm luận văn.
Tôi xin cảm ơn các bạn học viên lớp cao học 2012A KTTT đã giúp tôi hoàn
thành khóa học.
Trong thời gian làm luận văn bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi thu thập và dịch

tài liệu, nghiên cứu những vấn đề mình được học. Với khả năng, kiến thức của
mình, bản luận văn còn những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Điện tử - Viễn thông Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội. Tôi cũng mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp và mọi người quan
tâm tới lĩnh vực này.
Hà nội, tháng 11 năm 2013
Người viết

Phạm Ngọc Thạch

Trang 2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................2
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT..............................................7
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .....................................................................8
Chương 1: LỌC SỐ NHIỀU NHỊP ...........................................................................11

1.1. THAY ĐỔI TẦN SỐ LẤY MẪU .................................................. 11
1.1.1. Khái niệm ................................................................................. 11
1.1.2. Phép chia và bộ phân chia ........................................................ 11
1.1.2.1. Biểu diễn trong miền n ...................................................... 11
1.1.2.2. Biểu diễn trong miền z ...................................................... 12
1.1.2.3. Biểu diễn trong miền tần số .............................................. 14
1.1.3. Bộ lọc phân chia ....................................................................... 16
1.1.3.1. Biểu diễn bộ lọc phân chia trong miền biến số n .............. 16
1.1.3.2. Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền Z ...................... 17
1.1.3.3. Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần số .............. 18

1.1.4. Phép nội suy ............................................................................. 20
1.1.4.1. Khái niệm .......................................................................... 20
1.1.4.2. Biểu diễn phép nội suy trong miền biến số n .................... 21
1.1.4.3. Biểu diễn phép nội suy trong miền z ................................ 21
1.1.4.4. Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số ......................... 22
1.1.5. Bộ lọc nội suy........................................................................... 23
1.1.5.1. Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền biến số n .............. 24
1.1.5.2. Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền z .......................... 24
1.1.5.3. Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền tần số ................... 25
1.1.6. Thay đổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L ...................................... 27
1.1.6.1. Biểu diễn trong miền biến số n ......................................... 27
Trang 3


1.1.6.2. Biểu diễn trong miền z ...................................................... 28
1.1.6.3. Biểu diễn phép biến đổi nhịp trong miền tần số ............... 29
1.1.7. Bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L ........................... 30
1.1.7.1. Tổng quan.......................................................................... 30
1.1.7.2. Biểu diễn trong miền n ...................................................... 31
1.1.7.3. Biểu diễn trong miền z ...................................................... 31
1.1.7.4. Biểu diễn trong miền tần số .............................................. 32
1.2. PHÂN HOẠCH NHIỀU PHA ........................................................ 32
1.2.1. Phân hoạch nhiều pha hai thành phần ...................................... 32
1.2.1.1. Phân hoạch hàm truyền đạt H(z) ....................................... 33
1.2.1.2. Cấu trúc nhiều pha hai thành phần .................................... 34
1.3. PHÂN HOẠCH NHIỀU PHA M THÀNH PHẦN ........................ 35
1.3.1. Phân hoạch hàm truyền đạt H(z) .............................................. 35
1.3.2. Cấu trúc nhiều pha M thành phần ............................................ 35
1.4. PHÂN HOẠCH NHIỀU PHA LOẠI HAI ..................................... 36
1.4.1. Phân hoạch nhiều pha loại hai hàm H(z) ................................. 36

1.4.2. Cấu trúc nhiều pha loại hai ...................................................... 37
1.5. CẤU TRÚC NHIỀU PHA CỦA BỘ LỌC BIẾN ĐỔI NHỊP LẤY
MẪU........................................................................................................ 37
1.5.1. Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc phân chia ................................. 37
1.5.2. Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc nội suy ..................................... 39
1.6. CẤU TRÚC NHIỀU PHA CỦA BỘ LỌC BIẾN ĐỔI NHỊP HỆ SỐ
M/L .......................................................................................................... 41
1.6.1. Tổng quan................................................................................. 41
1.6.2. Cấu trúc nhiều pha loại một của bộ lọc biến đổi nhịp ............ 42
1.6.3. Cấu trúc nhiều pha loại hai của bộ lọc biến đổi nhịp ............... 43
Chương 2: MÃ HÓA BĂNG CON ............................................................. 45
Trang 4


2.1. BANK LỌC SỐ .............................................................................. 45
2.1.1. Bank lọc số phân tích ............................................................... 45
2.1.1.1. Định nghĩa ......................................................................... 45
2.1.1.2. Biểu diễn nhiều pha loại một đối với bank lọc số phân tích
......................................................................................................... 46
2.1.2. Bank lọc số tổng hợp................................................................ 47
2.1.2.1. Định nghĩa ......................................................................... 47
2.1.2.2. Biểu diễn nhiều pha loại hai đối với bank lọc số tổng hợp
......................................................................................................... 48
2.1.3. Bank lọc số nhiều nhịp ............................................................. 49
2.2. BANK LỌC KHÔI PHỤC HOÀN HẢO ...................................... 51
2.2.1. Bank lọc số nhiều nhịp hai kênh khôi phục hoàn hảo ............. 51
2.2.1.1. Khử thành phần hư danh .................................................. 53
2.2.1.2. Méo biên độ và méo pha ................................................... 54
2.2.2. Băng lọc QMF 2 kênk khôi phục hoàn hảo ............................. 55
2.2.3. Biểu diễn nhiều pha bank lọc số QMF..................................... 56

2.3. MÃ HÓA BĂNG CON ................................................................... 57
2.3.1. Cấu trúc dạng cây đơn phân giải .............................................. 59
2.3.2. Cấu trúc dạng cây đa phân giải ................................................ 60
Chương 3: ỨNG DỤNG MÃ HÓA BĂNG CON TRONG KỸ THUẬT
NÉN ẢNH ................................................................................................... 63
3.1. ỨNG DỤNG MÃ HÓA BĂNG CON TRONG KỸ THUẬT NÉN
ẢNH ........................................................................................................ 63
3.1.1. Giới thiệu chung về nén ảnh số ................................................. 63
3.1.2. Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hoá ảnh ............................ 64
3.1.3 Các kỹ thuật nén ảnh được sử dụng ........................................... 65
3.1.3.1. Nén tổn hao và không tổn hao ........................................... 65
Trang 5


3.1.3.2. Mã hoá dự đoán và mã hoá dựa trên phép biến đổi ........... 66
3.1.4. Mã hóa dựng biến đổi cosin rời rạc - DCT ............................... 67
3.1.4.1. Biến đổi DCT thuận và ngược ........................................... 67
3.1.4.2. Lượng tử và giải lượng tử .................................................. 69
3.1.4.3. Mã hóa và giải mã hóa ....................................................... 69
3.1.5. Kỹ thuật mã hóa băng con - SBC.............................................. 70
3.1.6. Mã hóa bằng phép biến đổi Wavelet rời rạc - DWT................. 75
3.1.6.1. Mối quan hệ giữa biến đổi Wavelet và Fourier ................. 75
3.1.6.2. Biến đổi Wavelet rời rạc - DWT ........................................ 76
3.1.6.3. Hai thuật toán nén sử dụng DWT điển hình ...................... 78
KẾT LUẬN ...............................................................................................................79
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................80
PHỤ LỤC ..................................................................................................................81

Trang 6

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Nghĩa tiếng Anh

Nghĩa tiếng Việt

ACC

Advanced Audio Coding

Mã hoá âm thanh tiên tiến

ADC

Analog Digital Converter

Bộ biến đổi tương tự - số

CRC

Cyclic Redundancy Check

Kiểm tra mã vòng

DAC

Digital Analog Converter

Bộ biến đổi số - tương tự

DCT

Discrete Cosine Transform

Biến đổi cosin rời rạc

DSP

Digital Signal Processor

Bộ xử lý tín hiệu số

FFT

Fast Fourier Transform

Biến đổi Fourier nhanh

Finitite Duration Impulse

Bộ lọc có đáp ứng xung chiều dài

Response

hữu hạn

Infinitite Duration Impulse

Bộ lọc có đáp ứng xung chiều dài

Response

vô hạn

FIR

IIR

IMDCT

MDCT

Inverse Modified Discrete
Cosine Transform
Modified Discrete Cosine
Transform

Biến đổi cosin rời rạc ngược
Biến đổi cosin rời rạc

Mask to Noise Ratio

Tỷ lệ ngưỡng mặt nạ trên tạp âm

Joint Photographic Experts

Chuẩn nén ảnh số của ủy ban

Group

JPEG quốc tế

PCM

Pulse Code Modulation

Điều chế xung mã

PR

Perfect Recontruction

Băng lọc khôi phụ hoàn hảo

QMF

Quadrature Mirror Filter bank

Băng lọc số cầu phương

SMR

Signal to Mask Ratio

Tỷ lệ tín hiệu trên ngưỡng mặt nạ

SBC

Subband coding

Mã hóa băng con

MNR
JPEG

ATC

Adaptive Transformable
coding

Trang 7

Mã hóa biến đổi thích nghi


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1.1: Bộ chia ...................................................................................................11
Hình 1.1.2: Dạng tín hiệu vào/ra trong miền biến số rời rạc ....................................12
Hình 1.1.3: Biểu diễn phép chia trong miền tần số ...................................................15
Hình 1.1.4: Bộ lọc phân chia.....................................................................................16
Hình 1.1.5: Sự đồng nhất của bộ lọc phân chia ........................................................18
Hình 1.1.6: Bộ nội suy ..............................................................................................20
Hình 1.1.7: biểu diễn phép nội suy trong miền biến số rời rạc n. .............................21
Hình 1.1.8: Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số ..............................................23
Hình 1.1.9: Bộ lọc nội suy ........................................................................................23
Hình 1.1.10: Sự đồng nhất của bộ lọc nội suy ..........................................................25
Hình 1.1.11: Dạng phổ tín hiệu của bộ lọc nội suy...................................................26
Hình 1.1.12: Bộ biến đổi nhịp loại 1 .........................................................................27

Hình 1.1.13: Bộ biến đổi nhịp loại 2 .........................................................................28
Hình 1.1.14: Bộ lọc biến đổi nhịp .............................................................................30
Hình 1.1.15: Bộ lọc biến đổi nhịp .............................................................................31
Hình 1.2.1: Cấu trúc nhiều pha hai thành phần. ........................................................34
Hình 1.2.2: Cấu trúc nhiều pha M thành phần. .........................................................36
Hình 1.2.3: Cấu trúc nhiều pha loại hai. ...................................................................37
Hình 1.2.4: Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc phân chia ...............................................38
Hình 1.2.5: Sự tương đương của hai mô hình bộ lọc phân chia. ..............................38
Hình 1.2.6: Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc phân chia ...............................................38
Hình 1.2.7: Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc phân chia ...............................................39
Hình 1.2.8: Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc nội suy ...................................................40
Hình 1.2.9: Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc nội suy ...................................................40
Hình 1.2.10: Sơ đồ tương đương của bộ lọc nội suy ................................................41
Hình 1.2.11: Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc nội suy .................................................41
Hình 1.2.12: Bộ lọc biến đổi nhịp M/L .....................................................................42
Hình 1.2.13: Cấu trúc nhiều pha loại một của bộ lọc biến đổi nhịp .........................42
Hình 1.2.14: Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc biến đổi nhịp........................................43
Hình 1.2.15: Cấu trúc nhiều pha loại hai của bộ lọc biến đổi nhịp ...........................43
Trang 8


Hình 1.2.16: Cấu trúc nhiều pha loại hai của bộ lọc biến đổi nhịp ...........................44
Hình 2.1.1: Bank lọc phân tích..................................................................................45
Hình 2.1.2: Biểu diễn bank lọc phân tich dưới dạng ma trận ...................................47
Hình 2.1.3: Bank lọc tổng hợp ..................................................................................47
Hình 2.1.4: Biểu diễn bank lọc tổng hợp dưới dạng ma trận ....................................48
Hình 2.1.5: Biểu diễn bank lọc tổng hợp nhiều nhịp ................................................49
Hình 2.1.6: Biểu diễn bank lọc tổng hợp nhiều nhịp ................................................49
Hình 2.1.7: Biểu diễn bank lọc tổng hợp nhiều nhịp ................................................50
Hình 2.2.1: Bank lọc số nhiều nhịp hai kênh ............................................................51

Hình 2.2.2: Đáp ứng tần số của bank lọc phân tích ..................................................55
Hình 2.2.3: Biểu diễn nhiều pha của băng lọc QMF.................................................56
Hình 2.2.4: Biểu diễn nhiều pha của băng lọc QMF.................................................57
Hình 2.3.1: Sơ đồ mã hóa băng con hai kênh ...........................................................58
Hình 2.3.2: Đáp ứng tần số của bộ lọc phân tích ......................................................59
Hình 2.3.3: Sơ đồ khối của bộ lọc phân tích 4 kênh .................................................59
Hình 2.3.4: Sơ đồ khối của bộ lọc tổng hợp 4 kênh..................................................60
Hình 2.3.5: Sơ đồ mã hóa và giải mã theo cấu trúc dạng cây ...................................60
Hình 2.3.6: Đáp ứng tần số của băng lọc theo cấu trúc đa phân giải ........................61
Hình 2.3.7 (a): Sơ đồ khối băng lọc phân tích cấu trúc đa phân giải ........................61
Hình 2.3.7(b): Sơ đồ khối băng lọc phân tích cấu trúc đa phân giải.........................61
Hình 2.3.8(a): Sơ đồ bộ lọc tổng hợp cấu trúc đa phân giải .....................................62
Hình 2.3.8(b): Sơ đồ bộ lọc tổng hợp cấu trúc đa phân giải .....................................62
Hình 3.1.1 Sơ đồ tổng quát một hệ thống nén ảnh....................................................64
Hình 3.1.2 Sơ đồ mã hóa và giải mã dựng biến đổi DCT .........................................67
Hình 3.1.3. Các bước của quá trình mã hóa biến đổi DCT đối với 1 khối ...............68
Hình 3.1.4 Sơ đồ khối minh họa quá trình nén và phục hồi ảnh bằng kỹ thuật mã
hóa băng con .............................................................................................................71
Hình 3.1.5. Quá trình phân ly băng con cây bát phân ...............................................72
Hình 3.1.6. Phân ly ảnh mẫu thành 4 băng con LL, LH, HL và HH theo phương
pháp SBC ..................................................................................................................73
Hình 3.1.7. Phân ly ảnh mẫu thành 8 băng con theo phương pháp SBC ..................73
Hình 3.1.8. Tỷ số tín hiệu trên nhiễu với 2 phương pháp SBC và DTC ...................74
Trang 9


Hình 3.1.9. Lỗi trung bình bình phương với 2 phương pháp SBC và DTC .............74
Hình 3.1.10. Băng lọc khôi phục lý thuyết sử dụng DWT 1D..................................77
Hình 3.1.11. Minh hoạ DWT hai chiều cho ảnh .......................................................77
Hình 3.1.11(a). Minh hoạ DWT kiểu dyadic mức 3 để nén ảnh...............................77

Hình 3.1.11(b). Minh hoạ DWT kiểu dyadic mức 3 để nén ảnh ..............................78

Trang 10


Chương 1: LỌC SỐ NHIỀU NHỊP
1.1. THAY ĐỔI TẦN SỐ LẤY MẪU
1.1.1. Khái niệm
Hệ thống nhiều nhịp:
Trong một hệ thống xử lý tín hiệu số, tần số hoặc nhịp lấy mẫu được thay đổi
trong quá trình xử lý thì hệ thống này được gọi là hệ thống xử lý tín hiệu số nhiều
nhịp.
1.1.2. Phép chia và bộ phân chia
Phép chia là việc giảm tần số lấy mẫu từ giá trị Fs thành Fs, với Fs, < Fs . Khi
đó M 

Fs
 1 , nếu M nguyên dương thì được gọi là phép phân chia theo hệ số M
Fs,

và M được gọi là hệ số phân chia.
Hệ thống xử lý tín hiệu số làm nhiệm vụ giảm tần số lấy mẫu thì được gọi là
bộ phân chia.
Ký hiệu của bộ phân chia như trên hình sau:

M: hệ số phân chia
Hình 1.1.1: Bộ chia
1.1.2.1. Biểu diễn trong miền n
Giả sử ta có bộ phân chia sau đây:

Trang 11


Tần số lấy mẫu Fs của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi đi qua bộ phân chia sẽ
giảm đi M lần:
Fs, 

Fs
M

 s  2Fs

 ,s  2Fs,  2

Fs  s

M M

Khi đó chu kỳ lấy mẫu sẽ tăng lên M lần:
Ts, 

1 M

 MTs
Fs, Fs

Khi đó biểu diễn dưới dạng tín hiệu vào ra như sau:
y M (n)  x(nM )

Hình 1.1.2: Dạng tín hiệu vào/ra trong miền biến số rời rạc

1.1.2.2. Biểu diễn trong miền z
Trong miền z, phép phân chia được biểu diễn như sau:

Trang 12


M
X ( z ) 

Y  M ( z )  M [ X ( z )]

Theo kết quả phần trước trong miền biến số độc lập ta có: yM (n)  x(nM ) .
Khi chuyển sang miền Z ta được:

YM ( Z ) 



 yM (n)z n 

n  

Đổi biến số, đặt m  n.M và n 



 x(nM ) z

n  

m
M

YM (Z ) 



 x(m) z



m
M

m

với m  n.M , n: số nguyên.
Ta định nghĩa dãy p(m) như sau:

Từ đó ta có:

YM (Z ) 


1
 
m M



 x(m) p(m) z



m
M



m
M

m

M 1

e

j

2
lm
M

x(m) z

l 0

 M1  j 2M l 
1 M 1 

   x ( m)  z e

M l 0 m


Trang 13

m

n


1
Y M ( Z ) 
M

1

M

 M1  j 2M l 

X  z e


l 0



M 1

 M1 l
X  z WM

l 0


M 1






Hoặc có thể viết dưới dạng sau đây:

  j 2M l 

MYM ( z )   X  ze

l 0


M 1

M

1.1.2.3. Biểu diễn trong miền tần số
Khi biến đổi từ miền biến số rời rạc sang miền tần số ta có:

Y M (e j )  FT [ y M (n)]
Và:

X (e j )  FT [ x(n)]
Do đó phép phân chia biểu diễn trong miền tần số như sau:
M
X (e j ) 

YM (e j )  M [ X (e j )]

Mặt khác ta lại có biến đổi Fourier là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị z  e j 
nên ta có quan hệ:

YM (e j )  YM ( z ) z e j

X (e j )  X ( z) z e j
Vậy ta thu được quan hệ sau:

Trang 14


Y M (e j ) 

1

M

1
M


2
j
l
 jM
M

X
e
e


l 0


M 1

 j  M2l
X  e

l 0


M 1











Hay:

MY M (e

j

 j  M2l
)   X  e
l 0

M 1






Hình dưới biểu diễn dạng phổ tín hiệu vào ra của bộ phân chia với hệ số phân
chia M=2.

Hình 1.1.3: Biểu diễn phép chia trong miền tần số

Trang 15

1.1.3. Bộ lọc phân chia
Trong các hệ thống xử lý tín hiệu, các bộ phân chia không được dùng một
cách riêng lẻ mà thường đi kèm với một hay một vài bộ lọc số. Hệ thống kết hợp
giữa bộ lọc số và bộ phân chia được gọi là bộ lọc phân chia.
Sơ đồ của bộ lọc phân chia:

Hình 1.1.4: Bộ lọc phân chia
Ý nghĩa của việc kết hợp bộ lọc và bộ chia
Từ biểu thức biểu diễn phép phân chia trong miền tần số cho thấy tín hiệu x(n)
khi đi qua bộ phân chia, thì trong miền tần số sẽ tạo ra M-1 thành phần hư danh
(aliasing), các thành phần này sẽ gây ra hiện tượng chồng phổ. Tuy nhiên nếu x(n)
có băng tần nằm trong khoảng 
edge) c 


M


M

 


M

tức là tần số giới hạn dải tần (stopband

thì sẽ không gây ra hiện tượng này.

Vì vậy đối với các tín hiệu bất kỳ để tránh hiện tượng chồng phổ, ta đặt trước

bộ chia ↓M một bộ lọc thông thấp có c 
loại bỏ các thành phần tần số  


M


M

. Bộ lọc thông thấp này có nhiệm vụ

và chỉ giữ lại thành phần  

1.1.3.1. Biểu diễn bộ lọc phân chia trong miền biến số n
Trong miền biến số n ta biểu diễn phép lọc phân chia như sau:
( n)
M
x(n) h

 yH (n) 

yH M (n)

Trang 16


M


Với: y H (n)  x(n)  h(n) 

 h( n)  x ( n) 



 x ( k ) h( n  k )

k  



 h(k )x(n  k )

k  

y H  M (n)  M [ x(n)  h(n)]  M [ y H (n)]

Chú ý: phép phân chia không có tính chất phân phốivào phép chập bởi vì:
y H  M (n)  M [ x(n)  h(n)]  M



 x ( k )  h( n  k ) 

k  



 x(k )  h(Mn  k )

k  



 M [ x(n)]  M [h(n)]  x( Mn)  h( Mn) 

 x(Mk )h(Mn  Mk )

k  

Suy ra:  M [ x(n)  h(n)]  M [ x(n)]  M [h(n)]
1.1.3.2. Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền Z
Phép lọc phân chia được mô tả trong miền Z như sau:
H ( z)
M
X ( z) 
YH ( z) 

YH M ( z)  M [YH ( z)]

Trong đó:
X ( z )  ZT [ x(n)],

YH ( z )  ZT [ y H (n)]

H ( z )  ZT [h(n)],

YH M ( z )  ZT [ y H M (n)]

Và:
YH ( z )  X ( z ).H ( z )  H ( z ). X ( z )

YH M ( z ) 
1

M

1
M

M 1

1

YH ( z M WMl ).  M [YH ( z)]
l 0

M 1

 X (z
l 0

1
M

l
M

1
M

W ).H ( z WMl )

Ta xét phép lọc phân chia sau đây:

Trang 17


H (z )
M
X ( z) 
YH ( z) 
YH M ( z)
M

Với: YH ( z )  X ( z ).H ( z M )
YH  M ( z ) 

1
M

 H ( z ).

M 1

1

 X ( z M WMl ).H ( z )
l 0

1
M

M 1

1

 X ( z M WMl )
l 0

Xét phép phân chia lọc sau đây:
M
H ( z)
X ( z) 
YM ( z) 
YMH ( z)

1
Với: Y M ( z ) 
M
Y HM ( z )  H ( z )

M 1

 X (z

1
M

l 0

M 1

1
M

WMl )

1

 X ( z M WMl )
l 0

Từ đó ta có:

YH M ( z )  YMH ( z )
Do đó hai phép lọc trên là tương đương nghĩa là hai sơ đồ thực hiện hai phép
lọc đó cũng đồng nhất.
Vậy ta có sự đồng nhất của hai mô hình bộ lọc phân chia như trên hình vẽ sau:

Hình 1.1.5: Sự đồng nhất của bộ lọc phân chia
1.1.3.3. Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần số
Như ta đã biết, khi đánh giá trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z sẽ cho ta
biểu diễn trong miền tần số.

Trang 18


Thực hiện đánh giá trên vòng tròn đơn vị đối với X (z ) , H (z ) , YH (z ) , YH  M (z )
ta được:
j

H (e )
M
X (e j ) 
YH (e j ) 

YH M (e j )

Trong đó:

H (e j )  X (e j ). H (e j )
1
YH  M (e ) 
M
J

M 1

Y
l 0

H

(e

j

  2l
M

1

)
M

M 1

 X (e

j

  2l
M

). H (e

j

  2l
M

)

l 0

Nếu YH (e j ) là đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng có c 


M

thì

các thành phần hư danh sẽ không gây hư thông tin, tức là không có hiện tượng
chồng phổ. Do đó tách riêng thành phần đầu tiên (l = 0) ra mà dạng phổ của nó
không bị méo:
YH  M (e j ) l 0 



j
j
1
X (e M ). H (e M )
M

 

Do H (e j ) là bộ lọc thông thấp lý tưởng tức là ở dải thông H (e j )  1 , dải
chắn H (e j )  0 thì ta có thành phần đầu tiên (l=0) như sau:
j

YH  M (e ) l 0


j
1
M

X (e )
M

 

Các tính chất của phép lọc phân chia
Tính chất phân phối:

YH ( z )  X ( z )[ H1 ( z )  H 2 ( z )]  X ( z ) H1 ( z )  X ( z ) H 2 ( z )
1
YH  M ( z ) 
M

M 1

Y
l 0

H

1
M

( z WMl )  M [YH ( z )]

Trang 19


1

M

1
M

1
1
1
1

l
l
l
l 
M
M
M
M
 X ( z WM ) H1 ( z WM )  X ( z WM ) H 2 ( z WM )

l 0 


M 1

1
1

1
l
l 
M
M
 X ( z WM ) H1 ( z WM ) 


l 0 
 M

M 1

M 1

[ X ( z
l 0

1
M

l
M

1
M

W ) H 2 ( z WMl )]

 M [ X ( z ) H1 ( z )]  M [ X ( z ) H 2 ( z )]

Vậy phép phân chia có tính phân phối vào phép cộng.
1.1.4. Phép nội suy
1.1.4.1. Khái niệm
Phép nội suy
Phép nội suy là việc làm tăng tần số lấy mẫu từ giá trị Fs đến một giá trị Fs,
( Fs,  Fs ) . Nếu Fs,  LFs với L  1 và nguyên dương thì ta gọi là phép nội suy theo

hệ số L và L được gọi là hệ số nội suy.
Bộ nội suy
Hệ thống thực hiện việc tăng tần số lấy mẫu từ giá trị Fs đến giá trị Fs,  LFs
được gọi là bộ nội suy.

Hình 1.1.6: Bộ nội suy
Nhận xét:
Thực chất phép nội suy là chèn thêm L-1 mẫu biên độ 0 vào giữa hai mẫu của
tín hiệu vào x(n) trong miền biến số n. Và tương ứng trong miền tần số sẽ tạo ra L-1
ảnh phụ của phổ cơ bản sau khi phổ cơ bản đã co hẹp lại k lần để nhường chỗ cho
L-1 ảnh phục hồi mà không gây hiện tượng chồng phổ. Như vậy phép nội suy
không làm hư thông tin.

Trang 20


Tuy nhiên để nội suy ra các mẫu có biên độ 0 ta phải đặt sau bộ nội suy một
bộ lọc có c 


L

. Trong miền biến số n, bộ lọc này làm nhiệm vụ nội suy ra các

mẫu có biên độ 0, còn trong miền tần số nó làm nhiệm vụ loại bỏ các ảnh phụ của
phổ cơ bản.
1.1.4.2. Biểu diễn phép nội suy trong miền biến số n
Vì tần số lấy mẫu tăng L lần tức là chu kỳ lấy mẫu giảm đi L lần. Do đó trong
miền biến số rời rạc n, biểu thức của phép nội suy có dạng:

n
y L (n)  x( )
L

Hình 1.1.7: biểu diễn phép nội suy trong miền biến số rời rạc n.
Tần số lấy mẫu Fs của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi qua bộ nội suy với hệ số L
sẽ tăng L lần.
Fs,  LFs
 s  2Fs
 ,s  2Fs,  2LFs  2L s

Hoặc chu kỳ lấy mẫu Ts 

1
sẽ giảm đi L lần:
Fs
Ts, 

T
1
1

 s
,
Fs LFs L

1.1.4.3. Biểu diễn phép nội suy trong miền z
Trong miền z, phép nội suy được biểu diễn như sau:

Trang 21

L
X ( z) 
YL ( z)

Trong miền biến số độc lập n ta có:

Khi chuyển qua miền z ta được:
Y L ( z ) 

Đổi biến số, ta đặt m 



y

n  

( n) z  n 
L



n

 x( L ) z

n

n  

n
và n  mL ta có:
L

Y L ( z ) 







 x(m)( z

x(m) z  mL 

m  

L m

)

 X (z L )

m  

1

Vậy: Y L ( z )  X ( z L )

hay

Y L ( z L )  X ( z )

1.1.4.4. Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số
Như ta đã biết biến đổi Fourier chính là biến đổi z trên vòng tròn ( z  e j ) .
Thực hiện biến đổi Fourier ta được:
L
X (e j ) 
YL (e j )

Đánh giá Y L (z ) , X (z ) trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z ta được:
Y L (e j )  Y L ( z ) z e j
X (e j )  X ( z) z e j

Do đó: Y L (e j )  X (e jL )
j



Hay: Y L (e L )  X (e j )

Trang 22


Đây chính là biểu thức toán học biểu diễn phép nội suy trong miền tần số. Tuy
nhiên biểu thức này không cho thấy ý nghĩa về mặt vật lý của phép nội suy. Để thấy
được ý nghĩa vật lý ta xét dạng phổ tín hiệu vào ra. Đồ thị dạng phổ tín hiệu

như trên hình 2.1.8.
Dựa vào đồ thị dạng phổ tín hiệu ta thấy rằng:
-Phép nội suy làm phổ của tín hiệu chính giảm đi L lần
-Phép nội suy đã chèn thêm L-1 ảnh phụ.

Hình 1.1.8: Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số
1.1.5. Bộ lọc nội suy
Cũng giông như bộ phân chia, bộ nội suy cũng không đứng độc lập trong các
hệ thống xử lý tín hiệu mà nó thường được kết hợp với một bộ lọc số. Hệ thống kết
hợp bộ nội suy và bộ lọc số được gọi là bộ lọc nội suy. Sơ đồ của bộ lọc nội suy
như trên hình 2.1.9:

Hình 1.1.9: Bộ lọc nội suy

Trang 23


Ý nghĩa của việc kết hợp
Như phần trên đã nhận xét, thực chất của bộ nội suy là chèn L-1 mẫu biên độ 0
vào giữa các mẫu của tín hiệu vào. Tuy nhiên về mặt tín hiệu, việc thêm các mẫu 0
này đã làm biến dạng tín hiệu vào:
-Trong miền thời gian, không thể hiện được đúng dạng tín hiệu đầu vào
- Trong miền tần số, làm xuất hiện thêm L-1 ảnh phụ.
Việc đặt thêm một bộ lọc số phía sau bộ nội suy có ý nghĩa thực tiễn rất lớn,
Khi chọn bộ lọc số phù hợp thì nó khắc phục được sự biến tín hiệu do bộ nội suy
gây ra:
- Trong miền thời gian, nó có nhiệm vụ nội suy ra các mẫu biên độ 0
- Trong miền tần số nó có nhiệm vụ loại bỏ các ảnh phụ ra khỏi phổ cở bản
1.1.5.1. Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền biến số n

 x ( Ln )
y L (n)  L[ x(n)]   0


n 0,
n

y LH (n)  y L (n)  h(n)  h(n)  y L (n) 





k

 x( L )h(n  k );

 L,  2 L, ...



y

k  

k
L

y LH (n) 

 k  rL


 x(r )h(n  rL)

r  

1.1.5.2. Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền z
Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền z ta được:

Trang 24

( k ) h( n  k )

k  0, L,2 L,...

k  

Đặt r 

L


L
( z)
X ( z) 
YL ( z) H

YH ( z)

Trong đó: Y LH ( z )  X ( z L )
Suy ra: YLH ( z )  YLH ( z ) H ( z )  X ( z L ) H ( z )
Ta xét hai phép lọc nội suy sau:
L
(z )
i)- X ( z) 
YL ( z) H
YLH ( z)
L

( z)
L
ii)- X ( z) H

YH ( z) 
YH L ( z)

Ta có: YH  L ( z )  YH ( z L )  X ( z L ) H ( z L )
Như vậy hai phép lọc trên là tương đương. Do đó sơ đồ thực hiện hai phép lọc
này cũng tương đương:

Hình 1.1.10: Sự đồng nhất của bộ lọc nội suy
1.1.5.3. Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền tần số
Đánh giá X ( z ),

H ( z ),

Y L ( z ),

Y LH ( z ) trên vòng tròn đơn vị trong mặt

phẳng z (thay z  e j ) ta sẽ có được sự biểu diễn phép lọc nội suy trong miền tần số:
j

L
(e )
X (e j ) 
YL (e j ) H
YLH (e j )

Trong đó: X (e j )  X ( z) z e 
j

Y L (e j )  Y L ( z ) z e j
YLH (e j )  YLH ( z) z e j
L
Mà Y L ( z )  X ( z )

Trang 25