de thi cao hoc DHQG

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. M λ∝ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν χ⊇π n (n ≥ 1), τηχ, κη∂ νγη⇒χη.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ M λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν mα τρ⊄ν.
2. C ∈ M χ →⇒νη. Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = C −1 AC λ∝
mτ →∑νγ χ⊇υ νηm. Τ⋅m Im f , Ker f (ηαψ χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ →…νγ χ⊇υ).
3. Χηνγ mινη ρ∝νγ ÷νη ξ≠ f1 : M → R⋆, f1 (A) = |A| λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm. Τ⋅m
Im f1 , Ker f1 .
Χ♥υ ΙΙ. Χηνγ mινη ρ≈νγ C⋆ λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν τη↔νγ τη↑νγ. Ξ∠τ χ÷χ ÷νη ξ≠
f : C⋆ → C⋆, f (α) = α, g : C⋆ → C⋆, g(α) = α λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm, →←ν χ⊇υ, το∝ν
χ⊇υ ηαψ κη↔νγ? Τ⋅m Im f , Ker f .
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ πη∠π βι∏ν →ι τρχ γιαο τρ♠ν κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E λ∝m
τη∝νη mτ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν (πη∠π ηπ τη∝νη), κ ηι√υ G. Γι∂ σ g ∈ G. ♣∅τ
÷νη ξ≠ ϕ : G → G, ϕ(f ) = g −1 f g. Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →…νγ χ⊇υ νηm.
Χ♥υ Ις. C[x] λ∝ ϖ∝νη. ♣∅τ ÷νη ξ≠
ϕ : C [x] → C [x] ,
f (x) → f (x)
(→↑χ ηιυ λ∝ a 0 + a1 x + ... + anxn).
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ R[x] λ∝ ϖ∝νη χον m∝ κη↔νγ ιδεαν.
Χ♥υ ς.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη νηm αβεν →ι ϖι πη∠π
χνγ, κ ηι√υ νηm ν∝ψ λ∝ M .
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = A′ (χηυψν ϖ⇒ χ〉α A) λ∝ →∑νγ
χ⊇υ νηm. Τ⋅m Im f , Ker f .
3. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π M χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη R−κη↔νγ γιαν
ϖ∠χ τ← (ηαψ R−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον χ〉α κη↔νγ γιαν χ÷χ mα τρ⊄ν ϖυ↔νγ χ⊇π n).
4. T λ∝ mα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη (κη↔νγ νη⊇τ τηι∏τ →ι ξνγ). Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠
f : M → M , f (A) = T −1 AT λ∝ →∑νγ χ⊇υ (τχ λ∝ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη).

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τ⋅m η≠νγ χ〉α η√ ϖ∠χ τ← a1 , a2 , a3 ∈ R3 τηεο τηαm σ a
a1 = (1, a, 1) ,
a2 = (1, 1, a) ,
a3 = (a, 1, 1) .
Τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α L = {a1, a2 , a3 } κηι a = −2 ηο∅χ a = 1.
Χ♥υ ΙΙ. Βι∏τ R5 [x] λ∝ κη↔νγ γιαν χ÷χ →α τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν 5. Χηο f (x) = 1 + x 2 +
x3 + x4 . Χηνγ mινη ρ≈νγ (1) ϖ∝ (2) λ∝ χ÷χ χ← σ χ〉α ν
1. 1, x, x2 , x3 , x4 .
2. f (4) (x), f (3) (x), f ′′ (x), f ′ (x), f (x).
Τ⋅m mα τρ⊄ν χηυψν χ← σ (1) σανγ (2). Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) = 34+33x+16x 2+5x3 +x4
τρονγ χ← σ (2).
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρ♠ν κη↔νγ

3 0

1 0
A=
2 −1

γιαν πηχ χ mα τρ⊄ν λ∝

0
1 .
0

χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? Χ τ∑ν τ≠ι πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη νγη⇒χη →∂ο f −1 ? Τ⋅m ϖ∠χ
τ← ρι♠νγ ϖ∝ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ χ〉α f −1 .
Χ♥υ Ις. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν τηχ χ δ≠νγ
A=

a b
2b a

.

ϖι a, b ∈ R λ⊄π τη∝νη ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη Mat(2, R), η〈ι ν χ λ∝ ιδεαν κη↔νγ?


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Τ⊄π S1 χ÷χ σ πηχ χ m↔ →υν β≈νγ 1 λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm νη♥ν χ÷χ σ πηχ
κη÷χ 0.
2. ¸νη ξ≠ f : R → S1 χηο βι f (x) = cos(πx) + i sin(πx) λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡
νηm χνγ χ÷χ σ τηχ R ϖ∝ο S 1 .
Χ♥υ ΙΙ.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ mι κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ V
→υ χ β τυψ∏ν τ⇑νη. Πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α L χ δυψ νη⊇τ κη↔νγ?
2. Τ⋅m σ χηιυ, mτ χ← σ ϖ∝ πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ
γιαν R4 σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (1, −2, −1, 1), u2 = (−1, 3, 0, 2), u3 =
(2, −5, −1, −1), u4 = (2, −4, −2, 2)}.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ




a d 0
A =  d b d .
0 −d c
1. Ν∏υ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη τρονγ κη↔νγ γιαν R 3 χ mα τρ⊄ν →ι ϖι χ←
σ χη⇑νη τχ λ∝ A τη⋅ ϕ χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο?
2. ςι a = 3, b = 4, c = 5 ϖ∝ d = 2 η•ψ τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο
B = QT AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ Ις. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ γι λ∝ λυ λινη β⊄χ p ν∏υ p λ∝ mτ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ
σαο χηο ϕp−1 = 0 ϖ∝ ϕp = 0. Γι∂ σ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ p
τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x λ∝ mτ ϖ∠χ τ← σαο χηο ϕp−1 (x) = 0 τη⋅ η√ ϖ∠χ τ←
x, ϕ (x) , ϕ2 (x) , ..., ϕp−1 (x)
→χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
2. p ≤ n.
3. ϕ χη¬ χ mτ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ λ = 0.
4. Ν∏υ E − A λ∝ mα τρ⊄ν χ〉α πη∠π βι∏ν →ι ϕ →ι ϖι χ← σ ν∝ο → τη⋅ mα τρ⊄ν A
κη∂ νγη⇒χη (E λ∝ mα τρ⊄ν →←ν ϖ⇒).


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π O(n) χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο χ⊇π n λ∝ mτ νηm →ι ϖι πη∠π
νη♥ν mα τρ⊄ν.
2. Χηο Q ∈ O(n), ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : O(n) → O(n) χηο βι f (A) = QT AQ τρονγ →

QT λ∝ χηυψν ϖ⇒ χ〉α Q. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ →…νγ χ⊇υ νηm.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ : R3 → R3 χηο βι
ϕ (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 3x2 + 4x3 , 4x1 − 7x2 + 8x3 , 6x1 − 7x2 + 7x3 ) .
1. Τ⋅m γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α ϕ.
2. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 χ τ∑ν τ≠ι ηαψ κη↔νγ mτ χ← σ σαο χηο →ι ϖι χ← σ
→ mα τρ⊄ν χ〉α ϕ χ δ≠νγ →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} .
1. Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ϖ∝ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α πη∩ν β τρχ
γιαο L⊥.
2. Γι∂ σ x = (4, −1, −3, 4). Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L ϖ∝ ϖ∠χ τ← z ∈ L⊥ σαο χηο x = y+z.
Χ♥υ Ις.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ η

1, x − a, (x − a)2 , ..., (x − a)n−1

ϖι a ∈ R λ∝ mτ χ←

σ χ〉α κη↔νγ γιαν Rn [x] χ÷χ →α τηχ η√ σ τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν n.
2. Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) ∈ Rn [x] →ι ϖι χ← σ →.
Χ♥υ ς.
1. Γι∂ σ f1 , f2 λ∝ χ÷χ δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . Χηνγ mινη
ρ≈νγ ÷νη ξ≠ ϕ : V × V → K χηο βι ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) λ∝ mτ δ≠νγ
σονγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν V . Τ⋅m →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 → ϕ λ∝ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη →ι
ξνγ.
2. Γι∂ σ V λ∝ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ. Χηνγ mινη ρ≈νγ δ≠νγ σονγ
τυψ∏ν τ⇑νη ϕ χ η≠νγ β≈νγ 1 κηι ϖ∝ χη¬ κηι ϕ = 0 ϖ∝ χ ηαι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη f 1 ,
f2 σαο χηο ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) ϖι mι x, y ∈ V .

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη τ⌡ ϖ∝νη K ϖ∝ο ϖ∝νη K ′ , ϖ∝ A λ∝ ϖ∝νη χον χ〉α
ϖ∝νη G. Χηνγ mινη ρ≈νγ h(A) λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K ′ .
2. Τρ♠ν τ⊄π χ÷χ σ νγυψ♠ν Z ξ∠τ ηαι πη∠π το÷ν ξ÷χ →⇒νη βι
a⊕b =a+b−1
a ◦ b = a + b − ab.
Χηνγ mινη ρ≈νγ (Z, ⊕, ◦) λ∝ mτ ϖ∝νη γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g ξ÷χ →⇒νη βι
g(u) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) ϖι u = (x, y, z).
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ ϖ∝ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ∂ κη↔νγ γιαν R 3 σαο χηο →ι ϖι χ← σ → mα τρ⊄ν B χ〉α πη∠π βι∏ν
→ι g χ χ÷χ πη∩ν τ  πη⇑α τρ♠ν →↑νγ χη∠ο χη⇑νη β≈νγ 0. ςι∏τ mα τρ⊄ν B.
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , . . . , un}, ϖ∝ mα τρ⊄ν
G = ((ui, uj ))n×n.
Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , . . . , un} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη κηι ϖ∝ χη¬ κηι det G = 0.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ r τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V
n−χηιυ. Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον
Vr = y τηυχ V : f (x, y) = 0 →ι ϖι mι x τηυχ V

,

Vl = y τηυχ V : f (y, x) = 0 →ι ϖι mι x τηυχ V

.

Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − r.

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηm G ϖ∝ο νηm G ′ , ϖ∝ H λ∝ νηm χον χ〉α νηm
G. Χηνγ mινη ρ≈νγ h(H) λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm G ′.
2. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ f τ⌡ νηm τυψ∏ν τ⇑νη τνγ θυ÷τ GL(n, R) ϖ∝ο νηm νη♥ν R ⋆ χ÷χ σ
τηχ κη÷χ 0 ξ÷χ →⇒νη βι f (A) = det A. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ το∝ν χ⊇υ.
Ξ÷χ →⇒νη νηm χον f (O(n)), ϖι O(n) λ∝ νηm χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Γι∂ σ L λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον p−χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E n−χηιυ.
Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π
L∗ = {x ∈ E : (x, y) = 0, ∀y ∈ L},
λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον (n − p)−χηιυ ϖ∝ E = L

L ⋆.

2. Ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R 4 σινη βι η√ ϖ∠χ τ← u1 =
(1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, −2, 1). Ξ÷χ →⇒νη mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν
χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ∗.
Χ♥υ ΙΙΙ. ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν A χ⊇π n τρ♠ν τρ↑νγ K λ∝ τνγ χ÷χ πη∩ν τ τρ♠ν →↑νγ χη∠ο
χη⇑νη, →↑χ κ ηι√υ λ∝ Tr(A). Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Tr(AB) = Tr(BA).
2. ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν χ〉α mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ πη τηυχ ϖ∝ο ϖι√χ χην
χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν.
Χ♥υ Ις.
1. Η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A = (aij )m×n →↑χ κ ηι√υ λ∝ r(A). Χηνγ mινη ρ≈νγ

r(A + B) ≤ r(A) + r(B).
2. Τ⇑νη r(A) ϖι A = (min{i, j})m×n.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⇑χη χ÷χ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη.
2. Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ νηm f : G → G′ . Χηνγ τ〈 ρ≈νγ ν∏υ G λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν
τη⋅ Im(f ) χ∫νγ λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν.. Χηο mτ ϖ⇑ δ χηνγ τ〈 →ιυ νγ↑χ λ≠ι
νι χηυνγ κη↔νγ →⌠νγ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Γι∂ σ L λ∝ κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R 3 σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{u1 = (2, 3, 5) , u2 = (3, 7, 8) , u3 = (1, −6, 1)} .
ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (7, −1, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον L.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ κη↔νγ γιαν χ÷χ η∝m σ τηχ λι♠ν τχ C (a, b) η√ ϖ∠χ τ←
{1, cos x, cos2 x, ..., cosn x} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ →ι ξνγ



3 2
0
A =  2 4 −2  .
0 −2 5
Τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο Q T AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο. ςι∏τ mα τρ⊄ν →↑νγ
χη∠ο →.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ u λ∝ mτ ϖ∠χ τ← χ〉α κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E.

1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ϖι mι ϖ∠χ τ← x τηυχ E χ τη βιυ διν δυψ νη⊇τ δ↑ι δ≠νγ
x = au + v τρονγ → ϖ∠χ τ← v τρχ γιαο ϖι ϖ∠χ τ← u.
2. Χηο E = R4 , u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1). Τ⇑νη a ϖ∝ v.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ h : G → G ξ÷χ →⇒νη βι h(a) = a −1, ∀a ∈ G.
Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ h λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ mτ νηm Αβεν.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χηο βι η√ πη↑←νγ
τρ⋅νη


2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0
3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0


x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = 0
1. Τ⋅m σ χηιυ ϖ∝ mτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L ⋆ χ〉α κη↔νγ γιαν χον L.
2. Χηο ϖ∠χ τ← x = (7, −4, −1, 2). Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L, z ∈ L⋆ σαο χηο x = y + z.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη g : R4 → R3 →↑χ χηο βι
g((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x1 − 2x2 + x4 , x1 + x3 − x4 , 2x2 + x3 − 2x4 ).
1. Τ⋅m dim Ker g, dim Im g.
2. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← y = (−1, 2, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον
Im g.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ n (τχ λ∝ f n−1 = 0,
f n = 0) τρονγ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x ∈ V : f k(x) = 0 τη⋅ η√ ϖ∠χ τ← {x, f (x), . . . , f k(x)} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.

2. n ≤ dim V .
3. Ν∏υ n = dim V τη⋅ →α τηχ →∅χ τρ↑νγ χ〉α πη∠π βιν →ι f χ δ≠νγ p(λ) =
(−1)nλn.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Γι∂ σ (G, ◦) λ∝ mτ νηm χ ηυ η≠ν πη∩ν τ, →←ν ϖ⇒ e. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι πη∩ν τ a ∈ G τ∑ν τ≠ι σ νγυψ♠ν k ≥ 1 σαο χηο a k = e (σ νγυψ♠ν
δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ χ τ⇑νη χη⊇τ → γι λ∝ χ⊇π χ〉α πη∩ν τ a).
2. Ν∏υ a λ∝ πη∩ν τ χ⊇π n τη⋅ A = {a, a2 , . . . , an} λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm
(G, ◦).
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ



1 a b+c
A =  1 b a + c .
1 c a+b
1. Χηνγ τ〈 mα τρ⊄ν A κη↔νγ κη∂ νγη⇒χη.
2. Τ⇑νη η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A τηεο γι÷ τρ⇒ χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b, c.
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 →↑χ χηο βι
f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z).
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f .
2. Πη∠π βι∏ν →ι f χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν
R3 σαο χηο mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα τρ⊄ν ταm γι÷χ.
Χ♥υ Ις. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R n λ∝ mτ κη↔ν
γιαν χον κηι ϖ∝ χη¬ κηι L λ∝ τ⊄π νγηι√m χ〉α mτ η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ

τρ♠ν R.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Γι∂ σ X λ∝ mτ ϖ∝νη. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι σ νγυψ♠ν n ≥ 0, τ⊄π
nX =

a = nx = x + x + ... + x : x ∈ X
n λ∩ν

λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη X (ϖι θυψ ↑χ 0x = 0).
2. Χ÷χ τ⊄π δ≠νγ nZ ϖι n = 0, 1, 2, ... λ∝ τ⊇τ χ∂ χ÷χ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη σ νγυψ♠ν Z.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Τρονγ κη↔νγ γιαν R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{u1 = (1, a, −1, −2) , u2 = (2, −1, a, 5) , u3 = (1, 10, −6, 1)} .
Τ⇑νη dim L τηεο τηαm σ a.
2. Γι∂ σ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , u2 , ..., un} λ∝ mτ χ← σ χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . ♣∅τ
vk = uk + ... + un ϖι k = 1, 2, ..., n. Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ {v1 , v2 , ..., vn} λ∝
mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν V .
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R 3 →↑χ χηο βι
g((x1 , x2 , x3 )) = (x1 − 3x2 − x3 , −3x1 + x2 + x3 , −x1 + x2 + 5x3 ).
1. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ g λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ.
2. Τ⋅m mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R 3 λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α
g.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ k τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← K n.
Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον

Vr = y ∈ Kn : f (x, y) = 0 →ι ϖι mι x ∈ K n ,
Vl = y ∈ Kn : f (y, x) = 0 →ι ϖι mι x ∈ K n .
Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − k.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : G → G χηο βι f (x) = x 2 ϖι mι x ∈ G.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ τ →∑νγ χ⊇υ χ〉α νηm G κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ νηm
αβεν.
2. Χηο mτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ τ →…νγ χ⊇υ ϖ∝ mτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ mτ τ⌡ →∑νγ
χ⊇υ νηνγ κη↔νγ πη∂ι λ∝ τ →…νγ χ⊇υ.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη h : R4 → R3 ξ÷χ →⇒νη βι: ϖι u = (x 1 , x2 , x3 , x4 ) τη⋅
h (u) = (x1 + ax2 − x3 + 2x4 , 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 , x1 + 10x2 − 6x3 + x4 )
1. Ξ÷χ →⇒νη dim Im h, dim Ker h τηεο τηαm σ a.
2. ςι a = 3, ϖι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α b τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (1, −2, b) τηυχ Im h.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ



1 2 2
A =  2 1 2 .
2 2 1
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. Τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο B = Q T AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο. ςι∏τ mα
τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις.
1. Γι∂ σ F λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ mινη

ρ≈νγ ν∏υ dim F < n τη⋅ τρονγ κη↔νγ γιαν V χ χ← σ {u1 , u2 , .., un} σαο χηο
ui ∈ F , i = 1, 2, .., n.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ →ι ϖι mι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη ϕ τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ ηυ
η≠ν χηιυ E τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ mτ ϖ∠χ τ← u ⋆ ∈ E σαο χηο
ϕ (x) = (u⋆.x) ϖι mι x ∈ E.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη f : K → K ⋆. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ A λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K τη⋅ f (A) λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α K ⋆ .
2. Ν∏υ B λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη K ′ τη⋅ f −1 (B) λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη K.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√m N χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν
νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαm σ a
x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0,
2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0,
x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0.
2. ςι a = 3, τ⋅m χ← σ τρχ γιαο χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο N ⋆ χ〉α N τρονγ κη↔νγ γαιν
ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R4 .
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ



8 −1 −5
1 .
A =  −2 3
4 −1 −1

1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. Τ⋅m mτ mτ mα τρ⊄ν ταm γι÷χ →∑νγ δ≠νγ ϖι mα τρ⊄ν A.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ το∝ν πη↑←νγ ω τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ Rn χηο βι
n

ω (x) =

aij xixj

,

x = (x1 , x2 , .., xn) .

i,j=1

Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ δ≠νγ ω ξ÷χ →⇒νη δ↑←νγ τη⋅ aii > 0 ϖι mι i = 1, 2, .., n.
2. D≠νγ ω ξ÷χ →⇒νη δ↑←νγ κηι ϖ∝ χη¬ κηι τ∑ν τ≠ι mα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη S σαο χηο
(aij )n×n = S T S.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ γιαο χ÷χ ιδεαν χ〉α mτ ϖ∝νη λ∝ mτ ιδεαν.
2. Γι∂ σ S λ∝ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ χ〉α ϖ∝νη K γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒. Χηνγ mινη ρ≈νγ
τ⊄π
n

(S) =

x=
i=1

aisi : si ∈ S, ai ∈ K, i = 1, 2, .., n

λ∝ ιδεαν νη〈 νη⊇τ χηα τ⊄π S.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f : R3 → R3 χηο βι
f ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + ax2 + x3 , 2x1 + ax2 + bx3 , −x1 + (b − 1) x3 )
1. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b τη⋅ f λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ.
2. Τ⋅m dim Im f , dim Ker f ϖι a = b = 1.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ



1 2 2
A =  2 1 2 .
2 2 1

1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.

2. D≠νγ το∝ν πη↑←νγ ω τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R 3 χηο βι
ω (x) =

x1 x2 x3

A

x1 x2 x3

T

,

x=

x1 x2 x3

.

Τ⋅m mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν R 3 λ∝ χ← σ χη⇑νη τχ χ〉α ω. ςι∏τ δ≠νγ
χη⇑νη τχ χ〉α ω τ↑←νγ νγ ϖι χ← σ →.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ E λ∝ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ n−χηιυ.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ {u1 , u2 , .., un} λ∝ mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α E τη⋅ mι ϖ∠χ
τ← x τηυχ E →υ χ τη βιυ διν δ↑ι δ≠νγ
n

(x.ui) ui.

x=
i=1

2. Γι∂ σ L, M λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον χ〉α E ϖ∝ dim L < dim M . Χη↑νγ mινη ρ≈νγ
τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ← u ∈ M , u = 0 σαο χηο (u.y) = 0 ϖι mι y ∈ L.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ 2

Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Ξ∠τ ϖ∝νη →α τηχ R[x] ∪ν x η√ σ τηχ. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι →α τηχ f (x) τηυχ R[x] τ⊄π
f (x) R [x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) ∈ R [x]}
λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη R[x].
2. ♣ι ϖι mι ιδεαν I = {0} χ〉α ϖ∝νη R [x] τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ →α τηχ δ≠νγ χηυ∪ν
p (x) σαο χηο I = p (x) R [x].
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R 4 ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ←
u1 = (1, a, 2, 1)

,

u2 = (1, 1, b, 0)

,

u3 = (1, b, 2, 1) .

1. ςι νηνγ γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b τη⋅ η√ {u 1 , u2 , u3 } →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη,
πη τηυχ τυψ∏ν τ⇑νη.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L ⋆ χ〉α κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√
{u1 , u2 , u3 } ϖι a = b = 1.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 ξ÷χ →⇒νη βι
f ((x, y, z)) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) .
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f , χ〉α f n, n > 0.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν R 3 σαο χηο mα τρ⊄ν B χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα
τρ⊄ν ταm γι÷χ. ςι∏τ mα τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V τηο∂ m•ν →ιυ
κι√ν g(x, x) = ϖι mι x τηυχ V . Χηνγ mινη ρ≈νγ

1. g(x, y) = −g(y, x) ϖι mι x, y τηυχ V .
2. Ν∏υ g κη↔νγ συψ βι∏ν τη⋅ mι ϖ∠χ τ← u τηυχ V , v = {0}, λυ↔ν λυ↔ν τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ←
v τηυχ V σαο χηο g(u, v) = 1.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2007 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) γι λ∝ χ χ⊇π ηυ η≠ν p ν∏υ p λ∝ σ νγυψ♠ν
δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ σαο χηο a p = e. Γι∂ σ G λ∝ mτ τ⊄π ηπ ηυ η≠ν χ n πη∩ν τ. Χηνγ
mινη ρ≈νγ
1. Μι πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) →υ χ χ⊇π ηυ η≠ν.
2. ςι mι a, b τηυχ νηm (G, ◦, e) χ÷χ πη∩ν τ a ◦ b ϖ∝ b ◦ a χ χ⊇π β≈νγ νηαυ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√m N 0 χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν
νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαm σ τηχ a
x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0,
2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0,
x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0.
2. Χηο a = 3, τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α N0 τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R4 .
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f χηο βι
f ((x1 , x2 , x3 )) = (3x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 − 2x3 , −2x2 + 5x3 ) .
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ.
2. Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχιλδ R 3 λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f ϖ∝
χηο βι∏τ mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ →.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ συψ βι∏ν g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ
V . Γι∂ σ ρ≈νγ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g1 τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον r−χηιυ F χηο βι
g1 (x, y) = g(x, ) ϖι mι x, y τηυχ F λ∝ mτ δ≠νγ κη↔νγ συψ βι∏ν. Ξ∠τ τ⊄π
F ⋆ = {x ∈ V : g (x, y) = 0 ϖι mι y ∈ F } .

Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. F ⋆ λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ F ⋆ ∩ F = {0}.
2. V = F ⊕ F ⋆.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m σ mτ βι∏ν σ λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] τη⋅ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν
→.
√
1 − cos x
2. Χηο η∝m σ f (x) =
. Η•ψ ξ∠τ σ λι♠ν τχ →υ χ〉α ν τρ♠ν χ÷χ τ⊄π δ↑ι
x
→♥ψ:
(α) Τρ♠ν (0, 1).
(β) Τρ♠ν (−1, 0).
(χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1).
Χ♥υ ΙΙ.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ mτ δ•ψ σ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ σ χον ηι τ τη⋅ ν χ∫νγ λ∝
mτ δ•ψ ηι τ.
2. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ δ•ψ σ {xn} ϖι
1
1
xn = 1 + + · · · + − ln(n) ,
2
n

λ∝ mτ δ•ψ ηι τ.

n≥1

Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α mιν ν≈m τρονγ m∅τ πη…νγ το≠ → xOy →↑χ γιι η≠ν βι τρχ
ηο∝νη ϖ∝ mτ νη⇒π χψχλοιδ
x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)

(0 ≤ t < 2π, a > 0).

2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

0

(x + 1)α sin x
(x − 1)β

dx,

τρονγ → α, β λ∝ χ÷χ τηαm σ.
Χ♥υ Ις.
1. Χηο χηυι η∝m

+∞

enx

n=1

1 + n2

.

(α) Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m.
(β) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α τνγ χηυι η∝m τρονγ mιν ηι τ.
2. Χηο f (x) λ∝ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, +∞). ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ
1
1
2
n
fn(x) =
f (x + ) + f (x + ) + · · · + f (x + ) .
n
n
n
n
Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f n(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ (χ⇓ν γι λ∝ τι♠υ
χηυ∪ν Χαυχηψ).
2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {xn} τρονγ →

xn = sin 1 + sin

1
1
+
...
+
sin
.
12
n2

Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν
mτ →ο≠ν.
2. Χηο f (x) λι♠ν τχ τρ♠ν [0, +∞). Βι∏τ ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι γιι η≠ν ηυ η≠ν χ〉α f (x) κηι
x → +∞. Χηνγ mινη ρ≈νγ f (x) λι♠ν τχ →υ τρ♠ν [0, +∞).
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m
+∞

n=1

nx
1 + n 3 x2

τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞).

2. Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ
+∞

2

e−n x.

S (x) =
n=0

Χ♥υ Ις.
(x2 + y 2 ) dxdy ϖι D = {(x, y) ∈ R2 : x4 + y 4

1. Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν

1}.

D

2. Χηο f (x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f ′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (a, b). Χηνγ mινη
ρ≈νγ ν∏υ f ′(x) = 0 ϖι ∀x ∈ (a, b) τη⋅ f (x) →←ν →ι√υ τρ♠ν κηο∂νγ (a, b).
Χ♥υ ς.
1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν
+∞

sin2 2x
dx.
x

0

2. Βι∏τ ρ≈νγ f (x) κη∂ ϖι λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ f (a) − f (b) = 0. Χηνγ mινη
ρ≈νγ

b
′

max |f (x)|

a x b

4
(b − a)2

|f (x)| dx.
a


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Wειρεστρασσ ϖ γιι η≠ν χ〉α δ•ψ σ.
2. Γι∂ σ a0 λ∝ σ τηχ τηο∂ m•ν 0
θυψ τχ
a1 = a0

,

a2n =

1
2

1 ϖ∝ {an} λ∝ δ•ψ σ τηχ ξ÷χ →⇒νη τηεο

a0

a2n−1

a2n+1 =

,

1
2

(1 + a2n)

Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ {a n} χη¬ χ 2 γιι η≠ν ρι♠νγ λ∝

1
3

,

n

1

ϖ∝ 23 .

Χ♥υ ΙΙ.

1. Πη÷τ βιυ →⇒νη λ Χαυχηψ ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α τη↑←νγ ηαι η∝m κη∂ ϖι.
2. Χηο f (x) = x2 + x, g (x) = x3 . Η〈ι χ τη ÷π δνγ →↑χ →⇒νη λ Χαυχηψ τρ♠ν
[−1, 1] χηο τη↑←νγ ηαι η∝m ν∝ψ κη↔νγ? Τ⋅m σ c →
f (1) − f (−1)
f ′ (c)
= ′
.
g (1) − g (−1)
g (c)
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηο η∝m 2 βι∏ν
f (x, y) =


 √ xy

x2 +y2



ν∏υ (x, y) = (0, 0) ,
ν∏υ (x, y) = (0, 0) .

0

Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ mτ λ♥ν χ⊄ν χ〉α →ιm (0, 0) η∝m f λι♠ν τχ ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝m
ρι♠νγ γιι νι νη↑νγ f κη↔νγ κη∂ ϖι τ≠ι →ιm (0, 0).
Χ♥υ Ις.
1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

sin2 2x
x

dx.

0

2. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m

+∞

x2 e−nx, 0

x < +∞.

n=0

Χ♥υ ς. Χηνγ mινη ρ≈νγ → δ∝ι l χ〉α →↑νγ ελιπ
π (a + b)

l

π

x2
a2

+

y2

b2

= 1 τηο∂ m•ν β⊇τ →…νγ τηχ

2 (a2 + b2 ).


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ δ•ψ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ χον ηι τ τη⋅ δ•ψ → χ∫νγ ηι τ.
Χ♥υ ΙΙ. Χηο f (x) λ∝ η∝m σ ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f ′(x), f ′′(x) τρ♠ν
κηο∂νγ (−∞, 0). Η•ψ ξ÷χ →⇒νη χ÷χ η≈νγ σ a, b, c → η∝m σ
f (x)
ax + bx + c

F (x) =

2

ϖι x 0,
ϖι x > 0,

χ →≠ο η∝m F ′(x), F ′′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞).
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ η∝m σ f (x, y) λι♠ν τχ τηεο τ⌡νγ βι∏ν x ϖ∝ y τρονγ
mιν D, →←ν →ι√υ τηεο mτ τρονγ ηαι βι∏ν → τη⋅ ν λι♠ν τχ τηεο ηαι βι∏ν (x, y) τρονγ
D.

Χ♥υ Ις.
1. Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι λυ τη⌡α
+∞

n=1

4n + (−3)

n

n

2. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α δ•ψ η∝m fn (x) = n

(x − 1)n.
√
n
x − 1 τρ♠ν →ο≠ν [1, 2].

Χ♥υ ς. Χηο f (x) λ∝ η∝m σ κη∂ ϖι τρ♠ν →ο≠ν [0, 1] ϖ∝ τηο∂ m•ν →ιυ κι√ν f ′(0)f ′(1) <
0. Χηνγ mινη ρ≈νγ f (x) →≠τ χ⊄ν τρ♠ν →⌠νγ ηο∅χ χ⊄ν δ↑ι →⌠νγ τ≠ι mτ →ιm τρονγ
κηο∂νγ (0, 1).


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν

mτ →ο≠ν.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ η∝m σ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν κηο∂νγ ηυ η≠ν (a, b) τη⋅ χ τη
β συνγ γι÷ τρ⇒ η∝m τ≠ι ηαι →∩υ m⌠τ → τρ τη∝νη η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν [a, b].
Χ♥υ ΙΙ. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ τ⇑χη χ〉α η∝m γιι η≠ν χ〉α mτ δ•ψ
η∝m ϖ∝ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν δ↑ι δ⊇υ τ⇑χη πη♥ν.
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Τ⇑νη

1 − (cos x)sin x
lim √
.
x→ 0
1 + x3 − 1

2. Τ⋅m χχ τρ⇒ χ〉α η∝m σ u = xyz ϖι →ιυ κι√ν x 2 + y 2 + z 2 = 3 τρονγ mιν
x > 0, y > 0, z > 0.
Χ♥υ Ις.
1. Τ⋅m mιν ηι τ ϖ∝ ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m
∞

(−1)n
n=1

1
n + 1 − sin 2x

2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
∞

0

xα sin 2x
1 + x2

dx

τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ.
Χ♥υ ς. Χηο δ•ψ σ {an}. Βι∏τ lim a2k = α, lim a2k+1 = β; α, β λ∝ ηαι σ ηυ η≠ν.
k→ ∞

Τ⋅m liman, liman.

k→ ∞


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν τ⌡νγ σ η≠νγ
χ〉α mτ χηυι η∝m.
2. Χηο χηυι η∝m

+ ∞

n=

n2

x2

x2 + n 2
1

+

n2

(−1)n
n

.

Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α τνγ χηυι η∝m → τρ♠ν
mιν ηι τ χ〉α ν.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Λαγρανγε ϖ η∝m κη∂ ϖι.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ η∝m κη∂ ϖι τρ♠ν κηο∂νγ ηυ η≠ν (a, b) ϖ∝ κη↔νγ γιι νι
τρ♠ν κηο∂νγ → τη⋅ →≠ο η∝m χ〉α ν χ∫νγ κη↔νγ γιι νι τρ♠ν κηο∂νγ →.
3. Τ⇑νη
lim

x→0

√
√
cos x − 3 cos x
x2

.

Χ♥υ ΙΙΙ. Χηο η∝m σ
f (x, y) =


(x2 + y 2 ) sin

1
x2

+ y2

ν∏υ x2 + y 2 = 0.

0



ν∏υ x2 + y 2 = 0,

1. Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m σ χ →≠ο η∝m ρι♠νγ τ≠ι mι →ιm νη↑νγ χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ
ν∝ψ κη↔νγ λι♠ν τχ τ≠ι →ιm (0, 0).
2. Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ τ≠ι (0, 0).
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞ √

x ln2 x

1 + xα

dx

0

τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ.
Χ♥υ ς. Χηο f λ∝ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, ∞). ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ
fn(x) =

1
n

f (x +

1
n

) + f (x +

2
n

) + · · · + f (x +

n
n

) .

Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f n(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ.

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Χαντορ ϖ δ•ψ →ο≠ν λ∑νγ νηαυ τητ λ≠ι τρ♠ν R.
2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {an} ϖι
an =

sin 1 − sin 2
1

+

sin 2 − sin 3
2

+ ··· +

sin n − sin(n + 1)
n

.

Χ♥υ ΙΙ.
1. Τ⇑νη

(1 + x)x − 1

x→0
x2
lim

2. Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ
f (x, y) =







x4 y 2
+
0

x4

ν∏υ x2 + y 2 > 0,

y4

ν∏υ x = y = 0.

Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν χ〉α mτ χηυι
η∝m.
+∞

+∞

Un(x) =

lim

x→x0

lim Un(x).

x→x0

n=1

n=1

2. Χηο χηυι η∝m

+∞

S(x) =
n=1

1
(n − x)2

.

Τ⋅m mιν τ∑ν τ≠ι χ〉α S(x) ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α S(x) τρ♠ν mιν →.
Χ♥υ Ις.

1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

ln2 x
xα

dx

1

τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ f (x) λ∝ η∝m κη∂ ϖι τρ♠ν (a, +∞) ϖ∝ lim f ′(x) = 0 τη⋅
x→+∞

lim

x→+∞

f (x)
x

= 0.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 →τ 2
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Ρολλε ϖ η∝m κη∂ ϖι.

2. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ mτ η∝m λι♠ν τχ y = y(x), x ∈ (−∞, +∞)
τηο∂ m•ν πη↑←νγ τρ⋅νη y = x + ε sin y, 0 ≤ ε < 1.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Wειερστρασσ ϖ γιι η≠ν δ•ψ σ.
2. Τ⋅m

1

lim n

n2 + 1

n→+∞

Χ♥υ ΙΙΙ. Χηο χηυι η∝m

+

+∞

n=1

1
n2 + 22

x
n (1 + nx2 )

+ ... +

1
n2 + n2

.

.

1. Ξ÷χ →⇒νη mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m.
2. Ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α χηυι η∝m τρονγ mιν ηι τ χ〉α ν.
Χ♥υ Ις.
1. ¸π δνγ τ⇑χη πη♥ν ηαι λπ τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α η⋅νη γιι η≠ν βι χ÷χ →↑νγ χονγ
xy = a2 , xy = 2a2 , y = αx, y = βx τρονγ → 0 < α < β.
2. Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν
x2 + y 2 dxdydz
V

τρονγ → V λ∝ mιν γιι η≠ν βι χ÷χ m∅τ z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 + z 2 = 2az,
a > 0.
Χ♥υ ς. Χηο η∝m g(x) ξ÷χ →⇒νη τρ♠ν κηο∂νγ [0, +∞) →←ν →ι√υ δ∩ν ϖ 0 κηι x → +∞.
Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ τ⇑χη πη♥ν
+∞

+∞

g (x) sin xdx ϖ∝
2

0

χνγ ηι τ ηο∅χ χνγ πη♥ν κ.

g (x) dx
0


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 →τ 2
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν χ γι÷ τρ⇒ ηαι →∩υ
m⌠τ →ο≠ν → τρ÷ι δ⊇υ νηαυ τη⋅ →∑ τη⇒ χ〉α ν σ∉ χτ τρχ ηο∝νη.
2. Τ⋅m τηαm σ a → η∝m σ

λι♠ν τχ τρ♠ν

1
,1
2

.


2
 sin πx
f (x) = sin πx3

a

1

ν∏υ x ∈

2
ν∏υ x = 1,

,1 ,

Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m γιι η≠ν χ〉α mτ δ•ψ
η∝m.
2. Χηο χηυι η∝m

+∞

f (x) =
n=1

|x|

n 2 + x2

.

Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α η∝m f ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α ν τρ♠ν mιν →.
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ
−

e

0

f (x, y) =

1
x 2 +y 2

2. Τ⇑νη

ν∏υ x2 + y 2 > 0,
ν∏υ x2 + y 2 = 0.

x
0

lim
x→+∞

arctg2 xdx
√
.
x2 + 1

Χ♥υ Ις.
1. Τ⋅m χ÷χ γιι η≠ν ρι♠νγ χ〉α δ•ψ σ {a n} ϖι
an =

1+

1

n

n

1
2

+ (−1)n sin

nπ
2

.

2. Γι∂ σ f λ∝ η∝m κη∂ ϖι ηαι λ∩ν τρ♠ν [1, +∞) ϖ∝ f (1) > 0, f ′(1) < 0 χ⇓ν
f ′′(x) ≤ 0, ∀x > 1. Χηνγ mινη ρ≈νγ πη↑←νγ τρ⋅νη f (x) = 0 χ δυψ νη⊇τ
νγηι√m τηυχ [1, +∞).


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. ♣⇒νη νγη⇐α τνγ Dαρβουξ τηεο mτ πη♥ν ηο≠χη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] χ〉α mτ η∝m ξ÷χ
→⇒νη τρ♠ν →. Τ⌡ → πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 →
mτ η∝m κη∂ τ⇑χη τρ♠ν [a, b].
b

2. Χηο f λ∝ mτ η∝m κη∂ τ⇑χη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝

f (x) dx > 0. Χηνγ mινη ρ≈νγ
a

τ∑ν τ≠ι mτ →ο≠ν [α, β] ⊂ [a, b] σαο χηο f (x) > 0, ∀x ∈ [α, β].
Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν ϖ∝ γι÷ τρ⇒
χ〉α η∝m σ τ≠ι ηαι →∩υ m⌠τ χ〉α →ο≠ν → τρ÷ι δ⊇υ νηαυ τη⋅ →∑ τη⇒ η∝m σ λυ↔ν χτ
τρχ ηο∝νη.
2. Τ⋅m χχ τρ⇒ χ〉α η∝m σ u = xy 2 z 3 ϖι →ιυ κι√ν x + 2y + 3z = 6, x > 0, y > 0,
z > 0.
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Χηο χηυι η∝m

+∞

n=2

xn−1
(1 − xn) (1 − xn+1 )

.

(α) Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m.
(β) Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρ♠ν →ο≠ν [−a, a] τρονγ → a λ∝ τηαm σ τηο∂
m•ν 0 < a < 1.
2. Ξ∠τ σ ηι τ τυψ√τ →ι ϖ∝ β÷ν ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

a

sin x
(x − a) (x − b)

Χ♥υ Ις. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ χηυι σ

+∞

dx ϖι b > a > 0.

an ηι τ τυψ√τ →ι τη⋅ χηυι σ

+∞

an χη¬ β÷ν ηι τ τη⋅ χ τη νι

n=1

ηαψ κη↔νγ? Ν∏υ κη↔νγ →⌠νγ τη⋅ η•ψ χηο mτ ϖ⇑ δ.

a3n χ∫νγ

n=1

n=1

ηι τ τυψ√τ →ι. Ν∏υ

+∞

+∞
n=1

a3n ηι τ τυψ√τ →ι →↑χ