Phương trình Hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến
Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình
làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán Giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ,
động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả
học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Huy Hoàng


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Huy Hoàng


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Không gian S(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Biến đổi Fourier trên S(Rn ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Biến đổi Fourier trên L2 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2. Không gian H s (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Toán tử Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính . . . .

15

1.4.1. Toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.3. Toán tử liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.4. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng .

17

1.4.5. Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.6. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5. Toán tử elliptic và hypoelliptic với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6. So sánh các toán tử hypoelliptic với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . .

21

1


Chương 2. Lớp toán tử hypoelliptic hình thức tuyến tính với
hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1. Khái niệm toán tử hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến
thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Độ trơn của nghiệm yếu phương trình hypoelliptic hình thức với
hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Sự tồn tại nghiệm yếu địa phương của phương trình hypoelliptic
hình thức với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tế, nhiều phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có các
hệ số biến thiên. Mặt khác, các nghiệm của phương trình này thường là
các nghiệm yếu, tức là các hàm không có tính khả vi. Vấn đề được đặt
ra là đối với các lớp phương trình nào với hệ số biến thiên thì sẽ tồn
tại nghiệm yếu và các nghiệm yếu này sẽ trở thành các nghiệm cổ điển,
thậm chí là khả vi vô hạn. Người ta phát hiện ra rằng các toán tử tương
ứng của các phương trình có tính chất này sẽ là các toán tử hypoelliptic
hình thức mà trường hợp riêng là các toán tử elliptic.
Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là

“Phương trình hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến
thiên”.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 3 của cuốn sách
chuyên khảo [3].

2. Mục đích nghiên cứu
Mô tả lý thuyết về sự tồn tại và lý thuyết về độ trơn của nghiệm yếu
đối với các lớp phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng với hệ số
biến thiên.
- Lớp toán tử đạo hàm riêng hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ
số biến thiên.
- Độ trơn của nghiệm yếu của phương trình hypoelliptic hình thức
tuyến tính với hệ số biến thiên.
- Sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình hypoelliptic hình thức tuyến
tính với hệ số biến thiên.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Sự tồn tại và độ trơn của nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn
bị như: không gian S(Rn ), biến đổi Fourier trên S(Rn ), biến đổi Fourier
trên L2 (Rn ), toán tử Friedrichs, khái niệm nghiệm yếu của phương trình
đạo hàm riêng, toán tử hypoelliptic với hệ số hằng, so sánh các toán tử
hypoelliptic với hệ số hằng. Chương 2 là nội dung chính của luận văn,
trong đó trình bày khái niệm toán tử hypoelliptic hình thức tuyến tính
với hệ số biến thiên, độ trơn của nghiệm yếu phương trình hypoelliptic

hình thức với hệ số biến thiên, sự tồn tại nghiệm yếu địa phương của
phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên.

4


5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về sự tồn tại độ trơn của nghiệm yếu
đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hypoelliptic hình thức
với hệ số biến thiên.

6. Những đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về lý thuyết độ trơn và sự tồn tại nghiệm yếu đối với
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hypoelliptic hình thức với hệ số
biến thiên.

5


Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ
1.1. Biến đổi Fourier
1.1.1. Không gian S(Rn )
Ký hiệu S là tập hợp tất cả các hàm u(x) ∈ C ∞ (Rn ) sao cho với mọi
k và α ta có
1 + |x|2

k

|Dα u(x)| ≤ Ck,α

(1.1)

trong đó Ck,α chỉ phụ thuộc vào k và α, với α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈
Nn , x = (x1 , x2 , ..., xn ), D = (D1 , D2 , ..., Dn ) , Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn , Dj =
∂
.
−i
∂xj
Sự hội tụ trong S được định nghĩa như sau: một dãy {um (x)}∞
m=1 ⊂ S
được gọi là hội tụ đến hàm u(x) nếu dãy (1 + |x|2 )k Dα um (x)

∞

hội
m=1

tụ đều trong Rn đến (1 + |x|2 )k Dα u(x) khi m → ∞. Khi đó S được gọi
là không gian Schwarz.
1.1.2. Biến đổi Fourier trên S(Rn )
Nếu u(x) ∈ S, thì
e−ixξ u(x)dx,

F u(ξ) = uˆ(ξ) =
Rn

6

(1.2)


được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm u(x), ở đây ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), xξ =
n

xj ξj . Người ta còn dùng ký hiệu Fx→ξ u để chỉ rõ phép biến đổi Fourier
j=1

chuyển biến x thành biến ξ.
Các tính chất:
1. Nếu u(x) ∈ S thì uˆ(x) ∈ S.
2. Dα u = ξ α uˆ(ξ), với ξ α = ξ1α1 ξ2α2 ...ξnαn .
3. Dξα uˆ(ξ) = xα u(x)(ξ).
4. Với mỗi hàm u(x) ∈ S có công thức nghịch đảo
u(x) = (2π)−n

uˆ(ξ)eixξ dξ.

(1.3)

Rn

5. Đẳng thức Parseval: với mọi u, v ∈ S ta có công thức
u(x)v(x)dx = (2π)−n

uˆ(ξ)ˆ
v (ξ)dξ,

(1.4)

|ˆ
u(ξ)|2 dξ.

(1.5)

Rn

Rn

|u(x)|2 dx = (2π)−n
Rn

Rn

Ta đi chứng minh các tính chất.
• Chứng minh Tính chất 1
Đối với mỗi α ta có
Dξα uˆ(ξ) =

(−ix)α u(x)e−ixξ dx.

Bởi vì:
|ξ|2k Dξα uˆ(ξ) =

(−ix)α u(x)(−∆x )k e−ixξ dx.
7


Mặt khác:

(−ix)α u(x)(−∆x )k e−ixξ dx =

(−∆x )k [(−ix)α u(x)]e−ixξ dx,

∂ 2 /∂x2j , nên |x|2k |Dxα u| ≤ Ck,α .

trong đó ∆x =

Suy ra uˆ(ξ) ∈ S. Tính chất 1 được chứng minh.
• Chứng minh Tính chất 4
Trước tiên ta đi chứng minh cho n = 1. Ta có


+∞
+∞ +∞
uˆ(ξ)eixξ dξ =
−∞

u(t)e−itξ dt eixξ dξ



−∞ −∞
+∞
+N

=

ei(x−t)ξ u(t)dtdξ

lim

−∞

N →∞
−N
+∞
iN (x−t)

− e−iN (x−t)
u(t)dt
i(x − t)

e

= lim

N →∞
−∞
+∞

= 2 lim

N →∞
−∞

sin N (x − t)
u(t)dt.
(x − t)

(1.6)

Đặt t = x + τ /N. Khi đó
+∞

+∞

uˆ(ξ)eixξ dξ = 2 lim

N →∞
−∞

−∞

sin τ
τ
u(x + )dτ.
τ
N

(1.7)

Ta cần chứng minh điều khẳng định sau:
+∞

sin τ
τ
u x+
N →∞ τ
N

lim

− u(x) dτ = 0

(1.8)

−∞

với mọi x. Ký hiệu
+∞

sin τ
τ
u x+
dτ.
τ
N

J(R, N ) =
−∞

8

(1.9)


Sử dụng công thức tích phân từng phần vào vế phải của (1.9) ta nhận
được
J(R, N ) = J1 + J2 ,
trong đó

(1.10)

∞

R
sin t
J1 = u x +
dt,
N
t
R


∞
∞
1
 sin t dt u x + τ dτ.
J2 =
N
t
N
τ

R

Số hạng đầu tiên của J1 dần đến 0 khi R → ∞ do u(x) bị chặn. Nếu R
cho đủ lớn thì

∞

sint
dt ≤ ε, τ > R.
t

(1.11)

τ

Do đó,
∞

ε
|J2 | ≤
N

+∞

τ
u x+
N

dτ ≤ ε

|u (x + z)| dz → 0

(1.12)

−∞

R

khi ε → 0. Điều này có được do hàm u khả tích trên R.
Từ (1.10),(1.11) và (1.12) suy ra J(R, N ) → 0, R → ∞, đều đối với N.
Nếu R đủ lớn thì
∞

τ
sin τ
u x+
τ
N

− u(x) dτ

R
−R

τ
sin τ
u x+
τ
N

+
−∞

9

− u(x) dτ < ε/2.

Mặt khác, do u(x) là hàm liên tục, nên với R cố định ta có
R

lim

N →∞
−R

τ
sin τ
u x+
τ
N

− u(x) dτ = 0.

(1.13)

Từ đây ta nhận được: với ε > 0, tồn tại một số R đủ lớn để khi cố
định R, sẽ tồn tại một số N0 sao cho với mọi N ≥ N0
+∞

sin τ
τ
u x+
τ
N

− u(x) dτ ≤

−∞
−R

+∞

sin τ
τ
u x+
τ
N

sin τ
τ
u x+
τ
N

− u(x) dτ +

− u(x) dτ

−∞

R
R

sin τ
τ

u x+
τ
N

+

− u(x) dτ < ε.

−R

Như vậy (1.8) đã được chứng minh. Từ (1.7) và (1.8) suy ra
+∞

1
2π

+∞

1
uˆ(ξ)eixξ dx = lim
π N →∞
−∞

sin τ
τ
u x+
τ
N

− u(x) dτ

−∞
+∞

sin τ
dτ.
τ

u(x)
+
π
−∞

Do đó,
+∞

1
2π

uˆ(ξ)eixξ dx = u(x).

(1.14)

−∞

Định lý được chứng minh với n = 1. Nhờ phương pháp quy nạp theo n,
ta có thể chứng minh khi n > 1.

10

1.1.3. Biến đổi Fourier trên L2 (Rn )
Nhờ đẳng thức Parseval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từ
không gian Schwarz S = S(Rn ) đến một không gian rộng hơn L2 (Rn ).
Giả sử u(x) ∈ L2 (Rn ). Do S(Rn ) trù mật trong L2 (Rn ) nên tồn tại một
n
dãy {uj (x)}∞
j=1 ⊂ S(R ) sao cho

uj (x) − u(x)

L2 (Rn )

→0

2
n
khj j → ∞. Từ đó dãy {uj (x)}∞
j=1 là dãy Cauchy trong L (R ). Từ đây

và do đẳng thức Parseval suy ra dãy {ˆ
uj (ξ)}∞
j=1 cũng là dãy Cauchy
trong L2 (Rn ). Do L2 (Rn ) là đầy đủ nên {ˆ
uj (ξ)}∞
j=1 hội tụ đến một hàm
nào đó mà ta ký hiệu là F [u] và gọi nó là phép biến đổi Fourier của hàm
u(x) trong không gian L2 (Rn ).
Trong không gian L2 (Rn ) ta vẫn có các công thức (1.3), (1.4), (1.5).

1.2. Không gian H s(Rn)
1.2.1. Định nghĩa
Với s là một số thực bất kỳ, H s (Rn ) là không gian làm đầy của S(Rn )
trong chuẩn:

u

2
Hs

(1 + |ξ|)2s |ˆ
u(ξ)|2 dξ.

=
Rn

11


1.2.2. Định lý nhúng
n
. Khi đó không gian H s (Rn ) được nhúng
2
k
n
liên tục vào không gian C (R ), trong đó C k (Rn ) là không gian các hàm

Định lý 1.1. Giả sử s − k >

có đạo hàm liên tục và bị chặn đến cấp k trên Rn .

1.3. Toán tử Friedrichs
Đặt
j(x) =



a exp

|x|2 − 1



ở đây a =

, |x| < 1,
|x| ≥ 1

0,

|x|2 − 1

exp

−1

−1

−1

dx

.

|x|<1

Ta chọn giá trị của a như trên để

j(x)dx = 1.

Chú ý rằng j(x) ∈ C0∞ (Rn ). Với ε > 0, đặt jε (x) = e−n j( xε ).
Khi đó với mỗi ε > 0, ta có
jε (x) ≥ 0 trong Rn

(1.15)

jε (x) = 0 với |x| ≥ ε

(1.16)

jε (x)dx = 1.

(1.17)

Với u ∈ L2 (Rn ), ta đặt
Jε u(x) =

u(y)jε (x − y)dy =

u(x − z)jε (z)dz.

(1.18)

Định lý 1.2. Với u ∈ L2 (Rn ) ta có
Jε u ≤ u ,

(1.19)

Jε u − u → 0 khi ε → 0.

(1.20)

12


Chứng minh. Theo phương trình (1.18) và bất đẳng thức Schwarz ta
có
|Jε u|2 ≤

|u (x − z)|2 jε (z)dz

jε (x)dx .

Do vậy
|Jε u|2 dx ≤

jε (z)

|u(x − z)|2 dxdz

≤

jε (z)

|u(x)|2 dx

2

= u

.

Để chứng minh (1.20) trước tiên ta giả sử u là liên tục. Theo phương
trình (1.17) ta có
Jε u − u =

jε (z) [u(x − z) − u(x)] dz.

Do đó
|Jε u − u|2 ≤

jε (z) |u(x − z) − u(x)|2 dz

và
|Jε u − u|2 dx ≤

jε (z) |u(x − z) − u(x)|2 dxdz

≤ sup

|u(x − z) − u(x)|2 dx.

|z|<ε

Giả sử ρ > 0 cho trước và lấy R đủ lớn sao cho
ρ
|u(x)|2 dx < .
8
|x|>R

Khi đó với |z| < R, ta có
ρ
|u(x)|2 dx < .
8

|u(x − z)|2 dx ≤
|x|>2R

|x|>R

13


Vì u là liên tục nên lấy ε đủ nhỏ ta có
max
|z|≤ε

ρ
|u(x − z) − u(x)|2 dx < .
2

|x|<2R

Kết hợp các bất đẳng thức trên, với ε đủ nhỏ ta được:
|Jε u − u|2 dx < ρ.
Điều này chứng minh (1.20)với u liên tục. Nếu u không liên tục ta có
ρ
thể tìm một hàm liên tục w ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn u − w < .
3
Do vậy
Jε u − u ≤ Jε (u − w) + Jε w − w + w − u
≤ 2 u − w + Jε w − w .
Theo những điều đã chứng minh, lấy ε đủ nhỏ ta có
ρ
Jε w − w < .
3
Định lý được chứng minh.
Jε u được gọi là toán tử làm trơn. Jε u có một số tính chất sau:
Jε u ∈ C ∞ (Rn ), ∀u ∈ L2 (Rn )

(1.21)

(Jε u, v) = (u, Jε v), ∀u, v ∈ L2 (Rn )

(1.22)

Dk Jε v = Jε Dk v, ∀v ∈ C ∞ (Rn ), 1 ≤ k ≤ n.

(1.23)

¯ 1 ⊂ Ω2 .
Bổ đề 1.1. Giả sử Ω1 và Ω2 là các miền bị chặn trên Rn sao cho Ω
Giả sử u là một hàm liên tục thuộc Ω2 . Khi đó, tồn tại một dãy {vk }
các hàm thuộc C ∞ (Ω2 ) hội tụ đều tới u thuộc Ω1 .
14


¯ 2 . Giả sử uˆ
Chứng minh. Thu nhỏ một ít Ω2 ta giả sử u liên tục trên Ω
là hàm bằng u trên Ω2 và bằng 0 bên ngoài Ω2 . Ta có u là hàm liên tục
đều trên Ω2 . Do đó, nếu η > 0 cho trước thì tồn tại δ > 0 sao cho
|u(x − z) − u(x)| < η, với |z| < δ.
¯ 1 tới biên của Ω2 . Khi đó, nếu ε <
Giả sử d > 0 là khoảng cách từ Ω
min(δ, d), ta có
|Jε uˆ − u(x)| ≤
<η

jε (z) |u(x − z) − u(x)| dx
jε (z)dz

= η, x ∈ Ω1 .
Suy ra Jε uˆ hội tụ đều tới u thuộc Ω1 . Vì Jε uˆ ∈ C ∞ (Rn ) nên ta có điều
cần chứng minh.

1.4. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính
1.4.1. Toán tử vi phân
Toán tử A được gọi là toán tử vi phân nếu:
A=

aµ (x)Dµ ,

(1.24)

|µ|≤m

trong đó aµ (x) ∈ C ∞ (Ω) là các hàm số cho trước nhận giá trị phức,
µ = (µ1 , µ2 , ..., µn ) ∈ Nn , |µ| = µ1 + µ2 + · · · + µn ,
∂
. Với mọi hàm u1 , u2 và mọi số thực
và Dµ = D1µ1 D2µ2 ...Dnµn , Dj = −i
∂xj
15


α1 , α2 ta có:
A(α1 u1 + α2 u2 ) = α1 Au1 + α2 Au2 . Khi đó A là toán tử vi phân tuyến
tính.
1.4.2. Công thức tích phân từng phần
Giả sử Ω là một tập mở bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn.
Với x ∈ ∂Ω, ký hiệu γ = (γ1 , γ2 , ..., γn ) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị
¯ thì
tại x ∈ ∂Ω. Nếu f ∈ C 1 (Ω),
∂u
dx =
∂xk

uγk dσ, 1 ≤ k ≤ n

Ω

∂Ω

ở đây dx = dx1 ...dxn , dσ là phần tử diện tích trên mặt cong ∂Ω.
Thay f = u.v, ta có công thức tích phân từng phần
∂u
vdx = −
∂xk
Ω

u

∂v
dx +
∂xk

Ω

uvγk dσ.

(1.25)

∂Ω

1.4.3. Toán tử liên hợp
Cho A(x, D) là toán tử vi phân. Khi đó, toán tử liên hợp của toán tử
A(x, D) ký hiệu là A (x, D), là toán tử sau
Dµ (¯
aµ (x)v) .

A (x, D)v =

|µ|≤m

Định lý 1.3. Giả sử u(x) ∈ C m (Ω). Khi đó
u A ϕ dx, ∀ϕ ∈ C0m (Ω).

(Au)ϕdx
¯ =
Ω

(1.26)

Ω

Chứng minh. Công thức (1.26) được nhận bằng cách áp dụng liên tiếp
công thức (1.25).
16


1.4.4. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
Xét phương trình
Au = f

(1.27)

trong đó f ∈ L2 (Ω). Xuất phát từ công thức (1.26) ta có thể phát biểu
khái niệm nghiệm yếu của (1.27) như sau
Định nghĩa 1.1. Hàm u(x) ∈ L2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của phương

trình nếu
(u, A ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω),

(1.28)

trong đó (., .) là tích vô hướng trong L2 (Ω) và A là toán tử liên hợp của
toán tử A.
1.4.5. Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.4. Điều kiện cần để phương trình (1.27) có nghiệm yếu là
|(f, ϕ)| ≤ C A ϕ , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω).

(1.29)

Chứng minh. Ta có
(f, ϕ) = (Au, ϕ) = (u, A ϕ) .
Theo bất đẳng thức Schwarz ta suy ra
|(f, ϕ)| = |(u, A ϕ)| ≤ u

Aϕ .

Chọn C = u ta có: |(f, ϕ)| ≤ C A ϕ . Định lý được chứng minh.

17


1.4.6. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.5. Nếu bất đẳng thức (1.29) được thỏa mãn thì phương trình
(1.27) có nghiệm yếu.
Chứng minh. Giả sử W là tập hợp các hàm w ∈ L2 (Ω) sao cho tồn tại
một hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) thỏa mãn

A ϕ = w.

(1.30)

Dễ thấy W là không gian con của L2 (Ω). Với w ∈ W, ta đặt
F w = (ϕ, f )

(1.31)

trong đó f là hàm cho trước trong phương trình (1.27), ϕ là hàm bất kỳ
thuộc C0∞ (Ω) thỏa mãn (1.30). Ta cần chỉ ra F chỉ phụ thuộc vào w mà
không phụ thuộc vào cách chọn ϕ. Thật vậy, giả sử ϕ1 là một hàm thử
khác thỏa mãn A ϕ1 = w. Khi đó theo bất đẳng thức (1.29) ta có
|(f, ϕ − ϕ1 )| ≤ C A (ϕ − ϕ1 ) = C w − w = 0,
suy ra (f, ϕ) = (f, ϕ1 ). Do đó F chỉ phụ thuộc w và không phụ thuộc ϕ.
F gán cho mỗi w ∈ W một số phức được cho bởi phương trình (1.31),
suy ra F là phiếm hàm trên W. Dễ thấy F tuyến tính. Hơn nữa, theo
bất đẳng thức (1.29) thì
|F w| = |(ϕ, f )| ≤ C A ϕ = C w ,
suy ra F bị chặn. Theo Định lý Hahn-Banach (xem [3], Định lý 1.6) F có
thể mở rộng tới một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên L2 (Ω). Do đó,
18


theo Định lý Fr´
echet-Riesz (xem [3], Định lý 1.5) tồn tại hàm u ∈ L2 (Ω),
sao cho u = F ≤ C và
F w = (w, u)

(1.32)

với mỗi w ∈ L2 (Ω). Do đó theo phương trình (1.31) và (1.32) ta có
(u, A ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω). Định lý được chứng minh.

1.5. Toán tử elliptic và hypoelliptic với hệ số hằng
Xét toán tử với hệ số hằng
P (D) =

aµ D µ .

(1.33)

aµ ξ µ ,

(1.34)

aµ ξ µ .

(1.35)

|µ|≤m

Với ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn ta đặt
P (ξ) =
|µ|≤m

Pm (ξ) =

|µ|=m

Đa thức P (ξ) được gọi là biểu trưng của toán tử P (D), Pm (ξ) được gọi
là biểu trưng chính của toán tử P (D).
Định nghĩa 1.2. Toán tử P (D) được gọi là elliptic nếu
Pm (ξ) = 0, ξ ∈ Rn ⇒ ξ = 0.

(1.36)

Ví dụ 1.1. Cho toán tử P (D) = ∆ = D12 + D22 + ... + Dn2 . Ta đi chứng
minh P (D) là elliptic. Thật vậy
Ta có: Pm (ξ) = ξ12 + ξ22 + ... + ξn2 = 0 ⇒ ξ1 = ξ2 = ... = ξn = 0.
19


Nhận xét 1.1. Giả sử P (D) là elliptic. Khi đó tồn tại C1 > 0, C2 > 0
sao cho
|P (ξ)| > C1 |ξ|m , nếu |ξ| > C2 .
Đặt
P (j) (ξ) =

∂P (ξ)
, j = 1, 2, ..., n.
∂ξj

Định nghĩa 1.3. Toán tử P (D) được gọi là hypoelliptic nếu ∃ a >
0, C1 > 0, C2 > 0 sao cho với mọi j = 1, 2, ..., n ta có
P (j) (ξ)
C1
≤ a , |ξ| > C2 .
P (ξ)
|ξ|

(1.37)

Nhận xét 1.2. Từ Nhận xét 1.1 suy ra, nếu P (D) là elliptic thì nó là
hypoelliptic.
Ví dụ 1.2. Toán tử truyền nhiệt P (D) = iD1 +D22 là toán tử hypoelliptic
nhưng không là elliptic.
Thật vậy, ta có
P (ξ) = iξ1 + ξ22 ,
P2 (D) = ξ22 .
Toán tử P (D) không là elliptic vì P2 (ξ) = 0 suy ra ξ2 = 0 nhưng không
suy ra ξ = 0. Ta cũng có
i
P (1) (ξ)
|i|
=
=
P (ξ)
iξ1 + ξ22
|iξ1 + ξ22 |
=

2
1
≤
, |ξ| > C2 .
ξ12 + ξ24
|ξ|2

P (2) (ξ)

2ξ2
2 |ξ2 |
=
=
P (ξ)
iξ1 + ξ22
|iξ1 + ξ22 |
2 |ξ2 |
2
=
≤
, |ξ| > C2 .
|ξ|
ξ12 + ξ24
20


Suy ra tồn tại các hằng số a = 2, C1 > 0, C2 > 0 sao cho
P (j) (ξ)
C1
≤ 2 , |ξ| > C2 , 1 ≤ j ≤ n.
P (ξ)
|ξ|
Vậy P (D) là hypoelliptic.

1.6. So sánh các toán tử hypoelliptic với hệ số hằng
Định nghĩa 1.4. Đa thức Q(ξ) được gọi là yếu hơn đa thức P (ξ) nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho
P (µ) (ξ) , ∀ξ ∈ Rn ,

|Q(ξ)| ≤ C

(1.38)

µ

trong đó
P (µ) (ξ) =

∂ |µ| P (ξ)
.
∂ξ1µ1 ∂ξ2µ2 ...∂ξnµn

Trong trường hợp này ta nói toán tử Q(D) yếu hơn toán tử P (D).
Theo phương trình F (Dµ v) = ξ µ F v và phương trình (v, w) = (2π)−n (ˆ
v , w)
ˆ 0,
với ϕ ∈ S ta có công thức sau
Q(D)ϕ

2

= (2π)−n

|F [Q(D)ϕ]|2 dξ

= (2π)−n

|Q(ξ)F ϕ|2 dξ

≤ C1

P (µ) (ξ)F ϕ dξ

2

= C1

F P
n

= (2π) C1

(µ)

P

2

(D)ϕ
(µ)

dξ
2

(D)ϕ

.

Do đó nếu toán tử Q(D) yếu hơn toán tử P (D) thì ta có

Q(D)ϕ ≤ C2 P (D)ϕ , ϕ ∈ C0∞ (Ω).
21

(1.39)


Bổ đề 1.2. ([3]) Nếu đa thức Q(ξ) yếu hơn đa thức P (ξ) và R(ξ) =
1 + |ξ|2

k

với k ∈ Z+ thì QR yếu hơn P R, R(D) = Id + D12 + · · · + Dn2

Bổ đề 1.3. Nếu s < 0 thì với mỗi b > 0 tồn tại một hằng số K sao cho
K

−1

|v|2s

b

≤

2 −2s−1

Jε v

ε

0

dε ≤ K |v|2s , v ∈ S.

(1.40)

Chứng minh. Ta có
(2π)n Jε v

2

=

|F (Jε v)|2 dξ =

|Fj (εξ)|2 |F v|2 dξ.

Do đó
b

Jε v

2 −2s−1

ε

h(ξ) |F v|2 dξ,

dε = (2π)−n

0

trong đó h(ξ) =

b
2 −2s−1
.
0 |Fj (εξ)| ε

Từ đó suy ra
h(ξ) ≤

−1
.
2sb2s

Với |ξ| > 1 ta nhận được một đánh giá tốt hơn. Đặt t = ε (1 + |ξ|) và
ξ
1
η=
. Khi đó, η ≥ và
1 + |ξ|
2
∞

2s

h(ξ) ≤ (1 + |ξ|)

|F j(tη)|2 t−2s−1 dt.

0

Vì j(x) ∈ S nên với số nguyên k bất kỳ ta có
|F j(ξ)| ≤

K
(1 + |ξ|)k

.

Đặc biệt bất đẳng thức trên đúng với k ≥ 1 − 2s, do đó
∞

2 −2s−1

|F j(tη)| t
0

∞

dt ≤ K

t−2s−1

dt
(1 + t |η|)k
∞
r−2s−1
2s

≤ K |η|
dr ≤ K .
(1 + r)k
0
0

22

k

.


Do vậy tồn tại một hằng số M sao cho
h(ξ) ≤ M (1 + |ξ|)2s .

(1.41)

Từ đó ta suy ra bất đẳng thức thứ hai trong (1.40). Để chứng minh bất
đẳng thức thứ nhất ta lưu ý rằng
F j(0) =

j(x)dx = 1.

Suy ra tồn tại δ > 0 thỏa mãn
|F j(ξ)|2 >

1
với |ξ| < δ.
2

Nếu b |ξ| ≤ δ ta có
1
h(ξ) ≥
2

b

ε

−2s−1

0

b−2s
dε = −
.
4s

(1.42)

Nếu b |ξ| > δ, thì
δ/|ξ|

h(ξ) ≥

|F j(εξ)|2 e−2s−1 dε

0

1
≥
2

δ/|ξ|

e−2s−1 dε = −
0

δ −2s 2s
|ξ| .
4s

(1.43)

Kết hợp (1.42) và (1.43) ta thấy rằng tồn tại một hằng số m > 0 thỏa
mãn
h(ξ) ≥ m (1 + |ξ|)2s .
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.6. Nếu đa thức Q(ξ) yếu hơn đa thức P (ξ) thì với mỗi s ∈ R
và mỗi miền bị chặn Ω tồn tại hằng số C sao cho
|Q(D)ϕ|s ≤ C |P (D)ϕ|s , ϕ ∈ C0∞ (Ω).
23

(1.44)