Số học của chùm ma trận và ứng dụng

1

Sau một thời gian nghiên cứu Số học của chùm ma trận và ứng dụng, với sự
cố gắng của bản thân, cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của các thầy cô
giáo, các anh chị học viên, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài trên.
Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích–
khoa Toán – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên lớp K15 Toán
Giải tích đợt 2 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Phó Giáo sư –
Tiến sĩ Tạ Duy Phượng, người đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình tập dượt
nghiên cứu, chuẩn bị và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng


2

Tôi xin cam đoan luận văn Số học của chùm ma trận và ứng dụng
học tập và

riêng tôi. Đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các

tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của Phó Giáo sư –Tiến sĩ Tạ Duy Phượng.
Những thông tin trích dẫn, những tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kì phương tiện thông tin nào.

Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng


3

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU

5

Chƣơng 1 MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN

8

1.1 Các khái niệm cơ bản của ma trận

8

1.2 Chùm ma trận

11

Chƣơng 2 SỐ HỌC CỦA CHÙM MA TRẬN

14

2.1 Quan hệ ma trận

14

2.2 Các phép toán số học trên quan hệ ma trận

20

Chƣơng 3 ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC CHÙM MA TRẬN TRONG

44

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính

44

3.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính

45

3.3 Hệ động lực ẩn trên thang thời gian

51

KẾT LUẬN

66

TÀI LIỆU THAM KHẢO

67

4

BẢNG KÍ HIỆU
£

Tập hợp các số phức

£n

Tập hợp các số phức trong không gian n chiều

A B

:

M

mij

x, y

x

A, y B

trong đó i 1,..., m , j 1,..., n là m n ma trận, và mij là kí hiệu
phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j

MT

Ma trận chuyển vị của ma trận M

det M

Định thức của ma trận M

diag A, B

Ma trận khối đường chéo


5

MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Phương trình vi phân đại số là một mô hình toán học được sử dụng để khảo
sát nhiều bài toán thực tế. Hiện nay phương trình vi phân đại số đang được
nghiên cứu mạnh mẽ trên thế giới và ở Việt Nam.
Trong phương trình vi phân đại số, do cấu trúc đặc thù, lớp phương trình vi
phân tuyến tính được đặc biệt nghiên cứu kĩ. Tương tự như phương trình vi phân
thường tuyến tính, lí thuyết ma trận đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu
phương trình vi phân đại số tuyến tính. Tuy nhiên, để ứng dụng trong nghiên cứu
phương trình vi phân đại số, cần có những nghiên cứu sâu hơn về lí thuyết ma
trận, thí dụ, phải nghiên cứu cấu trúc của cặp hai ma trận hay chùm ma trận, phải
mở rộng các nghiên cứu về ma trận nghịch đảo suy rộng cho các ma trận vuông
không khả nghịch hoặc các ma trận chữ nhật.
Số học của chùm ma trận đã được Peter Benner và Ralph Beyers nghiên cứu
và trình bày trong các bài báo [1], [2], [3], [5]. Có thể coi số học của chùm ma
trận là sự mở rộng của số học ma trận và biến đổi tuyến tính. Số học của chùm

ma trận đã được sử dụng trong nghiên cứu nhiều bài toán của toán học cũng như
của thực tế. Thí dụ, trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính và
phương trình sai phân ẩn tuyến tính (xem [2], [5]), trong nghiên cứu hàm dấu
của ma trận và áp dụng giải số phương trình ma trận (xem [3], [5], [6], [8]),
trong xây dựng các thuật toán trong lí thuyết hệ thống và điều khiển (xem [4],
[8], [10], [11]),...


6

Với mục đích tìm hiểu một hướng phát triển mới của lí thuyết ma trận và ứng
dụng của số học chùm ma trận, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là
Số học của chùm ma trận và ứng dụng.
2 Mục đích nghiên cứu
Trình bày lý thuyết về quan hệ tuyến tính (quan hệ ma trận) và các phép toán
số học, phép toán tựa số học trên tập hợp các ma trận.
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu số học của chùm ma trận và ứng dụng.
4 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Số học của chùm ma trận và ứng dụng trong hệ phương trình vi phân đại số
và phương trình sai phân ẩn.
5 Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập, đọc và phân tích, tổng hợp tài liệu. Sử dụng
công cụ của Giải tích, Đại số tuyến tính, Giải tích hàm và lí thuyết phương trình.
Trên cơ sở đó viết một luận văn tổng quan về vấn đề nghiên cứu.
6 Những đóng góp mới của đề tài
Hy vọng luận văn là một tài liệu tổng quan tốt về số học của chùm ma trận và
ứng dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính. Hy vọng luận
văn sẽ được các sinh viên đại học và học viên cao học tham khảo khi bước đầu
nghiên cứu cấu trúc ma trận và phương trình vi phân đại số.

7 Nội dung
Luận văn gồm 3 chương:


7

Chương 1: Ma trận và chùm ma trận
Chương 2: Số học của chùm ma trận
Chương 3 : Ứng dụng của số học chùm ma trận trong phương trình vi phân đại
số tuyến tính.


8

CHƢƠNG 1

MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN
1.1 Các khái niệm cơ bản
Ta đã biết rằng, có thể coi một ma trận M

mij

£ m n cấp m n với các phần

tử mij , i 1,..., m; j 1,..., n là các số phức, là một ánh xạ tuyến tính từ không
gian £ n vào không gian £ m . Ngược lại, mọi ánh xạ tuyến tính M : £ n

£m

cũng có một ma trận biểu diễn mà ta đồng nhất kí hiệu là M .

1.1.1 Hạt nhân (hạch, kernel) hay không gian không (null space) của ma trận

M

£ m n (của ánh xạ tuyến tính M : £ n
null M

£ m ) được kí hiệu là null M :

z £ n Mz 0 .

Với cặp ma trận A £ m n , B £ m k , ta định nghĩa

null A, B

£ n £ k Ax By 0m .

x, y

1.1.2 Miền giá trị (miền ảnh, range) của ma trận M
tính M : £ n

£ m n (của ánh xạ tuyến

£ m ) được kí hiệu là range M :
range M

U Mx.

x £n

1.1.3 Ma trận chuyển vị liên hợp phức hay ma trận chuyển vị Hermit của ma trận

M £ m n là ma trận M H
của ma trận M

m jk

m n

M T , trong đó ma trận M
, tức là mkj

akj ibkj , m jk

mkj

a jk

n m

ibjk .

là liên hợp phức


9

1.1.4 Chuẩn Euclid của ma trận M

m jk

trên £ m n là M

m 2jk .

2
1 j m
1 k n

Chuẩn

Frobenius
n

trace A :

£mn

trên

M

là

F

trace M H M ,

trong

đó

aii hay trace A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của

i 1

ma trận An n .
Có thể chứng minh rằng M

F

trace M H M thực sự là một chuẩn.

1.1.5 Hạng của ma trận Cho ma trận M

£ m n . Ta nói M có hạng đầy đủ theo

cột (full column rank) nếu n cột của M là độc lập tuyến tính. Ta nói M có
hạng đầy đủ theo hàng (full row rank) nếu m hàng của M là độc lập tuyến tính.
Định lí 1.1.1 Cho ma trận M

£ m n . Ma trận M

1. Có hạng đầy đủ theo cột khi và chỉ khi M T M khả nghịch.
2. Có hạng đầy đủ khi theo hàng và chỉ khi MM T khả nghịch.
Chứng minh Giả sử ma trận M có hạng đầy đủ theo cột, tức là n cột của nó
độc lập tuyến tính. Điều này xảy ra khi và chỉ khi không gian không của nó chỉ
chứa duy nhất một vectơ 0, nghĩa là Mx 0
Nếu Mx 0 thì

M T M x M T Mx

x 0.

0. Do đó nếu M T M khả nghịch thì từ

Mx 0 suy ra x 0.
Ngược lại, giả sử ma trận có hạng đầy đủ theo cột. Lấy x sao cho M T Mx 0.
Khi đó ta có xT M T Mx

Mx

2
2

0, nghĩa là Mx 0. Do M có hạng đầy đủ theo

cột, tức là các cột là các vec tơ độc lập tuyến tính, nên ta được x 0. Vì M T M là
ma trận vuông và M T Mx 0

x 0 nên M T M khả nghịch.


10

Chứng minh tương tự với ma trận có hạng đầy đủ theo hàng.
1.1.6 Ma trận nghịch đảo trái của ma trận M

£ m n là ma trận M † thỏa mãn

các tính chất:

M †M

M , M † MM †

I n , MM † M

M †.

Ma trận M m n có thể có nghịch đảo trái L theo nghĩa LM

(1.1.1)

I n (ma trận đơn vị

cấp n ) chỉ khi m n. Hơn nữa, M có nghịch đảo trái khi và chỉ khi nó có hạng
theo cột đầy đủ. Ma trận M có thể có nhiều ma trận nghịch đảo trái L, một trong
số chúng là ma trận nghịch đảo Moore – Penrose M † :

Thí dụ, với M

2 3
4 1 ta có
2 2

T

M M

1

24 6
6 14

MTM

1

1

M T của M .

6
1 14
300 6 24

và

M†

MTM

1

M

6
1 14

300 6 24

Dễ dàng chứng minh được ma trận M †

2 4 2
3 1 2

1 1 5 4
.
30 6 0 6

1 1 5 4
là ma trận nghich đảo
50 6 0 6

Moore – Penrose của ma trận M , tức là thỏa mãn (1.1.1). Thật vậy, ta có

M †M

1 1 5 4
30 6 0 6

2 3
4 1
2 2

Nếu E £ m n có hạng theo cột đầy đủ thì E †

EH E

1 0
,
0 1
1

EH.


11

Thật vậy E H
E†

EH E

EHI
1

1

E†E

EHE

EE †

E EHE

E † EE †

1

EH

EHE

1

E H EE † hay

EH.
1

Mặt khác ta có thể kiểm tra E H E

EE † E

EHE

E H EE † suy ra

EHE
1

E

EH

E E†E

1

EH
1

EE

EI

E † EE †

1

EH

E H thỏa mãn các tính chất trên, đó là

EHE
1

EH

E 1IE

I;

I;

E;

E†I

E† .

1.2 Chùm ma trận
1.2.1. Cho E và A là hai ma trận có số chiều m n . Tập hợp các ma trận

E A với

£ được gọi là chùm ma trận của hai ma trận E và A .

1.2.2 Vectơ x £ n , x 0 được gọi là vectơ riêng của cặp ma trận E, A nếu với
một cặp

,

£

nào đó ta có Ex

£ \ 0,0

Nếu

0 thì x tương ứng với giá trị riêng vô hạn.

Nếu

0 thì x tương ứng với giá trị riêng hữu hạn

1.2.3 Chùm ma trận E

E

.

£ được gọi là chính qui (regular) nếu E và A

A với

là các ma trận vuông và det

Ax .

A

0 với ít nhất một số phức

£.

Chùm ma trận không chính qui được gọi là kì dị (suy biến, singular).
Định lí 1.1.2 Nếu

E A chính qui thì tồn tại một dạng chính tắc Weierstrass


12

X
trong đó X ,Y

N

£

n k

n k

£n

n

E

I 0
0 N

AY

không suy biến, J

£k

J 0
,
0 I
k

là dạng ma trận Jordan và

là một ma trận có dạng ma trận Jordan.

Chứng minh Xem [9], Vol. II, §2.
Định lí 1.1.2 có thể mở rộng cho chùm ma trận suy biến như sau.
Định lí 1.1.3 Chùm ma trận E

X

E

AY

diag

A có dạng chính tắc Kronecker

E0

A0 , L1, L2 ,..., Lp , LTp 1, LTp 2 ,..., LTp

Trong đó E và A là các ma trận không suy biến,
và L j là các ma trận cấp

j

j 1

Lj
Trong đó I j là mt đơn vị cấp

(1.1.2)

A0 là ma trận chính qui

dạng

I j ,0
j

E0

q

j

0 j,I

j ,1

và 0

j ,1

j ,1

là ma trận cấp

j

1 có tất cả các

phần tử bằng không.
Chứng minh Xem Định lí A.1 trong Appendix A [5] hoặc [7].
1.3 Không gian con giảm bên phải
Ta đưa vào khái niệm không gian con giảm bên phải (right deflating subspace)
như sau.
Ta nói, các cột của ma trận X
của chùm ma trận chính qui E

£ n k căng một không gian con giảm bên phải

A nếu

dim(range( X )) dim(range( EX ) range( AX )).

Các không gian con giảm được căng bởi tập hợp các vectơ riêng và các vectơ
chính. Không gian con giảm liên hợp với các giá trị riêng tương ứng. Nếu các giá


13

trị riêng này là phân biệt từ các giá trị riêng còn lại của

E

A, thì không gian

con giảm được xác định duy nhất bởi chúng.
Không gian con giảm bên phải

E

A của chùm ma trận chính qui

E A

tương ứng với các giá trị riêng hữu hạn có phần thực âm thường được gọi là
không gian con giảm bên phải ổn định (stable right deflating subspace). Không
gian con giảm bên phải

E

A tương ứng với các giá trị riêng hữu hạn có

phần thực dương được gọi là không gian con giảm bên phải không ổn định
(unstable right deflating subspace). Nếu E

I

I , ta có thể viết

A thay vì

A . Các không gian con giảm được sử dụng trong các thuật toán tính

nghiệm của các phương trình Riccati đại số suy rộng và các phương trình
Lyapunov suy rộng (xem [8], [10]) hoặc tổng quát hơn, trong giải quyết các bài
toán tính toán khác nhau trong lí thuyết hệ thống và điều khiển (xem [6], [11]).

14

CHƢƠNG 2

SỐ HỌC CỦA CHÙM MA TRẬN
2.1 Quan hệ ma trận
2.1.1 Định nghĩa quan hệ ma trận
Với mỗi chùm ma trận

E

£ (hay cặp ma trận E £ m n , A £ m n ), ta

A,

định nghĩa quan hệ ma trận hay quan hệ tuyến tính trên không gian vectơ £ n , là
tập hợp của các cặp sắp thứ tự x, y có dạng sau:
E\A :

£ n £ n Ey

x, y

Ax .

(2.1.1)

Cặp ma trận E và A được gọi là ma trận biểu diễn (matrix representation) của
quan hệ tuyến tính (2.1.1).
Nhận xét 2.1.1 Quan hệ ma trận có thể viết dưới dạng phương trình ma trận:

E\A :

x, y

£ n £ n Ey

Ax

x, y

£n £n A

E

x
y

0m . (2.1.1’)

Vậy, có thể coi quan hệ ma trận là tập nghiệm của phương trình ma trận hay hệ
phương trình tuyến tính (2.1.1’). Vì tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là
một không gian vectơ nên quan hệ ma trận E \ A là một không gian vectơ con
của không gian vectơ phức £ n £ n .
Nhận xét 2.1.2 Ma trận biểu diễn của quan hệ tuyến tính (2.1.1) là không duy
nhất: Nếu M

£ m m là một ma trận không suy biến thì E \ A

Thật vậy, theo định nghĩa, ta có
ME \ MA :

x, y

£ n £ n MEy

MAx .

ME \ MA .


15

Do M

M

1

£ m m không suy biến nên nhân hai vế của đẳng thức MEy MAx với

ta được

M 1MEy M 1MAx

MEy MAx

Ey

Ax.

Vậy

ME \ MA :

x, y

£ n £ n MEy MAx

x, y

£ n £ n Ey

Câu hỏi đặt ra là: Khi nào ta có đẳng thức E \ A
Định lí 2.1.1 (Theorem 2.1, [5]) Cho M
E\A

Ax :

E\A .

ME \ MA ? -Ta có

£ p m và E , A £ m n . Đẳng thức

ME \ MA xảy ra khi và chỉ khi

null M I range A, E

0 .

Chứng minh
Trƣờng hợp 1 Nếu null M I range A,

MA ME

A
x
y

Chứng tỏ x, y

E

x
y

M A E

0. Suy ra Ax Ey

z
x
y

Mz 0

ME \ MA nhưng x, y

Vậy từ null M I range A
Nghĩa là từ E \ A

0 thì tồn tại z 0 sao cho

E , tức là tồn tại z 0 và các vectơ x, y £ n sao

z null M I range A,
cho Mz 0 và

E

E

z

0

Ax

MAx MEy 0

MAx MEy.

E\A .

0 suy ra E \ A

ME \ MA .

ME \ MA suy ra null M I range A, E

Trƣờng hợp 2 Giả sử null M I range A

Ey và

E

0 . Giả sử

0 .


16

x, y

Suy ra A

E

ME \ MA

x
y

MEy

MAx

M A

E

x
y

0.

null M . Mặt khác, hiển nhiên

A

E

x
y

range A, E

x
y

null M I range A, E

U

A, E w.

w £ 2n

Vậy

A

Do đó A

E

x
y

Suy ra ME \ MA

E

0, nghĩa là Ax Ey 0

Ax

x, y

E\A .

E\A .

Ngược lại, giả sử x, y
x, y

Ey

0 .

E \ A , nghĩa là Ey

ME \ MA hay E \ A

Ax. Suy ra MEx

MAy hay

ME \ MA .

Chứng tỏ từ null M I range A, E

0 suy ra E \ A

ME \ MA .

Vậy
E\A

ME \ MA

null M I range A, E

0 .

Định lí được chứng minh.
Hệ quả 2.1.1 Cho các ma trận E , A £ m n , và Eˆ , Aˆ £
E\A

nullM

Eˆ \ Aˆ . Khi ấy tồn tại ma trận M

range A, E

0 .

p n

thỏa mãn đẳng thức

£ p m sao cho Eˆ ME, Aˆ MA và


17

Định lí 2.1.1 và Hệ quả 2.1.1 chỉ ra rằng, quan hệ ma trận là bất biến đối với
phép biến đổi tuyến tính trái.
2.1.2 Một số ví dụ quan hệ ma trận
Thí dụ 2.1.1 Nếu E £ n n là một ma trận không suy biến thì phương trình
Ey

Ax có duy nhất nghiệm y

E 1 Ax. Như vậy, trong trường hợp E là một

ma trận không suy biến thì quan hệ tuyến tính E \ A chính là phép biến đổi
tuyến tính y

E 1 Ax, với ma trận biểu diễn là E 1 A. Do đó, có thể coi quan hệ

tuyến tính như là một mở rộng của phép biến đổi tuyến tính.
Nếu Em n là ma trận có n cột độc lập tuyến tính (có hạng đầy đủ theo cột - full
column rank) thì E T E là ma trận vuông khả nghịch (Định lí 1.1.1).
Nhân hai vế của phương trình Ey
ET E
Ey

1

Ax

Ax với ma trận E T , sau đó với ma trận

, ta được
E T Ey

E T Ax

ET E

1

E T Ey

ET E

1

E T Ax

y

ET E

1

E T Ax.

Như vậy, quan hệ tuyến tính E \ A trong trường hợp này là một phép biến đổi
tuyến tính được biểu diễn bởi công thức y

ET E

1

E T Ax.

Nếu E không có n cột độc lập tuyến tính, thì phương trình Ey

Ax nói chung

cho vô số nghiệm (với mỗi x cho trước tìm được vô số y thỏa mãn phương
trình Ey

Ax ). Khi ấy ta có thể coi quan hệ tuyến tính E \ A là một phép biến

đổi tuyến tính đa trị, tức là, với mỗi x cho trước, ma trận E kết hợp với ma
trận A tạo ra một tập hợp các phần tử y thỏa mãn phương trình Ey

Thí dụ 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên

Ax.


18

Ek xk

1

Ak xk , xk

£ m n , Ak

¡ n , Ek

£ m n , k 1,2,...,

(2.1.2)

trong đó det Ek có thể bằng 0, tương đương với quan hệ tuyến tính

xk , xk

Ek \ Ak , k 1,2,...

1

Thí dụ 2.1.3 Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng

E (t ) x (t )

A(t ) x(t ), t

J

a, b

¡ , x ¡ n.

(2.1.3)

Ở đây x (t ) là giá trị đạo hàm của hàm khả vi x (t ) tại thời điểm t.
Trong phương trình vi phân đại số, ta thường giả thiết rằng det E (t ) 0 t

J,

tức là phương trình (2.1.3) suy biến với mọi t , do đó nó không thể đưa về
phương trình vi phân thường tuyến tính. Ta định nghĩa nghiệm của phương trình
vi phân đại số (2.1.3) là một hàm khả vi liên tục trên J và thỏa mãn (2.1.3) tại
mọi điểm của J . Khi ấy x (t ) ¡
Với mọi t

n

với mọi t

J.

J , phương trình vi phân đại số tuyến tính (2.1.3) tương đương với

quan hệ ma trận

x(t ), x (t )

E(t ) \ A(t ) .

Thí dụ 2.1.4 Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính tổng quát dạng

E (t ) D(t ) x(t )
Với mỗi t

A(t ) x(t ), t

J

a, b

¡ , x ¡ n.

(2.1.4)

J thì E (t ) £ m k , D(t ) £ k n . Nghiệm của phương trình vi phân

đại số (2.1.4) là một hàm liên tục (không nhất thiết khả vi) trên J sao cho đạo
hàm D(t ) x(t ) là tồn tại, liên tục và (2.1.4) được thỏa mãn tại mọi điểm t
Với mọi t

J.

J , phương trình vi phân đại số tuyến tính (2.1.4) tương đương với

quan hệ ma trận

x(t ), D(t ) x(t )

E (t ) \ A(t ) .


19

Chú ý rằng, trong phương trình (2.1.3) ta đòi hỏi tất cả các tọa độ của x(.) phải
khả vi trên J . Trong phương trình (2.1.4), ma trận D (t ) có thể suy biến, nghĩa là
sau phép biến đổi D(t ), một số tọa độ của D(t ) x(t ) có thể bằng 0, do đó
D(t ) x(t ) có đạo hàm, mặc dù tọa độ tương ứng của x (t ) có thể không có đạo

hàm. Thí dụ, nếu D

1 0
thì Dx(t )
0 0

1 0
0 0

x1 (t )
x2 (t )

x1 (t )
. Vì vậy ta chỉ

0

cần đòi hỏi tọa độ x1 (t ) có đạo hàm, còn x2 (t ) chỉ cần liên tục. Đây là điểm khác
giữa phương trình (2.1.3) và phương trình (2.1.4).
Phương trình (2.1.4) là mô hình của nhiều bài toán thực tế (các bài toán mạng
điện, các phản ứng hóa học, hệ rôbốt,…) và đang được quan tâm nghiên cứu.
2.1.3 Một số khái niệm và tính chất cơ bản
1. Với x £ n , x lát cắt của quan hệ ma trận E \ A là tập hợp

E\A x

y £ n | x, y

E\A .

Tùy theo x, E và A, tập E \ A x có thể là tập khác rỗng hoặc rỗng.
2. Miền xác định của quan hệ ma trận là tập các hoành độ của nó, nghĩa là

dom E \ A

x £n| E\A x

.

3. Miền giá trị của quan hệ ma trận E \ A là tập ảnh của dom E \ A , nghĩa là

range E \ A

U E \ A x.

x £n

Nhận xét 2.1.3 dom E \ A và range E \ A là các không gian vectơ con của
không gian vectơ phức £ n .
Để chứng minh tập dom E \ A là không gian con, ta chỉ cần chứng minh

x

1 1

x

2 2

dom E \ A với mọi x1, x2 dom E \ A và

1

,

2

£.


20

Giả sử x1, x2 dom E \ A , khi ấy tồn tại các vectơ y1, y2 £ n

Ey1

Ax1 và Ey2

Ax2 .

Do E £ m n , A £ m n là các ma trận nên với mọi

E

y

y

Chứng tỏ
Vậy

y

1 1

1 1

x

1

y

E\A

2 2

2

Ey2

x

1

Ax1

x

1 1

2

Ax1 và Ey2

Vậy

y

y

1 1

2 2

y

1 1

1

y

2 2

,

2

Ax2

£ ta có
A

hay E \ A

2 2

x

x .

1 1

x

2 2

x

1 1

2 2

.

range E \ A , khi ấy tồn tại các vectơ x1, x2 £ n sao
Ax2 .

Do E £ m n , A £ m n là các ma trận nên với mọi

E

1

dom E \ A hay dom E \ A là không gian con trong £ n .

2 2

Tương tự, giả sử y1, y2
cho Ey1

Ey1

2 2

x

1 1

sao cho

Ey1

2

Ey2

range E \ A x

1

Ax1

2

Ax2

1

A

range E \ A

,

2

x

1 1

£ ta có
x .

2 2

hay range E \ A

là không

gian con của £ n .
2.2 Các phép toán số học trên quan hệ ma trận
2.2.1 Tích của hai quan hệ ma trận
Cho E1 £ m n , A1 £ m n và E2 £

p n

, A2 £

p n

.

Định nghĩa 2.2.1 Phép hợp của hai quan hệ tuyến tính hay tích

E2 \ A2 E1 \ A1 của hai quan hệ ma trận được xác định như sau:


21

E2 \ A2 E1 \ A1
=

x, z

£

n

x, z

£

n

£

n

£

n

y £ n sao cho
x, y

E1 \ A1 ,

y, z

E2 \ A2

y £ n sao cho
E1 y A1 x, E2 z A2 y
y £ n sao cho

£n £n

x, z

Nói cách khác,

E1 y

A1 x,

A2 y

E2 z

x, z

A1
0p n

E2 \ A2 E1 \ A1

x
y
z

E1 0m n
A2
E2

0m

.

(2.2.1)

0p

khi và chỉ khi hệ hai phương trình

có nghiệm chung y £ n .

Nhận xét 2.2.1 Tích hai quan hệ ma trận (2.2.1) có thể có hoặc có thể không có
ma trận biểu diễn với số cột bằng số cột trong ma trận biểu diễn của các thành
phần.
Thí dụ, các quan hệ ma trận

1 \ 0

và

0 \ 1

là các quan hệ ma trận trên

£ và có biểu diễn là các ma trận thành phần với số chiều 1 1. Cụ thể, quan hệ

1 \ 0

A

x, y

0 ; Quan hệ

diễn E

0 và A

£

£ 1. y 0.x
0 \ 1

x, y

x,0 , x £
£

có biểu diễn E

£ 0. y 1.x

0, y , y £

1 , nhưng tích hai quan hệ ma trận này là:

1

và

có biểu


22

1 \ 0

0 \ 1

£

x, z

y £ sao cho

£

x, y

0 \ 1 ,

y, z

1 \ 0

y £ sao cho
x, z

£

£

x
y
z

0
1

0
0

1
0

0
0

= 0,0

đòi hỏi ma trận biểu diễn có hai hàng.
Dễ dàng kiểm tra được rằng tích hai quan hệ tuyến tính (2.2.1) phù hợp với phép
nhân đồng nhất I \ I . Thật vậy

E\A I \I

x, z

x, z

I\I

E\A

£

£

n

£

n

y £ n sao cho

n

x, y

£

n

£ n £ n Ax

x, z

£

x, z
x, z

£

£

n

Ez

E\A .

y £ n sao cho

n

£

E\A

y £ n sao cho
Iy Ix, Ay Ez

x, z

n

I \ I , y, z

x, y
n

E \ A , y, z

I \I

y £ n sao cho
Ax Ey, Iy Iz

£ n £ n Ax

Ez

E\A .

Định lí dưới đây chỉ ra qui tắc đồng nhất các ma trận biểu diễn tích hai quan hệ.
Đây là định lí suy rộng của công thức tích của hai phân số

a1 a2
e1 e2

a1a2
.
e1e2


23

Định lí 2.2.1 (Theorem 1, [2]) Giả sử E1 \ A1 và E2 \ A2 là các quan hệ tuyến
tính, trong đó E1, A1 £ m n ; E2 , A2 £

null A%2 , E%
1

p n

range

. Nếu A%
£q
2

m

và E%
£q
1

p

thỏa mãn

E1
A2

(2.2.2)

thì

%
E%
1E2 \ A2 A1

E2 \ A2 E1 \ A1

x, z

£ n £ n | E%
1E2 z

A%2 A1x .

(2.2.3)

Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử x, z

E2 \ A2 E1 \ A1

£ n £ n . Theo định nghĩa tích

hai quan hệ ma trận, tồn tại vectơ y £ n sao cho
y, z

E2 \ A2 , tức là E1 y

A1x và E2 z

x, y

E1 \ A1

A2 y.

Với y £ n kí hiệu

E1
y
A2

u, v

thì u, v

A%2 E1 y

Suy ra E%
1E2 z

E1 y, A2 y

hay u

E1 y, v

A2 y

E1
.
A2

range

Theo (2.2.2), u, v

E%
1 A2

E1
y
A2

range

E%
1 A2 y
E%
1 A2 y

E1
A2

A%2 E1 y

A%
2 E1 y

Chứng tỏ E2 \ A2 E1 \ A1

null A%2 , E%
nên
1

A%2u E%
0. Do đó E%
1v
1 A2 y

A%
2 A1 x, nghĩa là

%
E%
1E2 \ A2 A1 .

x, z

%

E%
1E2 \ A2 A1 .

A%
2 E1 y.

và


24

%
%
E%
1E2 \ A2 A1 , nghĩa là E1E2 z

Điều kiện đủ Giả sử x, z
u

E%
0. Chứng tỏ
E2 z thì A%
2u
1v

A1x và v

u
v

A1 x
E2 z

null A%2 , E%
1

Theo (2.2.2), vì null A%2 , E%
1
cho u

range

A2 y. Chứng tỏ E1 y

E1 y, v

Do đó x, y

A%
2 A1 x. Kí hiệu

E1 \ A1 và y, z

%
Vậy E%
1E2 \ A2 A1

u, v : A%2u E%
0 .
1v

E1
A2

E1
y nên tồn tại y £ n sao
A2

U

y £n

A1x và E2 z

A2 y.

E2 \ A2 hay x, z

E2 \ A2 E1 \ A1 .

E2 \ A2 E1 \ A1 . Suy ra
%
E%
1E2 \ A2 A1

E2 \ A2 E1 \ A1

x, z

£ n £ n | E%

1E2 z

A%2 A1x .

Định lí được chứng minh.
Nhận xét 2.2.2 Nếu E1

I và E2

I và A%2 A2 . Khi ấy (2.2.2)
I thì chọn E%
1

được thỏa mãn. Thật vậy, ta có

null A%2 , E%
1
range

I
A2

null A2 , I

U

z £n

I
z

A2

x, y : A2 x

U

z £n

y 0 ;

z
.
A2 z

Suy ra

x, y

null A%2 , E%
1

A2 x

y 0

y

A2 x

x, y

range

I
.
A2


25

Từ Định lí 2.2.1 suy ra

I \ A2 A1 . Đây chính là phép nhân hai

I \ A2 I \ A1

ma trận thông thường với một vectơ. Thật vậy, nếu
tồn tại y £ n sao cho y
x, z

I \ A2 I \ A1

A1x và z

I \ A2 A1 nên Iz

z
Nếu E2

I và A2

c, ta đặt E%
1

A2 y hay z

A2 A1x . Vì

A2 A1x. hay z

A2 A1x

I \ A2 I \ A1 thì

x, z

A2 A1x, tức là

A2 A1 x.

cI với c £ nào đó thì với mỗi cặp
I và A%2

,

£

£ mà

I . Khi ấy (2.2.2) được thỏa mãn và từ Định lí

E1 \ A1 là trường hợp đặc biệt của tích một số

2.2.1 suy ra I \ cI E1 \ A1
với ma trận. Thật vậy,

%
E%
1E2 \ A2 A1

II \ IA1

I \ A1

E1 \ A1 .

Như vậy, Định lí 2.2.1 chính là mở rộng của của phép nhân ma trận với một
vectơ và một số với ma trận hay Định lí 2.2.1 cho một sự thống nhất giữa phép
nhân ma trận và nhân với một số của phép biến đổi tuyến tính.
Để tiện dùng, ta định nghĩa tích của một số với một quan hệ ma trận và tích của
một ma trận với quan hệ ma trận như sau.
1) Nếu

£ thì ta định nghĩa

E\A :

I \ I E\A .

Dễ dàng chỉ ra rằng

I \ I E\A
Thật vậy, giả sử

x, y

x, z

E \ A và y, z

I\

I

E\A I \ I .

E\ A ,tức là tồn tại vectơ y £ n sao cho

I \ I , hay Ey

Ax và z

y. Suy ra E y

A x.