Tìm hiểu về phép đo yếu, giá trị yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ĐÌNH HIỆP

TÌM HIỂU VỀ PHÉP ĐO YẾU,
GIÁ TRỊ YẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ĐÌNH HIỆP

TÌM HIỂU VỀ PHÉP ĐO YẾU,
GIÁ TRỊ YẾU

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

ĐỀ CƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS TRẦN THÁI HOA

HÀ NỘI, 2013


LỜI CẢM ƠN

Dưới sự hướng dẫn của TS Trần Thái Hoa, Khoa Vật Lý - Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin
chân thành cảm ơn những định hướng, những quan tâm, hướng dẫn đúng dắn
của thầy đã và đang giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy giáo, cô giáo ngoài trường đã nhiệt tình giảng
dạy, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập, nghiên cứu cũng như hoàn thiện
luận văn này.
Đồng thời tôi xin cảm ơn các bạn học viên K15 “Vật lý lý thuyết và
Vật lý toán” đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn.
Hà Nội, Ngày 05 tháng 07 năm 2013
Học viên

Phạm Đình Hiệp


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả và đầy
trách nhiệm của TS Trần Thái Hoa. Đây là đề tài không trùng với đề tài khác
và kết quả đạt được không trùng với các kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2013
Học viên

Phạm Đình Hiệp


MỤC LỤC
Trang

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu ............................................................................................................ 1
Chƣơng 1. Tổng quan về phép đo yếu, giá trị yếu ...................................... 3
1.1. Phép đo yếu ............................................................................................... 3
1.2. Nghịch đảo thời gian .................................................................................. 5
1.3. Giá trị yếu .................................................................................................. 7
1.4. Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu .................................................... 11
Chƣơng 2. Nghịch lí Eintein Podolsky Rosen ............................................ 16
2.1. Nghịch lí Eintein Podolsky Rosen .......................................................... 16
2.2. Giải thích nghịch lí bằng phép đo yếu .................................................... 23
Chƣơng 3. Ứng dụng phép đo yếu .............................................................. 26
3.1. Hiệu ứng khuếch đại bằng phép đo yếu ................................................... 26
3.2. Giá trị thành phần Spin của hạt có Spin

1
........................................... 28
2

3.3. Ứng dụng phép đo yếu ............................................................................ 30
Kết luận ......................................................................................................... 39
Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 40


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay tại Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lý lý thuyết đang

gặp nhiều khó khăn về nhân lực và vật lực. Mặt khác trong hơn hai thập kỉ
qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu
hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học. Nó được xem là một
lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học
và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác
và khoa học lượng tử cơ bản. Mặc dù đã có những thành công không thể nào
phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó
chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển. Trước phép đo yếu, các hàm
sóng chỉ được đo gián tiếp trong một kĩ thuật gọi là xạ lượng tử. Kĩ thuật này
bao gồm việc thực hiện nhiều phép đo bình thường khác nhau lên các hệ
lượng tử tương đương - chẳng hạn các photon đơn lẻ ló ra từ cùng một nguồn.
Thông tin này sau đó được xử lí để tạo ra một bản đồ của trạng thái lượng tử
đó. Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng phép đo yếu, giá trị yếu vào
việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học, và gần đây, nó đã mang
lại nhiều thành công đáng kinh ngạc. Đề tài nghiên cứu của tôi về “Tìm hiểu
về phép đo yếu, giá trị yếu” (weak measurement, weak values) là một vấn đề
rất mới hứa hẹn nhiều đóng góp cho lĩnh vực vật lý lượng tử và vạch ra những
lý thuyết mới làm nền tảng cho Vật lý thực nghiệm.
Đề tài nghiên cứu này mang tính chất lượng tử sâu sắc và ứng dụng
phép đo yếu trong các bài toán thực tiễn về việc đo đạc.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các phép
đo yếu, các giá trị yếu, các nghịch lý và một số ứng dụng của phép đo yếu.


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về phép đo yếu, các giá trị yếu và một số ứng dụng của phép
đo yếu.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
-Vật lý lượng tử & các vấn đề đo đạc trong vật lý lượng tử.
- Phép đo yếu, giá trị yếu.
- Nghịch lí Eintein Podolsky Rosen.
- Ứng dụng phép đo yếu: Hiệu ứng khuếch đại bằng phép đo yếu, Giá
trị thành phần Spin của hạt có Spin

1
.
2

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý
toán.


3

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ PHÉP ĐO YẾU, GIÁ TRỊ YẾU
1.1. Phép đo yếu
Trong cơ học lượng tử, cái thường được xem là không thể là việc biết
mọi thứ về một hệ cùng một lúc. Chẳng hạn, nếu đo vị trí của một hạt thật
chính xác, thì động lượng của hạt sẽ đột ngột trở nên rất kém rõ ràng. Các nhà
vật lí gọi những cặp biến như vị trí và động lượng là “liên hợp”, chúng vốn dĩ
liên hệ với nhau, nên phép đo tiến hành trên một hạt về cơ bản làm hỏng mất
thông tin về hạt kia.
Nhìn bên ngoài, hiện tượng này - được giải thích trong nguyên lí bất

Heisenberg - làm hạn chế thông tin mà các nhà vật lí có thể thu được từ việc
nghiên cứu các hệ lượng tử. Nhưng trong 20 năm qua, những kĩ thuật mới đã
và đang được phát triển để xử lí tốt hơn về độ bất định và giới hạn chính xác
mà nó biểu hiện. Gọi là “phép đo yếu”, chúng bao gồm việc thực hiện những
cái “nhìn lén” tinh vi vào hệ lượng tử, nên thông tin có thể thu được từng chút
một, mà không làm ảnh hưởng gì lớn lên hệ lượng tử.
Lí thuyết “đo yếu” được đề xuất lần đầu tiên năm 1998 và được phát triển
bởi nhà vật lí Yakir Aharonov cùng nhóm của ông tại trường Đại học Tel Aviv,
Israel. Lí thuyết “đo yếu” đã thu hút ít nhiều hứng thú trong những năm gần đây.
Lí thuyết trên phát biểu rằng người ta có thể đo “yếu” một hệ và từ đó thu được
một số thông tin về một tính chất mà không gây nhiễu đáng kể đối với tính chất
bổ sung và do đó không gây nhiễu đối với sự phát triển tương lai của toàn bộ hệ.
Mặc dù thông tin thu được đối với mỗi phép đo là tối thiểu, nhưng nếu lấy trung
bình nhiều phép đo sẽ mang lại một ước tính chính xác của số đo của tính chất
đó mà không gây nhiễu đối với kết cục của nó.


4

Vào năm 2011, các nhà vật lí tại Trung tâm Nghiên cứu quốc gia
(NRC) ở Ottawa - Canada, khẳng định họ đã có thể sử dụng phép đo yếu để
tái hiện trực tiếp hàm sóng của một hệ lượng tử, mô tả một hệ lượng tử diễn
tiến như thế nào theo thời gian.
Cũng trong 2011 một nhóm gồm các nhà nghiên cứu quốc tế vừa lập
được bản đồ quỹ đạo hoàn chỉnh của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm
hai khe Young nổi tiếng. Kết quả trên là bước tiến quan trọng đầu tiên hướng
đến việc đo các thông số bổ sung nhau của một hệ lượng tử - cái hiện nay
được xem là không thể, theo hệ quả của nguyên lí bất định Heisenberg.
Khi sử dụng phép “đo yếu”, Steinberg và nhóm của ông cho biết họ đã
làm chủ được việc đo chính xác cả vị trí lẫn xung lượng của những photon

đơn lẻ trong thí nghiệm giao thoa hai khe. Công trình này có cảm hứng từ một
trong những người đồng nghiệp của Steinberg, Howard Wiseman ở trường
Đại học Griffith, Australia, người hồi năm 2007 đã đề xuất rằng người ta có
thể sử dụng những “phép đo yếu” để xác định xung lượng và vị trí trong thí
nghiệm hai khe Young.
Trong thí nghiệm của họ, các nhà nghiên cứu gửi một tập hợp photon
đơn lẻ qua một giao thoa kế hai khe và tiến hành một phép đo yếu để đo
không chính xác xung lượng của từng photon. Thao tác này được thực hiện
qua việc sử dụng một miếng thạch anh Calcite đóng vai trò như một kính
phân cực. Tùy thuộc vào hướng truyền, từng photon bị phân cực khác nhau và
hướng truyền được đo là một hàm của vị trí. Sau đó, các nhà nghiên cứu tiến
hành một phép đo cực kì chính xác vị trí cuối cùng của nơi mỗi photon chạm
tới “màn ảnh” - trong trường hợp của họ thì đó là một camera. Bằng cách kết
hợp những vị trí đo được không chính xác ở nhiều điểm và xung lượng được
đo chính xác tại đích của mỗi photon, họ có thể xây dựng chính xác toàn bộ
hệ dòng chảy cho các photon.


5

Phép đo xung lượng yếu không gây nhiễu đáng kể đối với hệ, và người
ta vẫn quan sát thấy sự giao thoa. Cả hai phép đo phải được lặp lại trên một
tập hợp lớn hạt để thu đủ thông tin cho toàn hệ, nhưng chúng ta không làm
nhiễu kết cục sau cùng.
Các photon độc đơn lẻ họ sử dụng trong thí nghiệm trên được phát ra
bởi một chấm lượng tử InGaAs làm lạnh bằng Helium lỏng được bơm quang
học bởi một laser được phát triển đặc biệt tại Viện tiêu chuẩn và Công nghệ
quốc gia ở Colorado, Mĩ. Khi đó, chấm lượng tử phát những photon đơn lẻ ở
bước sóng 943 nm.
1.2. Nghịch đảo của thời gian

Để tìm hiểu sâu sắc hơn về phép đo yếu và những ứng dụng của nó tiếp
theo ta đi tìm hiểu về sự đối xứng theo nghịch đảo của thời gian trong lí
thuyết lượng tử, giả sử ta mô tả hệ lượng tử ở khoảng thời gian giữa hai phép
đo là đối xứng theo nghịch đảo thời gian. Trước hết, chúng ta hãy thỏa luận
về tính đối xứng thời gian của phương pháp chuẩn. Trong lí thuyết lượng tử
của các định luật động lực đối xứng thời gian được coi như là một bản sao cổ
điển, cụ thể là trong các phương trình chuyển động Hamilton. Sự bất đối xứng
được xét thông qua lý thuyết của các phép đo. Sự “chập lại” của một hàm
sóng là một phần của quá trình đo nhưng không phải là (ít nhất trong cách tiếp
cận chuẩn) đối xứng thời gian vì hàm sóng tồn tại trước khi phép đo “chập
lại”. Khi đó, ta sẽ có một hàm sóng mới phù hợp với kết quả của phép đo.
Trong cách tiếp cận chuẩn, nó không rõ ràng làm thế nào để chúng ta
khôi phục lại đối xứng nghịch đảo thời gian vì không có trạng thái phát triển
ngược lại trong thời gian. Ví dụ sau sẽ làm rõ sự khác biệt giữa hai hướng
thời gian.
Giả sử ta có tập hợp hạt có spin
trạng thái

x=

1
, mà ta tìm thấy ở thời điểm t, trong
2

1. Ta có thể dự đoán rằng xác suất tìm thấy

y=

1 ngay sau đó

6

là

1
. Tuy nhiên, ta không thể giả định rằng xác suất tìm thấy
2

trước thời điểm t cũng là

y=

y=

= 1 ngay

1
. Nó có thể xảy ra với tất cả các hạt trong tập hợp
2

được chuẩn bị trong trạng thái
được tìm thấy với

y

y

1 , trong trường hợp không có hạt sẽ

1 hoặc nó có thể là tất cả các hạt đã được chuẩn bị với

1 và sau đó tất cả chúng đều mang lại

giả định rằng xác suất tìm thấy

x

y

= 1. Ta vẫn có thể xác định bởi

= 1 trước thời điểm t là 1. Tuy nhiên, cho

kết quả các phép đo các quan sát khác chúng ta đưa vào lý giải trạng thái của
hệ trước thời điểm t. Chúng ta giả định rằng một trạng thái tồn tại, và nếu
chúng ta không hiểu nó là gì, thì chúng ta không thể tìm thấy xác suất cho các
kết quả của hầu hết các phép đo.
Với phép đo sau thời điểm t, vấn đề này không phát sinh vì chúng ta
không giả định có trạng thái (thậm chí không biết) sự tiếp diễn sau đó. Vì vậy,
sự khác biệt giữa quá khứ và tương lai không phải là một đặc tính trở kháng
của sóng trong lý thuyết lượng tử, nhưng nó là đặc trưng về mũi tên thời gian
trong phương pháp của chúng ta. Hiện tại chúng ta xem quá khứ như tồn tại
và tương lai như không tồn tại. Tuy nhiên, nếu nhiệm vụ của chúng ta là mô
tả hệ lượng tử giữa 2 phép đo liên tiếp, thì chúng ta biết các điều kiện biên
trong tương lai cũng như trong quá khứ (giả định rằng cả hai phép đo được
hoàn thành). Do đó đối với khoảng thời gian không gian, chúng ta có một sự
đối xứng hoàn toàn dưới sự nghịch đảo thời gian. Sự đóng góp mô tả hệ lượng
tử từ kết quả của phép đo đầu là hàm sóng thông thường phát triển từ quá khứ
tới tương lai, từ phép đo đầu tới phép đo cuối, vì tính đối xứng dưới nghịch

đảo thời gian. Sự đóng góp của phép đo cuối tương tự như hàm sóng phát
triển ngược trở lại trong thời gian từ phép đo cuối đến phép đo đầu: “Đề nghị


7

của chung tôi là mô tả một hệ lượng tử giữa hai phép đo bởi hai hàm sóng
phát triển theo hướng ngược lại thời gian”[10].
Xét hệ lượng tử giữa các phép đo của hai biến A và B, tại thời điểm t1
một quan sát A được đo và giá trị riêng a không suy biến đã được tìm thấy, tại
thời điểm t2 quan sát B được đo và giá trị riêng b không suy biến đã được tìm
thấy. Tại thời điểm t trung gian hệ được mô tả bởi hai hàm sóng sau: một bra
1

(hàm sóng phát triển hướng tới tương lai) và môt ket

2

(hàm sóng

phát triển hướng tới quá khứ).
t

exp

1

i Hd

A

a

(1.2.1)

t1

t2
2

B b exp

i Hd

(1.2.2)

t

Hai hàm sóng này

2

và

1

rất hữu ích cho việc tính toán xác suất

các phép đo tại thời điểm t, chúng được sử dụng trong mục đích này bởi
Ahanorov, Bergman, Lebonitz vào năm 1964.

Yêu cầu đặt ra là làm thế nào mô tả hai hàm sóng dẫn đến một ý tưởng
về phép đo yếu mà mang lại một loại mới của giá trị: “các giá trị yếu”.
1.3. Giá trị yếu
Trong cơ học lượng tử, phép đo lượng tử yếu là một trường hợp đặc
biệt của mô hình chuẩn Von Neumann cho phép đo lượng tử, trong đó hệ
lượng tử cần đo tuơng tác hoặc liên kết yếu với máy đo. Một hệ quả quan
trọng của quá trình này là "giá trị yếu" thể hiện trên máy đo. Trái ngược với
các phép đo chuẩn của cơ học lượng tử, giá trị yếu có thể nằm ngoài vùng trị
riêng khả dĩ của biến lượng tử mô tả cho phép đo và thậm chí nó có thể là một
số phức. Đặc điểm này của giá trị yếu hoàn toàn không đối nghịch với các
khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử và là một ví dụ của nguyên lý bất định
Heisenberg.


8

Khái niệm phép đo lượng tử yếu và giá trị yếu được đề xuất lần đầu bởi
Y. Aharonov, D. Z. Albert và L.Vaidman trong bài nghiên cứu với tiêu đề hấp
dẫn "Làm thế nào để phép đo thành phần spin của một hạt spin

1
đạt giá trị
2

100"[10]. Các thí nghiệm cho phép đo lượng tử yếu được hiện thực hóa lần
đầu vào năm 1990 và năm 1992. Mới đây, phép đo yếu đã được sử dụng để
nghiên cứu nghịch lí Einsein Podolsky Rosen và nghịch lý Hardy.
Giá trị yếu của một biến lượng tử, nó là một đặc tính vật lý của một hệ
lượng tử giữa hai phép đo. Tức là, đặc tính của một hệ lượng tử thuộc một tập
hợp là cả sự chọn trước và chọn sau. Đặc tính này có thể biểu thị chính nó

thông qua phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu của “sự yếu”. Thực tế, ảnh
hưởng của một tương tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị yếu.
Giá trị yếu của một biến có thể khác nhau đáng kể từ giá trị riêng của một
toán tử liên quan. Vì vậy đặc tính này của phép đo yếu có thể dùng như một
chương trình mở rộng mới.
Sau đây chúng ta tìm hiểu để có cái nhìn sơ khai về giá trị yếu. Xét một
hệ hạt được chuẩn bị ở trạng thái

i

và ta muốn đo biến lượng tử Â trên hệ

hạt này. Một phép đo chỉ diễn ra khi có sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy
đo. Theo mô hình Von Neumann cho phép đo lượng tử, sự tuơng tác này
được biểu diễn bởi hàm Hamiltonian tuơng tác:
ˆˆ
ˆ g(t)AP
H

(1.3.1)

Trong đó Pˆ là toán tử động lượng của kim chỉ trên máy đo. Toán tử
ˆ
liên hiệp với nó là toán tử tọa độ của kim chỉ của máy đo Q;g(t)
là hàm phụ

thuộc thời gian, biểu trưng cho sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy đo. Thông
thường, phép đo chỉ diễn ra trong một khoảng thời gian rất ngắn. Do đó, ta có
thể giả định g(t) g (t t 0 ) , trong đó g là một hằng số. Bởi vì phép đo cũng

9

là một hệ lượng tử, do đó nó phải có trạng thái lượng tử, giả sử trang thái đó
. Ban đầu, trạng thái của toàn hệ là

là

với hệ cần đo, trạng thái của toàn hệ sẽ là e
sau

f

, khi máy đo tuơng tác

1

ˆˆ
igAP

. Sau đó, sự lựa chọn

i

được áp đặt lên hệ cần đo, dẫn đến trạng thái của kim chỉ trên máy

đo (chưa được chuẩn hóa) biến đổi thành:
f

e

ˆˆ
igAP

(1.3.2)

i

Trong các phép đo thông thường, hệ số tuơng tác g lớn, nên hàm sóng
của kim chỉ trên máy đo sau tuơng tác sẽ có dạng

ˆ
A

ˆ
Q g A

với

là giá trị trông đợi của toán tử Â . Nếu ta giới hạn hệ số tuơng tác g ở

mức rất nhỏ, ta có thể bỏ qua các phần tử chứa bậc cao và chỉ giữ lại phần tử
phụ thuộc bậc nhất theo g trong khai triển Taylor áp dụng cho trạng thái của
kim chỉ trên máy đo:
f

ˆˆ
ˆI igAP
f

i

e

i

f

i

(Iˆ igA Pˆ

igA Pˆ

(1.3.4)

Kết quả này cho thấy khi tiến trình đo kết thúc, hàm sóng của kim chỉ
sẽ là

 với

(Q gA ) . Ở đây, A được định nghĩa là giá trị yếu của toán tử
i

và

f

là các trạng thái preselectd lẫn postselected.

A

f

ˆ
A
f

i

(1.3.5)

i

Trong các phép đo thông thường, cơ học lượng tử bắt buộc rằng kim chỉ
của máy đo bị giới hạn trong vùng trị riêng của toán tử và nó phải là số thực.
Từ công thức (1.3.5), ta thấy rằng A nói chung là một số phức và có thể nằm
ngoài khoảng trị riêng khả dĩ của  . Điểm đặc trưng này của phép đo yếu
không hoàn toàn bác bỏ các lập luận của cơ học lượng tử. Thay vào đó, nó có


10

thể được coi là một kết quả của nguyên lý bất định Heisenberg. Nghĩa là, vì ta
đã suy giảm hệ số tuơng tác của phép đo, ta không thể thu được thông tin

ˆ .
chính xác về kết quả của phép đo, ở đây là giá trị trông đợi A
Trong trường hợp tổng quát, trạng thái preselectd có thể là trạng thái
hỗn hợp ˆ và postselected được thay thế bởi bộ phép đo các toán tử dương :

ˆ i (Positive-operator valued measure - POVM) thì biểu thức tổng quát cho
giá trị yếu được cho bởi:

A

i

ˆ ˆ)
tr( ˆ i A
tr( ˆ i ˆ )

(1.3.6)

Trong các phép đo thông thường, hệ số tuơng tác g lớn, nên hàm sóng
của kim chỉ trên máy đo sau tương tác sẽ có dạng

ˆ
Q g A

với

ˆ
A

là giá trị trông đợi của toán tử Â . Nếu ta giới hạn hệ số tuơng tác g ở mức rất
nhỏ, ta có thể bỏ qua các phần tử chứa bậc cao và chỉ giữ lại phần tử phụ
thuộc bậc nhất theo g trong khai triển Taylor của trạng thái của kim chỉ trên
máy đo:
f

ˆˆ
ˆI igAP
f

i

e

i

f

i

(Iˆ igA Pˆ

igA Pˆ

(1.3.7)

Kết quả này cho thấy khi tiến trình đo kết thúc, hàm sóng của kim chỉ
sẽ là

(Q gA ) . Ở đây, A được định nghĩa là giá trị yếu của toán

tử Â với

i

và

f

là các trạng thái preselectd lẫn postselected.

Hiện nay có 2 cách trình bày để dẫn đến giá trị yếu. Cách lập luận theo
hệ số tuơng tác được trình bày ở đây dựa trên bài báo của R. Jozsa và được
coi là cách thuận tiện nhất để giới thiệu giá trị yếu và dễ dàng cho
ngành thông tin lượng tử. Một cách dẫn giải khác dựa trên độ bất định ban


11

đầu của kim chỉ được trình bày trong bài báo của L. Vaidman. Cách dẫn giải
này phù hợp với trường hợp liên tục (tọa độ, động lượng,...) và dễ nêu lên mối
liên hệ với nguyên lý bất định Heisenberg nhưng quá trình tính toán lại khá
phức tạp.
1.4. Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu
Với quá trình đo chuẩn Von Neumann, Hamilton mô tả tương tác với
một thiết bị đo là:
H

g(t)qA

(1.4.1)

Trong đó g(t) là hàm chuẩn hóa với sự hỗ trợ nhỏ gần thời gian đo
lường, và q là một biến chuẩn(chính tắc) của thiết bị đo với momen liên hợp
P. Sau sự tương tác (1.4.1) trên, chúng tôi có thể xác định giá trị của A từ giá

trị cuối của p.

A pf

pin

(1.4.2)

p

Phép đo chính xác bất kì của A làm nhiễu loại cần thiết trong một cách
không thể kiểm soát các giá trị quan sát không thể giao hoán với A, đây là do
thực tế phép đo chính xác của A yêu cầu giá trị của p cố định xác định trong
khoảng thời gian của phép đo. Do đó, sự bất định trong q trong suốt tương tác
phép đo mô tả trong phương trình (1.4.1) (và do đó cường độ của tương tác đó
là có thể) lớn tùy ý.
Có thể sửa đổi các quá trình đo Von Neumann bởi sự yếu tương tác
(1.4.1). Điều này có thể được làm bằng cách chuẩn bị một trạng thái đầu của
thiết bị đo mà xác suất tìm thấy q lớn là đủ nhỏ. Bây giờ chúng tôi sẽ chứng
minh rằng “phép đo yếu” của A biểu diễn trên tập hợp hệ preselectd trong
trạng thái

1

và hệ postselected trong trạng thái

mà chúng ta gọi là “giá trị yếu của” A.

2

, sẽ mang lại kết quả


12

A

2

A
2

1

(1.4.3)

1

Để kết thúc điều này xét một tập hợp hệ kể cả preselectd lẫn
postselected. Tất cả các phần tử của tập hợp được mô tả bởi cùng một cặp
hàm sóng

1

và

2

. Ta biểu diễn cùng phép đo trong mỗi một hệ thống với

một thiết bị đo riêng biệt. Tương tác Hamilton là:

Hi

g(t)qi Ai

(1.4.4)

Trong đó chỉ số i đề cập cho hệ thứ i trong tập hợp hoặc thiết bị đo thứ
i. Để thuận tiện, chúng tôi đưa trạng thái đầu của từng thiết bị đo tới hệ
Gausian.

1
exp
q(2 )1/4

qi2
4( q)2

(1.4.5)

Thực hiện đo pi với mỗi thiết bị đo sau tương tác. Sau đó chúng tôi biểu
diễn lần cuối, phép đo postselection trong hệ tập hợp của chúng tôi và chúng
tôi thu thập các kết quả pi chỉ của hệ đó mà trạng thái cuối trở thành là

2

.

Để đơn giản hóa các bằng chứng sau, cần lưu ý rằng sự thay đổi trật tự

thời gian giữa các phép đo pi và phép đo postselected sẽ không ảnh hưởng đến
kết quả của chúng. Thật vậy, sau tương tác phép đo trên, không có tương tác
hơn nữa giữa các hệ của tập hợp và thiết bị đo tương ứng, và do đó, bất kì tác
dụng trên hệ không ảnh hưởng kết quả của các phép đo được thực hiện trên
bất kì hệ khác.
Chuỗi các sự kiện này, trong đó chúng tôi đo pi ở postselected là đơn
giản hơn để phân tích. Nó cũng phù hợp một phương pháp thực tế để thực
hiện các phép đo loại này. Trạng thái của mỗi thiết bị đo đã được chọn sau
được đưa ra đến yếu tố chuẩn hóa, bởi hàm sóng sau (bỏ qua chỉ số i đề cập
đến mỗi hệ riêng)


13

exp

2

2

i H dt
exp(iqA)

(iq) n
n!
0

n

2

2

1
n

Trong đó (An )

2

1

An

1

An

q2
4( q) 2

exp

q2
4( q) 2

exp

q2
4( q) 2

exp

1

(iq) n n
(A ) exp
n!
0
1

/

2

(1.4.6)

q2
4( q) 2

(như định nghĩa ở phương

1

trình (1.4.3)). Các biểu thức cuối có thể được viết lại như hàm sóng đầu của
thiết bị đo nhân với eiqA cộng với giới hạn hiệu chỉnh là không đáng kể với
q nhỏ.
2

1

n

2

(iq) n n
(A ) exp
n!
0
exp iq

1

2

A
2

2

1
n

q2
4( q) 2

(iq) n
(A n )
n!
0

1

q2
4( q) 2

exp

1

(1.4.7)

q2
4( q) 2

(A ) n exp

Quan tâm đến biểu diễn trạng thái p của thiết bị đo, bằng cách lấy q
như vậy cho tất cả n≥2.
(2 q) n

(n / 2) n
(A )
(n 2)!

(A ) n

1

(1.4.8)

Bỏ qua sự đóng góp của các điều chỉnh trong biến đổi Fourier (1.4.6)
và do đó hàm sóng cuối của thiết bị đo trong các biểu diễn p là gần đúng tốt.

exp

( q) 2 p

2

2

A
2

1
1

(1.4.9)


14

Phân bố xác suất của p là hệ Gaussian với khoảng rộng p = (2 q)-1
tâm tại p=Re(A )[10].
Giá trị yếu của A, A như định nghĩa ở (1.4.3) có thể có, cũng có thể
một phần tưởng tượng. Phần này ảnh hưởng đến sự phân bố của các biến q cổ
điển (chính tắc). Thật vậy, trong các biểu diễn q trạng thái của thiết bị đo sẽ
đưa ra là:

exp iq Re(A ) exp

q 2( q) 2 Im(A )

2

4( q) 2

(1.4.9)

Do đó, phân bố xác suất của q là hệ Gaussian với khoảng rộng q tâm
tại q= - 2( q)2 Im (A ). Sự bất định ở p và q sẽ không cho phép chúng ta kết
luận Re(A ) hoặc Im(A ) từ một phép đo duy nhất. Tuy nhiên, thực hiện phép
đo trên một tập hợp N hệ sẽ làm giảm sự bất định của kết quả bởi một nhân tố
1
. Vì vậy, bằng cách lấy N đủ lớn 2 q N
N

1

Re(A ), Im(A ) , khi đó

có thể đo giá trị phức của A với độ chính xác mong muốn bất kì.
Yêu cầu (1.4.8) đảm bảo rằng kết quả của phép đo là A được xác định
bởi phương trình (1.4.3). Đặc biệt, nếu trạng thái đầu hoặc cuối là trạng thái
riêng của A, thì (1.4.8) được thỏa mãn. Trong trường hợp này i được như vậy
bởi vì đó là giá trị yếu - trong trường hợp đặc biệt này, cũng là giá trị
“mạnh”của A.
Người ta có thể lập luận rằng một giá trị yếu thu được sau một vài thao
tác toán học trên tập hợp và không có ý nghĩa vật lý. Để nhấn mạnh “thực tế”
của một giá trị yếu, chúng tôi lưu ý rằng sau tương tác (1.4.4) của một tập hợp

thông số vật lý của hệ giống hệt nhau với một tập hợp các thiết bị đo (nhưng
trước khi quan sát các thiết bị đo) có một biến vật lý của các thiết bị đo mà
bác bỏ giá trị yếu của các biến đo. Thực tế quan sát

pi
có 1 giá trị trung
N


15

bình bằng A , trong khi sự bất định (2 q N) 1 có thể bỏ qua khi số lượng các
phần tử trong tập hợp lớn.
Các đặc tính của giá trị yếu (1.4.3) hàm ý rằng nếu C=A+B thì
C = A + B . Chúng tôi xét phép đo yếu của C=A+B giữa các phép đo A và
B, từ

1

A a ,

2

B b , chúng tôi có A

a; B

b , và do đó, giá

trị yếu C thực sự bằng a +b. Các đặc tính cơ bản của phép đo yếu, cụ thể là sự

nhiễu loạn gây ra bởi chúng có thể được bỏ qua thể hiện trong ví dụ này. Vì
Hamilton tương tác của phép đo yếu là đủ nhỏ, lên phép đo yếu của B gây ra
một sự thay đổi không đáng kể trong A và ngược lại. Vì vậy, kết quả của các
phép đo yếu của A và B vẫn không thay đổi, ngay cả nếu cùng lúc đó ta thực
hiện cả phép đo yếu C.


16

Chƣơng 2
NGHỊCH LÍ EINSTEIN PODOLSKY ROSEN (EPR)
2.1. Nghịch lí Einsein Podolsky Rosen
2.1.1. Giới thiệu
Nghịch lí của Axt, Podolsky và Rosen đã được đưa ra như một chứng
minh rằng cơ học lượng tử không thể là một lí thuyết hoàn chỉnh nhưng phải
được bổ sung bởi các biến bổ sung. Các biến bổ sung này là để khôi phục lại
lý thuyết nhân quả và địa phương. Cần lưu ý rằng ý tưởng sẽ được xây dựng
một cách toán học và đưa ra sự không tương thích với các dự đoán thống kê
của cơ học lượng tử. Đây là yêu cầu của lý thuyết nhân quả địa phương, chính
xác hơn là kết quả của một phép đo trên một hệ thống không bị ảnh hưởng bởi
các toán tử trên một hệ ở xa mà nó đã tương tác trong quá khứ, tạo ra những
khó khăn cần thiết. Đã có những nỗ lực để cho thấy rằng ngay cả khi không
có một yêu cầu tách ra hay lý thuyết nhân quả địa phương “biến ẩn” của cơ
học lượng tử là có thể. Những nỗ lực đã được kiểm tra ở những nơi khác và
muốn tìm thấy. Hơn nữa, biến ẩn giải thích của lý thuyết lượng tử sơ cấp đã
được xây dựng một cách rõ ràng. Điều đó giải thích cụ thể của cấu trúc lượng
tử sơ cấp. Theo kết quả được chứng minh ở đây, cấu trúc lượng tử sơ cấp là
một đặc trưng, theo kết quả được chứng minh ở đây, bất kì lý thuyết như vậy
mà tái tạo chính xác các dự đoán cơ học lượng tử.
2.1.2. Xây dựng

Với ví dụ được ủng hộ bởi Bohm và Aharonov, Nghịch lí Einsein
Podolsky Rosen được chứng minh như sau:
Xét một cặp spin một nửa hạt được hình thành bằng cách nào đó trong
trạng thái spin đơn và di chuyển tự do theo hướng ngược nhau. Phép đo có thể
được thực hiện, bởi nam châm Stern-Gerlach, trên sự lựa chọn các thành phần


17

uur r
r
.a
trong
đó
là vecto đơn vị,
a
1
uur r
mang lại giá trị +1 thì, theo cơ học lượng tử, phép đo 2 .a phải mang giá trị -1

spin

uur

.
1 và

uur

. Nếu phép đo của thành phần

2

và ngược lại. Bây giờ ta đưa giả thiết: nếu hai phép đo đều được thực hiện từ
một địa điểm ở xa khác sự định hướng của một nam châm không ảnh hưởng
đến kết quả thu được. Vì chúng ta có thể dự đoán trước kết quả của phép đo
uur
bất kỳ thành phần được lựa chọn nào của 2 , bởi phép đo trước cùng thành
uur
phần của 1 , nó xảy ra rằng kết quả của bất kì phép đo như vậy thực sự phải
được xác định trước. Kể từ khi hàm sóng cơ học lượng tử đầu không xác định
kết quả của một phép đo riêng, xác định này ngụ ý khả năng của một chi tiết
hoàn chỉnh hơn của trạng thái.
Chi tiết hoàn chỉnh hơn này bị ảnh hưởng bởi cách thức của các thông
số . Nó là một vấn đề của sự phiếm định trong những điều sau đây dù

biểu

thị một biến duy nhất hoặc một tập hợp, thậm chí một tập hàm sóng, và liệu
các biến là rời rạc của sự liên tục. Tuy nhiên, ta viết như thể

là một tham số
r
liên tục duy nhất. Kết quả A của phép đo sau đó được xác định bởi a và , và
uur r
r
kết quả B của phép đo 2 .b trong cùng ví dụ được xác định bởi b và và.
r
r
A(a, )
1;B(b, )

1
(2.1.1)

Giả định quan trọng là kết quả B cho hạt hai không không phụ thuộc
r
r
vào sự thiết lập a của nam châm cho hạt 1, cũng không phải A trên b .
Nếu ( ) là phân bố xác suất của thì giá trị trung bình của tích của
uur r
uur r
hai thành phần 1.a và 1.b là:
ur r
r
r
P(a,b) d ( )A(a, )B(b, )
(2.1.2)
Điều này tương đương giá trị trung bình của cơ học lượng tử, mà đối
với trạng thái duy nhất là:


18

uur r uur r
.a 2 .b
1

rr
a.b

(2.1.3)

Nhưng nó sẽ được chỉ ra rằng điều này là không thể.
Một số người có thể giải thích một công thức trong đó các biến ẩn rơi
vào hai tập hợp, với A thuộc một tập hợp và B thuộc vào một tập hợp khác;
khả năng này thu được ở trên, khi

viết tắt cho số lượng các biến bất kì và do

đó sự phụ thuộc của A và B không bị giới hạn. Trong một lí thuyết vật lí
hoàn chỉnh được dự kiến bởi Einstein, các biến ẩn sẽ có ý nghĩa động học và
các định luật chuyển động;

sau đó được coi như các giá trị đầu của các biến

này tại một lúc thích hợp.
2.1.3. Minh họa
Trước tiên, không có khó khăn trong việc đưa ra một biến ẩn tính đến
các phép đo spin trên một hạt duy nhất. Giả sử chúng ta có một hạt có spin
một nửa trong một trạng thái spin thuần túy với sự phân cực được biểu thị
r
r
bằng vecto đơn vị p . Cho biến ẩn là một vecto đơn vị với phân bố xác suất
rr
đồng đều trên bán cầu .p 0 . Xác định rõ kết quả đo của một thành phần
ur r
.a là:
rr
Sign .a
(2.1.4)
r

r
r
Trong đó a là vecto đơn vị phụ thuộc vào a và p trong một cách để
được chi tiết hóa và hàm sóng dấu là +1 và -1 theo các dấu của đối số của nó.
Trên thực tế nó để lại kết quả không xác định được khi

,a '

0 nhưng xác

suất của điều này là số không, ta không đưa ra các quy định đặc biệt cho nó.
r
Lấy trung bình
trên giá trị trung bình là:

uur r
.a
1
Trong đó

'

r
r
là góc giữa a , và p .

1

2

'

(2.1.5)


19

r
r
r
Sau đó giả sử rằng a , thu được từ a bởi quay vòng về hướng p cho đến

khi:

2

1
Trong đó

'

(2.1.6)

cos

r
r
là góc giữa a và p .

Khì đó thu được được kết quả:

ur r
.a

(2.1.7)

Cos

Vì vậy, trong trường hợp đơn giản này không có khó khăn trong quan
điểm cho rằng kết quả phép đo hàng ngày được xác định bởi giá trị của một
biến thêm, và rằng các đặc điểm thống kê của cơ học lượng tử phát sinh bởi vì
giá trị cả biến này là không được phát hiện trong trường hợp riêng.
2.1.4. Nghịch lí Einsein Podolsky Rosen
Không có khó khăn trong việc tái tạo, trong công thức (2.1.2), các đặc
điểm duy nhất của (2.1.3) thường được sử dụng trong cuộc thảo luận bằng lời
về vấn đề này.

Ví dụ, bây giờ cho

r r
r r
P(a,a)
P(a, a)
1
(2.1.8)
r r
rr
P(a,b) 0 khi a.b 0
r
là vecto đơn vị , với phân bố xác suất thống

nhất trên tất cả các hướng, và có:

r r
rr
A(a, ) signa.
r r
ur r
P(a,b)
signb.

(2.1.9)

Điều này cho
r r
P(a,b)

Trong đó

1

2

(2.1.10)

là góc giữa a và b, và (2.1.10) có các tính chất (2.1.8). Để

so sánh, xét kết quả của một lí thuyết sửa đổi trong đó trạng thái đơn thuần


20

túy là được thay thế trong quá trình diễn biến thời gian bởi một hỗn hợp đẳng
hướng của trạng thái kết quả; điều này cho phép hàm sóng tương quan:
1r r
a.b
(2.1.11)
3
Nó không giống như (2.1.3), hàm sóng (2.1.10) không phải là dừng tại
giá trị nhỏ nhất -1 (tại

0 ). Nó sẽ được thấy rằng đây là đặc trưng của các

hàm sóng loại (2.1.2).
Và cuối cùng, không khó khăn trong việc tái tạo sự tương quan cơ học
lượng tử (2.1.3) nếu các kết quả A và B trong (2.1.2) là được phép phụ thuộc
r
r
r
r
r
vào b và a tương ứng cũng như trên a và b . Ví dụ, thay thế a trong (2.1.9)
r
r
r
bởi a , , thu được từ a bởi vòng quay hướng tới b cho đến khi:
1

Trong đó

'

2

'

cos

(2.1.12)

r
r
là góc giữa a , và b .

Tuy nhiên, đối với các giá trị của các biến ẩn, các kết quả của các phép
đo với một nam châm phụ thuộc vào các thiết lập của các nam châm ở xa.
2.1.5. Mâu thuẫu
Kết quả chính bây giờ sẽ được chứng minh : Bởi

là phân bố xác suất

chuẩn hóa.

d

( ) 1

(2.1.13)

Và bởi các tính chất (2.1.1), P trong (2.1.2) không thể nhỏ hơn -1. Nó
r r

có thể đạt được -1 tại a b nếu
r
r
A(a, )
B(a, )
(2.1.14)
Ngoại trừ một tập hợp các điểm
này, (2.1.2) có thể được viết lại.
r r
P(a,b)

d

của xác suất không. Với giả định

r
r
( ) A(a, ) A(b, ).

(2.1.15)