Trường fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN QUANG HOÀN

TRƢỜNG FERMION TRONG LÝ THUYẾT TƢƠNG
ĐỐI TỔNG QUÁT NHIỀU CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2013


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Đào Vọng
Đức, người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng,
trực tiếp để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi
ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm
việc cùng thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học,
trong Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ
đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, ngày 25 tháng 06 năm 2013
Tác giả

Trần Quang Hoàn

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Trần Quang Hoàn, học viên cao học khóa 2011 – 2013
chuyên nghành Vật lí lý thuyết & vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Trường Fermion trong lý thuyết tương đối
tổng quát nhiều chiều”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các
luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác
giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, ngày 26 tháng 06 năm 2013
Tác giả

Trần Quang Hoàn


MỤC LỤC
Mở đầu

..........................................................................................

6

Chƣơng 1

Biến đổi tensor trong lí thuyết tƣơng đối rộng .........

8

1.1

Biến đổi tổng quát không thời gian - Tenson Rieman ..

8

1.2

Metric rienmain và liên thông affine..............................

10

1.3

Tensor độ cong …………………………………….....

12

1.4

Tác dụng bất biến tương đối rộng ………………….....

13

1.5

Phương trình Einstein ………………………………..

15

Trƣờng spinor hiệp biến tổng quát

19

2.1

Metric và vierbein …………………………………….

19

2.1.1

Vierbein ……………………………………………….

19

2.1.2

Vierbein và metric …………………………………….

20

2.1.3

Biểu thức của vierbein ..................................................

21

2.2

Ma trận Dirac ................................................................

26

2.3

Ma trận Dirac trong không - thời gian D > 4 chiều …..

29

Chƣơng 3

Tƣơng tác trƣờng spinor - gause và hấp dẫn …….

35

3.1

Lagiangian tương tác …………………………………

35

3.2

Tương tác spinor và trường gause U(1) ………………

37

3.3

Tương tác trong mô hình Kluza-klein ……………….

38

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

Chƣơng 2


6

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các hạt cơ bản nhất cấu tạo nên các hạt mọi thể loại là các Fermion
thực hiện các biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng nội tại. Chẳng hạn, đó là các
quark và lepton ba thế hệ.
(u, d) ; (c, s) ; (t, b)
(

e

, e );(

,

);(

,

)

Lagrangian mô tả hệ các hạt Fermion và các phương trình chuyển động
tương ứng đã được nghiên cứu nhiều trong khuôn khổ lý thuyết tương đối hẹp
và cũng đã được xét đến trong khuôn khổ lý thuyết tương đối tổng quát trong
không - thời gian 4 chiều thông thường, sử dụng hình thức luận Vierbein.
Trường Fermion có ý nghĩa đặc biệt khi xây dựng các mô hình lý
thuyết Đại thống nhất tương tác trên cơ sở mở rộng lý thuyết tương đối tổng
quát trong không - thời gian có các chiều phụ trội. Lúc này các Vierbein
tương ứng với các chiều phụ trội được gắn với các trường gauge dẫn xuất
tương tác.
Vì vậy tôi chọn đề tài “Trường Fermion trong lý thuyết tương đối
tổng quát nhiều chiều”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là tìm hiểu nghiên cứu về trường Spinor trong lý
thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều (D > 4), sử dụng hình thức luận
Vierbein, chú trọng đặc biệt đến tương tác giữa trường này với trường gauge.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng quan những nguyên lí cơ bản của lý thuyết tương đối tổng quát,
metric Riemann, liên thông affine và tensor độ cong.
- Triển khai các tính toán về hình thức luận Vierbein cho trường
Spinor, ma trận Dirac - Sommerfeld cho không - thời gian nhiều chiều.


7

- Nghiên cứu về tương tác giữa trường Spinor với trường Gauge trong
không - thời gian với chiều phụ trội.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết và vật lí toán để khai triển tính toán.
6. Cấu trúc luận văn.
Chương 1: Biến đổi tensor trong lý thuyết tương đối rộng
Chương 2: Trường spinor hiệp biến tổng quát
Chương 3: Tương tác trường spinor - gauge và hấp dẫn


8

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
BIẾN ĐỔI TENSOR TRONG LÝ THUYẾT TƢƠNG ĐỐI RỘNG
1.1. Biến đổi tổng quát không thời gian- Tenson Rieman
Nguyên lí bất biến tương đối rộng khẳng định rằng mọi quá trình đều
điễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu. Có nghĩa là mọi hệ quy chiếu đều
bình đẳng, mọi phương trình phải bất biến đối với phép biến đổi tổng quát:

x

x'

(1.1)

f (x)

f (x) là hàm thực bất kì.
Biến đổi Lorentz chỉ là một trường hợp đặc biệt của (1.1) khi:

f (x)

x

a

Với phép biến đổi (1.1) ta định nghĩa:
Tensor đối biến hạng r là tập hợp các thành phần T

1 2... r

(x) biến đổi theo

quy luật:
T' 1

2 ... s

(x ')

x' 1 x' 2
x' s
.
...
.T
x1 x 2

xs

Tensor hiệp biến là tập hợp các thành phần T 1
T' 1

2 ... r

(x ')

1 2 ... s

2 ... r

x1 x2
xr
.
...
.T
x' 1 x' 2
x' r 1

(x)

(1.2)

(x) biến đổi theo quy luật:

2 ... r

(x)

(1.3)

Tensor hỗn hợp (s,r) biến đổi theo quy luật:
1 2 ... s

T' 1

2 ... r

(x ')

x' 1 x' 2
x' s x 1 x 2
x r
.
...
.
.
...
.T 11 2 ...... sr (x)
s
1
2
1
2
r
2
x
x

x
x'
x'
x'

(1.4)

Đặc biệt, với vô hướng ta có:
T'(x ') T(x)

(1.5)


9

Với vector đối biến ta có:
T ' (x ')

x'
T (x)
x

(1.6)

x
T (x)
x'

(1.7)

Với vector hiệp biến ta có:
T ' (x ')

Công thức biến đổi ngược với (1.4)
T 11 22...... rs (x)

x1 x 2
x s x' 1 x' 2
x' r
.
...
.
.
...
.T ' 11
s
1
2
1
2
r
x'
x'
x'
x
x
x

2 ... s
2

...

r

(x ')

(1.8)

Công thức được suy ra từ tính bình đẳng giữa x và x’, hoặc sử dụng các hệ
thức có dạng
x
x'
.
x' x

x'
x
.
x
x'

,

.

Chú ý rằng:
1. x không phải là vector vì:
x'

x'
.x ,
x

dx '

x'
.dx .
x

Nhưng dx là vector vì:

2. Metric minkowski

,
'

không phải là tensor, nhưng
x' x
.
x
x'

x' x
.
x
x'

là tensor, vì:

.

* Ta có nhận xét sau:
1. Nếu A

1 . 2 ... s
1 2 ... r

.

...

và B 11 22... q p là (s,r), (p,q )-tensor, thì:
.

...

S(x) A 11. 22...... r s (x) B 11 22... q p (x)

(1.9)


10

Là (s+p,r+q) - tensor
2. Với 2 tensor (r,s), (s,r) , Có thể lập được đại lượng bất biến như sau:

S(x) A 11. 22...... s r (x).B 11. 22...... s r (x)

(1.10)

1.2. Metric Riemann và liên thông affine
Xét các vecter F(x ) và G (x) , đạo hàm bình thường được viết:
F
x

F (x)

và

G

G (x)

không biến đổi theo quy luật của

x

một vecter tức là chưa phải là các tensor. Để tạo lên các tensor từ chúng, ta
phải lập các đạo hàm hiệp biến

F (x)
trong đó

, với F (x) ta đặt

F (x)

(1.11)

(x)F (x)

(x) được gọi là liên thông affine, được chọn sao cho

F là

tensor, tức là
'

'

'

F (x )

'

'

'

'

F (x )

'

'

x'

x
. ' .
x
x

'

(x )F (x )

F (x)

(1.12)

từ đó cho thấy liên thông affine biến đổi theo quy luật
'

'

(x )

x'
x
x
. ' . '
x
x
x

2

x'
x
x
. ' . '
x . x x
x

(x)

(1.13)

cũng với quy luật biến đổi (1.13) ta có:

G (x)

G (x)

(1.14)

(x)G (x)

Tổng quát hóa (1.11) và (1.14) đạo hàm hiệp biến của tensor hỗn hợp hạng
(s,r) có dạng
T 11 22...... rs (x)
2

T 11 2...... sr
2

T 11 ...2 ...r s

T 11 22...... rs (x)
...
...

s

1

T 11 22...... r
r

T 11 22......

T1
1

s

T

2 ... s
2 ... r
1 2 ... s
2 ... r

(1.15)


11

Quy luật (1.13) chưa xác định liên thông affine một cách đơn trị. Đặc
biệt nếu

(1)

(2)

(x) và

(x) = C1

(1)

(x) là hai liên thông affine thì
(2)

(x) + C2

(x) , C1 + C2 = 1

(1.16)

cũng thỏa mãn điều kiện (1.13) và do đó cũng là một liên thông affine.
Trong mục này ta tính liên thông affine khi thỏa mãn các điều kiện:
1. Điều kiện đối xứng

(x) =

(1.17)

(x)

2. Điều kiện tương thích metric

g

(1.18)

0

Từ quy luật biến đổi (1.13) ta thấy rằng đại lượng
-

T

(1.19)

là một tensor hạng (1,2). Tensor này được gọi là tensor độ xoắn. Trong trường
hợp liên thông affine là đối xứng (1.17) thì T = 0 và ta nói rằng không – thời
gian không xoắn.
Từ (1.18) ta cũng suy ra

g

(1.20)

0

Bây giờ ta tính liên thông affine thỏa mãn điều kiện không xoắn (1.17)

và điều kiện tương thích metric (1.18).
Viết 3 phương trình điều kiện tương thích metric với các chỉ số ( ,

,

)

hoán vị vòng như sau:

g

g

g

g

0

(1.21)

g

g

g

g

0

(1.22)

g

g

g

g

0

(1.23)

Cộng (1.21) với (1.22) và trừ (1.23) vế với vế đồng thời sử dụng tính đối
xứng của metric ta có:

g
tức là

g .

g
1
( g
2

g

2
g

.g

0
g )

(1.24)
(1.25)


12

nhân 2 vế (1.25) với g

ta có:

1
g ( g
2

g

g )

(1.26)

Điều kiện tương thích metric (1.18) và (1.20) dẫn đến một hệ quả trực
tiếp là phép lấy đạo hàm hiệp biến và phép nâng hạ chỉ số là giao hoán với

nhau.
1.3. Tensor độ cong
Khác với đạo hàm bình thường, đạo hàm hiệp biến không giao hoán với
nhau, tức là

,

0

Ta tính giao hoán tử này khi tác dụng lên G

,

G (x)

G (x)

G (x)

Ta có:

(

G )

(
=

G )

(

G )

(

G )

( G

G )

( G

G )

( G

G

G

G

G

G

G

G )

G

Từ đây suy ra:
,

G (x) (
R .

Trong đó

)G

(

)G

(1.27)

G

(1.28)

R .

được gọi là tensor độ cong Riemann.
Có thể thử trực tiếp các tính chất đối xứng của R .

R .

= R .

R .

+R .

(1.29)
+R .

=0

(1.30)


13

Bên cạnh R .

R

cũng thường dùng R

=g R .

; R .

liên hệ với nhau bởi metric tensor
(1.31)

g R

Có thể thử trực tiếp các tính chất đối xứng của R

R

=- R

R

=- R

R

=- R

(1.32)

Công thức (1.27) viết cho covariant vector, với contravariant vector ta có:

,

F

,

(g F )

=g

,

=g R .
Từ R .

F

F

lập đại lượng R

g R .

g R

R .

F

F

R .

F
(1.33)

g R

được gọi là Ricci tensor.
Có thể thử trực tiếp tính chất đối xứng R

Từ Ricci tensor R

lập đại lượng R

g R

(1.34)

R

R

(1.35)

được gọi là độ cong vô hướng.
1.4. Tác dụng bất biến tƣơng đối rộng
Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi Lagrangian bất biến L(x) thì tác
dụng định nghĩa bởi A

d 4 xL(x) cũng bất biến.

Trong lý thuyết tương đối tổng quát thì không như vậy. Để xây dựng
tác dụng bất biến thay vì d 4 x ta phải tìm phần tử bất biến tương ứng.
Từ quy luật biến đổi của metric g (x)
g ' (x ' )

x
x
. ' .g (x)
'

x
x

(1.36)


14

ta tìm quy luật biến đổi của định thức

g 00
g10
g 20
g30

g det(g )

Kí hiệu: (g) ma trận có phần tử hàng

x
x'

từ đây suy ra g '

det

trong đó J det

x
x'

Mặt khác ta có: d x
4

cột

g

x
.g.det
x'

x
x'

J 2 .g

4

J.d x

g 03
g13
g 23
g 33

(1.37)

x
x'

là

T

x
x'

x
D ' .d 4 x '
x

g 02
g12
g 22
g 32
là g

x
x'

ta viết lại (1.36) thành (g )

gd 4 x

cột

ma trận có phần tử hàng

'

tức là

g 01
g11
g 21
g 31

'

(1.38)

g' 4 '
dx
g

g' d 4x '

(1.39)

Vậy từ Lagrangian bất biến L ta có thể lập tác dụng bất biến dạng

S

d4x

(1.40)

gL(x)

Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất (x) và trường hấp dẫn (thể
hiện trong metric tensor g (x) ) Einstein đã chọn là

L(x) L( ,g) R L( ,
trong đó L( ,

) mô tả hệ trường vật chất

thu được từ Lagrangian tự do của trường
Lorentz trước đây với sự thay thế

(x) bằng

)

(1.41)

tương tác với trường hấp dẫn
như trong lý thuyết bất biến

(x) .


15

1.5. Phƣơng trình Einstein
Phương trình trường hấp dẫn thu được từ nguyên lí tác dụng tối thiểu
áp dụng cho tác dụng (1.40) và (1.41)

S' 0

S Sg S
Sg

d4x

gR

S

d4x

gL( ,

(1.42)

)

Sg mô tả bản thân trường hấp dẫn, S mô tả trường vật chất tương tác
với trường hấp dẫn.
Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lí biến phân đối với tác
dụng (1.42):

S

Sg

S

0

Tính lần lượt Sg và S . Ta có:

Sg

d4x

g .g R

g g .R

gg . R

Tính các biến phân ở vế phải, ta có:

g
g
Để tính

g

. g

1
2

g
. g
g g

g

ta viết g dưới dạng:
g
g

1
4!

g g g g

dg

1
3!

dg g g g

Từ dó suy ra:

Thay vào đây

dg

dg .g g

(1.43)


16

và sử dụng các đồng nhất thức

g g g g

.g

3!
ta có:

dg g.g dg
g
g

và từ đây suy ra:

g.g

Kết quả là:

1

g
Để tính R

2

g

g.g

g

g

2

g

g

(1.44)

ta dùng hệ quy chiếu quán tính định xứ, tại đó liên thông

0 . Lúc này ta có:

Affine

R

R .
(1.45)

Do cấu trúc tensor nên hệ thức cuối cùng này đúng cho mọi hệ quy chiếu.
Vậy ta có:

d4x

gg

d4x

R

gg

(1.46)

Lại chú ý rằng trong hệ quy chiếu quán tính:

g
nên

g

g

g

0

0 trong mọi hệ quy chiếu (do cấu trúc tensor), và do đó ở vế phải

g

của (1.46) ta có thể đưa g

d4x

gg

vào trong

d4x

R

g

và viết:

g

g

Tiếp tục biến đổi vế phải.
Xét

F với F

g

hoặc g

.

(1.47)


17

Ta có:

F

Do

F

F

1
g
2

g

1 g
. g
2g g
nên

g

g

1
2

(ln g)
1

F

và từ đây:

d4x

và tại mặt biên

g

1
2

1
g

(

g)

gF

g
d4x

F

ln( g)

gF

0

0

Kết quả là phương trình (1.43) sẽ thành:

d4x

Sg

1
g R R
2

g

g

(1.48)

Chuyển sang tính S . Ta có:

d4x

S

gL
gL

4

dx

. g

g

(1.49)

L
g

g

g

Ta biến đổi số hạng cuối như sau:
d4x

g

d4x

d4x

L
g

d4x

g
L
g

g

d4x

g

L
g

g

g

L
g
g

g
L
g

. g

g

như vậy (1.49) sẽ thành:

S

8 . d4x

gT( ) . g

(1.50)


18

trong đó:
T(

1
8

)

gL

1
g

gL

g

được gọi là tensor năng xung lượng của trường
trụ

(1.51)

g

,

là hằng số hấp dẫn vũ

= 6,67.10-8 cm2.sec-2.g-1.

Kết hợp (1.48) và (1.50), nguyên lí biến phân S 0 cho ta phương trình:

1
g R R
2

8 .T (

)

(1.52)

được gọi là phương trình Einstein cho trường hấp dẫn.
Từ (1.52) ta có:

R 8 .g T (

)

8 T(

)

(1.53)

thay ngược lại vào (1.52), ta có:
1
g T(
2

Trong chân không T(

)

)

T(

)

1
R
8

0 , và phương trình (1.54) cho R

(1.54)

0.

Các kết quả này dẫn đến kết luận sau:
Tính chất hình học của không - thời gian được quyết định bởi trường
vật chất ở trong đó. Ta cũng nhận xét rằng vế trái phương trình Einstein
(1.52) là phạm trù hình học, còn vế phải là phạm trù vật lí. Trong tinh thần đó
người ta diễn tả một cách hình ảnh phương trình Einstein là:
HÌNH HỌC = VẬT LÍ.


19

CHƢƠNG 2
TRƢỜNG SPINOR HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT

2.1. Metric và vierbein
2.1.1. Vierbein
Vierbein (còn gọi là Tetrad) là bộ 4 vector độc lập tuyến tính, được đánh số
a

bởi các chữ a, b, c, … = 0, 1, 2, 3, thường được kí hiệu bởi v (x) , với các
a

thành phần v (x) thỏa mãn điều kiện:
a

v (x) v

b

(x) =

ab

(2.1)

ab

là metric phẳng Minkowski

ab

= diag(1, -1, -1, -1)

M(x)

a

Hệ thức (2.1) cho ta hiểu rằng v (x) là những vector trực giao với nhau
trong một không - thời gian phẳng, không - thời gian phẳng này được chọn là
không - thời gian tiếp tuyến với không - thời gian cong đang xét tại điểm
M(x).
a

Cùng với các vierbein v (x) ta cũng đưa vào vierbein v(a) (x) thỏa mãn điều
a

kiện: v (x) v(b) (x) =

a
b

(2.2)

Các chỉ số a, b… được gọi là các chỉ số vierbein. Chú ý rằng vì là vector nên
a

v (x) và v(a ) (x) biến đổi theo quy luật:

v(a ) ' (x ' )
v'(a ) (x ' )

x (a )
.v (x)
x'
x'
.v(a ) (x)
x

dưới tác dụng của phép biến đổi tọa độ tổng quát.

(2.3)


20

Nhân hai vế phương trình (2.2) với v(a ) (x) ta có:
a

( v(a ) (x) v (x) ). v(b) (x) = v(b) (x)

(2.4)

a

Từ đây suy ra:

v (x) v(a ) (x) =

Nhân hai vế của (2.1) với

bc

(2.5)

, ta có:

a

v (x) .

bc

.v

b

(x) =

So sánh phương trình này với (2.2) ta có: v(c)
Như vậy ta thấy rằng: v(c)
Nhân hai vế (2.8) với

ac

cb

a
c

(2.6)
cb

v(b)

(2.7)

v(b)
ac

ta có:

(2.8)

v(a)

v(c)

(2.9)

Như vậy các chỉ số vierbein có thể đưa lên xuống bằng metric Minkowski.
2.1.2. Vierbein và metric
Ý nghĩa chính của vierbein là ở chỗ metric tensor có thể biểu diễn qua chúng,
nhân hai vế (2.5) với g (x) ta có:
a

v (x) v(a) (x) =

a

ab

b

v (x) v (x) = g (x)

(2.10)

Dùng (2.10), ta viết lại biểu thức của khoảng ds2 qua vierbein như sau:

ds2

g (x)dx dx

ab

v(a) (x)v(b) (x).dx dx

ab

dx (a)dx (b)

(2.11)

trong đó ta định nghĩa dx (a ) là thành phần vierbein của dx .

dx (a)

v(a)dx

(2.12)

nhân hai vế với v(a) và sử dụng (2.5) ta có hệ thức ngược lại:

v(a)dx (a)

dx

(2.13)

Tương tự như (2.12), ta định nghĩa thành phần vierbein của vector A như

A(a)

sau:
và

A(a)

ab

v(a) A
A(b)

(2.14)
ab

v(b) A

v(a) A

(2.15)


21

Một cách tổng quát các thành phần vierbein của một tensor (n, m) là:
)(a 2 )...(a m )
T(b(a11)(b
(x) v(a11 ) v(a22 ) ...v(ann ) .v(b11 ) v(b22 ) ...v(bnn ) .T 11 22...... nm
2 )...(bn )

(2.16)

)(a 2 )...(a m )
Rõ ràng rằng T(b(a11)(b
là bất biến đối với phép biến đổi tọa độ tổng quát.
2 )...(b n )

Kí hiệu (g) là ma trận 4x4 với phần tử hàng
4x4 với phần tử hàng a cột
cột b là

ab

cột

là g , ( v ) là ma trận

là v(a) , ( ) là ma trận 4x4 với phần tử hàng a

, ta viết lại hệ thức (2.10) như sau:

(g) (v)T ( )(v)
và từ đó ta có: g

(2.17)

v2

(2.18)

trong đó g det(g) , v det(v)
Ta hãy định nghĩa “đạo hàm dọc theo phương a”

x

(a )

F v (a )

x (a )

F là:

F
x

(2.19)

Từ (2.13) và (2.19) ta có:
F
dx (a )
(a )
x

F
dx (
( )
x

)

(2.20)

2.1.3. Biểu thức của vierbein
Để tìm biểu thức tường minh của vierbein, ta xuất phát từ hệ thức
(2.10) liên hệ vierbein với metric: g (x) =

a

ab

b

v (x) v (x)

Ta minh họa qua ví dụ cụ thể sau:
Xét metric dạng:

ds2

e2

(r,t)

dt 2 r 2 d

2

sin 2 .d

2

e2

(r,t)

dr 2

(2.21)

(tổng quát hóa metric Schwarzschild)
Ta đặt dx (a)
sao cho ds2

v(a)dx
ab

dx (a)dx (b)

(2.22)
(2.23)


22

có dạng (2.21)
Rõ ràng để được như vậy, ta có thể đặt
dx (0)

e dt , dx (1)

r sin d , dx (3)

rd , dx (2)

Tiếp theo ta diễn tả dt,d ,d ,dr qua dx 4

e dr

(2.24)

dt,dx,dy,dz , ta tính như sau:

dt dx 0 dt
1
1
1
dr
d(r 2 )
d x 2 y2 z2
xdx ydy zdz
2r
2r
r
sin .cos .dx1 sin .sin .dx 2 cos .dx 3

(2.25)

Với sự đồng nhất:
x0

t , x1

x , x2

y , x3

z , x '0

t , x '1

, x'2

, x '3

r

Để diễn tả rd ta dùng hệ thức z rcos

dz dr.cos
rd

rsin .d

cos
dr
sin

1
dz cos .cos .dx1 cos .sin .dx 2 sin .dx 3
sin

Để diễn tả rsin .d ta dùng hệ thức x rsin .cos

dx dr.sin .cos
r sin .d

d .rcos .cos

sin .cos
dr
sin

d .rsin .sin

rcos .cos
d
sin

1
dx
sin

sin .dx1 cos.dx 2

Thay các kết quả (2.25) vào (2.24) ta có:

dx (0)

e dx 0

dx (1)

cos .cos .dx1 cos .sin .dx 2 sin .dx 3

dx (2)

dx (3)

sin .dx1 cos .dx 2

e sin .cos .dx1 sin .sin .dx 2 cos .dx 3

Từ (2.22) và (2.26) suy ra:

(2.26)


23

v(0)
o

e , v1(0)

v(0)
2

v(1)
o

0

v1(1)

cos .cos

v(1)
2

cos .sin

v3(0)

0

(2.27)

v3(1)

sin

v(2)
0

0, v1(2)

v(3)
0

0

v1(3)

e sin .cos , v(3)
2

sin , v(2)
2

cos , v3(2)

0

e sin .sin , v3(3)

e cos

Dưới dạng ma trận ta có:

v(a )

e
0
0
0

0
cos cos
sin
e sin .cos

0
cos .sin
cos
e sin .sin

0
sin
0
e cos

(2.28)

Nhận xét rằng

v

(0)
i

0, v

(i)
0

Để tìm v(a) ta sử dụng hệ thức dx

0, v

(3)
i

xi
e
,i 1,2,3

r

v(a)dx (a)

Tính tương tự như trên, ta có:
dx 0

dt

e dx (0)

dx1

d r sin .cos

sin .cos dr rcos .cos d

r sin .sin d

cos .cos .dx (1) sin .dx (2) sin .cos .e dx (3)
dx 2

dx3

d r sin .sin

sin .sin dr rcos .sin d

cos .sin dx (1)

cos .dx (2) sin .sin .e dx (3)

d(rcos ) cos .dr rsin .d

r sin .cos d

sin.dx (1) e cos .dx (3)


24

Từ đây ta suy ra

v0(0)

0
e , v(1)

v1(0)

0

v1(1)

cos .cos

v1(2)

0
v(2)

v0(3)

0

sin

v1(3)

e sin .cos

2
v(0)

0

2
v(1)

cos .sin

2
v(2)

cos

2
v(3)

e sin .sin

v3(0)

0

v3(1)

sin

v3(2)

0

v3(3)

e cos

(2.30)

Dưới dạng ma trận ta có:

v(a )

e
0
0
0

0
cos cos

cos .sin
sin

vi(0)

0, vi(0)

0
sin
cos
0

0
e sin .cos
e sin .sin
e cos

(2.31)

Nhận xét rằng

0, vi(3)

xi
,i 1,2,3
r

e

Có thể kiểm tra trực tiếp rằng các các ma trận (2.28) và (2.31) thỏa mãn điều

a

kiện (2.2): (v ) (v(b) ) = ( ab ) và (2.5) (v(a ) ) (v(a ) ) = ( )
Sử dụng các biểu thức (2.28) của v

a

có thể dễ dàng tính ra tensor

metric g (x) trong tọa độ Decartes theo công thức: g

ab

v(a) v(b)


25

hoặc dưới dạng ma trận:

(g ) (v(a) )T (
e
0
0
0
e
0
x
0
0

ab

0
cos cos
cos .sin
sin

0
sin
cos
0

0
cos cos
sin
e sin .cos

e2
0

)(v(b) ) =
0
e sin .cos
e sin .sin
e cos
0
cos .sin
cos
e sin .sin

0
1

1 e

0

1 e2

0

2

1 e

x

0
sin
0
e cos

=

0
x2
r2

2

yx
r2
zx
r2

(2.32)

0

xy
r2
y2
2
1 1 e
r2
zy
1 e2 2
r
1 e2

1 e2
1 e2
1

1 e

xz
r2
yz

r2
2

z2
r2

trong đó ta đã sử dụng các hệ thức liên hệ tọa độ Decarter với tọa độ cầu

x rsin .cos , y rsin .sin , z rcos
Chẳng hạn, ta có:

g11

cos 2 .cos 2

sin 2

1 sin 2 .cos 2
1 (1 e2 )sin 2 .cos 2
x2
1 (1 e ) 2
r
2

Kết quả trên có thể viết gộp lại như sau:

e 2 sin 2 .cos 2


26

g 00

e2

g 0i

gi0

(2.33)

0
xi x k
(1 e ) 2
r
2

gik

ik

Dĩ nhiên rằng kết quả này trùng với kết quả tính theo công thức:
g (x)

x' x' '
.
.g (x ' )
x
x

g (x)

x
x '
.
.g (x ' )
'
'
x
x

2.2. Ma trận Dirac
Trường Fermion tương ứng với hạt có spin

1
. Lý thuyết về trường
2

spinor trong không – thời gian cong phức tạp hơn nhiều so với các trường
tensor. Trường Fermion mô tả bởi hàm sóng
bởi bốn chỉ số Dirac

(x) bốn thành phần đánh dấu

= 1, 2, 3, 4, có thể viết dưới dạng ma trận 4 x 1

(x)
2 (x)
3 (x)
4 (x)

1

(x)

(2.34)

Nhắc lại rằng trong lý thuyết tương đối hẹp với không - thời gian phẳng thì

(x) (x)
(x)

(x)

Trong đó

(x) là vô hướng,

(x)

(x)

1 cột 4 hàng

là vector, …

( )

là ma trận liên hợp hermitic của

(x) 0 ,
1

2

3

ở (2.34)
(2.35)

4

là các ma trận Dirac 4 x 4 thỏa mãn các hệ thức giao hoán

,

2

(2.36)