Giáo trình Thuỷ Lực tập 2

GS. TS. Nguyễn Cảnh Cầm - GS. TS. Nguyễn văn cung
TSKH. Lưu công đào - PGS. Nguyễn như khuê
PGS. TS. Võ xuân minh - PGS. TS. Hoàng văn quý
GS. TS. Vũ Văn Tảo

Thủy lực
Tập II
(Tái bản lần thứ ba có chỉnh lý và bổ sung )

nhà xuất bản nông nghiệp
Hà nội - 2006


2


lời nói đầu
(Cho lần tái bản thứ ba)

Giáo trình Thủy lực trọn bộ gồm 19 ch-ơng, đ-ợc chia làm
02 tập. Tập I do GS. TS. Vũ Văn Tảo chủ biên, còn tập II do
GS. TS. Nguyễn Cảnh Cầm chủ biên. Bộ giáo trình này đ-ợc
xuất bản năm 1968 và tái bản vào các năm 1978 và 1987. Riêng
lần tái bản thứ hai năm 1987, do yêu cầu về khung ch-ơng
trình đào tạo lúc đó nên đ-ợc chia ra 03 tập.
Trong lần tái bản thứ ba này, chúng tôi chia thành 02 tập.
Tập I gồm 09 ch-ơng và tập II có 10 ch-ơng.
Về cơ bản, chúng tôi giữ lại nội dung của lần tái bản thứ
hai và có chỉnh lý, bổ sung một số chỗ.
Lần thứ ba này do GS. TS. Nguyễn Cảnh Cầm phụ trách.
Trong quá trình chuẩn bị cho việc tái bản lần thứ ba này,

Bộ môn Thủy lực Tr-ờng Đại học Thủy lợi đ đóng góp nhiều
ý kiến quý báu. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.
Chúng tôi mong nhận đ-ợc nhiều ý kiến nhận xét và góp ý
của bạn đọc.
Những ng-ời biên soạn

3


4


Chương X

Dòng chảy ổn định trong sông thiên nhiên
Đ10-1. Đặc điểm chung và cách chia đoạn
So với dòng chảy trong kênh máng hở, dòng chảy trong sông phức tạp hơn nhiều,
vì các yếu tố thủy lực thay đổi rất phức tạp dọc theo dòng chảy. Ngoài các yếu tố thủy lực
ra, độ nhám của lòng sông cũng khác nhau rất nhiều, Ngay tại một mặt cắt, độ nhám ở hai
bên bờ và ở giữa lòng sông cũng không giống nhau.
Nếu xét một cách thật chặt chẽ, dòng chảy trong sông không phải là một dòng ổn
định vì lưu lượng trong sông luôn luôn thay đổi theo thời gian. Chưa bao giờ có một con
sông nào trong một thời gian khá dài lại có một lưu lượng không đổi.
Không những lưu lượng trong sông thay đổi theo thời gian mà các yếu tố khác: w, B,
c, n,... cũng thay đổi theo thời gian do dòng sông bị biến hình, bị xói lở, bồi lắng, v.v..., gây
nên. Do đó, lưu tốc v trong sông cũng luôn luôn thay đổi theo thời gian và không gian.
Nhưng nói chung sự thay đổi theo thời gian ở trong sông không phải xảy ra một cách
đột ngột, mau chóng mà rất chậm (trừ thời kỳ lũ, sự thay đổi của các yếu tố trong sông xảy
ra nhanh hơn) do đó, lúc tiến hành tính toán cho dòng chảy trong sông lúc không có lũ, ta
có thể xem dòng chảy đó là dòng ổn định.

Trong chương này, ta sẽ xét cho dòng sông có điều kiện như thế, nghĩa là trong một
khoảng thời gian dài, các yếu tố thay đổi rất từ từ, như là dòng ổn định, còn với dòng sông
không có điều kiện như trên, nghĩa là các yếu tố thay đổi nhiều theo thời gian thì phải xem
là dòng không ổn định (sẽ nghiên cứu ở chương XI).
Một đặc điểm khác của lòng sông là không có một độ dốc thống nhất của đáy. Đáy
sông thực tế không bằng phẳng, trơn tru mà là gồ ghề, lồi lõm. Do đó, trong sông ta không
đề cập tới độ dốc của đáy.
Tóm lại, có thể xem sông là một kênh hở, không lăng trụ, vô cùng phức tạp; trong đó
các yếu tố của nó: w, B, c,... không thể viết dưới dạng một hàm số đơn giản của độ sâu và
chiều dài được.
Do tính chất phức tạp như vậy, nên không thể giải trực tiếp các phương trình vi phân
viết cho dòng chảy trong sông dù là cách giải gần đúng; mà thường phải đổi thành phương
trình sai phân để giải.
Dùng phương trình sai phân để giải, thì vấn đề quan trọng nhất là việc chia đoạn; phải
chia đoạn sao cho trong các đoạn được chia đó, áp dụng phương trình sai phân được đúng
đắn và có kết quả tốt nhất.
5


Lúc chia đoạn có thể dựa vào mấy nguyên tắc sau:
Lưu lượng trong đoạn không thay đổi; nghĩa là trong đoạn đang xét không có sông
nhánh, sông con chảy vào hay chảy ra.
1. Mặt cắt của lòng sông thay đổi ít.
2. Trong mỗi đoạn nên có một độ dốc mặt nước và có một độ nhám thống nhất.
Thường có thể dùng bản đồ địa hình để chia đoạn sông. Nhưng nếu muốn chính xác
hơn, ngoài bản đồ địa hình ra ta còn phải vẽ ra các chi tiết cần thiết của các mặt cắt. Ví dụ
vẽ đồ thị quan hệ của w, B, n,... theo l (hình 10-1). Ngoài ra còn phải dùng các tài liệu của
trạm đo mực nước vẽ ra đường mặt nước dọc theo sông, để trên cơ sở đó chia đoạn sông
được hợp lý nhất (hình 10-2).
w, B, nw

B
n

w
B
n

ll

Hình 10-1
1

2

I

II

3 4

III IV

5

6

V

Hình 10-2

7

VI

Theo cách chia như trên, các đoạn sông có thể dài ngắn rất khác nhau tùy theo tình
hình cụ thể của mỗi đoạn. ở những chỗ quan trọng, ví dụ những đoạn mà ở đó sẽ xây dựng
các công trình cần chia nhiều đoạn hơn nghĩa là lấy các mặt cắt sát nhau hơn, vì ta biết rằng
càng chia nhiều đoạn độ chính xác càng cao. Tuy nhiên mức độ chính xác còn phụ thuộc
vào độ chính xác của tài liệu. Lúc thiếu tài liệu hay tài liệu thiếu chính xác, sự chia thật
nhiều đoạn cũng không cần thiết vì không mang lại kết quả đáng tin cậy hơn; vì rằng độ
chính xác của tính toán phải thích ứng với độ chính xác của tài liệu thì độ chính xác đó mới
có giá trị thực tế. Ví dụ do cố gắng tính toán mà đạt tới độ chính xác là mi-li-mét chẳng hạn
nhưng các số liệu dùng để tính lại sai số đến hàng mét hay đề-xi-mét thì việc cố gắng tính
thật chính xác tới mi-li-mét là không có ý nghĩa.
6


Đ10-2. Phương trình cơ bản của dòng chảy trong sông
Trong kênh máng nhân tạo do có độ dốc đáy i xác định (i = const) nên thường dùng
phương trình cơ bản cho sự liên hệ giữa độ sâu dòng chảy h và chiều dài l; còn ở trong sông
vì đáy sông mấp mô, lồi lõm nên độ sâu h thay đổi một cách phức tạp và hầu như vô quy
luật nên ta không xét quan hệ giữa h và l, mà xét quan hệ giữa cao trình mặt nước theo
chiều dài dòng chảy l.
Từ (9-27) ta đ có:
-

dz d ổ v 2
= ỗ
dl dl ỗố 2g

J=

ở đây:
Vì rằng

ử
ữữ + J
ứ

(1)

dh w ổ dh d dh c ử
=ỗ
+
dl
dl ữứ
ố dl

dh d Q 2
= 2
dl
K

Và tổn thất cục bộ thường biểu thị dưới dạng của thừa số cột nước lưu tốc:
h c = xc

v2
2g

nên (1) viết được là:

-

dz Q 2 d ổ v 2
=
+ ỗ
dl K 2 dl ỗố 2g

ử
d ổ v2 ử
ữữ + xc ỗỗ ữữ
dl ố 2g ứ
ứ

(10-1)

Đây là phương trình vi phân cơ bản của dòng chảy ổn định trong sông. ý nghĩa các
số hạng của phương trình như sau:
ổ dz ử
1. ỗ ữ biểu thị sự thay đổi của cao trình đường mặt nước trên sông, có thể âm (-)
ố dl ứ
hoặc (+).
ổ Q2
2. ỗ 2
ỗK
ố
3.

ử
ữữ biểu thị tổn thất dọc đường; luôn luôn dương (+).
ứ

d ổ v 2
ỗ
dl ỗố 2g

ử
ữữ biểu thị sự thay đổi động năng trung bình do biến thiên lưu tốc; có thể âm
ứ
(-) hoặc dương (+).

4. c

d ổ v2 ử
ỗ ữ biểu thị tổn thất cục bộ; luôn luôn dương (+).
dl ỗố 2g ữứ
7


Kết hợp điểm 3. và 4. ta thấy rằng xc có thể là âm (-) hoặc dương (+). Điều này cần
chú ý vì ta thường quan niệm các hệ số luôn luôn dương (+). ở đây xc có thể là dương, âm
hoặc bằng không.
Để tính toán, ta đổi phương trình vi phân (10-1) thành phương trình sai phân.
Tất cả các yếu tố thuộc mặt cắt dưới được ký hiệu chỉ số d; còn ở mặt cắt trên ký
hiệu chỉ số t (hình 10-3), ta được (1):
Dz = (zd zt) =

ổ v2 v2 ử
l + ( + c ) ỗ d - t ữ
ỗ 2g 2g ữ
K2

ố
ứ

Q2

(10-2)

Trong phương trình (10-2) xem: ad = at = a, còn xc thì lấy giá trị trung bình của
nó c .
Giá trị c xác định như sau:
1. Với những đoạn sông thu hẹp dần nghĩa là vd > vt, do tổn thất cục bộ không lớn lắm
nên thường lấy c = 0.
Lúc đó (10-2) sẽ là:
Dz = zt zd =

ổ v2 v2 ử
l + ỗ d - t ữ
ỗ 2g 2g ữ
K2
ố
ứ

Q2

(10-3)

2. Với đoạn sông mở rộng, nghĩa là vd < vt, tổn thất cục bộ lớn hơn trường hợp trên.
Nhiều nhà khoa học lấy c = -1 (2).
Lúc đó (10-2) sẽ là:
Dz = zt zd =

Q2
K2

l

(10-4)

Nhưng nói chung tổn thất cục bộ ở trong sông rất không đáng kể so với tổn thất dọc
đường nên thường có thể bỏ qua, lúc đó ta dùng biểu thức (10-3).
Nếu bỏ qua các số hạng biến đổi động năng do lưu tốc thay đổi
ổ Q2
bé so với tổn thất dọc đường ỗỗ 2
ốK

d ổ v 2
ỗ
dl ỗố 2g

ử
ữữ vì cũng rất
ứ

ử
ữ , phương trình tính toán sẽ là (10-4).
ữ
ứ

Trong chương này, để tiện lợi, ta ký hiệu Dz = zt zd tuy rằng điều này trái với quy ước thông thường về số
gia (Dz = zd zt); còn Dl vẫn theo quy ước chung Dl = ld - lt.

(1)

(2)

8

Riêng N. N. Pavơlôpski đề nghị lấy

c = -0,5.


E

t

d
E
vd2
2g
p

2
t

v
2g

p

z

t

zd
t

0

0

lt

ld

Hình 10-3
Để tính toán dòng chảy trong sông bằng các công thức trên, phải biết các yếu tố thủy
lực của mặt cắt: w, c, R, B, K, v.v..., độ nhám n và các trị số trung bình của nó.

Đ10-3. Cách xác định các yếu tố thủy lực của mặt cắt
và độ nhám lòng sông
Các đại lượng đặc trưng của mặt cắt phải do tài liệu thực đo mặt cắt ngang mà tính ra
(hình 10-4). Vì chiều rộng sông thường lớn hơn nhiều so với chiều sâu nên để đơn giản
thường lấy:
B

h

h

Hình 10-4

- Đối với sông rộng: c = B và R =


= = h.
B

- Đối với sông hẹp: c = B + 2h và R =


.
B + 2h

Còn các trị số trung bình thường tính như sau:
=

1
( + t ) ,
2 d

=

1
( + t ) ,
2 d
9


R=

w

1
hay là R = ( R d + R t )
c
2

(a) ỹ
ù
ù
ù
1
ù
(10-5)
hay là
K 2 = (K 2d + K 2t ),
(b) ý
2
ù
ù
ổ 1 ử 1ổ 1
1 ử
ù
hay là
=
+
.
(c)
ỗ
ữ
ỗ 2ữ
2 ữ

ỗ 2
ùỵ
ố K ứ 2 ố Kd Kt ứ
Còn việc chọn độ nhám để tính toán dòng chảy trong sông là một vấn đề vô cùng
quan trọng phải được đặc biệt chú ý: vì rằng độ nhám ảnh hưởng rất lớn tới kết quả tính
toán. Chỉ cần một sai lầm nhỏ lúc chọn độ nhám là có thể ảnh hưởng rất lớn tới kết quả
cuối cùng. Vả lại độ nhám trong sông không phải là đồng nhất mà khác nhau rất nhiều dọc
theo dòng chảy, và ngay trên một mặt cắt, độ nhám ở hai bên bờ và ở lòng sông cũng rất
khác nhau. Ngoài ra độ nhám của sông còn phụ thuộc cả vào mực nước và lưu lượng, v.v...
K 2 = 2 C 2 R,

Do đó tốt nhất là không dùng trực tiếp độ nhám để tính toán mà dùng các tài liệu thực
đo, trong đó đ bao hàm tất cả các yếu tố thủy lực, kể cả độ nhám để tính toán thì tốt hơn.
Nếu muốn dùng trực tiếp độ nhám thì độ nhám đó phải tính ra từ tài liệu thực đo của
đoạn sông định nghiên cứu. Cách tính như sau: từ phương trình cơ bản (10-2) thay K tính
theo (10-5a), sau khi giải ra ta được hệ số Sedi C :
C=

Q 2 Dl
.
ổ v 2d v 2t ử 2
Dz - ( + c ) ỗ
ữw R
ỗ 2g 2g ữ
ố
ứ

(10-6)

Vế phải của (10-6) là các đại lượng đ biết theo tài liệu địa hình và quan trắc thủy

văn, do đó tính được C . Có C theo một trong các công thức thực nghiệm xác định hệ số
Sedi đ xét ở chương IV ta sẽ tính được n.
Trong thực tế hiện nay để đơn giản thường tính n xuất phát từ (10-4). Thay K tính
theo (10-5a) vào (10-4) và tính C theo công thức Maninh (4-112) sau khi giải ra ta được:
R2 / 3 J 1/ 2
,
(10-7)
v
Dz
ở đây:
J=
.
Dl
Cuối cùng, nếu không có tài liệu thực đo để tính n theo (10-6) hoặc (10-7) thì có thể
lấy trị số n ở các bảng độ nhám đ lập sẵn hoặc lấy độ nhám của đoạn sông khác hoặc của
con sông khác có điều kiện tương tự. Hệ số nhám n của lòng sông thiên nhiên có thể lấy ở
phụ lục (10-1).
n=

10


Đ10-4. Cách lập đường mặt nước bằng tài liệu địa hình
Tài liệu địa hình bao gồm tài liệu hình học của mặt cắt (B, R, w,...), hệ số nhám và hệ
số cản cục bộ của lòng dẫn. Dùng phương trình (10-2) (1)
Dz = zt zd =

ổ v2 v2 ử
l + + c ỗ d - t ữ
ỗ 2g 2g ữ

K2
ố
ứ

Q2

(

)

Trong trường hợp này, đ biết:
- Lưu lượng Q,
- Cao trình mặt nước ở mặt cắt dưới (zd).
Có zd sẽ tính được các yếu tố thủy lực của mặt cắt dưới: wd, Kd, vd, v.v... Vấn đề còn
lại là xác định cao trình mặt nước ở mặt cắt trên (zt).
Do không thể giải ngay được zt từ phương trình trên nên nói chung cách giải là phải
tính đúng dần. Nguyên tắc chung cũng như lúc tính cho kênh lăng trụ và không lăng trụ là
phải giả định zt. Có zt ta tính được vế trái của (10-2) là Dz = zt zd. Có zt ta cũng tính được
Kt và vt; do đó tính được vế phải của (10-2). So sánh hai số tính ra, nếu bằng nhau là kết
quả đúng, nếu không, phải giả định lại zt và tính lại như trên. Đây chính là nguyên lý và
đường lối chung để tính đường mặt nước trên sông.
Nhưng thông thường người ta tính trước và vẽ các quan hệ cần thiết rồi tiến hành tính
toán bằng đồ giải. Có rất nhiều cách chuẩn bị trước như thế. ở đây giới thiệu một trong các
cách thường dùng trong thực tế.
Tính

1
K2

theo (10-5c); xong thay vào (10-2), sau khi biến đổi và sắp xếp lại ta có:

ộ ổ l
+ c
Dz = Q 2 ờỗ 2 +
ờởỗố 2K d 2g 2d

Đặt:

h(z) =

l
2K

2

+

ử ổ l
+ c
ữ+ỗ 2 2
ữ ỗ 2K
ứ ố t 2g t

+ c
2g 2

ửự
ữỳ
ữỳ
ứỷ
(10-8)

(1)

Thực chất của phương trình (10-2) là phương trình Bécnuiy viết cho hai mặt cắt của đoạn sông, do đó cách
trình bày này còn gọi là phương pháp vẽ đường mặt nước trong sông bằng cách ứng dụng trực tiếp phương
trình Bécnuiy.

(

Có thể bỏ qua + c

)

2
ổ v 2d v 2t ử
Q
l
ỗ - ữ nếu nó quá nhỏ so với
ỗ 2g 2g ữ
2
K
ố
ứ

11


l

F(z) =

thì

Dz = Q2 [h(zd)+ F(zt)]

2K 2

-

+ c

và:

(10-9)

2g 2

(a)

Theo (10-8), (10-9) tính và vẽ lên đồ thị quan hệ h(z) và F(z) cho các mặt cắt (hình
10-5).
z
z4

z3

S
P

z2

K

T
z1

R

j
j

M

N

-

-

0

f(z)

h (z)

Hình 10-5
Với hình (10-5), ta có cách đồ giải như sau:
Trên hình (10-5), điểm M chỉ cao trình của z1 = zd.
Giả sử đ tính được z2 = zt (điểm K).
Từ K và M kẻ các đường thẳng góc với trục z, gặp các đường h(z) và F(z) tại P và N.

Nối PN. Gọi góc giữa PN và MN hoặc PK là j.
Ta xét xem góc j có quan hệ như thế nào với các yếu tố của dòng chảy.
Từ hình (10-5) ta có:
+

MT = MN tg = (z d ) tg
TK = KP tg = (z t ) tg

MT + TK = MK = z = tg [ (z d ) + (z t )]

(b)

So sánh (a) và (b) ta có:
hay
12

ỹù
ý
= arctgQ 2 ùỵ
tg = Q 2

(10-10)


Có quan hệ này, việc tính toán tiến hành như sau:
Từ z1 đ cho (tại M) kẻ đường vuông góc với trục 0z, gặp đường h(zd) tại N. Từ N kẻ
đường NP hợp với MN một góc là j tính theo quan hệ (10-10). Từ P kẻ đường thẳng
vuông góc với Oz tại K. K chính là cao trình mặt nước tại mặt cắt trên z2. Từ đấy, lại vẽ tiếp
KR , RS , v.v... để tính z3, z4... (hình 10-5). Nếu trên tất cả các đoạn sông đều có lưu lượng
như nhau thì các đường NP , RS song song với nhau vì j không đổi. Khi cần vẽ nhiều

đường mặt nước ứng với các lưu lượng tính toán khác nhau thì chỉ cần thay đổi góc j mà
không cần vẽ lại họ đường cong h(z) và F(z). Đó là ưu điểm của cách này.
Lúc tính toán bằng đồ giải, một vấn đề rất quan trọng phải chú ý tới là vấn đề tỷ xích,
vì trên hình vẽ ta không thể lấy các tỷ xích đúng bằng ngoài tự nhiên được mà phải thu nhỏ
lại hoặc phóng đại lên với một tỷ lệ nào đó. Do đó, quan hệ (10-10) phải thay đổi chút ít.
Nếu 1 cm trên trục z ứng với a(m) thực tế, còn 1 cm trên trục h(z) và F(z) ứng với
b
10 n

(s

2

)

/ m5 ngoài thực tế, thì số đo các đoạn MK, MN, PK trong hình vẽ là:
MK =

Dz
;
a

MN =

(z)
;
b
10 n

PK =

(z)
;
b

(c)

10 n

còn theo cách vẽ, ta luôn luôn có:

(

MK = tg MN + PK

)

(d)

Đặt (c) vào (d) ta được:
z
ộ (z) + (z) ự
= tg ờ
ỳ
a
ở b 10 -n ỷ

z =

a 10 n

tg [ (z) + (z) ]
b

(e)

So sánh (a) và (e) ta có:
a n
10 tg = Q 2 ,
b
từ đó:
ỹ
ù
a 10
ù
ý
ổ b
2 ửù
= arctg ỗ
Q
ữù
ố a 10 n
ứỵ
tg =

hay

b

n

Q2

(10-11)

Trị số a, b, n tùy theo khổ giấy mà chọn cho thích hợp.
13


Đ10-5. Cách lập đường mặt nước trong sông
bằng tài liệu thủy văn
Tài liệu thủy văn là các đường quan hệ lưu lượng mực nước ở các trạm đo đạc thủy
văn trên sông trước khi xây dựng công trình. Sau khi xây dựng các công trình trên sông
(công trình giao thông, công trình chỉnh trị sông v.v...) quan hệ lưu lượng và mực nước ở
các trạm thủy văn phía thượng lưu bị phá vỡ. Ta phải dùng phương pháp thủy lực để lập
đường mặt nước và từ đó lập đường quan hệ lưu lượng mực nước mới.
Trong trường hợp này phương trình cơ bản là phương trình (10-4)
Dz =

Q2
K2

l .

Giải phương trình này bằng cách dựa vào giả thuyết môđun sức cản không đổi trình
bày dưới đây.

1. Giả thuyết mô đun sức cản không đổi
Ta viết (10-4) thành:
z
Q

2

=

l
K

2

=F

(10-12)

F xác định như trên gọi là mô đun sức cản. Khái niệm này được dùng đầu tiên trong
công trình nghiên cứu của Rakhơmanốp, Sau đó được Pavơlốpski, Bécnátski và một số
người khác sử dụng trong các tác phẩm của mình.
Từ (10-12) thấy rằng cấu tạo của nó giống như công thức tính tổn thất cột nước trong
ống ở khu bình phương sức cản:
hd =
ở đây

l
K2

Q2
K2

l = AQ 2

(1)

=A không đổi và gọi là hệ số sức cản.

So sánh (10-12) và (1) thấy rằng: F đóng vai trò như hệ số A. Do đó, Pavơlốpski đề
nghị gọi F là môđun sức cản.
Rakhơmanốp và Bécnátski nhận thấy rằng:
Nếu mặt cắt của lòng sông trong đoạn đang xét không thay đổi nhiều lắm, nếu độ
chênh lệch mực nước trên đoạn đó trong trạng thái tự nhiên cũng như trong trạng thái được
dâng lên không lớn lắm và không khác nhau lắm, có thể xem F không phụ thuộc vào độ
dốc của đường mặt nước mà chỉ phụ thuộc vào cao trình trung bình z mà thôi, nghĩa là:
F = f(z) ,
14

(10-13)


ở đây

z=

zt + zd
.
2

Biểu thức (10-13) nói lên rằng F chỉ thay đổi theo z chứ không thay đổi theo Dz và Q
và đó chính là nội dung của giả thuyết môđun sức cản không đổi.
Ta có thể minh hoạ giả thuyết trên như sau:
Xét một đoạn sông thỏa mn các điều kiện đ quy định ở trên.
Giả sử ứng với ba lưu lượng Q1, Q2, Q3 có ba đường mặt nước (a1 b1), (a2 b2),

(a3 b3), và ba độ hạ mực nước tương ứng là: Dz1, Dz2, Dz3 (hình 10-6).
Trong ba đường mặt nước trên, đường (1) và (2) có chung một cao trình trung bình
z = z1 = z 2 , còn đường thứ (3) có cao trình khác.
Thực tế quan sát ba trường hợp trên thấy rằng:
z t

F1 = F1 =

Q12

a3

= F2 =

z 2
Q 22

còn F3 =

z3

a2
a1

z1= z2

z3
Q32

có giá trị khác

Dz3
b3
b1 Dz1 Dz2
b2

Hình 10-6
Các nhận xét trên nói lên rằng giả thuyết (10-13) là đúng đắn (1).

(1)

Cũng có thể tính F theo Dl và

K2

Nếu tính K theo (10-5a) thì F chỉ là hàm số của z

vì K = C R = f ( z ) , còn nếu tính K theo

( )
Cũng có thể lập quan hệ F = f ( z ) theo tài liệu địa hình:

(10-5b) hoặc (10-5c) thì quan hệ F = f z chỉ là gần đúng.

Từ (10-12) ta có: F =

l
K

2

.

Có tài liệu địa hình và độ nhám của đoạn sông nghiên cứu, ta có thể tìm được K ứng với mỗi giá trị z .

( )

Cho một loạt z , ta xác định một loạt F tương ứng. Dựa vào kết quả đó, lập được quan hệ F = f z ; nhưng
thông thường ít khi lập theo tài liệu địa hình, vì phiền phức và không chính xác bằng cách lập theo tài liệu
thủy văn. Phương pháp dùng tài liệu đo đạc thủy văn được xem là tốt hơn vì tài liệu đó là tổng hợp của mọi
nhân tố ảnh hưởng tới dòng chảy, trong đó có độ nhám là một nhân tố rất khó xác định được chính xác. Do đó

( )

chỉ lúc nào không có tài liệu thủy văn mới phải dùng tài liệu địa hình để lập quan hệ F = f z .

15


Tóm lại giả thuyết môđun sức cản không đổi là gần đúng; nhưng trong một mức độ
chính xác cần thiết nó vẫn dùng được. Vả lại, sử dụng khái niệm này sẽ cho phép ta giải các
bài toán về sông thiên nhiên rất nhanh chóng và thuận lợi, nên hiện nay đang được sử dụng
rộng ri.

2. Cách lập quan hệ F = f ( z )
Muốn lập quan hệ F = f ( z ) cho một đoạn sông ta cần có tài liệu mực nước, lưu lượng
tại hai mặt cắt trên và dưới của đoạn sông đó.
Có tài liệu mực nước và lưu lượng ta tìm được:
Dzi = zti zdi ứng với lưu lượng Qi.
Theo công thức (10-12) tính ra Fi tương ứng:

Fi =

z i
Q 2i

Cũng theo tài liệu mực nước ở hai mặt cắt đ cho, ta tính được cao trình mực nước
trung bình:
zi =

z t i + z di
2

Có nhiều giá trị F1 và z i tương ứng, ta vẽ được quan hệ F = f ( z ) (hình 10-7).
z
Q4

z4

Q3

z3

Q2

z2

Q1

z1

III
II
I

Đoạn I
F4 F3

F2

F1
F

Hình 10-7
Trên đây là cách lập quan hệ F = f ( z ) theo tài liệu đo đạc thủy văn.
16


3. Lập đ-ờng mặt n-ớc bằng cách dựa vào quan hệ F = f ( z )
Có nhiều phương pháp lập đường mặt nước bằng cách dựa vào quan hệ F = f ( z ) .
ở đây chỉ giới thiệu ba phương pháp thường dùng:

a) Ph-ơng pháp của A.N. Rakhơmanốp (1930)
Cho biết zd; đường quan hệ F = f ( z ) , lưu lượng Q. Yêu cầu tìm z1.
Cách tính như sau:
- Giả định z1,
- Có z1 ta tính được z =

zt + zd
,
2

- Có z , tra quan hệ F = f ( z ) , tìm ra F,
- Tính Dz theo (10-12); Dz = F Q2,
- Có Dz tìm ra z1 = zđ + Dz.
- So sánh z1 giả định và z1 tính toán. Nếu chúng khác nhau thì phải giả định lại z1.
cho hai trị số đó xấp xỉ nhau.
A. N. Rakhơmanốp là người đầu tiên dùng khái niệm mô đun sức cản không đổi F
để tính đường mặt nước, tuy cách tính của ông chưa được hoàn hảo lắm vì còn phải tính
đúng dần.

b) Ph-ơng pháp đồ giải của N.N. Pavơlốpski (1935)
Trên cơ sở cách tính của Rakhơmanốp, Pavơlốpski hoàn thiện cách tính đường mặt
nước dựa theo quan hệ f ( z ) như sau:
Trên hình (10-8) điểm M chỉ cao trình mực nước của mặt cắt dưới zđ. Giả sử đ tìm
được z t (điểm N trên hình 10-8). Từ P là điểm biểu thị cao trình trung bình z , kẻ đường

thẳng vuông góc với Oz gặp đường f ( z ) tại T. Nối TN với TM. Gọi góc giữa MT, NT với

Oz là j.
Ta xét xem góc j có quan hệ với các yếu tố của dòng chảy như thế nào.
Từ hình (10-8) ta có:
MP = PT cotgj = Fcotgj,
MN = Dz = 2MP = 2Fcotgj

(1)

Từ công thức (10-12) suy ra được:
Dz = F Q2

(2)

17


So sánh (1) và (2) ta được:
2

Q = 2cotgj đ cotgj =

Q2
2

Z
z t III

z t II

zt I
zp P
zd

R
S

N

j
j
M

III

T
II
I
F

Hình 10-8
Từ đó:
ỹ
ù
Q
ù
ý
2
= arctg 2 ù
Q ùỵ
tg =

Từ đó
hay

2

2

(10-14)

Có quan hệ (10-14), việc tính toán dòng chảy trong sông rất tiện lợi.
Từ M ứng với zd (đ biết) kẻ một đường làm với trục Oz một góc j; j tính theo
(10-14), gặp đường f(z) tại T. Từ T lại kẻ một đường khác cũng hợp với Oz một góc là j và
gặp Oz tại N. N sẽ cho cao trình zt mà ta cần tìm.

Trên đây ta trình bày cách tính cho đoạn thứ nhất, còn đoạn tiếp theo cũng tính toán
giống hệt như vậy. Nếu lưu lượng trên các đoạn sông không đổi (Q = const) thì góc j của
các đoạn đó đều như nhau nên MT và NS, NT và RS sẽ là những đoạn thẳng song song với
nhau (hình 10-8).
Cũng như ở Đ10-3, vì tỷ xích dùng trên đồ thị khác với thực tế theo một tỷ lệ nào đó,
nên phải sửa đổi lại (10-14).
b
10
18

n

(s

Nếu 1 cm trên trục z ứng với a(m) ngoài thực tế và 1 cm trên trục F ứng với
2

)

/ m5 ta sẽ được:


ỹ
ù
ù
(10-15)
ý
n
ổ 2 a 10 ử ù
hay

= arctg ỗ 2
ữ
ỗQ
b ữứ ùỵ
ố
Ngoài phương pháp đồ giải vừa trình bày, Pavơlốpski còn đưa ra một phương pháp
nữa gọi là phương pháp nửa đồ giải, nửa giải tích; nhưng không tiện lợi lắm.
tg =

2 a 10 n
b
Q2

c) Ph-ơng pháp của N.M. Bécnátski (1933)
Gọi y là hàm số nghịch đảo của F:
y=

1
1
Q2
=
= (z ) =
F f (z)
Dz

(10-16)

Đường biểu diễn của y ( z ) như trên hình (10-9).
z

y (z)

zt N
z R

K

DW

zd M

S
P

y

Hình 10-9
Tại M và N là hai điểm ứng với mực nước zd và zt, kẻ hai đường vuông góc với Oz,
chúng gặp đường y ( z ) tại P và K.
Tại R ứng với z ta kẻ RS; RS = y ( z ) .
Diện tích hình thang cong MNKP có thể tính gần đúng bằng:
DW = M N RS = Dz y ( z )
DW = Dz

Q2
= Q2
z

(a)

Mặt khác, ta biết DW là tích phân định hạn của y ( z ) d ( z ) :
DW =

zt

ũ ( z )dz = ( z t ) - ( z d )

(b)

zd

19


( z ) = ũ ( z ) dz + C

ở đây:

(10-17)

So sánh (a) và (b) ta có:
Q2 = F(zt) F(zd) = F(z + Dz) F(z)

(10-18)

Từ (10-18) ta thấy rằng, nếu có đường quan hệ F ( z ) thì có thể tính một cách dễ
dàng các vấn đề sau:
- Nếu biết zt và zd thì có thể tìm được Q tương ứng (hình 10-10a).
- Nếu biết Q và zd thì cũng có thể tìm được zt tương ứng (hình 10-10b).
z

z

z+ D z

z+ D z

z

Q

z

2

f (z)

f (z)

a)

Q

2

f (z)

f (z)

b)

Hình 10-10: Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa z và F ( z )
Đường quan hệ F ( z ) xác định như trên gọi là đường cong chuẩn.
Chú ý rằng theo (10-17) hàm số F ( z ) có một hằng số cộng C tùy ý, do đó vị trí
đường F ( z ) theo trục hoành không cần xác định cụ thể mà có thể đặt ở đâu cũng được.
Vấn đề còn lại là tìm cách lập đường cong chuẩn F ( z ) .
Có hai cách lập đường F ( z ) , ở đây trình bày một trong hai cách đó.
Lấy một trong các đoạn sông đ được chia ra để xét. Tại hai mặt cắt trên và dưới của
đoạn đó đ có quan hệ Q = Q(z) như trên hình (10-11a).
Từ một giá trị lưu lượng Q1 bất kỳ kẻ đường thẳng đứng gặp hai đường Q(z) của hai
mặt cắt tại các điểm 1 và 2 ứng với zd = z1 và zt = z2. Mỗi giá trị z này sẽ có một giá trị
F(z) tương ứng: F(z1) và F(z2). Theo (10-18) ta có:
F(z2) - F(z1) = Q12
Vậy trên hệ tọa độ F ( z ) ~ z (hình 10-11b) ta lấy điểm M1 có tung độ z = zi và
hoành độ F(z1) là một số tùy ý C. Lấy đoạn M 1 M 1' = Q 12 ta được điểm M1. Từ M1
dóng lên gặp đường kẻ từ z = z2 tại M2.
20


Z

Z

(t)
(d)

M4

4

z4
3

z3

M3

3'

'

2

z2

2

z1

1'

M2

2'
M1
Q1

Q2

Q21

Q3

'

M2

2

Q2
M1'

Q3

M3

f (z)

Q

a)

b)

Hình 10-11
M1, M2 sẽ là hai điểm của đường cong chuẩn; vì rằng hai điểm đó có F ( z ) thỏa mn
hệ thức (10-18).
Tiếp tục xác định các điểm khác của đường cong chuẩn. Để tiện lợi ta lấy giá trị lưu
lượng Q2 trên trục hoành của hình (10-11a) sao cho zd = z2 (giá trị z2 đ xác định lúc lấy Q1).
Từ M2 trên (10-11b) lấy M 2 M '2 = Q 22 ta được điểm M2. Từ M2 dóng lên gặp

đường kẻ từ z = z3 tại M3.
Ta có F(z3) - F(z2) = Q 22 vậy M2, M3 là hai điểm của đường cong chuẩn.
Cứ thế lần lượt xác định được các
điểm khác: M4, M5, M6... của đường
F ( z ) . Nối các điểm M i ta được đường
cong chuẩn của đoạn đ cho. Chú ý
rằng mỗi đoạn (bao gồm hai mặt cắt)
mới có một đường cong chuẩn và các
đoạn khác nhau có các đường cong
chuẩn khác nhau.
Sau khi vẽ tất cả các đường cong
chuẩn của các đoạn lên cùng một biểu
đồ thì việc tìm nghiệm của bài toán rất
đơn giản. Từ z1 đ biết, tiến hành đồ
giải như hình mũi tên trên hình (10-12),
sẽ được cao trình mực nước của tất cả
các mặt cắt còn lại z2 z3 z4 v.v...

Z
V
z6
IV
z5
z4

III

2

Q5-6

2

Q 4-5
II

z3
z2
z1

2

Q 3-4

Đoạn I
2

Q2-3
2

Q1-2

f (z)

Hình 10-12
21


Đ10-6. Tính toán sông có bãi và đoạn sông rẽ dòng
1. Tính đoạn sông có bi
Tại đoạn sông có bi, vì mặt cắt phức tạp nên cần chia mặt cắt sông ra thành phần

dòng chính và phần các bi (hình 10-13). Để đơn giản và một cách gần đúng ta cho rằng
phần lưu lượng chảy trên bi Qb và lưu lượng chảy trong dòng chính Qc là riêng biệt (thực
tế do ảnh hưởng lưu tốc hướng ngang nên giữa hai phần đó vẫn có liên hệ với nhau). Ta có
tổng lưu lượng là:
Q = Qb + Qc .
B

A
bãi

dòng chính
a

a

bãi

b

b

B

A

Hình 10-13
Viết phương trình (10-4) cho dòng chảy chính và dòng chảy trên bi:
Dzc =

Dzb =

Q 2c
K2c
Q 2b
K 2b

Dlc đ Q c = K c

Dz c
Dlc

lb đ Q b = K b

z b
lb

Cho rằng chênh lệch mực nước ở hai đầu đoạn sông, trên dòng chính cũng như bi là
bằng nhau:
Dzc = Dzb = Dz,
và cho rằng chiều dài dòng chính cũng bằng chiều dài dòng chảy trên bi:
Dlc = Dlb = Dl,
ta có:
Q = Qc + Q b = K c

(

Q = Kc + Kb

22

)

z
z
+ Kb
,
l
l

z
z
=K
,
l
l


hay

Dz =

Q2
K2

l

nghĩa là ta lại có dạng tổng quát (10-4), nhưng ở đây:
K = Kc + Kb

(10-19)

Do đó, tính cho đoạn sông có bi cũng như cho đoạn sông đơn, chỉ khác là phải tính
K theo (10-19).
Cuối cùng cần chú ý rằng tính đoạn sông có bi không nên dùng giả thuyết môđun
sức cản không đổi vì rằng ở đây mặt cắt dòng sông khá phức tạp nên giả thuyết trên không
còn là gần đúng nữa.

2. Tính đoạn sông rẽ dòng
Xét đoạn sông rẽ dòng có hai nhánh: phải và trái (hình 10-14). Lưu lượng Q bằng
tổng lưu lượng nhánh trái Qt và lưu lượng nhánh phải Qp.
Q = Qt + Q p

(10-20)

áp dụng công thức (10-4) cho từng nhánh, ta được:
ỹ
lp ù
ùù
K 2p
ý
ù
Q 2t
z t =
lt ù
K 2t
ùỵ

z p =

Q 2p

(10-21)

a

B
1
Qt

Q

b

lt
a

Qp

d
A

b
2

lp

1

2

d
A- B

Hình 10-14
Nếu đoạn rẽ dòng không dài lắm, ta lấy các đoạn sông rẽ dòng từ mặt cắt (1-1) đến
mặt cắt (2-2) làm một đoạn tính toán.
23


Vậy:

Dzp = Dzt = Dz = z1 z2.

Thay vào công thức (10-21) ta được:

Vậy:

Qp = K p

z
,
lp

Qt = K t

z
,
lt

ổ K

Kt ử
p
ữ z .
+
Q = Qp + Qt = ỗ
ỗ lp
lt ữ
ố
ứ

Để đưa về dạng tổng quát (10-4), có thể viết công thức trên thành:
ổ
lp ử z
ữ
,
Q = ỗ Kp + Kt
ỗ
lt ữ lp
ố
ứ
Q= K

z
lp

Q2

hay:

Dz =

ở đây:

K = Kp + Kt

K2

lp
lp
lt

.

(10-22)

Do đó tính đoạn sông rẽ dòng không dài lắm thì cũng như tính cho đoạn sông đơn,
nhưng phải tính K theo (10-22) và chiều dài tính toán tương ứng Dlp.
Nếu hai nhánh đều dài và điều kiện thủy lực ở đó phức tạp thì trong mỗi nhánh cần
chia ra nhiều đoạn nhỏ, thí dụ bằng các mặt cắt (a-a), (b-b), (c-c), v.v... như ở hình (10-14).
Mỗi đoạn nhỏ của các nhánh đều phải thỏa mn phương trình (10-21), còn tổng độ
chênh mực nước của các đoạn đó trong cả hai nhánh phải bằng nhau nghĩa là:
n

m

i =1

k =1

ồ z p i = ồ z t k = Dz.

(10-23)

Bằng cách giải đúng dần hệ phương trình (10-20) và (10-23) sẽ tìm được Dz, Qp và Qt.
Cách tính là tự cho Qp và Qt phù hợp với (10-20) xong tính riêng cho từng đoạn của
mỗi nhánh theo (10-21), ta sẽ được ồDzpi và ồDztk. Nếu tự cho Qp, Qt đúng thì ồDzpi và
ồDztk sẽ thỏa mn (10-23). Nếu không, phải tự cho Qp, Qt các giá trị khác rồi tính lại như
trên cho tới khi (10-23) được thỏa mn.
24


Đ10-6. Độ dốc hướng ngang của sông - hiện tượng chảy vòng
Từ trước tới nay ta chỉ mới xét tới độ dốc của đường mặt nước J nghĩa là chỉ mới xét
theo mặt cắt dọc, còn trên mặt cắt ngang đường mặt nước coi như nằm ngang.
ở những đoạn sông cong, do tác động của lực quán tính ly tâm, mặt nước hướng
ngang không phải nằm ngang mà có một độ dốc nhất định, ta gọi là độ dốc hướng ngang Jn.
Có nhiều cách xét vấn đề này, ở đây ta dùng phương pháp tĩnh học.
Xét một đoạn sông cong có bán kính cong trung bình là R0 (hình 10-15). Lấy một hệ
trục tọa độ (zOr) gắn liền vào dòng chảy. Như vậy đây là trường hợp tĩnh tương đối nên có
thể dùng các nguyên lý về thủy tĩnh để xét.
z

B0
R2

z2
z
z1

r

R1

y
u2
=
F
A M r r
g

D z max

r

R1
0

u

-

R0

2

u

- Fr = r

r
R2

v0

Hình 10-15
Tìm phương trình mặt thoáng của mặt cắt ngang tại chỗ sông cong bằng cách dùng
phương trình (2-14):
Fxdx + Fydy + Fzdz = 0

(1)

Theo cách chọn trục ở trên, phương trình (1) sẽ là:
Frdr + Fzdz = 0

(2)
25