tối ưu hóa đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép sử dụng giải thuật một vòng lặp đơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------------

BÙI TRẦN VĨNH THÁI

TỐI ƯU HÓA ĐA MỤC TIÊU DỰA TRÊN ĐỘ TIN CẬY
CHO KẾT CẤU KHUNG THÉP
SỬ DỤNG GIẢI THUẬT MỘT VÒNG LẶP ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ
XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Tp. Hồ Chí Minh, Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------------

BÙI TRẦN VĨNH THÁI

TỐI ƯU HÓA ĐA MỤC TIÊU DỰA TRÊN ĐỘ TIN CẬY
CHO KẾT CẤU KHUNG THÉP
SỬ DỤNG GIẢI THUẬT MỘT VÒNG LẶP ĐƠN
Chuyên ngành

: Xây dựng Công trình dân dụng và Công nghiệp

Mã số chuyên ngành : 60 58 02 08
LUẬN VĂN THẠC SỸ XÂY DỰNG

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. Nguyễn Thời Trung
Tp. Hồ Chí Minh, Năm 2016


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng luận văn này “Tối ưu hoá đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết
cấu khung thép sử dụng giải thuật một vòng lặp đơn” là bài nghiên cứu của chính tôi.
Ngoại trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi cam đoan
rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được công bố hoặc
được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác.
Không có sản phẩm/nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong luận văn này
mà không được trích dẫn theo đúng quy định.
Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các trường đại
học hoặc cơ sở đào tạo khác.
Tp. HCM, ngày … tháng … năm 2016

Bùi Trần Vĩnh Thái


ii

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy PGS.TS. Nguyễn
Thời Trung. Cảm ơn Thầy đã đưa ra những định hướng để hình thành nên ý tưởng
của đề tài cũng như các phương pháp nghiên cứu hiệu quả giúp tôi hoàn thành tốt luận
văn này.

Tiếp đến, tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Trường Đại học Mở Tp. HCM,
Trường Đại học Bách Khoa Tp. HCM, Trường Đại học Tôn Đức Thắng đã truyền đạt
những kiến thức nền tảng rất bổ ích cho tôi trong suốt thời gian học vừa qua, đó cũng
là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp
của tôi sau này.
Tôi cũng in gửi lời cảm ơn đến các anh, chị nghiên cứu viên của iện hoa Học
Tính Toán T T-INCOS) Trường Đại học Tôn Đức Thắng. Đặc biệt là KS. Hồ Hữu
Vịnh đã luôn nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Và cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và các bạn của
tôi. Những người đã chia sẻ và giúp đỡ tôi trong những lúc khó khăn.
Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn!
Tp. HCM, ngày … tháng … năm 2016
Học viên

Bùi Trần Vĩnh Thái


iii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ
Luận văn nhằm nghiên cứu và giải bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy
cho kết cấu khung thép sử dụng giải thuật một vòng lặp đơn ác định với biến thiết kế
rời rạc và biến liên tục theo tiêu chuẩn thiết kế của Viện thép hoa Kỳ LRFD – AISC
(2010) và Tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thép Việt Nam (TCVN 5575:2012). Bài toán tối
ưu được thành lập với hai trường hợp thiết kế khác nhau bao gồm: 1/ Cực tiểu trọng
lượng và chuyển vị đỉnh của khung với biến thiết kế là các giá trị rời rạc được lựa chọn
từ bộ dữ liệu tiết diện thép cánh mỏng (W) theo tiêu chuẩn AISC; 2/ Cực tiểu trọng
lượng và chuyển vị đỉnh của khung với biến thiết kế là các giá trị liên tục được lựa
chọn theo giới hạn cho trước. Trong cả hai trường hợp khảo sát, hàm ràng buộc của bài
toán là các điều kiện ràng buộc về chuyển vị và độ bền yêu cầu của cấu kiện theo các

tiêu chuẩn thiết kế; biến ngẫu nhiên được xem xét là mô-đun đàn hồi vật liệu và tải
trọng tác dụng lên khung.
Phương pháp được sử dụng để tìm kiếm nghiệm tối ưu dựa trên độ tin cậy cho cả
hai trường hợp là phương pháp kết hợp giữa giải thuật một vòng lặp đơn ác định
SLDM (Single Loop Deterministic Method) và giải thuật di truyền phân loại không
trội NSGA-II (Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm). Ví dụ số được chia
làm hai phần: 1/ Phần một thực hiện cho năm bài toán kiểm tra (benchmarks) nhằm để
đánh giá độ tin cậy cũng như hiệu quả của phương pháp đề xuất trong luận văn so với
các phương pháp khác đã được công bố trước đó; 2/ Phần thứ hai là sự mở rộng của
phương pháp đề xuất cho bài toán ứng dụng thực tế, ở đó bài toán thiết kế kết cấu
khung trong hồ sơ thiết kế của Công ty cổ phần tư vấn đầu tư ây dựng Lập Việt được
khảo sát nhằm đánh giá khả năng áp dụng cũng như hiệu quả của phương pháp đề xuất
trong các bài toán thiết kế thực tế.
Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, khung thép, tối ưu hoá dựa trên độ tin cậy,
giải thuật một vòng lặp đơn, NSGA, NSGA-II.


iv

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................ii
TÓM TẮT LUẬN ĂN THẠC SỸ .............................................................................. iii
MỤC LỤC

............................................................................................................... iv

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ .......................................................................................vii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU................................................................................... ix
MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT ..................................................................................... xi

CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU ................................................................................................ 1
1.1 Đặt vấn đề ............................................................................................................... 1
1.2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước .................................................. 5
1.2.1

Thế giới .......................................................................................................... 5

1.2.2

Trong nước ..................................................................................................... 6

1.2.3

Kết luận .......................................................................................................... 7

1.3 Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................... 8
1.4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 8
1.4.1

Đối tượng nghiên cứu .................................................................................... 8

1.4.2

Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 8

1.5 Kết cấu luận văn ..................................................................................................... 9
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................... 10
2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu khung ................................................ 10
2.1.1

Phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu dàn ........................................... 10

2.1.2

Phương pháp phần tử hữu hạn cho dầm Euler-Bernoulli ............................ 15

2.1.3

Phương pháp phần tử hữu hạn cho khung phẳng ......................................... 19

2.2 Thiết lập bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu ............................................................. 25
2.2.1

Tổng quát ..................................................................................................... 25

2.2.2

Thiết lập bài toán theo tiêu chuẩn thiết kế của Viện thép Hoa Kỳ LRFD –

AISC (2010) .................................................................................................................. 26


v

2.2.3

Thiết lập bài toán theo tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thép Việt Nam TCVN

5575:2012 ...................................................................................................................... 32
2.3 Bài toán tối ưu hoá dựa trên độ tin cậy ................................................................. 37

2.3.1

Tổng quát ..................................................................................................... 37

2.3.2

Phương pháp một vòng lặp đơn ác định cho bài toán tối ưu hoá dựa trên độ

tin cậy

...................................................................................................................... 39

2.4 Phương pháp NSGA-II ......................................................................................... 41
2.4.1

Một số định nghĩa và thuật toán sử dụng trong phương pháp NSGA-II ..... 42

2.4.2

Vòng lặp chính của phương pháp NSGA-II ................................................ 43

2.4.3

Chọn lọc ....................................................................................................... 44

2.4.4

Lai ghép ........................................................................................................ 44

2.4.5

Đột biến ........................................................................................................ 44

2.4.6

Xử lý ràng buộc ............................................................................................ 45

2.5 Giải thuật tối ưu hoá dựa trên độ tin cậy SLDM-NSGA-II .................................. 46
CHƯƠNG 3. VÍ DỤ SỐ ............................................................................................. 47
3.1 Các bài toán kiểm tra ............................................................................................ 48
3.1.1

Ví dụ 1 .......................................................................................................... 48

3.1.2

Ví dụ 2 .......................................................................................................... 50

3.1.3

Ví dụ 3: Khung 02 nhịp 06 tầng ................................................................... 51

3.1.4

Ví dụ 4: Khung 03 nhịp 15 tầng ................................................................... 60

3.1.5

Ví dụ 5: Khung 03 nhịp 24 tầng ................................................................... 68

3.2 Bài toán ứng dụng thực tế ..................................................................................... 77
3.2.1

Thiết lập mô hình tính toán .......................................................................... 79

3.2.2

Xác định tải trọng tác dụng lên mô hình ...................................................... 80

3.2.3

Kiểm chứng code lập trình Matlab phân tích ứng xử của kết cấu ............... 88

3.2.4

Tối ưu hoá đa mục tiêu trọng lượng và chuyển vị đỉnh của khung – không

ét đến độ tin cậy ........................................................................................................... 88
3.2.5

Tối ưu hoá đa mục tiêu trọng lượng và chuyển vị đỉnh của khung – có xét

đến độ tin cậy................................................................................................................. 93
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN......................................................................................... 103
4.1 Kết luận ............................................................................................................... 103


vi
4.2 Hướng phát triển của đề tài ................................................................................. 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 107

vii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Hình ảnh khung nhà thép tiền chế. ..................................................................2
Hình 1.2. Hình ảnh Nhà học T TT đa năng Trường Đại học KHXH & NV Tp. HCM.
.........................................................................................................................................2
Hình 1.3. Hình ảnh thi công tòa nhà Little Sky City, Trung Quốc. ................................ 2
Hình 1.4. Hình ảnh đường dây truyền tải điện 500 kV Bắc – Nam. ............................... 2
Hình 2.1. Phần tử dàn trong hệ tọa độ địa phương ........................................................ 10
Hình 2.2. Tải trọng tác dụng lên phần tử dàn trong hệ tọa độ địa phương ...................12
Hình 2.3. Phần tử dàn trong hệ tọa độ tổng thể ............................................................. 13
Hình 2.4. Phần tử dầm Euler-Bernoulli ........................................................................15
Hình 2.5. Phần tử dầm trong hệ tọa độ địa phương....................................................... 16
Hình 2.6. Phần tử khung phẳng tuyến tính trong hệ tọa độ địa phương ....................... 20
Hình 2.7. Phần tử khung phẳng trong hệ tọa độ tổng thể ..............................................23
Hình 2.1. Chi tiết mặt cắt ngang cấu kiện chữ I tổ hợp hàn. .........................................32
Hình 2.2. Nghiệm bài toán khi chưa ét đến độ tin cậy và khi ét đến độ tin cậy. .......38
Hình 2.3. Minh họa khu vực khả thi. .............................................................................40
Hình 2.4. Sơ đồ của giải thuật NSGA-II. ......................................................................43
Hình 2.5. Sơ đồ giải thuật SLDM-NSGA-II. ................................................................ 46
Hình 3.1. Sơ đồ dầm một đầu ngàm. ............................................................................48
Hình 3.2. Lời giải tối ưu Pareto của ví dụ 1. .................................................................49
Hình 3.3. So sánh kết quả ví dụ 2. .................................................................................51
Hình 3.4. Kết cấu khung 02 nhịp 06 tầng. .....................................................................51
Hình 3.5. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán 02 nhịp 06 tầng. ......................................54
Hình 3.6. Kết quả tối ưu bài toán 02 nhịp 06 tầng đối với từng trường hợp độ tin cậy.
.......................................................................................................................................58
Hình 3.7. So sánh tỷ số ràng buộc về độ lệch chuyển vị giữa các tầng của nghiệm

(Wmin, δmax) khi xét từng trường hợp độ tin cậy. ............................................................ 59
Hình 3.8. So sánh tỷ số ràng buộc về độ bền của nghiệm (Wmin, δmax) khi xét từng
trường hợp độ tin cậy.....................................................................................................59


viii

Hình 3.9. Kết cấu khung 03 nhịp 15 tầng. .....................................................................61
Hình 3.10. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán 03 nhịp 15 tầng. ....................................63
Hình 3.11. Kết quả tối ưu bài toán 03 nhịp 15 tầng đối với từng trường hợp độ tin cậy.
.......................................................................................................................................66
Hình 3.12. So sánh tỷ số ràng buộc về độ lệch chuyển vị giữa các tầng của nghiệm
(Wmin, δmax) khi xét từng trường hợp độ tin cậy. ............................................................ 67
Hình 3.13. So sánh tỷ số ràng buộc về độ bền của nghiệm (Wmin, δmax) khi xét từng
trường hợp độ tin cậy.....................................................................................................68
Hình 3.14. Kết cấu khung 03 nhịp 24 tầng (1ft = 30.48 cm; 1lb=4.448 N). .................69
Hình 3.15. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán 03 nhịp 24 tầng. ....................................72
Hình 3.16. Kết quả tối ưu bài toán hung 03 nhịp 24 tầng đối với β = 3. ..................75
Hình 3.17. So sánh tỷ số ràng buộc về độ lệch chuyển vị giữa các tầng của nghiệm
(Wmin, δmax) khi xét từng trường hợp độ tin cậy. ............................................................ 76
Hình 3.18. So sánh tỷ số ràng buộc về độ bền của nghiệm (Wmin, δmax) khi xét từng
trường hợp độ tin cậy.....................................................................................................77
Hình 3.19. Hình ảnh thực tế công trình. ........................................................................78
Hình 3.20. Mặt bằng kiến trúc tầng điển hình. .............................................................. 78
Hình 3.21. Chi tiết kết cấu khung K6. ...........................................................................79
Hình 3.22. Mô hình tính toán và phân nhóm tiết diện khung K6. .................................80
Hình 3.23. Sơ đồ chất tải TT + 0.9(HT1 + HT2). ......................................................... 86
Hình 3.24. Sơ đồ chất tải TT + 0.9(HT1 + HT2 + GT). ................................................87
Hình 3.25. Sơ đồ chất tải TT + 0.9(HT1 + HT2 + GP). ................................................87
Hình 3.26. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán Khung K6. .............................................90

Hình 3.27. Chuỗi nghiệm tối ưu của bài toán Khung K6 với β = 3. ............................. 97


ix

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1. Thông số đầu vào ví dụ 1 ..............................................................................48
Bảng 3.2. Kết quả tối ưu Pareto ví dụ 1 ........................................................................49
Bảng 3.3. Thông số đầu vào ví dụ 2 ..............................................................................50
Bảng 3.4. Bảng so sánh kết quả các thành phần chuyển vị ...........................................52
Bảng 3.5. Bảng so sánh kết quả các thành phần nội lực ...............................................52
Bảng 3.6. Thông số đầu vào của bài toán khung 02 nhịp 06 tầng.................................53
Bảng 3.7. Bảng so sánh kết quả của bài toán 02 nhịp 06 tầng ......................................54
Bảng 3.8. Bảng kiểm tra chỉ số độ tin cậy của nghiệm A (Wmin, δmax) .......................... 55
Bảng 3.9. Bảng so sánh của nghiệm (Wmin, δmax) với ràng buộc xác suất khác nhau ....57
Bảng 3.10. Kết quả của nghiệm A (Wmin, δmax) đối với từng trường hợp độ tin cậy .....58
Bảng 3.11. Bảng so sánh kết quả các thành phần chuyển vị .........................................61
Bảng 3.12. Bảng so sánh kết quả các thành phần nội lực .............................................62
Bảng 3.13. Thông số đầu vào của bài toán khung 03 nhịp 15 tầng............................... 62
Bảng 3.14. Bảng so sánh kết quả của bài toán 03 nhịp 15 tầng ....................................64
Bảng 3.15. Bảng kiểm tra chỉ số độ tin cậy của nghiệm A (Wmin, δmax) ........................ 65
Bảng 3.16. Kết quả của nghiệm (Wmin, δmax) đối với từng trường hợp độ tin cậy .........66
Bảng 3.17. Bảng so sánh kết quả các thành phần chuyển vị .........................................70
Bảng 3.18. Bảng so sánh kết quả các thành phần nội lực .............................................70
Bảng 3.19. Thông số đầu vào của bài toán khung 03 nhịp 24 tầng............................... 71
Bảng 3.20. Bảng so sánh kết quả của bài toán 03 nhịp 24 tầng ....................................72
Bảng 3.21. Bảng kiểm tra chỉ số độ tin cậy của nghiệm A (Wmin, δmax) ........................ 74
Bảng 3.22. Kết quả của nghiệm (Wmin, δmax) đối với β = 3 ...........................................75
Bảng 3.23. Bảng tính tĩnh tải sàn tầng...........................................................................81
Bảng 3.24. Bảng tính tĩnh tải tường xây trên hệ dầm chính và phụ .............................. 81

Bảng 3.25. Bảng tính tĩnh tải tường xây trên sàn .......................................................... 81
Bảng 3.26. Bảng tính giá trị hoạt tải sử dụng ................................................................ 82
Bảng 3.27. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng vào nút khung. ................................ 84
Bảng 3.28. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng mái công trình. ............................... 84


x

Bảng 3.29. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng mái công trình ................................ 85
Bảng 3.30. Bảng so sánh kết quả các thành phần chuyển vị. ........................................88
Bảng 3.31. Bảng so sánh kết quả các thành phần nội lực. ............................................88
Bảng 3.32. Bảng thông số đầu vào khung K6 ............................................................... 89
Bảng 3.33. Bảng giá trị kết quả tối ưu hung 6 ......................................................... 90
Bảng 3.34. Bảng lựa chọn giá trị biến thiết kế A (Wmin, δmax) Khung K6 ..................... 91
Bảng 3.35. Bảng so sánh kết quả nghiệm A (Wmin, δmax) với Công ty Lập Việt ...........92
Bảng 3.36. Bảng kiểm tra chỉ số độ tin cậy của nghiệm A (Wmin, δmax) ........................ 94
Bảng 3.37. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng vào nút khung .................................96
Bảng 3.38. Bảng tính giá trị hoạt tải gió tác dụng mái công trình ................................ 96
Bảng 3.39. Bảng giá trị kết quả tối ưu hung 6 với β = 3 .........................................97
Bảng 3.40. Bảng lựa chọn giá trị biến thiết kế A (Wmin, δmax) Khung K6 với β = 3 .....98
Bảng 3.41. Bảng so sánh kết quả nghiệm A (Wmin, δmax) với β = 3.............................100


xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
AISC

: American Institute of Steel Construction

ACO

: Ant Colony Optimization

BB-BC

: Big Bang – Big Crunch

DE

: Differential Evolution

IDE

: Improved Differential Evolution

DLM

: Double Loop Method

FEM

: Finite Element Method

FORM

: First Order Reliability Method

GA

: Genetic Algorithm

HS

: Hamony Search algorithm

MOMGA

: Multiobjective Messy Genetic Algorithm

NSGA

: Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm

NPGA

: Niched-Pareto Genetic Algorithm

PSO

: Particle Swarm Optimization

RBDO

: Reliability Based Design Optimization

SPEA

: Strength Pareto Evolutionary Algorithm

SLDM

: Single Loop Deterministic Method

SORM

: Second Order Reliability Method

TCVN 5575:2012

: Tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thép Việt Nam

Công ty Lập Việt

: Công ty cổ phần tư vấn đầu tư ây dựng Lập Việt


1

CHƯƠNG 1.
MỞ ĐẦU
1.1

Đặt vấn đề

Thép là một trong những nguồn nguyên liệu phổ biến được sử dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là trong xây dựng dân dụng và công nghiệp. Ngày
nay, có nhiều thiết kế công trình sử dụng kết cấu thép, đặc biệt là trong các công trình
xây dựng có quy mô lớn bởi những đặc tính hữu ích của thép. Ưu điểm của kết cấu

thép thể hiện ở khả năng chịu lực lớn và độ tin cậy cao, vận chuyển, lắp đặt dễ dàng và
đặc biệt là không thấm nước. Tuy nhiên kết cấu thép cũng có một số mặt hạn chế như
có thể bị xâm thực bởi tác động của môi trường, nhiệt độ v.v, do vậy, những công trình
xây dựng có sử dụng kết cấu thép thường được bao phủ bởi lớp sơn bảo vệ, chống gỉ
thép. Ngoài ra thép có khả năng chịu lửa kém và giá thành khá cao so với một số vật
liệu thô khác.
Ta có thể điểm qua một số công trình tiêu biểu sử dụng kết cấu thép như sau:
 Nhà công nghiệp, nhà ưởng, nhà máy, xí nghiệp: khung nhà công nghiệp
được làm toàn bộ bằng thép khi nhà cao, cần trục nặng. Hoặc có thể được
làm từ hỗn hợp cột bê tông cốt thép, dàn, và dầm thép (Hình 1.1).
 Nhà nhịp lớn: đối với những loại nhà do yêu cầu sử dụng nhịp khá lớn từ
30 - 40m như nhà biểu diễn, nhà thi đấu thể dục thể thao, nhà triển lãm,
nhà chứa máy bay, v.v, thì việc dùng kết cấu thép là hợp lý nhất. Có
những trường hợp nhịp đặc biệt lớn trên 100m thì kết cấu thép là giải pháp
duy nhất nên được áp dụng (Hình 1.2).
 Khung nhà nhiều tầng: đặc biệt là các loại nhà kiểu tháp ở thành phố. Nhà
trên 15 tầng thì dùng kết cấu thép có lợi hơn bê tông cốt thép (Hình 1.3).
 Hệ thống truyền tải điện năng Hình 1.4).
 Và một số công trình khác.


2

Hình 1.1. Hình ảnh khung nhà thép tiền

Hình 1.2. Hình ảnh Nhà học T TT đa năng

chế.

Trường Đại học KHXH & NV Tp. HCM.

(nguồn: />
(nguồn: />
nha-thep-tien-che)

Hình 1.3. Hình ảnh thi công tòa nhà

Hình 1.4. Hình ảnh đường dây truyền tải

Little Sky City, Trung Quốc.

điện 500 kV Bắc – Nam.

(nguồn: />
(nguồn: />
hinh-anh-trong-cao-oc-57-tang-xay-chi-

quan-ve-Tap-doan-Dien-luc-Viet-Nam-2-3-

19-ngay.1-545334.htm)

877.aspx)

Trong lĩnh vực thiết kế các kết cấu thép nói chung và kết cấu khung thép nói
riêng thì nhu cầu thiết lập và tính toán các bài toán tối ưu hóa là rất cần thiết. Trong đó
bài toán tối ưu hình dạng và kích cỡ kết cấu khung thép đang được người kỹ sư quan
tâm nhiều. Bằng cách đặt ra các bài toán tối ưu dựa trên các bài toán đã có sẵn chưa
được tối ưu trước đó và kết hợp với các thuật giải tối ưu phù hợp, thì một giải pháp tối
ưu mới sẽ được ác định nhằm đáp ứng nhu cầu ngày càng cao và đa dạng của con
người.

3
Với thực tế hiện nay, tuỳ theo điều kiện và nhu cầu khác nhau mà người ra quyết
định phải cân nhắc giữa nhiều mục tiêu. Vì thế bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu có vai
trò rất quan trọng bởi hầu hết các nhà thiết kế luôn mong muốn có nhiều lựa chọn tối
ưu tùy theo điều kiện và nhu cầu thực tế, mà không chỉ có đơn thuần một lời giải tối
ưu duy nhất. Do đó, việc áp dụng tối ưu hóa đa mục tiêu để tính toán cho kết cấu là
thiết thực và mang lại nhiều lợi ích. Thực hiện được công việc như trên sẽ giúp cho
nhà thiết kế có thể tư vấn được cho chủ đầu tư và người sử dụng giải pháp thiết kế dựa
trên những mục tiêu khác nhau nhằm mang lại những lợi ích như: tiết kiệm chi phí đầu
tư, kiểu dáng và hình dáng tối ưu theo yêu cầu mà vẫn đảm bảo an toàn khi vận hành
sử dụng.
Một số phương pháp cổ điển đã ra đời để giải quyết các bài toán tối ưu hoá đa
mục tiêu có thể liệt kê như sau (Deb 2001): phương pháp tổng trọng số (Weight Sum
Method), phương pháp ràng buộc ε ( ε  Constraint Method), phương pháp ma trận
trọng số (Weight Metric Method), v.v. Đây là các phương pháp đơn giản và dễ sử
dụng để giải bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu. Lời giải được tìm ngay trên đường tối ưu
Pareto lồi. Phương pháp ràng buộc ε sử dụng cho cả bài toán có không gian mục tiêu
lồi hoặc lõm giống nhau. Tuy nhiên, có một số tồn tại khi sử dụng các phương pháp cổ
điển trên như: chỉ tìm được tối đa một lời giải trong một lần giải, gặp khó khăn khi giải
quyết bài toán có miền mục tiêu phi tuyến, bị phụ thuộc nhiều vào trọng số (wi) và các
ràng buộc (εi).
Trong những năm qua, các phương pháp tìm kiếm tối ưu trực tiếp được tìm ra và
không ngừng cải tiến để khắc phục những hạn chế của các phương pháp cổ điển. Ta có
thể điểm qua một số phương pháp như sau (Deb 2001): giải thuật NSGA, NSGA-I,
NSGA-II (Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm), giải thuật NPGA
(Niched-Pareto Genetic Algorithm), giải thuật SPEA (Strength Pareto Evolutionary
Algorithm), giải thuật MOMGA, MOMGA-II, MOMGA-III (Multiobjective Messy
Genetic Algorithm), giải thuật DE (Differential Evolution), v.v. Trong số các phương

pháp trên thì phương pháp NSGA-II được trình bày bởi Kalyamoy Deb vào năm 2002
(Deb et al. 2002) có thời gian tính toán khá nhanh và không có nhiều tham số điều
khiển. Lời giải tối ưu tìm được ở các phương pháp này là một tập hợp lời giải tối ưu
trên đường tối ưu Pareto.


4
Ngoài ra, một vấn đề cần phải kể đến khi thực hiện công tác thiết kế kết cấu là sự
không chắc chắn của các nguồn dữ liệu đầu vào. Điều này có thể được minh hoạ ở tải
trọng và khả năng mang tải của các thành phần kết cấu. Khi đưa vào thiết kế, giá trị
của những đại lượng này không chắc là tiền định mà chúng có thể là các biến ngẫu
nhiên quanh giá trị thiết kế ban đầu và tuân theo một qui luật phân phối xác suất nhất
định. Những thay đổi này có thể do yếu tố tự nhiên như: điều kiện khí hậu, mưa, gió,
lũ lụt, hạn hán, động đất, v.v; hoặc do yếu tố con người như: sự dao động của ngoại
lực tác động trong quá trình sử dụng, sai số trong tính toán, sai số do mô hình, sai sót
do thi công, sản xuất, v.v. Điều này sẽ dẫn đến các ứng xử đầu ra của kết cấu cũng dao
động theo một qui luật phân phối xác suất và cũng có thể vượt quá giới hạn cho phép
đã được ác định trước như chuyển vị, ứng suất, v.v. Xác suất các trường hợp ứng xử
đầu ra vượt quá giới hạn cho phép được gọi là độ không an toàn hay xác suất phá hủy
của kết cấu (Andrzej & Collins 2000). Chính vì thế, công tác thiết kế tối ưu các kết cấu
khung thép cần phải được thiết kế nhằm thoả mãn hàm trạng thái giới hạn của chúng
với một chỉ số độ an toàn nhất định (Andrzej & Collins 2000), hay còn được gọi là
thiết kế tối ưu dựa trên độ tin cậy (RBDO - Reliability based design optimization).
Một số cách tiếp cận phổ biến để giải quyết bài toán tối ưu hóa dựa trên đánh giá
độ tin cậy có thể được kể đến như:
 Giải thuật vòng lặp đôi, ở đó: bài toán đánh giá độ tin cậy được lồng vào
bài toán tối ưu.
 Giải thuật vòng lặp tuần tự, ở đó: bài toán đánh giá độ tin cậy và bài toán
tối ưu được tách rời nhau.
 Giải thuật một vòng lặp đơn ác định, ở đó: thông tin ràng buộc độ tin

cậy được sử dụng để chuyển ràng buộc xác suất thành các ràng buộc xác
định, và bài toán tối ưu hóa chỉ cần giải một lần sau khi ràng buộc xác
định được thành lập.
Các giải thuật tối ưu sử dụng vòng lặp đôi và vòng lặp tuần tự vẫn còn nhiều hạn
chế như chi phí tính toán cao và mất nhiều thời gian tính toán, kết quả tối ưu thường
kẹt ở nghiệm địa phương do việc đánh giá độ tin cậy được thực hiện nhiều lần trong
quá trình tối ưu hóa. Ngược lại giải thuật một vòng lặp đơn giải quyết bài toán RBDO
chỉ trong hai bước: chuyển đổi các ràng buộc xác suất thành ràng buộc ác định và giải


5
bài toán tối ưu hóa ác định. Vì thế vòng lặp tối ưu hóa và đánh giá độ tin cậy chỉ thực
hiện một lần và chi phí tính toán được giảm đáng kể. Nhận thấy được điều này, năm
2012 Li và cộng sự (Li et al. 2012) đã đề xuất phương pháp một vòng lặp đơn ác định
SLDM (Single-Loop Deterministic Method) dựa trên cách tiếp cận đo lường hiệu suất
(Performance Measure Approach – PMA) để giải quyết các bài toán RB O. Điểm
nhấn của phương pháp này là biến đổi các ràng buộc xác suất sang ràng buộc ác định
chỉ trong một bước bằng cách phân tích độ tin cậy ngược.
Dựa vào những phân tích ở trên, có thể thấy rằng tối ưu hóa đa mục tiêu cho kết
cấu khung thép có ý nghĩa quan trọng và việc đưa ra một phương pháp giải tối ưu và
phù hợp mà vẫn đảm bảo an toàn khi đưa vào vận hành sử dụng là yêu cầu cần thiết
hiện nay. o đó, luận văn này được thực hiện nhằm thiết lập và giải bài toán tối ưu đa
mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép, ở đó giải thuật tìm kiếm nghiệm
tối ưu dựa trên độ tin cậy được sử dụng là phương pháp kết hợp giữa giải thuật một
vòng lặp đơn ác định SLDM (Single-Loop Deterministic Method) và giải thuật di
truyền phân loại không trội NSGA-II (Elitist Non-Dominated Sorting Genetic
Algorithm).
1.2

Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước

1.2.1

Thế giới

Trong những năm vừa qua đã có nhiều nghiên cứu trên thế giới về tối ưu hoá đơn mục
tiêu kết cấu khung thép. Ta có thể điểm qua một số nghiên cứu tiêu biểu như sau:
nghiên cứu của Pezeshk và cộng sự (Pezeshk et al. 2000); Camp và cộng sự (Camp et
al. 2005); Degertekin (Degertekin 2008); Saka (Saka 2009); Kaveh và Talatahari
(Kaveh & Talatahari 2010); Kaveh và Abbasgholiha (Kaveh & Abbasgholiha 2011),
Dogan và SaKa

oğan & Saka 2012) v.v. Các nghiên cứu trên được áp dụng cho kết

cấu khung thép 2 . Trong đó hàm mục tiêu là tối thiểu trọng lượng kết cấu với các
điều kiện ràng buộc về chuyển vị và về cường độ theo tiêu chuẩn thiết kế của Viện
thép Hoa Kỳ (ANSI/AISC - 1994), (ANSI/AISC - 2001), tiêu chuẩn Anh (BS5950 –
1990). Các giải thuật tìm kiếm nghiệm tối ưu phát triển ở các giải thuật như: giải thuật
di truyền GA (Genetic Algorirthm); giải thuật đàn kiến ACO (Ant Colony
Optimization); giải thuật tìm kiếm hòa hợp lấy cảm hứng từ âm nhạc HS (Hamony
Search algorithm), giải thuật tối ưu hóa bầy đàn PSO Particle Swarm Optimization);


6
giải thuật về vụ nổ lớn BB-BC (Big Bang – Big Crunch) v.v. Các ví dụ số trong
nghiên cứu là khung 02 nhịp 03 tầng, khung 02 nhịp 06 tầng, khung 01 nhịp 10 tầng,
khung 03 nhịp 15 tầng, khung 03 nhịp 24 tầng chịu tải trọng đứng và ngang v.v.
Bên cạnh bài toán tối ưu hoá đơn mục tiêu ác định, ta có thể điểm qua một số
công trình nghiên cứu về tối ưu hoá đơn mục tiêu dựa trên độ tin cậy như sau:
+ Nghiên cứu của Ghasemi và Yousefi (Ghasemi & Yousefi 2011): Nghiên cứu

này thực hiện thiết kế tối ưu dựa trên độ tin cậy cho khung thép 2D, 3D sử dụng giải
thuật di truyền sửa đổi kết hợp với phương pháp phân tích độ tin cậy bậc hai SORM.
Trong đó hàm mục tiêu là tối thiểu trọng lượng kết cấu với các điều kiện ràng buộc về
chuyển vị và cường độ. Các biến ngẫu nhiên là tải trọng và ứng suất chảy dẻo vật liệu.
+ Nghiên cứu của Shayanfar và cộng sự (Shayanfar et al. 2014): nghiên cứu thực
hiện thiết kế tối ưu dựa trên độ tin cậy cho khung thép 2D sử dụng phương pháp GA
kết hợp với phương pháp phân tích độ tin cậy bậc nhất FORM. Trong đó hàm mục tiêu
là tối thiểu trọng lượng kết cấu với các điều kiện ràng buộc về chuyển vị và về cường
độ. Các biến ngẫu nhiên là tải trọng và ứng suất chảy dẻo vật liệu.
Các nghiên cứu về tối ưu hoá đa mục tiêu đã có ở một số lĩnh vực như: tối ưu hóa
kết cấu dầm, tấm composite ở các nghiên cứu sau:
+ Nghiên cứu của Gurugubelli và Kallepalli (Gurugubelli & Kallepalli 2014):
Nghiên cứu này thực hiện tối ưu hoá trọng lượng và chuyển vị của dầm consol sử dụng
giải thuật NSGA – II (Non-Dominated sorting Genetic Algorithm).
+ Nghiên cứu của Omkar và cộng sự (Omkar et al. 2008): Nghiên cứu này thực
hiện tối ưu hoá trọng lượng và tổng chi phí của tấm composite sử dụng giải thuật
VEPSO (Vector evaluated particle swarm optimization).
+ Nghiên cứu của Coello và Christiansen (Coello & Christiansen 2000) : Nghiên
cứu này thực hiện tối ưu hóa trọng lượng, chuyển vị và ứng suất của các kết cấu dàn sử
dụng giải thuật di truyền GA (Genetic Algorirthm).
1.2.2

Trong nước

Ở Việt Nam, việc ứng dụng các giải thuật tối ưu cũng nhận được nhiều sự quan tâm
của các nhà nghiên cứu. Tuy nhiên các nghiên cứu này vẫn còn hạn chế, đặc biệt là bài
toán tối ưu hóa cho kết cấu cho khung thép, có thể điểm qua một số nghiên cứu sau
đây:

7
+ Luận văn thạc sỹ của Huỳnh Thanh Phương Đại học Mở TP. HCM, năm
2013) (Huỳnh Thanh Phương 2013): Nghiên cứu này thực hiện tối ưu hoá dựa trên độ
tin cậy hệ dàn không gian. Trong đó hàm mục tiêu là tối thiểu trọng lượng kết cấu với
các điều kiện ràng buộc về chuyển vị, ứng suất, độ tin cậy v.v, biến ngẫu nhiên là mô
đun đàn hồi vật liệu và tải trọng. Giải thuật tìm kiếm nghiệm tối ưu là giải thuật bầy
đàn PSO Particle swarm optimization).
+ Luận văn thạc sỹ của Ngô Thị Hồng Quyên (Đại học Mở TP. HCM, năm 2014)
(Ngô Thị Hồng Quyên 2014): Nghiên cứu này thực hiện tối ưu hoá dựa trên độ tin cậy
khung thép tiền chế. Trong đó hàm mục tiêu là tối thiểu trọng lượng kết cấu với các
điều kiện ràng buộc về chuyển vị, ứng suất, độ tin cậy v.v, biến ngẫu nhiên là mô đun
đàn hồi vật liệu, giới hạn chảy của thép và tải trọng. Giải thuật tìm kiếm nghiệm tối ưu
là giải thuật tiến hoá khác biệt DE (Differential Evolution).
+ Luận văn thạc sỹ của Trần

ăn

ần (Đại học Bách Khoa TP. HCM, năm

2013): Nghiên cứu này thực hiện Tối ưu hóa dựa trên độ tin cậy tấm composite
laminate bằng giải thuật di truyền. Trong đó hàm mục tiêu là cực tiểu trọng lượng và
tổng năng lượng biến dạng của tấm với các ràng buộc bao gồm ràng buộc về chiều
dày, góc hướng sợi, chuyển vị, ứng suất, độ tin cậy v.v.
+ Luận văn thạc sỹ của Nguyễn Thụy Đoan Nhi Đại học Tôn Đức Thắng, năm
2014) (Nguyễn Thụy Đoan Nhi 2014): Nghiên cứu này thực hiện Tối ưu hóa đa mục
tiêu kết cấu tấm gấp composite dùng phương pháp NSGA-II. Trong đó hàm mục tiêu
được xét là cực tiểu trọng lượng và năng lượng biến dạng của tấm với các ràng buộc
bao gồm ràng buộc về chuyển vị và ràng buộc ứng suất.
+ Ngoài ra còn có một số nghiên cứu khác như: Luận văn thạc sỹ của Lê Quang
Vinh (Đại học Mở TP. HCM, năm 2014) (Lê Quang Vinh 2014): Tối ưu hoá vị trí và

kích thước của kết cấu dàn sử dụng phương pháp tiến hoá khác biệt (Differential
Evolution) cải tiến ; Luận văn thạc sỹ của

ũ Anh Tuấn (Ðại học Kiến trúc Hà Nội,

năm 2000): Tối ưu hóa thiết kế khung thép nhà công nghiệp một tầng v.v.
1.2.3

Kết luận

Hầu hết các nghiên cứu đã được liệt kê bên trên đều đã đạt được những kết quả phù
hợp theo yêu cầu. Nhưng nhìn chung các nghiên cứu trên chỉ thực hiện giải các bài
toán tối ưu hoá mà không ét đến độ tin cậy hoặc nếu có ét đến độ tin cậy thì chỉ với


8
bài toán tối ưu hoá đơn mục tiêu chứ chưa có các công trình nghiên cứu về tối ưu hoá
đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép. Mặt khác chi phí tính toán đối
với bài toán tối ưu hóa đơn mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép của
các nghiên cứu trên tương đối lớn do sự hạn chế của phương pháp vòng lặp đôi. Chính
vì vậy nhằm giúp các nhà thiết kế có nhiều phương án thiết kế tối ưu hơn cho các sản
phẩm thiết kế của mình mà vẫn đảm bảo an toàn khi sử dụng, luận văn này được thực
hiện nhằm thiết lập và giải bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết
cấu khung thép sử dụng giải thuật một vòng lặp đơn ác định.
Mục tiêu nghiên cứu

1.3

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn như sau:
- Phân tích ứng xử tĩnh của kết cấu khung 2D bao gồm chuyển vị và nội lực trong

khung sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
- Thiết lập bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu.
- Tìm hiểu giải thuật di truyền phân loại không trội NSGA-II (Elitist Non-Dominated
Sorting Genetic Algorithm) và giải thuật một vòng lặp đơn ác định (Single-Loop
Deterministic Method).
- Áp dụng thuật toán kết hợp SLDM-NSGA-II để tìm lời giải tối ưu bài toán đã được
thiết lập.
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

1.4

Nội dung nghiên cứu của luận văn được thực hiện trong phạm vi như sau:
1.4.1

Đối tượng nghiên cứu

 Kết cấu khung phẳng 02 (hai) nhịp, 06 (sáu) tầng.
 Kết cấu khung phẳng 03 (ba) nhịp, 15 mười lăm) tầng.
 Kết cấu khung phẳng 03 (ba) nhịp, 24 hai mươi bốn) tầng.
 Kết cấu khung phẳng 04 (bốn) nhịp, 06 (sáu) tầng thực tế đã được xây dựng tại
Tp. Hồ Chí Minh.
1.4.2
-

Phạm vi nghiên cứu
Tối ưu trọng lượng và chuyển vị đỉnh của khung đối với các bài toán kiểm tra.
Các ràng buộc về độ bền yêu cầu của cấu kiện và chuyển vị được ác định theo


9

tiêu chuẩn thiết kế của Viện thép Hoa Kỳ LRFD – AISC (2010) (ANSI/AISC
360-10 2010). Biến thiết kế là các giá trị rời rạc được lựa chọn từ bộ dữ liệu tiết
diện thép cánh mỏng (W) theo tiêu chuẩn AISC.
-

Tối ưu trọng lượng và chuyển vị đỉnh của khung đối với bài toán ứng dụng thực
tế. Công trình đã được xây dựng tại Tp. Hồ Chí Minh. Các ràng buộc về độ bền
yêu cầu của cấu kiện và chuyển vị được ác định theo tiêu chuẩn thiết kế kết
cấu thép Việt Nam (TCVN 5575:2012 2012), biến thiết kế là các giá trị liên tục
được lựa chọn theo giới hạn cho trước.

1.5

Kết cấu luận văn

Kết cấu luận văn được trình bày theo thứ tự như sau:
Chương 1. Mở đầu.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết.
Chương 3. Các ví dụ số.
Chương 4. Kết luận và kiến nghị.
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu
của đề tài.
Phụ lục: các bảng biểu kiểm tra ràng buộc của bài toán ứng dụng thực tế và một số
đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3.


10

CHƯƠNG 2.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, luận văn trình bày lý thuyết tổng quát về phương pháp phần tử hữu
hạn cho kết cấu khung; tối ưu hoá đa mục tiêu và độ tin cậy để thiết lập bài toán tối ưu
hoá đa mục tiêu dựa trên độ tin cậy cho kết cấu khung thép 2D. Để giải quyết bài toán
đã được thiết lập, lý thuyết về giải thuật một vòng lặp đơn ác định SLDM và giải
thuật di truyền phân loại không trội NSGA-II cũng được trình bày ở phần tiếp theo
trong Chương này.
2.1

Phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu khung

Lý thuyết trong mục này được trích dẫn từ tài liệu Phương pháp phần tử hữu hạn sử
dụng Matlab (Nguyễn Thời Trung & Nguyễn Xuân Hùng 2015).
Các ma trận và vec-tơ của phần tử khung có thể đơn giản được thành lập bằng cách kết
hợp phần tử dàn và phần tử dầm. Ở đây phần tử dầm Euler-Bernuolli sẽ được chọn để
kết hợp với phần tử dàn.
2.1.1

Phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu dàn

Xét một phần tử dàn trong hệ tọa độ địa phương.

Hình 2.1. Phần tử dàn trong hệ tọa độ địa phương
Mỗi nút của phần tử dàn có một bậc tự do trong hệ tọa độ địa phương là biến dạng dọc
trục u theo phương x. Vì vậy mỗi phần tử dàn với hai nút trong hệ tọa độ địa phương
sẽ có hai bậc tự do. Hàm chuyển vị của phần tử dàn le được xấp xỉ dựa trên ma trận
của các hàm dạng và véc-tơ chuyển vị tại nút như sau:


11

uloe ( x)  Nloe ( x)dloe

(2.1)

Trong đó:
e
+ dlo : Véc-tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương, được sắp xếp theo thứ
e
u1 
tự các nút là d   e  .
u2 
e
lo

e
+ Nlo ( x) : ma trận hàm dạng của phần tử, được viết dưới dạng ma trận như sau

N leo   N1e

N 2e  .

e
e
trong đó: N1 ; N2 lần lượt là hàm dạng tại nút 1 và nút 2 của phần tử dàn.

Thực hiện quá trình bốn bước xây dựng hàm dạng như sau:
Bước 1. Biểu diễn một thành phần chuyển vị của phần tử
Xét phần tử dàn 1D, chọn véc-tơ đa thức cơ sở pT ( x) 1 x thì thành phần chuyển vị
của phần tử sẽ được biểu diễn như sau:

a 
uke ( x)  pT ( x) a  1 x   1 
a2 
Bước 2. Thay tọa độ nút và tìm Véc-tơ a của các hệ số

 u e ( x )  1 x1 
Phần tử dàn 1D gồm hai nút nên dloe   ek 1   
a
1
x
u
(
x
)
2
 k 2  
1 e
Vậy a  P dlo

1 x1   1 0 
Trong đó P là ma trận moment và có dạng: P  

e .
1 x2  1 l 
Bước 3. Tìm các thành phần hàm dạng của phần tử dàn
e
T
1 e
e
e

Thay véc-tơ a vào bước 1: uk ( x)  p ( x) P dlo  g ( x)dlo

Hay g e ( x)  pT ( x) P 1  pT ( x) P11 pT ( x) P21    N1e ( x) N 2e ( x) 
1
 1 0 
1 0 
Tính ma trận P  
 1 1
e
 e

1
l


le 
 l
1

Thay số:

(2.2)


12
 1 0 
x

N ( x)  1 x   1 1   1  e
 e

  l
le 
 l
e

x
l e 

(2.3)

Bước 4. Xây dựng mà trận hàm dạng của phần tử dàn
Véc-tơ biến dạng của phần tử dàn được viết lại như sau:

 x
N e ( x)  1  e
 l

x
l e 

(2.4)

2.1.1.1 Ma trận độ cứng của phần tử dàn trong hệ toạ độ địa phương
Véc-tơ biến dạng phần tử trong hệ tọa độ địa phương:

 loe ( x) Bloe ( x)dloe

(2.5)

Ma trận biến dạng – chuyển vị của phần tử dàn được ác định như sau:

 dN1e ( x)
B ( x)  
 dx
e
lo

dN 2e ( x)   1
 
dx   l e

1
l e 

(2.6)

Ma trận độ cứng của phần tử dàn trong hệ tọa độ địa phương:

 1
 l e   1
e
e T
e
e
K lo    Blo  DBlod Ω  A  
E 
1   l e
e
0
 l e 

le

1
Ae E  1 1
dx  e 
l e 
l  1 1 

(2.7)

2.1.1.2 Vecto tải phần tử dàn trong hệ toạ độ địa phương
Xét phần tử dàn chịu tải trọng tập trung tại nút như Hình 2.2:

Hình 2.2. Tải trọng tác dụng lên phần tử dàn trong hệ tọa độ địa phương
Véc-tơ tải của phần tử dàn gồm hai thành phần là trọng lượng bản thân của thanh dàn
và lực tập trung tác dụng tại hai nút, được biểu diễn dưới dạng sau:

floe 

 N

e

Hay

e
lo

( x)  bd     Nloe ( x)  td 
T

T

e

(2.8)