1 lý thuyết chương 1 tập hợp lớp 10

Có bất kỳ thắc mắc hoặc cần tài liệu có thể gửi email đến:

Tập Hợp
A - Tóm tắt lý thuyêt
1. Khái niệm: Ta đọc “Tập Hợp X” thì ta có thể hiểu tương đối như việc ta đã gom (tức là
“hợp”) một số (hay vô số) tờ giấy (gọi là các phần tử) và kẹp vào trong một cái “túi” (hay
nói cách khác là đóng thành một “tập”) và đặt tên cho cái túi (tập) đó tên gọi là “X”.
2. Một số lưu ý:
2.1 Các cách biểu diến tập hợp:
Một tập hợp có thể được biểu diễn bằng một số cách sau:
* Nếu tập hợp có 1 số hữu hạn các phần tử mà có thể liệt kê được, thì ta có 2 cách:
+ Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp giữa hai dấu móc.
+ Liệt kề tất cả các phần tử của tập hợp trong biểu đồ Ven.
Ví dụ:
A = {1;2;4;5;6;7;9;10;12}là cách liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp giữa hai dấu móc
1

2 4
5
6
7
9 10 12

là cách liệt kề tất cả các phần tử của tập hợp trong biểu đồ Ven

** Nếu tập hợp có vô số các phần tử, nhưng các phần tử đó phải thoả mãn một hay nhiều tính
chất nào đó, đủ để ta có thể giới hạn và tìm được các phần tử, thì ta có thể biểu diễn tập hợp đó
bằng cách: Chỉ rõ tính chất của các phần tử trong tập hợp. Quy ước:
- Liệt kê các tính chất giữa hai dấu móc.
- Mỗi phần tử số ký hiệu chung là x (hoặc n) hay một chữ cái viết thường.
- Nếu có nhiều tính chất thì giữa các tính chất ngăn cách bằng dấu “;”

Ví dụ:
Nếu ta xét các số thoả mãn điều kiện bé hơn -1 (mỗi số như vậy là 1 phần tử) thì ta có thể viết :
Tập hợp A = { ∀ x Є R | x < -1}
Nếu ta xét các số thoả mãn 2 điều kiện là: “bé hơn 100” và “lớn hơn hoặc bằng -2” (mỗi số như
vậy là 1 phần tử) thì ta có thể viết : Tập hợp B = { ∀ x Є R | -2 ≤ x < 100}
Nếu ta xét các số thoả mãn 2 điều kiện là: “chia hết cho 3” và “lớn hơn hoặc bằng 5” (mỗi số như
vậy là 1 phần tử) thì ta có thể viết : Tập hợp C = { ∀ x Є R | x : 3 ; 5 ≤ x }
1 số trường hợp đặc biệt với tập hợp số là:
+ Nếu ta xét tất cả các số thuộc tập R, mỗi số ta coi là 1 phần tử => ta cso TẬP HỢP SỐ R. Và ta
biểu diễn như sau (-∞ ; + ∞) (đa số ta chỉ cần viết là Vx Є R)
+ Tương tự với một số tập hợp số: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN (ta viết Vx Є N) ; TẬP HỢP SỐ
NGUYÊN (ta viết Vx Є Z) và TẬP HỢP SỐ HỮU TỶ (ta viết Vx Є Q)
2.2 Các ký hiệu hay được sử dụng trong biểu diễn tập hợp và quan hệ tập hợp:
= nghĩa là bằng
| nghĩa là thoả mãn
( ) là ngoặc tròn
≠ nghĩa là khác
Φ đọc là tập hợp rỗng
∀ nghĩa là mọi
≡ nghĩa là trùng nhau
Э nghĩa là tồn tại
A ⊃ B đọc là tập A chứa tập B
A ⊂ B đọc A chứa (nằm) trong tập B

> nghĩa là lớn hơn

- ∞ nghĩa vô cũng bé

< nghĩa là bé hơn

+ ∞ nghĩa vô cũng ∩ đọc là giao
lớn
{ }là ngoặc nhọn
U đọc là hợp
[ ] là ngoặc vuông
\ đọc là trừ

≥ nghĩa là lớn hơn hoặc bằng
≤ nghĩa là bé hơn hoặc bằng

1


Có bất kỳ thắc mắc hoặc cần tài liệu có thể gửi email đến:
2.3 Các quan hệ của tập hợp :
* Cho 2 tập hợp là : tập hợp A và tập hợp B. Nếu tất cả các phần tử của tập hợp A đều xuất
hiện trong phần tử của tập hợp B. Thì ta có 2 cách nói :
+ Ta nói : Tập hợp A chứa trong tập hợp B (hay nói ngắn gọn là : A là tập con của B)
Và ký hiệu toán học cho quan hệ này là : A ⊂ B .
+ Ta cũng có thể nói : Tập hợp B chưa tập hợp A (hay nói ngắn gọn là : tập B sinh ra
tập A) Và ký hiệu toán học cho quan hệ này là : B ⊃ A .
** Có 2 chú ý cho trường hợp hai tập hợp chứa/chứa trong nhau :
+ Thứ nhất, nếu xảy ra đồng thời A ⊂ B và B ⊂ A thì ta có thể hiểu A ≡ B, hay ta ghi
đơn giản là A = B (tập A bằng tập B)
+ Thứ hai, nếu trường hợp A chứa trong tập hợp B ( A ⊂ B ) thì ta có một phép tính tập
hợp là “Phép lấy phần bù” (bản chất là Phép tình hiệu của tập hợp B và A trong trường hợp
A ⊂ B ). Ký hiệu là CBA = B\A = { ∀ x Є B | x ∉ A} (hay có thể ghi là: { ∀ x | x ∈ B ; x ∉ A}.
Ta hiểu như sau : Phần bù của B đối với A là tất cả các phần tử của B mà không có trong A (nếu
bù thêm các phần tử này cho A thì sẽ có A = B).
*** Cho 2 tập hợp là : tập hợp A và tập hợp B. Ta có 3 phép quan hệ tập hợp quan trọng là :

+ Phép giao giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là : A ∩ B (hoặc B ∩ A ). Kết quả của phép tính
này là 1 tập hợp. C = A ∩ B = B ∩ A = {x | x ∈ A và x ∈ B}. Ta hiểu như sau : Phần giao của A
và B là tất cả các phần tử của A mà có trong cả B. Ví dụ :
A = { ∀ x ∈ R | x ≤ 2} và B = { ∀ x ∈ R | x > -5} thì C = A ∩ B = {x | -5 < x ≤ 2}
+ Phép hợp giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là : A ∪ B (hoặc B ∪ A ). Kết quả của phép tính
này là 1 tập hợp. C = A ∪ B = B ∪ A = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}. Ta hiểu như sau : Phần hợp của
A và B là tất cả các phần tử chỉ có thể có trong A hoặc có trong B mà không được có trong cả A
và B. Ví dụ :
A = { ∀ x ∈ R | -10 <x ≤ 2} và B = { ∀ x ∈ R | 15> x > -5} thì C = A ∪ B = {x | -10 < x < 15}
+ Phép hiệu giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là : A\B (lưu ý A\B khác với B\A). Kết quả của
phép tính này là 1 tập hợp. C = A\B = {x | x ∈ A và x ∉ B}. Ta hiểu như sau : Phần hiệu của A
trừ đi B là tất cả các phần tử chỉ có trong A mà không có trong B.
**** Ký hiệu phép giao và hợp trong quan hệ điều kiện của các số :
+ Phép giao giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là : A ∪ B có thể được biểu diễn bởi dấu “[”. Ví
x
 ∈A
dụ : 
x ∈ B
+ Phép hợp giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là : A ∩ B có thể được biểu diễn bởi dấu “{”. Ví
x ∈ A
dụ : 
x ∈ B
2.4 Một số tập hợp số biểu diễn đặc biệt:
* Hiện tại, đến lớp 10, học sinh đã được học các tập hợp số được biểu diễn đặc biệt bằng ký hiệu
viết hoa như sau :
+ Tập N : là tập hợp các số tự nhiên (kể cả 0)
+ Tập N* : là tập hợp các số tự nhiên khác 0
+ Tập Z : là tập hợp các số nguyên. (bao gồm nguyên dương và nguyên âm)
+ Tập Q : là tập hợp các số hữu tỷ. (bao gồm “ số nguyên = phân số mẫu là 1” và “phân
số”. Ta hiểu số hữa tỷ là số là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn).

+ Tập R : là tập hợp các số thực (bao gồm số hữu tỷ và số vô tỷ. Ta hiểu số vô tỷ là số
thập phân vô hạn không tuần hoàn).
Chú ý : chúng ta hiểu từ nay nếu không nói điều kiện gì nghĩa là ta đang xét các số thuộc
tập số thực R.
2


Có bất kỳ thắc mắc hoặc cần tài liệu có thể gửi email đến:
** Ngoài ra ta có một số tập hợp số được biểu diễn đặc biệt bằng các dấu ngoặc (ngoặc vuông
hay ngoặc tròn) như sau :
+ (- ∞ ; + ∞) là tập hợp các số từ vô cũng bè đến vô cũng lớn. Ký hiệu : tập R.
+ (- ∞ ; a] là tập hợp các số từ vô cũng bè đến bằng a. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | x ≤ a}.
+ (- ∞ ; a) là tập hợp các số từ vô cũng bè đến bé hơn a. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | x < a}.
+ (a ; b) là tập hợp các số từ lớn hơn a đến bé hơn b. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | a < x < b}.
+ [a ; b) là tập hợp các số từ bằng a đến bé hơn b. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | a ≤ x < b}.
+ (a ; b] là tập hợp các số từ lớn hơn a đến bằng b. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | a < x ≤ b}.
+ [a ; b] là tập hợp các số từ bằng a đến bằng b. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.
+ [a ; +∞) là tập hợp các số từ bằng a đến vô cùng lớn. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | a ≤ x }.
+ (a ; +∞) là tập hợp các số từ lớn hơn a đến vô cùng lớn. Ký hiệu : { ∀ x ∈ R | a ≤ x }.
2.5 Biểu diễn quan hệ tập hợp số bằng biểu đồ Ven và bằng trục số :
* Biểu diễn tập hợp bằng biểu đồ Ven :
Tập hợp A chứa trong tập hợp B / Tập hợp
B chưa tập hợp A : Ký hiệu A ⊂ B hay
B
B ⊃ A có biểu đồ Ven như sau :
A

Phép lấy phần bù : Ký hiệu là CBA có biểu đồ
Ven như sau :

Phép giao giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là : A ∩ B
có biểu đồ Ven như sau :

Phép hợp giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là : A ∪ B
có biểu đồ Ven như sau :

Phép hiệu giữa 2 tập hợp : Ký hiệu là :
A\B có biểu đồ Ven như sau :

B

B

B

B

A

A

A

A

3


Có bất kỳ thắc mắc hoặc cần tài liệu có thể gửi email đến:
* Biểu diễn tập hợp bằng Trục Số :

Tập hợp A chứa trong tập hợp B / Tập hợp
B chưa tập hợp A : Một ví dụ biểu diễn trên
trục số như sau : A = (9 ; 15) và B = (1 ; 25) =>
A ⊂ B hay B ⊃ A .

Phép lấy phần bù :.Một ví dụ biểu diễn trên
trục số như sau :
A = (9 ; 15) và B = (1 ; 25)
=>CBA = { ∀ x ∈ R|1 < x ≤ 9 hoặc15 ≤ x < 25}

Phép giao giữa 2 tập hợp : Một ví dụ biểu
diễn trên trục số như sau :
A = (1 ; 15) và B = (9 ; 25)
=> A ∩ B = { ∀ x ∈ R | 9 < x < 15}

Phép hợp giữa 2 tập hợp : Một ví dụ biểu
diễn trên trục số như sau :
A = (1 ; 15) và B = (9 ; 25)
=> A ∪ B = { ∀ x ∈ R | 1 < x < 25}

Phép hiệu giữa 2 tập hợp : Một ví dụ biểu
diễn trên trục số như sau :
A = (1 ; 15) và B = (9 ; 25)
=> A\B = { ∀ x ∈ R | 1 < x ≤ 9}

/////////(
1

(
9

)
15

/////////(
1

]/////////////[
9
15

/////////(////////////(
1
9

)///////////////
25

)/////////////
25

)///////////)////////////
15
25

////////////(
1

(
9

)
15

)//////////
25

/////////////(
1

]// //////////)////////////)/////////
9
15
25

2.6 Số phần tử của 1 tập hợp:
+ Một tập hợp có thể có 1 số hữu hạn phần tử (đếm được)
+ Hoặc một tập hợp có thể có vô hạn phần từ.
Ví dụ:
Tập A = { ∀ x ∈ R | 1 < x ≤ 9}là vô hạn phần tử
Tập B = {1;2;3;4;6;7;9;11} là hữu hạn phần tử
+ Số phần tử của tập hợp tên là A được ký hiệu là |A|
Ví dụ : Tập hợp B = {1;2;3;4;6;7;9;11} thì |B| = 8 (phần tử)
------------- Hết ---------------

4