Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (7 điểm)
1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=
3
2
)x32(
(x-5)
2) Cho hàm số y=
2x
cbxax
2
++
Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận
xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng y=
2
x1
3)Giải bất phơng trình:
2
x3x52
+2x > 2x.3
x
.
2
x3x52
+ 4x
2
.3
x
Bài 2: (4 điểm)
Trong tất cả các nghiệm của bất phơng trình:
1)yx(log
22
yx
+
+
Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất.
Bài 3(5 điểm)
Giải phơng trình:
1)
[ ]
2332
x12)x1()x1(x11
+=++
2) sin3x.(1- 4sin
2
x) =
2
1
Bài 4:(4 điểm)
ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h.
1) Hy là đờng thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt
phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đờng thẳng Hy luôn
luôn đi qua một điểm cố định.
2) Hy cắt Ax tại S'. Xác định h theo a để SS' ngắn nhất.
Hớng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi
Lớp 12
Bài 1:
Câu 1: (2 điểm)
Tập xác định: D = R 0,25
điểm
y'= (-3)
3
2
3
1
)x32(
(x-5) +
3
2
)x32(
0,25
điểm
=
3
x323
30x6
+
+ 3(2-3x) =
3
x32
12x5
+
0,25
điểm
Điểm tới hạn: x=
3
2
; x=
5
12
0,25
điểm
x - 2/3 12/5 +
y' + - 0 +
y 0,5
điểm
Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3)
(12/5; +) 0,25
điểm
Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25
điểm
Câu 2: (2 điểm)
Đờng tiệm cận xiên có hệ số góc k =
2x
cbxax
lim
2
x
++
=a 0,25
điểm
Đờng tiệm cận xiên vuông góc với đờng thẳng y=
2
1
x
2
1
+
ta có a=2 0,25
điểm
Xét y=
2x
cbxx2
2
++
y' =
2
2
)2x(
cb2x8x2
0,25
điểm
Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:
=++=
==
1)cb2()1(y
0cb26)1('y
0,5
điểm
=>
=
=
0c
3b
0,25
điểm
Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số
y=
2x
x3x2
2
thoả mãn điều kiện 0,25
điểm
Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25
điểm
Câu 3: (3 điểm)
Bất phơng trình trở thành:
(
2
x3x52
+2x)(1-2x.3
x
)>0 (*) 0,5
điểm
Tập xác định: -2 x
3
1
0,25
điểm
(*)
<
<+
>
>+
03.x21
0x2x3x52
)II(
03.x21
0x2x3x52
)I(
x
2
x
2
0,5
điểm
Xét hệ (I): Giải (1) ta đợc -1< x 1/3 0,5
điểm
Đặt f(x) = 1-2x.3
x
ta thấy:
-1 x 0 hiển nhiên f(x)>1 0,25
điểm
Khi 0<x 1/3
3
3
1
x
3330
=<
13.
3
1
.23.x20
3
x
<<
Do đó f(x) =1-2x.3
x
> 0
Nghiệm của (I) là:
3
1
x1
<
0,25
điểm
Xét hệ (II): Giải (3) ta đợc
1x2
0,25
điểm
Nhng f(x) = 1-2x.3
x
> 0 x 0 nên bất phơng trình (4) không
thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3).
Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm 0,25
điểm
Tóm lại, bất phơng trình đã cho có nghiệm
3
1
x1
<
0,25
điểm
Bài 2: (4 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
+TH1: x
2
+ y
2
> 1 khi đó dễ thấy bất phơng trình
1)yx(log
22
yx
+
+
(1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm
)1(
)2(
)3(
)4(
Ta có (1) x+y x
2
+ y
2
x+2y x
2
+ y
2
+ y (2) 0,5 điểm
Gọi S= x+2y x=S - 2y thay vào (2) ta đợc
S(S-2y)
2
+y
2
+y 5y
2
-(4S-1)y +S
2
- S 0 (3) 0,5 điểm
Bất phơng trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0,
Vậy
2
103
S
2
103
+
0,5 điểm
Với S =
2
103
+
thì = 0 khi đó (3) y=
10
2
2
1
10
1S4
+=
0,25
điểm
Suy ra x= S -2y =
10
2
2
1
+
(thỏa mãn x
2
+ y
2
> 1) 0,5 điểm
+TH2: 0< x
2
+ y
2
< 1. Khi đó (1) 0 <x+y<x
2
+y
2
=> S=x+2y < x
2
+y
2
+y<1+1=2<
2
103
+
(do x
2
+ y
2
< 1,
1y
<
) 0,5 điểm
Tóm lại: với nghiệm
+=
+=
10
2
2
1
y
10
1
2
1
x
thì tổng x+2y lớn nhất 0,25
điểm
Bài 3: (5 điểm)
Câu 1:(3 điểm) TXĐ: -1x1 0,25
điểm
Pt đã cho
[ ]
2332
x12)x1()x1(
2
x1
x1
2
x1
+=+
+
++
1,0 điểm
[ ]
[ ]
22
2
x12x1x1x1x1x1
2
x1x1
+=++++
++
0,75đ
(
x1
+
+
x1
)(
x1
+
-
x1
)=
2
0,5 điểm
1+x-1+x =
2
x=
2
2
(thỏa mãn) 0,5 điểm
Câu 2: (2 điểm)
Vì cosx=0 không phải là nghiệm của phơng trình:
Vì cosx=0 => x=
k
2
+
thì sin3(
k
2
+
).[1-4sin
2
(
k
2
+
)]
2
1
0,25
điểm