Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 40

đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh bảng
a
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (2điểm)
Cho họ đờng cong
1
:)(
2

++
=
x
nmxx
yC
m
với
1
+
nm
Chứng minh rằng: Nếu

a để đờng thẳng

: y=a không cắt họ đ-
ờng cong
)(
m
C
thì họ đờng cong có cực đại và cực tiểu.
Bài 2 (2điểm)

Chứng minh rằng:


0
sin
2
dxe
x
>
2
3

Bài 3 (2điểm)
Giải phơng trình:
6
32
13
352
2
22
=
++
+
+
xx
x
xx
x
Bài 4 (2điểm)
Giải phơng trình:

55
2
=++
xx
Bài 5 (2điểm)
Giải phơng trình:
xxx 7cossin33cos
=
Bài 6 (2điểm)
Cho hàm số



+
=
t
t
tf
cos1
sin
)(

Chứng minh rằng:
ABC

ta luôn có:
2
33
)()()(
++

CfBfAf
.
Bài 7 (2điểm)
Cho hàm số
**
:

f
thoả mãn 2 điều kiện
i.
2)1(
=
f
ii.
n

>1 thì
)()(...)2()1(
2
nfnnfff
=+++
Hãy xác định công thức đơn giản tính
)(nf
?
Bài 8 (2điểm)
Giải hệ phơng trình

=++
=++
=++
2logloglog
2logloglog
2logloglog
16164
993
442
xyz
zxy
zyx
, nếu 0 < t /2
, nếu /2 < t <
Bài 9 (2điểm)
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
22
)()( BCADBDAC
+++
>
2
)( CDAB
+
Bài 10 (2điểm)
Chứng minh rằng:
)12...(5.3.1
2...6.4.2
12
)1(

...
53
1
21
+
=
+

+++
n
n
n
CCC
n
n
n
nn
,

n
Đáp án - thang điểm
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh bảng a
Nội dung Thang
điểm
Bài 1 ( 2 điểm)
Vì m+n
1

nên họ đờng cong
)(

m
C
có cực đại, cực tiểu khi
m+n > -1.
Đờng thẳng

không cắt
)(
m
C
nên phơng trình:

a
x
nmxx
=

++
1
2
vô nghiệm
Nên suy ra phơng trình:
0)(
2
=++
anxmax
vô
nghiệm

nmmaa 4)2(2

22
++=
< 0 có nghiệm a

444
++=


nm
a
> 0
nm
+
> -1

)(
m
C
có cực đại, cực tiểu
Bài 2 ( 2 điểm)
Bổ đề:

x>0 thì e
x
>x+1
Thật vậy: Đặt f(x) = e
x
- x - 1
0

x
Ta có:
01)(
=

x
exf
,
0

x

x

> 0 thì f(x) > f(0) = 0
x
e

> x+1
x

>0
áp dụng bổ đề ta có:
x
ex
2
sin
),0(

>
x
2
sin1
+




0
sin
2
dxe
x
>
2
3
)sin1(
0
2


=+

dxx
Bài 3 ( 2 điểm)
Điều kiện

2
3
1
x
x
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
1.0
0.25
Nhận thấy
0
=
x
không phải là nghiệm nên phơng trình

6
1
3
2
13

5
3
2
2
=
++
+
+

x
x
x
x
Đặt
t
x
x
=+
3
2
phơng trình trở thành:
6
1
13
5
2
=
+
+

tt





=
=

2
11
1
t
t
Với t =1 thì phơng trình vô nghiệm
Với
2
11
=
t
thì phơng trình có nghiệm




=
=
3
2
2

x
x
Kết luận: Phơng trình có nghiệm




=
=
3
2
2
x
x
Bài 4 ( 2 điểm)
Điều kiện:
5

x
Đặt
505
2
+==+
xttx
Phơng trình trở thành:

=
=+
5
5
2
2
xt
tx
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
1.25
0.5
0.25
0.25



=++
=+

0)1)((
5
2
txtx
tx

+
=

=

















=

=












=+
+=



=
=

2
171
2
211

2
171
1
2
211
0
04
01
05
0
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
xt
xx
xt
Bài 5 ( 2 điểm)
Biến đổi tơng đơng phơng trình đã cho
[ ]

=+
=
=+
=
=
=
2
33
)2cos21(4sin2
0sin
033)2cos21(4sin2sin
0sin33)sin43(sin4sin2
0sin334sin3sin2
0sin337coscos
2
xx
x
xxx
xxxx
xxx
xxx
Giải (1) ta đợc x=k

với k

Giải (2): Ta có (2)
=+
xxx 4sin2cos4sin
2
33

2
33
4sin2cos2sin4
2
=+
xxx
(3)
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số:
2
2cos
,
2
2cos
,2sin
22
2
xx
x
ta đợc
=
1
3
22
22
2
4
)2cos2(sin
3
2

2cos
2
2cos
2sin
xx
xx
x
++
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
33
2
2cos2sin2cos2sin
22

xxxx
do đó
1
33
2

4sin2cos2sin4
2
++
xxx
<
2
33
suy ra (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm.
Kết luận: Phơng trình có nghiệm x=k

với k

Bài 6 ( 2 điểm)
Trờng hợp 1: Tam giác ABC không tù, ta có

2
33
)()()(
++
CfBfAf

2
33
sinsinsin
++
CBA
Chứng minh bất đẳng thức trên.
Trờng hợp 2: Tam giác ABC tù, không giảm tính tổng quát giả sử
góc C tù, ta có:
2

33
)()()(
++
CfBfAf
2
33
cos1sinsin
+++
CBA
2
33
sinsinsin
++
CBA

Vì ta có nhận xét:
CC sincos1
+
với C là góc tù.
Chứng minh ở trờng hợp 1.
Bài 7 ( 2 điểm)
Vì
)2(4)2()1( fff
=+
3
2
)2( = f
Với
3

n
, theo giả thiết:





=+++
=++++
)1()1()1(...)2()1(
)()()1(...)2()1(
2
2
nfnnfff
nfnnfnfff
)1()1()()(
2
=
nfnnfnnf

)1(
1
1
)(

+

=
nf
n

n
nf
vậy với
)1(
4
)2(
4...)1(
2)...2)(1(
)(3
+
=
+

=
nn
f
nn
nn
nfn
vì
3
2
)2(;2)1(
==
ff
thoả mãn công thức trên nên
*
)1(
4
)(

+
=
n
nn
nf
Bài 8 ( 2 điểm)
Điều kiện x,y,z>0
0.25
0.25
0.5
0.5
0.75
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5