Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NINH

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á
TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG
MIỀN VỚI BIÊN TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Chuyên ngành :

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Giáo viên hướng dẫn:
PGS. TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến
Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình
làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp

cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên
ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động
viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và
hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được
công bố trong bất kì công trình khoa học nào của ai khác.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả


Mục lục

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Không gian C (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Không gian C ,γ (Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 . . . . . . . . .

6

1.2. Các định lí điểm bất động Leray-Schauder . . . . . . . .

7

1.2.1. Trường hợp đặc biệt của Định lí Leray-Schauder .

7

1.2.2. Dạng tổng quát của Định lí Leray-Schauder . . .

8

1.3. Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Ứng dụng của Định lí Leray-Schauder . . . . . . . . . . .

11

1.4.1. Ứng dụng của trường hợp đặc biệt . . . . . . . .

11

1.4.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình . . . .

13

1.5. Các bước kiểm tra điều kiện (1.15) và (1.16) . . . . . . .

14

1


2

2 Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai
trong miền với biên trơn

16

2.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai

16

2.2. Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền . . . . . . .

17

2.3. Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một bên
trong miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4. Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một ở
trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á

tuyến tính cấp hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối với
đạo hàm cấp một của nghiệm ở trong lân cận biên của miền. Giả thiết
về tính trơn của biên miền được xét sẽ đưa tới khả năng thực hiện được
đánh giá nói trên.
Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của PGS. TS Hà Tiến
Ngoạn tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài: “Bài toán Dirichlet cho
phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên
trơn”.
Bố cục của luận văn gồm 2 chương :
Chương 1 của luận văn trình bày định nghĩa không gian Holder, các
định lí về điểm bất động Leray-Schauder và áp dụng vào bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai đưa tới việc đánh giá
tiên nghiệm.
Chương 2 của luận văn tập trung trình bày bước 1 và bước 4 trong
bốn bước đánh giá tiên nghiệm dẫn tới tính giải được của phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn.
Tài liệu tham khảo chính của Luận văn là các chương 11 và 13 của
tài liệu [4].


4

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương
trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương
trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai
trong miền với biên trơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được nghiên cứu tổng quan về bài toán Dirichlet cho phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền biên trơn.

6. Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Không gian Holder

1.1.1.

Không gian C (Ω)

Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω. Cho x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈
Ω, đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αn ), αj ∈ N với |α| = α1 + α2 + ... + αn . Ta
kí hiệu trong đó
Dα u = D1α1 D2α2 ...Dnαn u
Dj u =

∂u
∂xj

khi đó C(Ω) = C 0 (Ω) là không gian các hàm số liên tục trên Ω với chuẩn
u

C(Ω)

= u

0;Ω

= sup |u(x)|

(1.1)

x∈Ω

Từ đó ta cũng định nghĩa được C (Ω) như sau
C (Ω) = u(x); Dα u ∈ C 0 (Ω), ∀α : |α| ≤

5

;


6

và không gian C (Ω) được trang bị chuẩn
u

C (Ω)

= u

;Ω

sup |Dα u(x)|.

=
|α|≤

(1.2)

Ω

Các không gian C (Ω) là các không gian Banach.

1.1.2.

Không gian C ,γ (Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1

Trước tiên ta định nghĩa không gian C 0;γ (Ω) như sau
C 0; γ (Ω) =

u ∈ C 0 (Ω); [u]γ;Ω =

|u(x) − u(y)|
< +∞
|x − y|γ
x,y∈ Ω, x=y
sup

và được trang bị chuẩn cho C 0; γ (Ω) như sau
u

γ;Ω

= u

0;Ω

+ [u]γ;Ω .

(1.3)

Từ đó ta có định nghĩa của không gian C ,γ (Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 bởi
điều kiện
C ,γ (Ω) = u ∈ C (Ω); [Dα u]γ,Ω < + ∞; ∀ |α| =

,

và trang bị chuẩn sao cho C ,γ (Ω)
u

,γ,Ω

= u

;Ω

[Dα u]γ,Ω .

+

(1.4)

|α|=

Các không gian C ,γ (Ω) là các không gian Banach. Ta có C ,0 (Ω) =
C (Ω) và C 0, (Ω) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz
trong Ω.


7

1.2.

Các định lí điểm bất động Leray-Schauder

1.2.1.

Trường hợp đặc biệt của Định lí Leray-Schauder

Định lý 1.1. ([4]) Giả sử T là ánh xạ compact từ không gian Banach
X lên chính nó, và giả thiết tồn tại hằng số M sao cho
x

X

(1.5)

với mọi x ∈ X và σ ∈ [0, 1] thỏa mãn x = σT x. Khi đó T có ít nhất một
điểm bất động.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử M = 1. Định nghĩa
ánh xạ T ∗ được cho bởi

 Tx
∗
T x=
 Tx
Tx

nếu

T x ≤ 1,

nếu

T x ≥ 1.

Khi đó T ∗ là ánh xạ liên tục của hình cầu đơn vị đóng B trong X vào
chính nó. Khi đó T B là tiền compact cũng như T ∗ B. Suy ra ánh xạ T ∗
có một điểm bất động x. Ta thấy x còn là điểm bất động của T . Thật
vậy, giả sử T x ≥ 1. Khi đó, x = T ∗ x = σ T x nếu σ = 1/ T x , và
x = T ∗ x = 1, mâu thuẫn với (??) với M = 1. Khi đó, T x < 1 và
do đó x = T ∗ x = T x.
Chú ý: Từ chứng minh Định lí 1.1 ta suy ra nếu T là ánh xạ compact
bất kì của không gian Banach X vào chính nó thì với σ ∈ (0, 1] nào đó,
ánh xạ σT có một điểm bất động. Hơn nữa, nếu đánh giá (??) là đúng

thì σT có một điểm bất động với mọi σ ∈ (0, 1].


8

1.2.2.

Dạng tổng quát của Định lí Leray-Schauder

Bổ đề 1.1. ([4]) Giả sử B = B1 (0) là hình cầu đơn vị trong X và giả
sử T là ánh xạ liên tục của B vào X sao cho T B là tiền compact và
T ∂B ⊂ B. Khi đó T có một điểm bất động.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ T ∗ bởi

 Tx
nếu
T x ≤ 1,
∗
T x=
 Tx
nếu
T x ≥ 1.
Tx
Rõ ràng T ∗ là ánh xạ liên tục từ B vào chính nó và T B là tiền compact,
cũng như với T ∗ B. Khi đó, T ∗ có một điểm bất động x và để T ∂B ⊂ B,
ta có x < 1 và khi đó x = T x.
Định lý 1.2. ([4]) Giả sử X là không gian Banach và T là ánh xạ
compact từ X × [0, 1] vào X sao cho T (x, 0) = 0 với mọi x ∈ X. Giả
sử tồn tại hằng số M sao cho
x

X


(1.6)

với mọi (x, σ) ∈ X × [0, 1] thỏa mãn x = T (x, σ). Khi đó, ánh xạ T1
của X lên chính nó được cho bởi T1 x = T (x, 1) có một điểm bất động.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử M = 1. Với 0 < ε ≤ 1,
ta định nghĩa ánh xạ T ∗ từ B vào X bởi

 T x , 1− x
nếu − ε ≤ x ≤ 1,
x
ε
∗
∗
T x = Tε x =
T 1 ,1
nếu x < 1 − ε.
1−ε


9

Ánh xạ T ∗ là liên tục, T ∗ B là tiền compact bởi tính compact của T và
T ∗ ∂B = 0. Khi đó theo Bổ đề 1.1, ánh xạ T ∗ có một điểm bất động
x(ε). Ta đặt
ε = k1 ; xk = x

1
k


 k(1 − xk ) nếu 1 − 1 ≤ xk ≤ 1,
k
; σk =
1
nếu xk < 1 − k1 ,

với k = 1, 2, . . . . Tính compact của T được thừa nhận bởi dãy con
{(xk , σk )} hội tụ đến (x, σ) trong X × [0, 1]. Khi đó, σ = 1. Nếu
σ < 1, ta phải có xk

≥ 1 − 1/k với k đủ lớn và khi đó x = 1,

x = T (x, σ), mâu thuẫn với Bổ đề 1.1. Nếu σ = 1, ta có T liên tục khi
∗
T1/k
xk → T (x, 1) và khi đó x vẫn là điểm bất động của T1 .

1.3.

Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á
tuyến tính cấp hai

Phương trình á tuyến tính cấp hai có dạng
Qu = 0,
trong đó

Qu = aij (x, u, Du)Dij u + b(x, u, Du),

aij = aji ,

(1.7)

với x = (x1 , ...., xn ) chứa trong miền Ω của Rn , n ≥ 2 và hàm u thuộc
C 2 (Ω). Hệ số của Q, cụ thể là hàm aij (x, z, p), i, j = 1, ..., n, b(x, z, p)
được xác định với mọi giá trị của (x, z, p) trong tập Ω × R × Rn . Hai
toán tử trong công thức (??) được gọi là tương đương nếu một toán tử
là bội của toán tử kia cho bởi một hàm cố định dương trong Ω × R × Rn .


10

Chúng ta áp dụng các định nghĩa sau :
Giả sử U là tập con của Ω × R × Rn . Khi đó Q là elliptic trong U
nếu ma trận hệ số aij (x, z, p) là dương với mọi (x, z, p) ∈ U . Ta kí
hiệu λ(x, z, p), Λ(x, z, p) lần lượt là giá trị riêng cực tiểu và cực đại của
aij (x, z, p) , nghĩa là
0 < λ(x, z, p)|ξ|2 ≤ aij (x, z, p)ξi ξj ≤ Λ(x, z, p)|ξ|2

(1.8)

với mọi ξ = (ξ1 , ....., ξn ) ∈ Rn \ {0} và mọi (x, z, p) ∈ U . Hơn nữa, nếu
Λ/λ là bị chặn trong U , ta sẽ gọi Q là elliptic đều trong U . Nếu Q là
elliptic (elliptic đều) trong cả tập Ω × R × Rn , khi đó ta nói đơn giản
rằng Q là elliptic (elliptic đều) trong Ω. Nếu u ∈ C 1 (Ω) và ma trận
aij (x, u(x), Du(x)) là dương với mọi x ∈ Ω, ta nói Q là elliptic đối với
u.

Ta còn định nghĩa hàm vô hướng, bởi
E(x, z, p) = aij (x, z, p)pi pj .

(1.9)

Nếu Q là elliptic trong U , từ (??) ta có
0 < λ(x, z, p)|p|2

E(x, z, p)

Λ(x, z, p)|p|2

(1.10)

với mọi (x, z, p) ∈ U .
Toán tử Q có dạng bảo toàn nếu tồn tại một hàm vectơ phân biệt
Λ(x, z, p) = (A1 (x, z, p), ...., An (x, z, p)) và một hàm vô hướng B(x, z, p)
sao cho
Qu = div A(x, u, Du) + B(x, u, Dv),

u ∈ C 2 (Ω);

(1.11)


11

nghĩa là, trong (??)
1
aij (x, z, p) = (Dpi Aj (x, z, p) + Dpj Ai (x, z, p)).

2

1.4.

Ứng dụng của Định lí Leray-Schauder

1.4.1.

Ứng dụng của trường hợp đặc biệt

Để áp dụng Định lí 1.1 vào bài toán Dirichlet cho phương trình á
tuyến tính, ta chọn β ∈ (0, 1) và lấy không gian Banach X vào không
gian Holder X = C 1, β (Ω), với Ω là miền bị chặn trong Rn . Lấy Q là
toán tử được cho bởi
Qu = aij (x, u, Du)Dij u + b(x, u, Du)

(1.12)

và giả sử Q là elliptic trong Ω, khi đó, ma trận hệ số aij (x, z, p) là
không âm với mọi (x, z, p) ∈ Ω × R × Rn . Ta thừa nhận với α ∈ (0, 1)
nào đó thì các hệ số aij , b ∈ C α (Ω × R × Rn ), còn biên ∂Ω ∈ C 2, α và ϕ là
hàm cho trước trong C 2, α (Ω). Với mọi v ∈ C 1,β (Ω), toán tử T xác định
bởi u = T v là nghiệm duy nhất trong C 2,αβ (Ω) của bài toán Dirichlet
tuyến tính.
aij (x, v, Dv)Dij u + b(x, v, Dv) = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω. (1.13)
Tính giải được của bài toán (??) được đảm bảo bởi sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tính giải được
của bài toán Dirichlet, Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω trong không gian
C 2, α (Ω) được thừa nhận tương đương với tính giải được của u = T u

12

trong không gian Banach Z = C 1, β (Ω). Phương trình u = σT u trong X
tương đương với bài toán Dirichlet
Qσ u = aij (x, u, Du)Dij u + σb(x, u, Du) = 0

(1.14)

trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω.
Áp dụng Định lí 1.1, ta có thể phát biểu định lí tồn tại sau đây
Định lý 1.3. ([4]) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn và giả thiết Q là
elliptic trong Ω với hệ số aij , b ∈ C α (Ω × R × Rn ), 0 < α < 1. Giả sử
∂Ω ∈ C 2,α và ϕ ∈ C 2,α (Ω). Khi đó, với β > 0 nào đó mà tồn tại một
hằng số M , không phụ thuộc vào u và σ, sao cho với mọi nghiệm C 2,α (Ω)
của bài toán Dirichlet, Qσ u = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1
đều thỏa mãn bất đẳng thức sau
u

C 1,β (Ω)

< M,

(1.15)

thì bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω là giải được trong
C 2,α (Ω).
Chứng minh. Để chứng minh định lí trên cần chỉ ra rằng toán tử T là
liên tục và compact.
Từ đánh giá Schauder, ánh xạ T là bị chặn từ C 1, β (Ω) lên tập bị chặn

C 2,αβ (Ω) và là tiền compact trong C 2 (Ω) và C 1, β (Ω).
Để chỉ ra tính liên tục của T , ta lấy vm , m = 1, 2...... hội tụ đến v
trong C 1, β (Ω). Từ đó dãy {T vm } là tiền compact trong C 2 (Ω), mỗi dãy
con là một dãy con hội tụ. Giả sử {T v m } là dãy con hội tụ trong C 2 (Ω).


13

Khi đó
aij (x, v, Dv)Dij u + b(x, v, Dv)
= lim

m→∞

aij (x, vm , Dvm )Dij T vm + b(x, vm , Dvm )} = 0,

Ta có u = T v và do đó, dãy {T vm } hội tụ đến u.

1.4.2.

Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình

Định lí 1.1 là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2 khi mà T (x, σ) =
σ T1 x. Lấy Q là toán tử trong công thức (??) và giả sử Q, Ω và ϕ thỏa
mãn giả thuyết của Định lí 1.3. Để áp dụng Định lí 1.2 vào bài toán
Dirichlet, Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω, ta gắn bài toán vào họ sau,
Qσ u = aij (x, u, Du; σ)Dij u + b(x, u, Du; σ) = 0 trong Ω,
u = σϕ trong ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1,
sao cho :
1. Q1 = Q, b(x, z, p; 0) = 0;

2. toán tử Qσ là elliptic trong Ω với mọi σ ∈ [0, 1];
3. các hệ số aij , b ∈ C 0 (C α (Ω × R × Rn ); [0, 1]), có nghĩa là aij , b ∈
C α (Ω × R × Rn ) với mỗi σ ∈ [0, 1] và ánh xạ từ [0, 1] vào C α (Ω ×
R × Rn ), các hàm số aij , b là liên tục.
Với mọi v ∈ C 1, β (Ω), σ ∈ [0, 1] toán tử T xác định bởi u = T (v, σ)
là nghiệm duy nhất trong C 2, αβ (Ω) của bài toán Dirichlet tuyến tính,
aij (x, v, Dv; σ)Dij u + b(x, v, Dv; σ) = 0


14

trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω .
Từ điều kiện (1) bên trên ta thấy tính giải được của bài toán Dirichlet,
Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω , trong không gian C 2,α (Ω) sẽ tương
đương với việc giải phương trình u = T (u, 1) trong không gian Banach
C 1, β (Ω) và T (u, 0) = 0 với mọi v ∈ C 1, β (Ω). Tính liên tục và compact
của ánh xạ T được đảm bảo bởi điều kiện (2) và (3), là tương đương
với việc chứng minh Định lí 1.1. Khi đó ta có thể kết luận Định lí 1.2 là
tổng quát của Định lí 1.1.
Định lý 1.4. ([4]) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω ∈ C 2, α
và giả sử ϕ ∈ C 2,α (Ω). Giả sử {Qσ , 0 ≤ σ ≤ 1} là họ toán tử thỏa mãn
các điều kiện (1), (2), (3) bên trên và giả sử với β > 0 nào đó tồn tại
một hằng số M không phụ thuộc vào u và σ, sao cho với mọi nghiệm
C 2,α (Ω) của bài toán Dirichlet Qσ u = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω đều
thỏa mãn bất đẳng thức sau
u

C 1, β (Ω)

< M.

(1.16)

Khi đó bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω là giải được
trong C 2,α (Ω).

1.5.

Các bước kiểm tra điều kiện (??) và (??)

Để chứng minh tính giải được của bài toán Dirichlet Qu = 0 trong
Ω, u = ϕ trên ∂Ω ta cần chứng minh đánh giá tiên nghiệm (??) trong
C 1,β (Ω) với β > 0 nào đó. Ta phải trải qua 4 bước.
Bước 1. Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền;


15

Bước 2. Đánh giá độ lớn của đạo hàm cấp một bên trong miền;
Bước 3. Đánh giá độ lớn của đạo hàm cấp một ở trên biên;
Bước 4. Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một.
Nội dung chính của chương 2 là thực hiện bước 1 và bước 4 trong các
đánh giá trên.


Chương 2
Bài toán Dirichlet cho phương trình
á tuyến tính cấp hai trong miền với
biên trơn
2.1.

Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến
tính cấp hai

Trong chương này ta sẽ đi đánh giá phương trình á tuyến tính cấp
hai dạng tổng quát
Qu = aij (x, u, Du) Dij u + b(x, u, Du) = 0

(2.1)

Trong các phần tiếp theo, luận văn trình bày bước 1 và bước 4 trong
đánh giá tiên nghiệm được nêu ở cuối chương 1.

16


17

2.2.

Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền

Định lý 2.1. ([4]) Giả sử u, v ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) thỏa mãn Qu ≥ Qv
trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω và toán tử Q thỏa mãn các điều kiện sau đây
1. Toán tử Q là elliptic đều địa phương đối với u hoặc v;
2. Các hệ số aij không phụ thuộc vào z;
3. Hệ số b là không giảm theo z với mỗi (x, p) ∈ Ω × Rn
4. Các hệ số aij , b là khả vi liên tục đối với biến p trong Ω × R × Rn .
Khi đó, u ≤ v trong Ω. Hơn nữa, nếu Qu ≥ Qv trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω
và các điều kiện (1), (2) và (3) đúng (điều kiện (4) không nhất thiết),

ta có bất đẳng thức ngặt u < v trong Ω.
Chứng minh. Giả sử lấy Q là elliptic đối với u. Khi đó, ta có
Qu − Qv = aij (x, Du)Dij (u − v) + (aij (x, Du) − aij (x, Dv))Dij v
+ b(x, u, Du) − b(x, u, Dv) + b(x, u, Dv) − b(x, v, Dv) ≥ 0
được viết bởi
w =u−v
aij (x) = aij (x, Du)
aij (x, Du) − aij (x, Dv) Dij v + b(x, u, Du) − b(x, u, Dv) = bi (x)Di w
Ta thấy
Lw = aij (x)Dij w + bi Di w

0


18

trên Ω+ = {x ∈ Ω|w(x) > 0} và w

0 trên ∂Ω. Sự tồn tại của hàm biên

địa phương bi được đảm bảo bởi điều kiện (4) và định lí về giá trị trung
bình. Tuy nhiên, sử dụng điều kiện (1) và (4) ta có w

0 trong Ω. Nếu

Qu > Qv trong Ω, hàm w không thể là cực đại không âm trong Ω. Do
đó, w < 0 trong Ω.
Định lý 2.2. ([4]) Giả sử Q là elliptic trong Ω và giả thiết rằng tồn tại
hằng số không âm µ1 và µ2 sao cho
µ1 |p| + µ2

b(x, z, p) sign z
≤
E(x, z, p)
|p|2

∀(x, z, p) ∈ Ω × R × Rn .

(2.2)

Khi đó, nếu u ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) thỏa mãn Qu ≥ 0(= 0) trong Ω, ta có
sup u(|u|) ≤ sup u+ (|u|) + Cµ2
Ω

(2.3)

∂Ω

với C = C(µ1 , diam Ω).
Chứng minh. Giả sử nếu u ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) thỏa mãn Qu ≥ 0 trong Ω
và định nghĩa toán tử Q bởi
Qv = aij (x, u, Dv)Dij v + b(x, u, Dv)
Ta chọn một hàm so sánh v, cụ thể với µ2 > 0 ta đặt
v(x) = sup u+ + µ2 (eαd − eαx1 ),
∂Ω

với Ω nằm ở trên biên, 0 < x1 < d và α

µ1 + 1. Khi đó, ta có

Ω+ = {x ∈ Ω|u(x) > 0},

Qv = −µ2 α2 a11 (x, u, Dv)eαx1 + b(x, u, Dv)
−αx

≤ − e µ2 1 E(x, u, Dv) 1 −
< 0 ≤ Qu.

µ1
α

−

e−αx1
α2

bởi (??)


19

Do đó, theo Định lí 2.1, ta có u ≤ v trong Ω. Kết quả µ2 = 0 được viết
là µ2 tiến về 0.
Định lý 2.3. ([4]) Giả sử Q là elliptic trong Ω và giả sử tồn tại các
hằng số không âm µ1 và µ2 sao cho
b(x, z, p)sign z
≤ µ1 |p| + µ2
D∗

∀(x, z, p) ∈ Ω × R × Rn .

(2.4)

Khi đó, nếu u ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) thỏa mãn Qu ≥ 0 (= 0) trong Ω, ta có
sup u(|u|) ≤ sup u+ (|u|) + Cµ2
Ω

(2.5)

∂Ω

với C = C(µ1 , diam Ω).
Chứng minh. Trong miền con Ω+ = {x ∈ Ω|u(x) > 0}, ta có
0 ≤ Qu = aij Dij u + b sign u
≤ aij Dij u + [µ1 (sign Di u)Di u + µ2 ] D∗ ,
và khi đó ta có đánh giá (??) trên toàn miền Ω. Đánh giá đầy đủ (??)
thu được nếu thay thế u bởi −u trong chứng minh.

2.3.

Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm
cấp một bên trong miền

Giả thiết rằng các hệ số aij và b của toán tử Q tương ứng thuộc
C 1 (Ω × R × Rn ) và C 0 (Ω × R × Rn ). Giả sử Qu = 0 trong Ω và ban đầu
giả thiết là u ∈ C 3 (Ω). Bằng phép lấy vi phân đối với xk , k = 1, ..., n,


20

ta có
aij (x, u, Du)Dkij u + Dpl aij (x, u, Du)Dlk uDij u

+ δk aij (x, u, Du)Dij u + Dk b(x, u, Du) = 0

(2.6)

với δk là toán tử vi phân xác định bởi
δk g(x, z, p) = Dxk g(x, z, p) + pk Dz g(x, z, p).
Phương trình (??) được viết dưới dạng bảo toàn
Di (aij Dk j u) + (Dp l ail − Dp j ail )Dl k uDi j u
+ δk aij Dij u − δi aij Dk j u + Dk b = 0.

(2.7)

Kí hiệu v = |Du|2 , nhân phương trình (??) với Dk u và lấy tổng từ k = 1
đến n. Ta có
−aij Dki uDkj u + 21 Di (aij Dj v) + 12 (Dpi aij − Dpj ail )Dij uDi v
ij

+Dk u δk a Dij u −

1
ij
2 δi a Dj v

(2.8)

+ Dk (bDk u) − b ∆u = 0.

Với γ ∈ R và r = 1, ...., n, ta đặt
w = wr = γDr u + v

(2.9)

Cộng (??) và (??) ta có phương trình
−2aij Dki uDkj u + Di (aij Dj w + (2Di u + γδ ir )b)
+ (Dpl aij − Dpj ail )Dij uDl w
+ (2Dk u + γδ kr )δk aij − 2bδ ij ) Dij u − δi aij Dj w = 0.

(2.10)


21

Đặt
a−ij (x) = aij (x, u(x), Du(x)),
aijl (x) = (Dpl aij − Dpj ail ) (x, u(x), Du(x)),
fri (x) = (2Di u(x) + γδ ir )b(x, u(x), Du(x)),
bij (x) = (2Dk u(x) + γδ kr )δk aij − 2δ ij b (x, u(x), Du(x)),
cj (x) = δi aij (x, u(x), Du(x)),
ta viết phương trình (??) dưới dạng tích phân
(a−ij Dj w + fri )Di ζ+(2a−ij Dki uDkj u − aijl Dij uDl w
Ω
i

(2.11)

ij

+ c Di w − b Dij u)ζ dx = 0
với mọi ζ ∈ C01 (Ω). Ta khẳng định rằng đồng nhất tích phân (??)vẫn
đúng nếu ta chỉ cần giả thiết u ∈ C 2 (Ω). Thật vậy, lấy {um } ⊂ C 3 (Ω)

tiến tới u trong C 2 (Ω), và rằng Dβ um hội tụ đều đến Dβ u trên tập
compact Ω với mọi |β| ≤ 2. Từ Qu = 0 trong Ω, ta có: Qum → 0 đều trên
tập compact trong Ω và do đó lấy m → ∞ trong đồng nhất tích phân của
um tương ứng (??), ta thu được (??). Chú ý rằng bằng cách xấp xỉ tương
tự thì khẳng định trên vẫn đúng nếu ta giả thiết u ∈ C 0,1 (Ω) ∩ W2, 2 (Ω).
Tiếp tục chứng minh, ta cần khử số hạng mà chứa Dij u từ (??). Do
Q là elliptic, ta có
2

a−ij Dki uDkj u ≥ λ D2 u ≥ 0
với λ = λ(x, u(x), Du(x)). Sử dụng Bất đẳng thức Schwarz và (??) ta


22

có
(a−ij Dj w + fri )Di ζdx
Ω

≤

(λ +
Ω

1
λ

aijl

2

2

)|Dw| +

1
λ

i 2

(c

+ b

ij 2

(2.12)
)

ζdx

với mọi ζ ∈ C01 (Ω) không âm. Tiếp theo ta thay thế ζ trong (??) bởi
ζ e2χw , ở đây χ = sup (1 + λ−2
Ω

2

aijl ).

Đặt

aij (x) = e2χw(x) a−ij (x)
f i (x) = e2χw(x) fri (x)
1
g(x) = e2χw(x) (χ
λ

2

fri +

2

ci +

2

bij )

ta nhận được
(aij Di w + f i )Di ζ − gζ

dx ≤ 0

(2.13)

Ω

với mọi ζ không âm, ζ ∈ C01 (Ω) và hàm w thỏa mãn bất đẳng thức
Lw = Di (aij Dj w) ≥ − (g + Di f i )

(2.14)

theo nghĩa suy rộng. Thay thế Ω nếu cần bởi một miền con chứa ngặt
ta có thể giả thiết rằng toán tử L là elliptic ngặt trong Ω và các hệ số
aij , f i và g là bị chặn.
Giả sử γ > 0 đủ lớn và viết wr± = ± γDr u + v. Ta chỉ ra giá trị của
Bất đẳng thức (??) với mọi γ ∈ R đủ lớn và r = 1, .. .. , n là đủ để
đánh giá Holder cho đạo hàm của các biến Dr u, r = 1, .. .. , n . Chọn
hệ số ζ đủ lớn, hàm wr± được hiểu tương tự như ±Dr u. Để thuận tiện