Ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH HẢI

ÁNH XẠ ĐÓNG TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU
DẠNG KHỐI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

HÀ NỘI, 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH HẢI

ÁNH XẠ ĐÓNG TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU
DẠNG KHỐI

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trịnh Đình Thắng

HÀ NỘI, 2014

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này của tự bản thân tôi tìm hiểu, nghiên
cứu. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn và chú thích đầy đủ. Nếu không
đúng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Tác giả luận văn

Trần Thanh Hải


ii

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, các
thầy giáo, cô giáo phòng sau đại học trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2, các
thầy giáo ở Viện Công Nghệ Thông Tin đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện
cho tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.
TS. Trịnh Đình Thắng - người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã hết lòng giúp đỡ, khích lệ và động viên
để tôi hoàn thành luận văn. Xin chia sẻ niềm vui này với bạn bè và những
người thân yêu.


iii

MỤC LỤC
Trang

LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... ii
MỤC LỤC ................................................................................................... iii
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT .................................................. vi
DANH MỤC CÁC BẢNG.......................................................................... vii
DANH MỤC CÁC HÌNH ......................................................................... viii
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ VÀ ÁNH XẠ ĐÓNG ...... 3
1.1. Một số khái niệm cơ bản...................................................................... 3
1.2. Phụ thuộc hàm ..................................................................................... 5
1.3. Hệ tiên đề Armstrong .......................................................................... 6
1.4. Đại số quan hệ trên quan hệ ................................................................. 6
1.4.1. Phép hợp ....................................................................................... 7
1.4.2. Phép giao ...................................................................................... 7
1.4.3. Phép trừ ........................................................................................ 7
1.4.4. Tích Đề-các .................................................................................. 8
1.4.5. Phép chiếu .................................................................................... 9
1.4.6. Phép chọn ..................................................................................... 9
1.4.7. Phép kết nối ................................................................................ 10
1.4.8. Phép chia .................................................................................... 12
1.5. Bao đóng ........................................................................................... 12
1.6. Khóa của lược đồ quan hệ ................................................................. 13
1.7. Ánh xạ đóng ...................................................................................... 14
1.7.1. Các phép toán trên ánh xạ đóng .................................................. 15
1.7.2. Một số tính chất của ánh xạ đóng ................................................ 18
1.7.3. Điểm bất động của ánh xạ đóng .................................................. 18


iv

1.7.4. Giàn giao .................................................................................... 18
1.7.5. Hạn chế trên ánh xạ đóng............................................................ 21
1.7.6. Khóa của ánh xạ đóng ................................................................. 21
1.8. Lược đồ quan hệ và ánh xạ đóng ....................................................... 23
1.8.1. Lược đồ quan hệ và ánh xạ đóng ................................................ 23
1.8.2. Một số ánh xạ đóng khác trong LĐQH ....................................... 26
CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI ................................... 28
2.1. Khối, lược đồ khối ............................................................................. 28
2.2. Lát cắt................................................................................................ 29
2.3. Đại số quan hệ trên khối .................................................................... 30
2.3.1. Phép hợp ..................................................................................... 31
2.3.2. Tích Đề-các ................................................................................ 31
2.3.3. Phép giao .................................................................................... 32
2.3.4. Tích Đề-các theo tập chỉ số ......................................................... 32
2.3.5. Phép trừ ...................................................................................... 33
2.3.6. Phép chiếu .................................................................................. 33
2.3.7. Phép chọn ................................................................................... 34
2.3.8. Phép kết nối ................................................................................ 34
2.3.9. Phép chia .................................................................................... 35
2.3.10. Phép nối dài .............................................................................. 36
2.4. Bao đóng của tập thuộc tính chỉ số .................................................... 37
2.5. Khóa của lược đồ khối R đối với tập phụ thuộc hàm F trên R ............ 40
2.6. Hàm và phụ thuộc hàm ...................................................................... 41
CHƢƠNG 3: ÁNH XẠ ĐÓNG TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG
KHỐI .......................................................................................................... 44
3.1. Ánh xạ đóng và lược đồ khối ............................................................. 44
3.2. Điểm bất động của ánh xạ đóng trên khối. ......................................... 51
3.3. Khóa của ánh xạ đóng ....................................................................... 55

v

KẾT LUẬN ................................................................................................. 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 60


vi

BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Trong luận văn này dùng thống nhất các ký hiệu và chữ viết tắt sau:
Ký hiệu

Ý nghĩa

, 

chứa trong, chứa

XY

X  Y (hợp của 2 tập thuộc tính X và Y).

AXĐ

ánh xạ đóng

PTH

phụ thuộc hàm

LĐQH

lược đồ quan hệ

Dom(A)

miền giá trị của thuộc tính A

r hoặc r(R)

khối r trên tập R

x(i) = (x, Ai)

các thuộc tính chỉ số của lược đồ khối (x  id, i = 1..n)

id(i)= {x(i)|x  id} tập các thuộc tính chỉ số của lược đồ khối.
Close(U)

tập tất cả các AXĐ trên tập U cho trước

P(U)

tập các tập con của tập U

Map(U)

tập các ánh xạ từ P(U)  P(U)

Gen(U)

tập sinh của giàn G

Fix(f)

tập toàn bộ các điểm bất động của AXĐ f

Coatom(G)

đối nguyên tử của giàn giao G

REL(U)

tập toàn thể các quan hệ trên U


vii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1. 1.Các bộ giá trị dựa trên các thuộc tính của quan hệ HOCVIEN ....... 4
Bảng 1. 2.Quan hệ THISINH ......................................................................... 5
Bảng 1. 3.Biểu diễn quan hệ r, s và quan hệ r x s............................................ 8


viii

DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 2. 1. Biểu diễn khối SANPHAM.......................................................... 29

Hình 2. 2. Phép hợp trong khối .................................................................... 31
Hình 2. 3. Phép giao trong khối ................................................................... 32
Hình 2. 4. Phép trừ trong khối ..................................................................... 33


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Để có thể xây dựng được một hệ thống cở sở dữ liệu tốt, người ta
thường sử dụng các mô hình dữ liệu thích hợp. Đã có một số mô hình được sử
dụng trong các hệ thống cở sở dữ liệu như: mô hình thực thể - liên kết, mô
hình mạng, mô hình phân cấp, mô hình hướng đối tượng, mô hình dữ liệu
datalog và mô hình quan hệ. Trong số các mô hình này thì có ba mô hình dữ
liệu thường được sử dụng là mô hình phân cấp, mô hình mạng và mô hình
quan hệ, trong đó mô hình quan hệ được quan tâm hơn cả. Mô hình quan hệ
được E. Codd đề xuất năm 1970. Tuy nhiên do các quan hệ có cấu trúc phẳng
(tuyến tính) nên mô hình này chưa đủ đáp ứng đối với các ứng dụng phức tạp,
các cơ sở dữ liệu có cấu trúc phi tuyến tính…
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhằm mở rộng mô hình dữ
liệu quan hệ đã được nhiều nhà khoa học quan tâm. Theo hướng nghiên cứu
này, một mô hình dữ liệu mới đã được đề xuất đó là mô hình dữ liệu dạng
khối và nó được xem như là một mở rộng của mô hình dữ liệu quan hệ.
Để góp phần bổ sung vào mô hình dữ liệu dạng khối, em đã chọn đề tài
“Ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối” nhằm đề xuất ra một khái
niệm mới đó là phép ánh xạ đóng, các phép tính trên khối…trên cơ sở đó đề
xuất và chứng minh một số tính chất liên quan trong phép ánh xạ đóng trên
khối.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng

khối.
3. Nhiệm vụ của nghiên cứu
- Tìm hiểu về mô hình dữ liệu quan hệ và ánh xạ đóng.


2

- Tìm hiểu về mô hình dữ liệu dạng khối.
- Nghiên cứu về ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Mô hình dữ liệu dạng khối.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Luận văn được thực hiện bằng phương pháp nghiên cứu lý thuyết: thu
thập tài liệu, phân tích các tài liệu và những thông tin liên quan đến đề tài, kết
hợp các nghiên cứu đã có trước đây ở trong nước cùng với sự chỉ bảo, góp ý
của thầy hướng dẫn để hoàn thành nội dung nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Với đề tài “Ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối” chúng tôi
mong muốn đề xuất được một số tính chất của ánh xạ đóng trong mô hình dữ
liệu dạng khối:
+ Đưa ra khái niệm mới về ánh xạ đóng trên mô hình dữ liệu dạng khối,
đề xuất và chứng minh một số tính chất của ánh xạ đóng trên lược đồ khối.
+ Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ đóng trên lược đồ khối và
chứng minh một số tính chất của điểm bất động của ánh xạ đóng trên lược đồ
khối R và trên lược đồ lát cắt Rx tương ứng.
+ Đưa ra khái niệm về khóa của ánh xạ đóng trên lược đồ khối, chứng
minh một số tính chất của ánh xạ đóng trên lược đồ khối R và lược đồ lát cắt
Rx tương ứng.
7. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm: Lời mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và sau cùng là

tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Mô hình dữ liệu quan hệ và ánh xạ đóng.
Chƣơng 2: Mô hình dữ liệu dạng khối.
Chƣơng 3: Ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối.


3

CHƢƠNG 1
MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ VÀ ÁNH XẠ ĐÓNG
1.1. Một số khái niệm cơ bản
Thuộc tính [9], [12]
Thuộc tính là một tính chất riêng biệt của một đối tượng cần được lưu
trữ trong CSDL để phục vụ cho việc khai thác dữ liệu về đối tượng.
Ví dụ 1.1:
* Đối tượng CONGTY có các thuộc tính phòng ban, tên nhân viên, số
người,lương
* Đối tượng NHANVIEN có các thuộc tính mã nhân viên, họ tên, ngày
sinh, quê quán, trình độ
Các thuộc tính được đặc trưng bởi một tên thuộc tính, kiểu giá trị và
miền giá trị.
Trong các ứng dụng thực tế, người phân tích - thiết kế thường đặt tên
thuộc tính một cách gợi nhớ, tuy nhiên không nên đặt tên quá dài (vì làm cho
việc viết câu lệnh truy vấn vất vả hơn) nhưng cũng không nên quá ngắn (vì
không thể hiện được ngữ nghĩa một cách rõ ràng).
Ví dụ 1.2: Nếu có hai đối tượng HOCVIEN và GIAOVIEN đều có
thuộc tính tên thì nên đặt tên một cách rõ ràng là Tên_học_viên và
Tên_giáo_viên vì chúng mang ngữ nghĩa hoàn toàn khác nhau.
Mỗi một thuộc tính đều phải thuộc một kiểu dữ liệu. Kiểu dữ liệu có
thể là vô hướng - là các kiểu dữ liệu cơ bản như chuỗi, số, logic, ngày tháng

… hoặc các kiểu có cấu trúc được định nghĩa dựa trên các kiểu dữ liệu có sẵn.
Mỗi một thuộc tính có thể chỉ chọn lấy những giá trị trong một tập hợp
con của kiểu dữ liệu. Tập hợp các giá trị mà thuộc tính A có thể nhận được
gọi là miền giá trị của thuộc tính A, thường được kí hiệu là Dom(A).


4

Ví dụ 1.3: Điểm của sinh viên là một số nhưng luôn nằm trong đoạn từ
0 đến 10.
Nếu thuộc tính có kiểu dữ liệu vô hướng thì nó được gọi là thuộc tính
đơn hoặc nguyên tố, nếu thuộc tính có kiểu dữ liệu có cấu trúc thì ta nói rằng
nó là thuộc tính kép.
Quan hệ [9], [12]
Cho U = {A1, A2, …, An} là một tập hữu hạn không rỗng các thuộc
tính. Mỗi thuộc tính Ai( i = 1,2, …, n) có miền giá trị là DA i . Khi đó r là một
tập các bộ {h1, h2, …, hm} được gọi là quan hệ trên U với hj (j = 1, 2, …, m) là
một hàm: h j : U 

D

Ai U

Ai

,sao cho hj(Ai) ∈ DA i (i = 1,2, … n).

Ta có thể xem một quan hệ như một bảng, trong đó mỗi hàng (phần tử)
là một bộ và mỗi cột tương ứng với một thành phần gọi là thuộc tính.
Bộ của quan hệ [9]

Một bộ giá trị là các thông tin của một đối tượng thuộc quan hệ. Bộ giá
trị cũng thường được gọi là một mẫu tin hay bản ghi, dòng của bảng.
Một bộ q là một vecto gồm n thành phần thuộc tập hợp con của tích
Đề-Các miền giá trị của các thuộc tính và thỏa mãn tân từ đã cho của quan hệ.
Bảng 1. 1.Các bộ giá trị dựa trên các thuộc tính của quan hệ HOCVIEN
Mã SV

Họ Tên

Ngày,tháng,
năm sinh

Quê Quán

Khoa

q1

SV001

Trần Văn Mạnh

10/10/1985

Hải Phòng

K34LY

q2

SV002

Nguyễn Thị Hoa

25/11/1983

Hà Nội

K34TIN

q3

SV003

Trần Minh Phượng 11/11/1982

Quảng Ninh

K34HOA

Ta ký hiệu q.Ai là giá trị của bộ q tại thuộc tính Ai.
Ví dụ 1.4:
q1.Tên_sinh_viên = “Trần Văn Mạnh”


5

q2.Khoa=“K34TIN”
Lược đồ quan hệ [9], [12]
Tất cả các thuộc tính trong một quan hệ cùng với mối liên hệ giữa

chúng được gọi là lược đồ quan hệ.
Lược đồ quan hệ R với tập thuộc tính U = {A1, A2, …, An} được viết là
R(U) hoặc R{A1, A2, …, An}.
1.2. Phụ thuộc hàm
Định nghĩa 1.1 [9]
Cho lược đồ quan hệ R xác định trên tập thuộc tính U. Cho X, Y là hai
tập con của U. Nói rằng X xác định hàm Y hay Y phụ thuộc hàm vào X và ký
hiệu X → Y nếu với mọi quan hệ r xác định trên R và với 2 bộ t1, t2 bất kỳ mà
t1(X) = t2(X) thì t1(Y) = t2(Y).
Ví dụ 1.5 :
Bảng 1. 2.Quan hệ THISINH
sbd

hoten

diachi

tinh

khuvuc

60021

Trần Minh Phượng

Uông Bí

Quảng Ninh

2

60022

Nguyễn Trường Giang

Bắc Sơn

Lạng Sơn

1

60023

Phạm Xuân Trà

Chí Linh

Hải Dương

1

60024

Đặng Tiến Mạnh

Xuân Hòa

Vĩnh Phúc

1

60025

Vũ Tuấn Minh

Kim Mã

Hà Nội

3

Trong quan hệ THISINH, dựa vào định nghĩa phụ thuộc hàm của quan
hệ ta có:
{tinh} → {khuvuc}
{sbd} → {hoten, diachi, khuvuc, tinh}


6

Khái niệm phụ thuộc hàm miêu tả một loại ràng buộc (phụ thuộc dữ
liệu) xảy ra tự nhiên nhất giữa các tập thuộc tính.
1.3. Hệ tiên đề Armstrong
Gọi F là tập xác định của các phụ thuộc hàm đối với lược đồ quan hệ R
và X → Y là một phụ thuộc hàm. X, Y ⊆ R. Nói rằng X → Y được suy diễn
logic từ F nếu mỗi quan hệ r trên R đều thỏa mãn phụ thuộc hàm của F thì
cũng thỏa mãn X → Y. Chẳng hạn F = {A → B, B → C} thì A → C suy diễn
logic từ F. Gọi F+ là bao đóng của F, tức là tập tất cả các phụ thuộc hàm được
suy diễn logic từ F. Nếu F = F+ thì F là họ đầy đủ của các phụ thuộc hàm.
Để có thể xác định khóa của một lược đồ quan hệ và các suy diễn logic
giữa các phụ thuộc hàm cần thiết phải tính được F+ từ F. Do đó đòi hỏi phải

có các hệ tiên đề. Tập các quy tắc của hệ tiên đề được Armstrong đưa ra
(1974) thường được gọi là hệ tiên đề Armstrong.
Hệ tiên đề Armstrong [9]
Cho R = {A1, A2, …, An} là tập các thuộc tính, X, Y, Z ⊆ R
Hệ tiên đề Armstrong có 3 tính chất cơ bản sau (suy diễn theo tiên đề):
- A1 (phản xạ): Nếu Y ⊆ X thì X → Y
- A2 (tăng trưởng): Nếu Z ⊆ R và X → Y thì XZ → YZ
- A3 (bắc cầu): Nếu X → Y và Y → Z thì X → Z
Trong đó ký hiệu XZ là hợp của hai tập X và Z thay cho ký hiệu X  Z.
1.4. Đại số quan hệ trên quan hệ
Định nghĩa 1.2 [9]
Hai quan hệ r và s được gọi là khả hợp nếu như hai quan hệ này xác
định trên cùng tập thuộc tính và các thuộc tính cùng tên có cùng miền giá trị.


7

1.4.1. Phép hợp
Phép hợp hai quan hệ khả hợp r và s, ký hiệu r  s, là tập tất cả các bộ
thuộc r hoặc thuộc s. Ta có:
r  s = {t | t  r hoặc t  s}
Ví dụ 1.6:

r(A

B)

a1
a2

;

r  s(A

B)

b1

a1

b1

b2

a1

b2

a 2 b2

a2

b1

a2

b2

s(A

B)

b1

a1

b1

a1

;

1.4.2. Phép giao
Phép giao của hai quan hệ khả hợp r và s, ký hiệu là r  s, là tập tất cả
các bộ thuộc cả hai quan hệ r và s. Ta có:
r  s = {t | t  r và t  s}
Ví dụ 1.7:
Từ định nghĩa của r và s trong ví dụ 1.6 ta có:
r  s (A

B)

a1

b1

1.4.3. Phép trừ
Phép trừ của hai quan hệ khả hợp r và s, ký hiệu: r - s, là tập tất cả các
bộ thuộc r nhưng không thuộc s. Ta có:
r - s = {t | t  r và t  s}

Ví dụ 1.8:
Từ định nghĩa của r và s trong ví dụ 1.6 ta có:


8

r - s (A

B)

a2

b1

s - r (A

B)

a1

b2

a2

b2

1.4.4. Tích Đề-các
Cho quan hệ r xác định trên tập thuộc tính {A1, A2, …, An} và quan hệ
s xác định trên tập thuộc tính {B1, B2, …, Bm}. Tích Đề-các của hai quan hệ r
và s ký hiệu là r  s, là tập tất cả các (m+n) - bộ có n thành phần đầu tiên là

một bộ thuộc r và m thành phần sau là một bộ thuộc s. Ta có:
r  s = {t=(a1, a2, …, an, b1, b2, …, bm) | (a1, a2, …, an) r và (b1, b2, …, bm) s
Ví dụ 1.9:
Bảng 1. 3.Biểu diễn quan hệ r, s và quan hệ r x s
rs

r
MASV

MAMH DIEM

MASV MAMH

DIEM

SOTIET

TEN

1001

CSDL

6.0

1001

CSDL

6.0

6

A

1002

ATTT

5.0

1001

CSDL

6.0

7

B

1003

CNPM

7.0

1002

ATTT

5.0

6

A

1002

ATTT

5.0

7

B

s
SOTIET

TEN

1003

CNPM

7.0

6

A

6

A

1003

CNPM

7.0

7

B

7

B


9

1.4.5. Phép chiếu
Cho r là một quan hệ n ngôi xác định trên tập thuộc tính U = {A1, A2,
…, An}, X là tập con của U. Phép chiếu của quan hệ r trên tập thuộc tính X,
ký hiệu là

X (r),

là tập các bộ của r xác định trên tập thuộc tính X. Ta có:
X (r)

= {t.X | t  r}

Phép chiếu thực chất thực chất là phép toán giữ lại một số thuộc tính
cẩn thiết của quan hệ và loại bỏ những thuộc tính không cần thiết.
Ví dụ 1.10:
r (A

B

C

D)

a

1

x

3

b

2

y

4

c

5

z

3

d

7

z

4

e

2

x

4

C (r)

(C)

BD (r)

(B D)

x

1

3

y

2

4

z

5

3

7

4

1.4.6. Phép chọn
Phép chọn là phép toán lọc lấy ra một tập con các bộ của quan hệ đã
cho thỏa mãn một điều kiện xác định. Điều kiện đó được gọi là điều kiện chọn
hay biểu thức chọn.

Biểu thức chọn F được định nghĩa là một tổ hợp logic của các toán
hạng, mỗi toán hạng là một phép so sánh đơn giản giữa hai biến là hai thuộc
tính hoặc giữa một biến là một thuộc tính và một giá trị hằng. Biểu thức chọn


10

F cho giá trị đúng hoặc sai đối với mỗi bộ đã cho của quan hệ khi kiểm tra
riêng của bộ đó.
Các phép toán so sánh trong biểu thức F: >, <, =, , ,  .
Các phép toán logic trong biểu thức F:  (và),  (hoặc),  (phủ định).
Cho r là một quan hệ và F là một biểu thức logic trên các thuộc tính của
r. Phép chọn trên quan hệ r với biểu thức chọn F, ký hiệu là  F (r ) , là tập tất cả
các bộ của r thỏa mãn F. Ta có  F (r ) = {t | t  r  F(t) = đúng}.
Ví dụ 1.11:
r

(A

B

C

D)

a

1

x

b

2

c

;

 B D (r )

(A

B

C

D)

3

c

5

z

3

y

4

d

7

z

4

5

z

3

d

7

z

4

e

2

x

4

1.4.7. Phép kết nối
Cho quan hệ r xác định trên tập thuộc tính {A1, A2, …, An}, và quan hệ
s xác định trên tập thuộc tính {B1, B2, …, Bm}. Để định nghĩa phép kết nối
của hai quan hệ, trước hết chúng ta làm quen với khái niệm ghép bộ.
Giả sử cho hai bộ u = (a1, a2, …, an) và v = (b1, b2, …, bm). Phép lấy
ghép bộ u với bộ v, ký hiệu (u,v), được định nghĩa là:
(u,v) = (a1, a2, …, an, b1, b2, …, bm)
Phép kết nối hai quan hệ thực chất là phép ghép các cặp bộ của hai
quan hệ thỏa mãn một điều kiện nào đó trên chúng. Điều kiện đó được gọi là
điều kiện kết nối hay biểu thức kết nối.


11

Biểu thức kết nối được định nghĩa là phép hội của các toán hạng, mỗi
toán hạng là một phép so sánh đơn giản giữa một thuộc tính của quan hệ r và
một thuộc tính của quan hệ s.
Phép kết nối của quan hệ r với quan hệ s với biểu thức kết nối F được
định nghĩa như sau:
r  s  {t  (u, v) | u  r  v  s  F (t )  đúng}
F

Tất nhiên ở đây cần giả thiết rằng các phép so sánh của các cặp thuộc
tính thuộc hai quan hệ là có nghĩa, hay mỗi giá trị của thuộc tính này có thể so
sánh được với mỗi giá trị của thuộc tính kia.
Trong trường hợp phép so sánh là “=”, chúng ta gọi phép kết nối đó là
phép kết nối bằng. Trường phép kết nối bằng trên các thuộc tính cùng tên của

hai quan hệ và sau khi kết nối một trong hai thuộc tính của phép so sánh “=”
được loại bỏ thông qua phép chiếu thì phép kết nối này được gọi là phép kết
nối tự nhiên và sử dụng ký hiệu “*”. Phép kết nối tự nhiên của hai quan hệ có
thể được định nghĩa như sau:
r(U) * s(V) = {t.(U  V) | t.U  r  t.V  s}
Ví dụ 1.12:
r

r  s
B E

(A

B

C

D)

a

1

x

b

2

c

s

(E

F)

3

3

a

y

4

3

b

5

z

3

8

c

d

7

z

4

e

2

x

4

A

B

C

D

E

F

c

5

z

3

3

a


12

c

5

z

3

3

b

d

7

z

4

3

a

d

7

z

4

3

b

1.4.8. Phép chia
Cho r là một quan hệ n ngôi xác định trên tập thuộc tính U và s là một
quan hệ m ngôi xác định trên tập thuộc tính V với n > m và s   có nghĩa
là lực lượng của s là khác 0 hay s có ít nhất một bộ. Để đơn giản chúng ta giả
thiết V  U. Phép chia quan hệ r cho quan hệ s, ký hiệu là r  s, là tập tất cả
các bộ t sao cho với mọi bộ v  s thì khi ghép bộ t với bộ v ta được một bộ
thuộc r. Ta có: r  s = {t |  v  s  (t,v)  r}.
Ví dụ 1.13:
r

rs

(A

B

C

D)

a

1

a1

b

2

c

s

(A

B)

a2

a

1

a1

a2

b

2

3

a1

a2

c

3

a

1

a2

a3

b

2

a2

a3

c

3

a3

a4

(C

D)

a1

a2

1.5. Bao đóng
Định nghĩa 1.3 [9]
Giả sử F là tập các phụ thuộc hàm trên lược đồ quan hệ s = (R, F). Gọi
F+ là tập các phụ thuộc hàm có thể suy diễn logic từ F bởi các luật của tiên đề
Armstrong.

13

Giả sử A ⊆ R, ký hiệu A+ = {a: A → {a} ∈ F+}. A+ được gọi là bao
đóng của A trên s.
A+ là tập tất cả các thuộc tính a mà phụ thuộc hàm A → {a} có thể suy
diễn logic từ F nhờ hệ tiên đề Armstrong.
Mệnh đề A → B ∈ F+ nếu và chỉ nếu B ⊆ A+ đúng nhờ vào bổ đề dưới
đây:
Bổ đề
X → Y suy diễn từ hệ tiên đề Armstrong khi và chỉ khi Y ⊆ X+.
Mệnh đề 1.1 [9]
Phép lấy bao đóng của tập thuộc tính là một hàm đóng thỏa mãn các
tính chất sau:
1. Tính phản xạ: X ⊆ X+
2. Tính đơn điệu: nếu X ⊆ Y thì X+⊆ Y+
3. Tính lũy đẳng
4. X+Y+⊆ (XY)+
5. (X+Y)+ = (XY+)+ = (XY)+
6. X → Y khi và chỉ khi Y ⊆ X+ (bổ đề)
7. X → Y khi và chỉ khi Y+⊆ X+
8. X → X+, X+→ X
9. X+ = Y+ khi và chỉ khi X → Y và Y → X.
Định nghĩa 1.4 [9]
X+ = {X → A | A ∈ R, X → A ∈ F+}. X+ được gọi là bao đóng của A
trên lược đồ quan hệ.
1.6. Khóa của lƣợc đồ quan hệ
Định nghĩa 1.5 [9]

14

Cho s = (U, F) là 1 lược đồ quan hệ, U là tập thuộc tính khác rỗng và F
là tập các phụ thuộc hàm. Cho tập con bất kỳ  K  U. Ta nói rằng K là khóa
của lược đồ quan hệ s khi và chỉ khi nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
i) (K → U)

 F+

ii) Không tồn tại Z  K sao cho (Z → U)

 F+

Điều kiện (i) và (ii) khẳng định các thuộc tính không khóa phụ thuộc
đầy đủ vào khóa. Từ định nghĩa trên có thể suy ra rằng K là khóa của lược đồ
quan hệ khi và chỉ khi nó thỏa mãn 2 điều kiện:
a) K+ = U
b) ( K - A )+ ≠ U,  A  K.
Các tính chất của khóa trong lƣợc đồ quan hệ
Định lý 1.1 [9] ( Đặc trưng của các thuộc tính khóa)
Cho K là 1 khóa của LĐQH a = ( U,F ). Khi đó với mọi tập con X của
K ta có X+  K = X.
Định lý 1.2 [9] ( Công thức tính giao các khóa)
Cho LĐQH a = (U,F) với n thuộc tính trong U và m PTH trong F. Gọi
UI là giao các khóa của a. Khi đó có thể xác định giao các khóa bằng 1 thuật
toán tuyến tính theo mn qua công thức:
UI  U \

 ( R \ L)

L  RF

Định lý 1.3 [9] ( Định lý về khóa duy nhất )
Cho LĐQH a = (U,F). Gọi UI là giao của các khóa trong a. Khi đó a có
một khóa duy nhất khi và chỉ khi UI + = U.
1.7. Ánh xạ đóng
Định nghĩa 1.6 [8], [16]
Cho tập U hữu hạn. Ánh xạ f: SubSet(U) → SubSet(U) được gọi là đóng
trên tập U nếu với mọi tập con X,Y ⊆ U thỏa các tiên đề sau đây:


15

i) Tính phản xạ: 𝑓(X) ⊇ X,
ii) Tính đồng biến: Nếu X ⊆ Y thì 𝑓(X)⊆ 𝑓(Y),
iii) Tính lũy đẳng: 𝑓(𝑓(X)) = 𝑓(X).
Ví dụ 1.14:
Các ánh xạ sau đây là đóng
- Ánh xạ tối đại: (X) = U với mọi X  U,
- Ánh xạ đồng nhất: e(X) = X với mọi X  U,
- Ánh xạ tịnh tiến: hT(X) = TX với mọi X  U và T là tập con cố định
tùy ý cho trước trong U.
Để ý rằng trường hợp T = U thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ
tối đại, hU = , trường hợp T =  thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ
đồng nhất, h = e. Điều này cho thấy có thể dùng ánh xạ tịnh tiến làm cơ sở
đặc tả họ các ánh xạ đóng { , hT, e}.
Ngoài ba tính chất phản xạ, đồng biến và lũy đẳng, ánh xạ đóng còn
thỏa một số tính chất sau: [14], [15]
Gọi 𝑓 là một AXĐ cho trước trên U. Khi đó, với mọi X,Y ⊆ U ta thu
được:

𝑓(𝑓 𝑋 𝑌) = 𝑓(𝑋𝑓 𝑌 ) = 𝑓(𝑋𝑌).
𝑓(𝑋𝑌) ⊇ 𝑓 𝑋 𝑓(𝑌).
𝑓(𝑋

𝑌) ⊆ 𝑓 𝑋

𝑓(𝑌).

1.7.1. Các phép toán trên ánh xạ đóng
Phép toán hội
Định nghĩa 1.7 [1], [8]
Cho các AXĐ 𝑓, g trên tập U hữu hạn. Ánh xạ h được xác định trên U
như sau: h(X) = 𝑓(X)  g(X), với mọi X ⊆ U. Ta gọi h là phép hội của các
AXĐ 𝑓 và g. Ký hiệu h = 𝑓 *g.