Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 42

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán học Thời gian làm bài 180 phút
Đề thi bảng A
Bài 1: Cho y = (-m + 1) x
3
+ 3( m + 1) x
2
- 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định
thẳng hàng .
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phơng trình :
1
34
1
2
<
+
+
axax
x
Đợc nghiệm đúng với mọi x .
Bài 3: Giải phơng trình

2
)1(
22
3
=
+
+

xx
xx
Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn
y
6
+ y
3
+ 2 x
2
=
22
yxxy

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM
, CM, DM. Lần lợt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A
1
, B
1
, C
1
, D
1
.
a) Chứng minh rằng :
1
1
1
1
1
1

1
1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
+++
Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1111
MD
DM
MC
CM
MB
BM
MA
AM
P
+++=
Đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 6: Chứng minh với mỗi số nguyên dơng n thì phơng trình x
2n+ 1
= x + 1 .
chỉ có 1 nghiệm số thực x
n

. Khi đó tìm lim x
n
n

đáp án và biểu điểm
môn Toán học thi học sinh giỏi lớp 12
Bài 1:
a) (1.5 điểm )
D = R
Cần điều kiện : y = 3 (m + 1) x
2
+ 6 ( m + 1 ) x - 4 m

0
Thoã mãn với

x (0.25
điểm)
+ m + 1 = 0 => m = - 1 có y = 4 > 0 Thoã mãn với

x
vậy m = -1 là giá trị cần tìm . (0.25 điểm)
+ m + 1

0 = > m = - 1 . Để y

0 Thoã mãn với

x cần điều kiện

+++=
>+
0)1(12)1(9
01
2'
mmm
m

1
0)37)(1(
01
<



++
>+

m
mm
m
hoặc m


7
3

(0.50 điểm)
Kết luận: m
(
]
.;
7
3
1;






+
(0.25
điểm)
b) Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với

m
=> m (
03)143
0
2
0
3

00
2
0
3
0
=++
yxxxx
(*)
Để phơng trình (*) không phụ thuộc m cần





=+
=+
03
0143
0
2
0
3
0
0
2
0
3
0
yxx
xxx

Xét phơng trình
0143
0
2
0
3
0
=+ xxx
Gọi f(x) =
0143
0
2
0
3
0
=+ xxx
là hàm số liên tục trên R
+ Có f(0) .f(-1) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0)
(1.0
điểm)
+ Có f(1) .f(2) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2)
+ Có f(-1) > 0 ; khi x

thì f(x) <0.
Vậy phơng trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-
)1;

Vậy phơng trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm .
Các nghiệm ấy thõa mãn :

=+
=+
03
0143
23
23
yxx
xxx
Trừ hai phơng trình cho nhau đợc : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc
đờng thẳng y = 4x - 1 .
Bài 2 (3 điểm )
Trớc hết cần ax
2
- 4x + a - 3

0 với mọi x



<=


0)3(4
0
'
aa

a
a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm)
+ Nếu a < -1 thì ax
2
- 4x + a - 3 < 0 với
x

.
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với
x

.

x + 1 > ax
2
- 4x + a - 3 thỏa mãn với
x

.

ax
2
- 5x + a - 4 < 0 thỏa mãn với
x

.


= 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a < -1) (1,0
điểm)

= 4a
2
- 16a - 25 > 0
2
414

<
a
(do a < - 1)
+ Nếu a > 4 thì ax
2
- 4x + a - 3 > 0 với
x

.
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với
x

.

x + 1 < ax
2
- 4x + a - 3 thỏa mãn với
x

.

ax

2
- 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với
x

(1,0
điểm)


= 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a = 4 > 0)

4a
2
- 16a - 25 > 0
2
414
+
>
a
(do a > 4)
Kết luận:








+
+

;
2
414
2
414
;a
(0.5
điểm)
Bài 3: ( 3 điểm )
Tập xác định D =
x


R (0,25
điểm)
Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên phơng trình đã cho
(0,25
điểm)
2

1
1
1
1
22
2
2
3
=






+
+
=








+
+

x

x
x
x
x
xx
x
xx
(0,5
điểm)
x
x
x
x
1
1
1
2
2
+=






+
(0,5
điểm)
Đặt
.

1
t
x
x
=+
Điều kiện
2

t

(vì
2
11
+=+=
x
x
x
xt
) (0,25
điểm)
Ta đợc phơng trình mới
2t
2
- 5t + 2 = 0 (0,25
điểm)




=

=

)(
2
1
2
mãnthoả khôngdo loạit
t
(0,25
điểm)
Với t = 2
012
2
2
1
2
=+
=+
xx
x
(0,5
điểm)
1
=
x
Kết luận: Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25
điểm)
Bài 4: (3 điểm )
§iÒu kiÖn : xy - x
2

y
2

0
≥
hay
10
≤≤
xy
(0,25
®iÓm)
Ta cã :
xy - x
2
y
2
= -
4
1
4
1
4
1
22
≤+







+−
xyyx
(0,25
®iÓm)
2
1
22
≤−⇒
yxxy
( DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi xy =
2
1
)
Do ®ã : y
6
+ y
3
+ 2x
2

2
1
≤
(0,25 ®iÓm)
KÕt hîp víi gi¶ thiÕt
2
1
4)2(12
3322

++≤−++
yxyyxx
(0,25
®iÓm)
Céng hai vÕ hai bÊt ®¼ng thøc ta cã :
14)2(14
3226
+≤−+++
xyyxxy
(0,25 ®iÓm)
−⇔
1
2
)2(1 yx
−+
23
)2( xy
−≥
Do
−
1
2
)2(1 yx
−+
0
≤
dÊu b»ng x¶y ra khi 1 + (2x - y )
2
=1
vµ

0)2(
23
≥−
xy
(0,25
®iÓm)
nªn ta cã
−
1
2
)2(1 yx
−+
)2(
3
xy
−=
= 0



=−
=−
⇔
02
02
3
yx
xy
(0,25 ®iÓm)
Gi¶i hÖ nµy ta ®îc






−=
−=



=
=



=
=
2
1
1
;
1
1
;
0
0
3
3
2
2

1
1
x
y
x
y
x
y
(0,5 ®iÓm)