Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 45

Đề Thi học sinh giỏi Lớp 12
Môn: Toán
Thời gian: 180 Phút
Giáo viên ra đề : Trịnh Văn Hùng
Bài 1 : (4điểm )
Cho đờng cong ( C
m
) :
mx2
1mx
y
x
2
+
++
=
( m là tham số và |m | 2)
Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ đợc hai tiếp tuyến với đờng cong (C
m
) mà chúng
vuông góc vơí nhau.
(Giải tích - Toán nâng cao 12 Tác giả Phan Huy Khải )
b) Cho I
n
=
dx
1
1
0
x
nx

e
e



+
với n là số tự nhiên
Tìm
I
lim
n
n
+

( Toán nâng cao lớp 12 Phan Huy Khải )
Bài 2: (4 Điểm )
a) Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số a
1x
+
-
xa

=1
( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Giải bất phơng trình
4x2
+
- 2
x2

>
16
8x12
x9
2
+

( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
Bài 3 ( 4điểm )
a)Giải Phơng trình :2sin(3x+
4

) =
x2x2sin81
cos
2
+
b) Tam giác ABC có các góc thõa mãn : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos
2
A
+3cos
2
B
+cos
2
C
Chứng minh rằng : tam giác ABC là tam giác đều .
( Báo Toán học tuổi trẻ 5/2004)
Bài 4 (4điểm) :
a)Cho n là số nguyên dơng , hãy tìm giới hạn A =

)1x(
1nnx
x
lim
2
n
1x

+

( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Giải hệ phơng trình





=
+
+
=
loglog
loglog
)x3(
2
3y
2
)y3(
2
3x

2
(Đại số sơ cấp tác giả Trần Phơng)
Bài 5 ( 4điểm) :
a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang có cạnh AD =2 BC. Gọi M,N là hai
trung điểm của SA , SB tơng ứng .Mặt phẳng (DMN ) cắt SC tại P. Tính tỉ số điểm P chia
đoạn thẳng CS .
( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )

b) Cho a,b,c là các số thực lớn hơn 2
Chứng minh rằng :
log
a
2
cb
+
+
log
b
2
ca
+
+
log
c
2
ba
+
3
( Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phơng)
.................................... Hết ...........................................

Đáp án
Câu 1
Gọi M(x
0
;0 ) là điểm cần tìm . Đờng thẳng (

)qua M có hệ số góc k có phơng
trình y= k( x-x
0
)
Để(

) là tiếp tuyến của đờng cong thì phơng trình sau có nghiệm kép
(0,5đ)
)xx(k
mx2
1mxx
0
2
=
+
++
( 1- 2k) x
2
+(m+2kx
0
-mk)x +1+mkx
0
=0 có nghiệm kép

=++

0)mkx1)(k21(4]m)mx2(k[
0k21
0
2
0
(I )





=+++

)3(04m)mx2(k4)mx2(k
)2(
2
1
k
0
22
Bài toán trở thành tìm điều kiện để (I) có hai nghiện phân biệt k
1
, k
2
và k

1
.k
2
= -1 (0,5đ)
thay (2) vào (3) ta có : (2x
0
-m)
2
+m
2
+ 12 0 (4)
Vì (4) đúng nên hệ (I) (3)
Điều kiện cần tìm là :





=+







=
+

+

22
0
0
2
0
2
0
m4)mx2(
2
m
x
1
)mx2(
4m
0mx2
( 2x
0
+m)
2
= 4-m
2
( vì m 2) (5)
Nếu m > 2 thì (5) vô nghiệm
Nếu m < 2 thì (5) có hai nhghiệm cần tìm với x
0
=
2
m4m
2
Vậy có hai điểm M(x

0
;0) cần tìm với x
0
=
2
m4m
2
(0,5đ)
b) Ta có x ( 0;1) thì :
x
nx
e1
e


+
>
x
x)1n(
e1
e

+
+
I
n
> I
n+1
Mặt khác vì
x

nx
e1
e


+
> 0 x (0;1) I
n
>0 n
Vậy {I
n
} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dới , nên tồn tại
n
n
Ilim


(0,5đ)
Ta có I
n
+

I
n+1
=
dx
1
e
1
0

x
)xn(
nx
e
e


+

+
+
=
dxe
1
0
x)1n(


= -
[ ]
1e
1n
1
)1n(



I
n
=

n1
1e
n1



- I
n-1
(*) (0,5đ)
Rõ ràng :
n
n
Ilim

=
1n
n
Ilim


n1
1e
lim
n1
n



+
=0 nên từ (*) suy ra 2

n
n
Ilim
+
= 0
n
n
Ilim
+
= 0
(0,5đ)
Bài 2:
a) Giải và biện luận phơng trình theo tham số a:
1x
+
-
xa

=1







=


+=+

xa2ax2
ax
xa11x
0xa





=+=



)4(0a4a)1a(4)x(f
)3(
2
a
x
)2(ax
2
2
x4
(0,5đ)
Ta xét các trờng hợp sau:
+) Nếu a < 0 khi đó
2
a
> a nên hệ (2) (3) (4) vô nghiệm tức là (1) vô nghiệm
+) Nếu a=0 thì hệ (2), (3), (4) có nghiệm duy nhất x=0

+) Nếu a >0 thì ta có





+=

)4(a4ax)1a(4x4f
)5(ax
2
a
22
)x(
Xét tam thức f
(x)
có f
(
2
a
)
= -2a < 0 và f
(a)
= a
2
> 0
Vậy theo định lí đảo (4) có hai nghiệm x
1
,x
2

thoã mãn x
1
<

2
a
< x
2
<

a (1đ)
Kết luận
+) Nếu a < 0 thì (1) vô nghiệm
+) Nếu a 0 thì (1) có nghiệm duy nhất x=
2
1a21a
++
(0,5đ)
b) Giải bất phơng trình
4x2
+
- 2
x2

>
16
8x12
x9
2
+

(1)
Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta có ( Với x [-2;2] )
16x9
)4x6(2
x224x2
4x6
2
+

>
++

(0,5đ)
0x282x8)(x282x)(2x3(
0x281632x8x9)(2x3(
0]x224x2(216x9)[2x3(
22
22
2
>++
>+
>+++
(0,5đ)
Do 8+x+2
0x28
2
>
nên (2) (3x-2) (x-2
0)x28

2
>






<
<

2x
3
24
3
2
x2
Tập nghiệm của bất phơng trình T = [ -2;
3
2
)(
3
24
; 2] (1đ)
Bài 3 ( 4điểm )
a)Giải Phơng trình :2sin(3x+
4

) =
x2x2sin81

cos
2
+





+=

+


+

)3(x2cosx2sin81)
4
x3(sin4
)2(0)
4
x3sin(
22
(0,5đ)
Giải (2):
(2) 2[1-cos(6x +
2

) ] = 1+ 8sin2x(1-sin
2
2x)

2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin
3
2x
2+ 2(3sin2x-4sin
3
2x) = 1+8sin2x-8sin
3
2x
sin2x =
2
1






+

=
+

=

12
5
x
k
12
x

(k,lZ ) (0,5đ)
+)Thay x=
12

+ kả vào (2) ta có :
VT
(2)
= sin(
0)k3
2
)1(
k
=+


khi k=2n ,n Z
x=
12

+ 2nả là nghiệm của (1).
+) Thay x=
+


12
5
vào (2) ta có :
VT
(2)
= sin(

)1(
1
)3
12
3

+
=+



0 khi l=2m-1;m Z
x=
+

)1m2(
12
5
là họ nghiệm của (1)
Vậy (1) có hai họ nghiệm : x=
12

+ 2nả và x=
+

)1m2(
12
5
; (n,mZ)
(1đ)

b) Ta có sinA +sin B = 2 sin
2
BA
+
cos
2
C
cos2
2
BA


dấu ( = ) xảy ra khi và chỉ khi
2
1
(sin A + sinB )
2
C
cos

chỉ khi A = B (1)