Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun cohen macaulay

Mục lục

1

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Kiến thức chuẩn bị

8

Chuẩn bị về chiều Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Đa thức Hilbert-Samuel và số bội . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . .
1.1

2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay

Môđun Cohen-Macaulay . . . .
2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay . .
2.3 Tính catenary và dãy thu gọn .
2.4 Trờng hợp không địa phơng .

2.1

3

8
9
9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Tính bão hòa nguyên tố . . . . . . . . . . .
i
3.2 Linh hóa tử của Hm
(M ) . . . . . . . . . .
3.3 Vành thơng của vành Cohen-Macaulay
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . .

1

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vành thơng của vành Cohen-Macaulay
3.1

8

15
. . . . . . . . . . . . .

15

. . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . . .

20

. . . . . . . . . . . . .

21


2

Thông tin kết quả nghiên cứu
1. Thông tin chung

Tên đề tài: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen-Macaulay
Mã số:
Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nông Quốc Chinh
Thời gian thực hiên: 1/2014-6/2016
2. Mục tiêu. Đề tài nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun
Cohen-Macaulay. Ba bài toán đặt ra trong đề tài là:
a) Đặc trng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay.
b) Mở rộng các nghiên cứu bài toán a) cho trờng hợp không địa phơng, từ đó
tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt.
c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa
nguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng.
3. Kết quả nghiên cứu
- Trong mục tiêu nghiên cứu a), chúng tôi cải tiến một số kết quả trong bài báo của
Cờng-Nhàn [CN] về đặc trng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun.
- Trong mục tiêu nghiên cứu b), chúng tôi mở rộng các kết quả ở mục a) cho trờng
hợp không địa phơng, từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũy
thừa hình thức và vành đa thức.
- Trong mục tiêu nghiên cứu c), chúng tôi cải tiến các kết quả trong hai bài báo của
Nhàn-An [NhA] và Bahmanpour-Azami- Ghasemi [BAG] về cấu trúc vành thơng của
vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòa nguyên tố của môđun đối
đồng điều địa phơng.
4. Sản phẩm
4.1. Sản phẩm khoa học
- Chủ nhiệm đề tài (Nong Quoc Chinh) là đồng tác giả 2 bài báo đợc đăng hoặc nhận


3
đăng trên các tạp chí quốc tế có uy tín ISI:
N. Q. Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.
Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).

N. Q. Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,
Bull. Korean Math. Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang).
- Hai thành viên đề tài (Phạm Hồng Nam, Trần Đỗ Minh Châu) là đồng tác giả 2 bài
báo trên tạp chí SCI (1 bài đã đăng, 1 bài đã sửa lại theo góp ý của phản biện).
P. H. Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of
Koszul complexes of d-sequences, J. Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung
Cuong).
T. D. M. Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely
generated modules, J. Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).
4.2. Sản phẩm đào tạo. Hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thành viên nghiên cứu của
đề tài (Phạm Hồng Nam). Chủ nhiệm đề tài đã hớng dẫn 05 luận văn thạc sĩ bảo vệ
thành công năm 2014, 2015, 2016.
5. Hiệu quả. Hoàn thành mọi mục tiêu đề ra trong thuyết minh.
6. Khả năng áp dụng và phơng thức chuyển giao các kết quả nghiên cứu
- Về khoa học: Công bố đợc một số kết quả mới, có ý nghĩa khoa học trên các tạp
chí quốc tế có uy tín ISI, mà nội dung của các bài báo đều nằm trong các chủ đề nghiên
cứu của đề tài Cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay.
- Về giáo dục và đào tạo: Hớng dẫn thạc sĩ, hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thành
viên đề tài, phục vụ hiệu quả cho công tác giảng dạy sau đại học các chuyên ngành về
Toán tại Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu các thành viên trong nhóm thực hiện đề
tài, mở rộng hợp tác nghiên cứu.


4

Summary
1. General information
Project title: A study of certain extensions of the class of Cohen-Macaulay modules.
Code number:

Duration: From 1/2014 to 6/2016
Project Investigator: Associate Professor Nong Quoc Chinh
2. Objectives. The purpose of this project is to study the structure of certain extensions
of the class of Cohen-Macaulay rings and modules:
a) Study the structure of pseudo Cohen-Macaulay modules;
b) Extend the research topic a) to the non-local case, and then study the pseudo
Cohen-Macaulayness for some specific rings and modules.
c) Study the structure of local rings which are quotients of a local Cohen-Macaulay
rings in terms of the prime saturation and the annihilator of local cohomology modules.
3. Main results
- In the research topic a), we improve some results in the paper by Cuong-Nhan
[CN] on the pseudo Cohen-Macaulayness of rings and modules.
- In the research topic b), we extend the results to the non-local case, then we
characterize the pseudo Cohen-Macaulayness of the formal power series rings and the
polynomial rings.
- In the research topic c), we study the structure of local rings which are quotients
of Cohen-Macaulay local rings in terms of prime saturation and the annihilator of local
cohomology modules. These generalize the known results in the two papers by Nhan-An
[NhA] and by Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG].
4. Results
4.1. Scientific publications
- The principal investigator (Nong Quoc Chinh) is the co-author of the two papers
published or accepted in international reputed journals listed by ISI:


5
• N. Q. Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.
Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).
• N. Q. Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,
Bull. Korean Math. Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang).

- The two members of the project (Pham Hong Nam, Tran Do Minh Chau) are the
co-authors of the two papers, one is already published and the other is revised for
publication in an SCI journal:
• P. H. Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of
Koszul complexes of d-sequences, J. Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung
Cuong).
• T. D. M. Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely
generated modules, J. Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).
4.2. Training results. To support a Ph.D thesis of a investigator of the project (Pham
Hong Nam). The principal investigator instructed 05 master theses successfully defended
in 2014, 2015, 2016.
5. Effectiveness. All the objectives of the project are completed.
6. Applications
- On the scientific aspect: Publishing some scientific results in ISI journals of mathematics (in the research topic of the project).
- On educational aspect: Instructing 5 master theses, supporting a PhD thesis, teaching undergraduate students and graduate students in mathematics at Thai Nguyen University of Sciences.
- Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepening
the cooperation in scientific research with domestic and international research institutions
.


6

Phần mở đầu
Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là đối tợng nghiên cứu trung tâm của Đại số
giao hoán. Vành và môđun Cohen-Macaulay còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác
của toán học nh Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp, Lí thuyết bất biến. Lí thuyết vành và
môđun Cohen-Macaulay đã đợc trình bày khá đầy đủ trong cuốn sách chuyên khảo của
Bruns-Herzog [BH], ở đó cấu trúc của lớp vành và môđun này đợc làm rõ và đợc đặc
trng qua các lí thuyết quen biết nh lí thuyết địa phơng hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết đối
đồng điều địa phơng. Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay đợc đặc trng qua lí thuyết

số bội nh sau: một môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phơng (R, m) là
Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu độ dài R (M/xM) và số bội e(x, M) luôn bằng nhau
với mọi hệ tham số x của M (xem Chơng 2, Tiết 2.1).
Từ những năm 1960 của thế kỉ trớc, một số mở rộng của lớp vành và môđun
Cohen-Macaulay đã đợc khám phá. Mở đầu từ một giả thuyết nổi tiéng của D. A.
Buchsbam về sự khác nhau giữa độ dài R (M/xM) và số bội e(x, M), hai nhà toán
học W. Vogel và J. Struckrad đã đa ra một phản ví dụ cho giả thuyết này và từ đó lớp
vành và môđun Buchsbaum ra đời, đó là lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện trong
giả thuyết của D. A. Buchsbaum, tức là sự khác nhau giữa độ dài R (M/xM) và số bội
e(x, M) luôn là hằng số không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x của M. Năm
1978, mở rộng tiếp theo của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đợc giới thiệu bởi N.
T. Cờng, P. Schenzel, N. V. Trung, đó là lớp vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng,
chúng thỏa mãn điều kiện: sự khác nhau giữa độ dài R (M/xM) và số bội e(x, M)
luôn bị chặn trên bởi một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Năm
2003, trong một bài báo đăng trên Tạp chí Đại số (Journal of Algebra), N. T. Cờng và
L. T. Nhàn đã giới thiệu một lớp vành và môđun mới, mở rộng của lớp vành và môđun
Cohen-Macaulay theo hớng khác, gọi là vành và môđun giả Cohen-Macaulay. Chúng
thỏa mãn điều kiện độ dài R (M/Q(x, M)) và số bội e(x, M) luôn bằng nhau với mọi


7
hệ tham số x (xem Chơng 2, Tiết 2.2).
Mục đích của đề tài là nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và
môđun Cohen-Macaulay. Ba bài toán cụ thể của đề tài là:
a) Đặc trng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay.
b) Mở rộng các nghiên cứu trong bài toán a) cho trờng hợp không địa phơng,
từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt.
c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa
nguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng.
Các kết quả thu đợc là sự cải tiến hoặc mở rộng không tầm thờng cho những kết

quả trớc đây trong các bài báo của Cờng-Nhàn [CN], Nhàn-An [NhA] và BahmanpourAzami- Ghasemi [BAG] về đặc trng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun; về
tính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và vành đa thức; và về
cấu trúc vành thơng của vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòa
nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phơng.
Các kết quả mới của đề tài đợc viết trong 4 bài báo đợc công bố, đợc nhận đăng
hoặc đợc sửa (revised) trên những tạp chí quốc tế có uy tín xếp hạng bởi ISI.
Đề tài đợc viết thành 3 chơng. Trong Chơng 1, chúng tôi nhắc lại một số kiến
thức chuẩn bị về chiều, đa thức Hilbert-Samuel, số bội và độ sâu để tiện cho việc trình
bày các kết quả trong 2 chơng sau. Chơng 2 và Chơng 3 trình bày các kết quả mới
của đề tài về cấu trúc một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay.


Chơng 1
Kiến thức chuẩn bị
Trớc khi trình bày các kết quả của đề tài, chúng tôi cần nhắc lại một số kiến thức
chuẩn bị về chiều và độ sâu để tiện cho việc theo dõi. Các khái niệm, kí hiệu, nội dung
trình bày trong chơng này đợc viết dựa theo các tài liệu [Mat], [BH], [BS1].

1.1 Chuẩn bị về chiều Krull
1.2 Đa thức Hilbert-Samuel và số bội
1.3 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu

8


Chơng 2
Môđun Cohen-Macaulay và môđun giả
Cohen-Macaulay
Chơng này trình bày kết quả mới của đề tài về lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay.
Các kết quả trong các Tiết 2.2, 2.3, 2.4 đợc viết dựa theo bài báo [NCh].

Trong suốt chơng này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng và M là
R-môđun hữu hạn sinh với chiều dim M = d. Các thuật ngữ, kí hiệu trong chơng này
đợc lấy theo các cuốn sách chuyên khảo [Mat], [BS1], [Na], [BH].

2.1 Môđun Cohen-Macaulay
2.1.1 Hệ quả. dim M depth M.
2.1.2 Định nghĩa. Môđun M đợc gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc
depth M = dim M. Vành R đợc gọi là vành Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun
Cohen-Macaulay.
2.1.3 Ví dụ. Cho K là một trờng và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z, t]]. Đặt
M1 = R/((x2 , z, t) (y, z, t)) và M2 = R/((x2 ) (y, z 2)). Khi đó R là vành địa
phơng Noether, M1 , M2 là các R-môđun hữu hạn sinh và
(i) R là vành Cohen-Macaulay;
(ii) M1 là R-môđun Cohen-Macaulay;
(iii) M2 không là R-môđun Cohen-Macaulay.
9


10
2.1.4 Mệnh đề. (Xem [BH]). M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M là CohenMacaulay.
2.1.5 Mệnh đề. (Xem [BH]). Cho (x1, . . . , xr ) m là một M-dãy chính quy. Khi đó
M là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/(x1 , . . . , xr )M là R-môđun
Cohen-Macaulay chiều d r. Đặc biệt, mỗi dãy chính quy là một phần hệ tham số.
2.1.6 Định nghĩa. (Xem Nagata [Na]). Môđun M đợc gọi là không trộn lẫn nếu
dim(R/P ) = dim M với mọi P AssRb (M ).
2.1.7 Mệnh đề. (Xem [BH]). Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay chiều d. Khi đó
depth(M) = dim M = dim(R/p) = d
với mọi p AssR (M).
2.1.8 Chú ý. Nếu M là mô đun Cohen-Macaulay thì M không trộn lẫn. Thật vậy, vì
M là Cohen-Macaulay nên M cũng là Cohen-Macaulay. Do đó dim(R/P ) = d với mọi

P AssRb M.
2.1.9 Mệnh đề. (Xem [Mat]). Môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là
Cohen-Macaulay với mọi p SuppR M.
2.1.10 Định nghĩa. (Xem [Na]). Một dãy p0 p1 . . . pn những iđêan nguyên tố
của R đợc gọi là dãy bão hòa độ dài n nếu với mỗi i ta có pi = pi+1 và không tồn
tại một iđêan nguyên tố q của R sao cho pi q pi+1 . Vành R đợc gọi là vành
catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão
hòa giữa q và p và các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.
2.1.11 Chú ý. Trong chơng này ta luôn giả thiết R là vành địa phơng. Do đó theo
kết quả đã chỉ ra ở Tiết 1.2, ta có dim R < . Suy ra, với mỗi cặp iđêan nguyên tố
q p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p. Vì thế, R là catenary nếu
và chỉ nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q p, các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p
đều có chung độ dài.


11
2.1.12 Định nghĩa. (Xem [Na]). Vành R đợc gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại
số hữu hạn sinh trên R đều catenary.
2.1.13 Chú ý. Giả sử S là một đại số hữu hạn sinh trên R. Khi đó tồn tại a1, . . . , an S
sao cho S = R[a1 , . . . , an ]. Do đó ta có toàn cấu vành R[x1, . . . , xn ] R[a1, . . . , an ]
cho bởi f(x1 , . . . , xn ) = f(a1 , . . . , an ). Vì thế S là vành thơng của vành đa thức
R[x1, . . . , xn ]. Vì vành thơng của vành catenary là catenary nên vành R là catenary
phổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức R[x1 , . . . , xn ] là catenary.
2.1.14 Mệnh đề. Nếu M là Cohen-Macaulay thì vành thơng R/ AnnR M là catenary
phổ dụng.
2.1.15 Mệnh đề. (Xem [BH], [BS1]). Cho d = dim M. Các phát biểu sau là tơng
đơng:
(i) M là Cohen-Macaulay.
(ii) Hmi (M) = 0 với mọi i < d.
(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1, . . . , xd ) của M sao cho e(x, M) = R (M/xM).

(ii) e(x, M) = R (M/xM) với mọi hệ tham số x = (x1 , . . . , xd ) của M.

2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay
Cho a = (a1 , . . . , ad ) là một hệ tham số của M. Đặt
t+1
t
t
(at+1
1 , . . . , ad )M :M a1 . . . ad.

QM (a) =
t>0

2.2.1 Bổ đề. (Xem [CM, Bổ đề 3.1]). Kí hiệu e(a; M) là số bội của M ứng với a. Khi
đó QM (a) là một môđun con của M chứa (a1, . . . , ad )M và
R (M/aM) e(a; M) R (M/QM (a)).
Với mỗi bộ d số nguyên dơng n = (n1, . . . , nd ), đặt a(n) = (an1 1 , . . . , and d ). Đặt
JM (a(n)) = n1 . . . nd e(a; M) (M/QM (a(n))),
trong đó e(a; M) là số bội của M ứng với hệ tham số a.


12
2.2.2 Bổ đề. (Xem [CM, Định lí 3.2]). Bậc nhỏ nhất của những đa thức chặn trên hàm
JM (a(n)) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số a của M.
2.2.3 Định nghĩa. (Xem [CN, Định nghĩa 2.2]). Môđun M đợc gọi là giả CohenMacaulay nếu tồn tại hệ tham số a của M sao cho e(a; M) = R (M/QM (a)).
2.2.4 Hệ quả. Nếu M là Cohen-Macaulay thì M là giả Cohen-Macaulay.
2.2.5 Hệ quả. Môđun M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu e(a; M) = R (M/QM (a))
với mọi hệ tham số a của M.
2.2.6 Bổ đề. M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M là giả Cohen-Macaulay.
2.2.7 Bổ đề. (Xem [CN]). Gọi UM

c(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn
d. Khi đó M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/UM
c(0) là Cohen-Macaulay.
2.2.8 Bổ đề. (Xem [CN, Hệ quả 3.4]). Cho a m là phần tử tham số thu gọn của M.
Nếu M là giả Cohen-Macaulay thì M/aM cũng là giả Cohen-Macaulay.
2.2.9 Bổ đề. Cho r

d 1 là một số nguyên không âm. Nếu (a1 , . . . , ar ) là dãy M-thu

gọn thì
dim UM (0) + (a1, . . . , ar )M/(a1 , . . . , ar )M

d r 1.

2.2.10 Định lý. Kí hiệu M := M/UM (0) là thành phần không trộn lẫn của M. Cho
a m là một phàn tử tham số thu gọn của M. Giả thiết rừng R/p không trộn lẫn với
mọi p Spec(R). Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng:
(i) M là giả Cohen-Macaulay;
(ii) M là Cohen-Macaulay;
(iii) M là giả Cohen-Macaulay;
(iv) M/aM là giả Cohen-Macaulay và M/aM là không trộn lẫn.
2.2.11 Chú ý. Giả sử 0 =

N(p) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun
pAssR M

con 0 của M. Khi đó UM (0) có thể biểu diễn dới dạng sau, xem [Sch, Mệnh đề 2.2].
UM (0) =

N(p),

13
trong đó giao lấy trên tập các iđêan nguyên tố p trong AssR M với dim(R/p) = d.
2.2.12 Ví dụ. Cho d 2 là một số nguyên dơng, khi đó tồn tại một môđun hữu hạn
sinh M có chiều d trên một vành địa phơng Noether đầy đủ (R, m) và một phần tử tham
số thu gọn a của M sao cho M/aM là giả, nhng M không là giả Cohen-Macaulay.
Trong trờng hợp này, M/aM là trộn lẫn.

2.3 Tính catenary và dãy thu gọn
Đặt M = M/UM (0), trong đó UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn
d. Tập SuppR M có những tính chất đặc biệt, chẳng hạn nh chiều của tất cả các phần
tử của nó đều bằng d, vì thế ta gọi tập đó là giá không trộn lẫn của M và kí hiệu nó
là UsuppR M.
2.3.1 Chú ý. Chú ý rằng UsuppR M là một tập đóng theo tôpô Zariski. Chúng ta có
thể kiểm tra rằng UsuppR(M) là hợp của các tập Var(p) với p AssR M. Chúng ta
cũng có UsuppR (M) là hợp của các tập Var(p) với p AssR M và dim(R/p) = d,
trong đó ta kí hiệu Var(p) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa p.
2.3.2 Mệnh đề. Cho p UsuppR M sao cho dim(R/p) + dim Mp = d. Nếu M là giả
Cohen-Macaulay thì Mp cũng là giả Cohen-Macaulay.
2.3.3 Hệ quả. Giả sử R là catenary. Khi đó M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu
Mp là giả Cohen-Macaulay với mọi p UsuppR M.
2.3.4 Mệnh đề. Giả sử M là giả Cohen-Macaulay. Cho p UsuppR M thỏa mãn
dim R/p = d r. Nếu tồn tại một dãy thu gọn (a1 , . . . , ar ) của M trong p thì Mp là
giả Cohen-Macaulay.

2.4 Trờng hợp không địa phơng
Từ đây cho đến hết tiết này, cho S là một vành Noether (không nhất thiết địa phơng) và
L là một S-môđun hữu hạn sinh. Kí hiệu UL (0) là môđun con lớn nhất của L có chiều

14
nhỏ hơn dim L. Đặt UsuppS L = SuppS (L/UL (0)), và ta gọi nó là thành phần không
trộn lẫn của L. Mệnh đề 2.3.2 gợi ý chúng ta định nghĩa tính giả Cohen-Macaulay
trong trờng hợp không nhất thiết địa phơng nh sau.
2.4.1 Định nghĩa. Ta nói rằng L là giả Cohen-Macaulay nếu Lp là giả Cohen-Macaulay
với mọi iđêan nguyên tố p UsuppS L.
2.4.2 Định lý. Cho (R, m) là vành Noether địa phơng. Khi đó
(i) R là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu R[[x1, . . . , xn ]] là giả Cohen-Macaulay.
(ii) Nếu R[x1 , . . . , xn ] là giả Cohen-Macaulay thì R là giả Cohen-Macaulay. Điều
ngợc lại cũng đúng khi R là vành catenary phổ dụng.


Chơng 3
Vành thơng của vành
Cohen-Macaulay
Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với iđêan tối đại
duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Các kết quả của chơng này đợc viết dựa theo bài báo [HC].

3.1 Tính bão hòa nguyên tố
Theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhàn năm 2002 đã xét tính chất sau đối
với các môđun Artin A:
AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A.

()

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A. Vì thế ta có khái niệm
bão hòa nguyên tố nh sau.
3.1.1 Định nghĩa. Môđun Artin A đợc gọi là bão hòa nguyên tố nếu tính chất (*)

đúng cho môđun A.
Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin đợc giới thiệu bởi I. G. Macdonad
[Mac]. I. G. Macdonald [Mac] đã chỉ ra rằng mỗi môđun Artin A đều có một biểu diễn
thứ cấp tối thiểu A = A1 + . . . + An trong đó Ai là pi -thứ cấp với mọi i = 1, . . . , n. Tập
{p1, . . . , pn } không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A và đợc kí hiệu
bởi AttR A..
15


16
3.1.2 Bổ đề. (Xem [Mac]). Tập các phần tử tối thiểu của AttR A chính là tập các
iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A. Đặc biệt,
Rad(AnnR A) =

p.
pAttR A

3.1.3 Bổ đề. (Xem [BS1]). Ta có
AttR A = {p R : p AttRb A}.
3.1.4 Chú ý. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô m-adic. Khi đó D(A), đối ngẫu Matlis của
A, là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng AnnR A = AnnR D(A). Vì thế áp dụng tính
chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có
AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D(A). Do vậy tính chất bão hòa nguyên
tố luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phơng đầy đủ.
3.1.5 Ví dụ. (Xem [NhA]). Gọi (R, m) là miền Noether địa phơng chiều 2 đợc xây
dựng bới D. Ferrand và M. Raynaud thoả mãn tính chất tồn tại iđêan nguyên tố nhúng
q Ass R với dim R/q = 1. Khi đó Hm1 (R) không thoả mãn tính chất bão hòa nguyên
tố.
3.1.6 Bổ đề. (Xem [NhA]). Supp M = {p R : p Supp M}.

3.1.7 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố.
(ii) V (AnnR A) = {p R : p V (AnnRb A)}.
3.1.8 Chú ý. Đối với Rmôđun Artin A = Hm1 (R) trong Ví dụ 3.1.5, ta suy ra
V (AnnR A) = {p R | p V (AnnRb A}.
3.1.9 Ví dụ. (Xem [NhA, Ví dụ 4.3]). Tồn tại một miền Noether địa phơng (R, m) với
một thớ hình thức không Cohen-Macaulay và một miền Noether địa phơng (S, n) không
catenary phổ dụng sao cho Hmi (R) và Hnj (S) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố
với các số nguyên dơng i, j > 0 nào đó.


17
3.1.10 Định nghĩa. Cho i 0 là một số nguyên không âm. Tập giả giá thứ i của M
đợc kí hiệu là PsuppiR (M) và đợc định nghĩa nh sau
idim R/p

PsuppiR (M) = {p Spec R | HpRp

(Mp ) = 0}.

3.1.11 Bổ đề. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Psuppi (M) Var(AnnR Hmi (M)).
(ii) Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu và chỉ nếu
Psuppi (M) = Var(AnnR Hmi (M)).
3.1.12 Hệ quả. Nếu R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là
Cohen-Macaulay thì Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với mọi R-môđun hữu
hạn sinh M và mọi số nguyên i 0.

3.2 Linh hóa tử của Hmi (M )
Một trong những bài toán quan trng về môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M) là

xác định linh hóa tử của các môđun này.
3.2.1 Định nghĩa. (Xem [Na]). Một tập con X của Spec(R) đợc gọi là đóng với phép
đặc biệt hóa nếu với mọi p, q Spec(R) thỏa mãn p q, thì điều kiện p X kéo theo
điều kiện q X.
3.2.2 Bổ đề. (Xem [BS2, Bổ đề 2.2]). Nếu R là catenary thì PsuppiR (M) là đóng với
phép đặc biệt hóa.
Giả sử Hmi (M) không hữu hạn sinh. Đặt
ik
S(i)k = {p Spec(R) | HpR
(Mp ) = 0, dim R/p = k}.
p

và
ci = min{dim R/p | p min Att Hmi (M)}.
Chú ý rằng ci 1 bởi vì Hmi (M) không hữu hạn sinh. Đặt Xi = {1, 2, . . . , ci }.


18
3.2.3 Định lý. Giả sử Hmi (M) không hữu hạn sinh. Với các kí hiệu trên ta có
(i) Rad(AnnR (Hmi (M)))

p với mọi k Xi .
pS(i)k

(ii) Nếu Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì
Rad(AnnR (Hmi (M))) =

p
pS(i)k

với mọi k Xi .
(iii) Ngợc lại, nếu Rad(AnnR(Hmi (M))) =
S(i)k là tập hữu hạn và R là catenary thì

p với một k Xi nào đó thỏa mãn

pS(i)k
Hmi (M) thỏa

mãn tính bão hòa nguyên tố.

Ví dụ dới đây chỉ ra rằng giả thiết về tính bão hòa nguyên tố của Hmi (M) trong
Định lí 3.2.3(ii) là không thể bỏ đi đợc. Trớc hết chúng ta có chú ý sau đây.
3.2.4 Chú ý. Theo tính chất của tập các iđêan nguyên tố gắn kết ta luôn có
AttR Hmi (M) = {P R | P AttRb Hmi (M)}
Vì thế ta suy ra
dim R/ AnnRb (Hmi (M))

dim(R/ AnnR Hmi (M)).

Giả sử Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Đặt dim(R/ AnnR Hmi (M)) = t. Vì
PsuppiR (M) = Var(AnnR Hmi (M)) theo [NhA, Định lí 3.1] nên ta có
t = max{dim(R/p | p PsuppiR (M)}.
Cho p PsuppiR (M) sao cho dim(R/p) = t. Khi đó tồn tại P Ass(R/pR) sao cho
idim(R/p)

dim(R/P) = t. Vì HpRp

b
idim(R/P)

HPRb

P

(Mp ) = 0, nên ta có

idim(R/p)
(MP )
(Mp ) RP = 0,
= HpRp

tức là P PsuppiRb (M ). Suy ra P AnnRb Hmi (M) và vì thế
t = dim(R/P)

dim(R/ AnnRb Hmi (M)).


19
3.2.5 Bổ đề. Nếu Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì
dim R/ AnnRb (Hmi (M)) = dim(R/ AnnR Hmi (M)).
3.2.6 Ví dụ. Cho (R, m) là miền nguyên Noether chiều 2 đợc xây dựng bới D. Ferrand
và M. Raynaud [FR] sao cho R có một iđêan nguyên tố liên kết nhúng Q với dim R/Q =
1. Vì Q Ass R, nên ta có Q R Ass R = {0}. Chú ý rằng Q AttRb Hm1 (R)
theo [BS1, 11.3.9]. Suy ra 0 AttR Hm1 (R). Suy ra Hm1 (R) không hữu hạn sinh và
AnnR Hm1 (R) = 0. Vì thế dim R/ AnnR Hm1 (R) = 2. Theo [BS2, 11.3.5], ta có
dim R/ AnnRb Hm1 (R) = 1.
Theo chú ý trên ta suy ra Hm1 (R) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Kí hiệu c1 ,
X1 và S(1)k đợc định nghĩa nh trong Định lí 3.2.3. Khi đó Psupp1R (R) = {m}. Suy
ra S(1)1 = và S(1)2 = . Vì 0 AttR Hm1 (R), nên ta có c1 = 2. Suy ra X1 = {1, 2}.

p = R. Hơn nữa, Rad(Ann Hm1 (R)) = 0. Vì thế

Với k X1 ta có
pS(1)k

Rad(Ann Hm1 (R)) =

p
pS(1)k

với mọi k X1 .
Tổng quát hơn, ta có kết quả sau đây.
3.2.7 Mệnh đề. Cho R là một miền nguyên chiều s > 0 sao cho R có một iđêan nguyên
tố liên kết nhúng P. Khi đó tồn tại các số nguyên không âm t < s và k Xt sao cho
Hmt (R) không hữu hạn sinh và Hmt (R) không thỏa mãn tính bão nguyên tố và
Rad(AnnR (Hmt (R))) =

p,
pS(t)k

trong đó Xt = {1, . . . , ct} với
S(t)k = {p Psuppt (R) | dim R/p = k},
ct = min{dim R/p | p min Att Hmt (R)}.


20
Kết quả tiếp theo chỉ ra rằng thậm chí khi R rất xấu, chẳng hạn khi R không
catenary, thì căn của linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất vẫn
thỏa mãn công thức biểu diễn nh trong Định lí 3.2.3(iii).
3.2.8 Mệnh đề. Cho d > 0. Với các giả thiết và kí hiệu nh trong Định lí 3.2.3, ta có

Rad(AnnR(Hmd (M))) =

p.
pS(d)d

3.3 Vành thơng của vành Cohen-Macaulay
Định lí sau đây, là kết quả chính thứ hai của chơng này, chỉ ra rằng công thức căn của
linh hóa tử cũng nh tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phơng phản
ánh cấu trúc cả vành cơ sở. Kết quả này cũng chỉ rõ cấu trúc của các vành thơng của
vành Cohen-Macaulay.
3.3.1 Định lý. Với các giả thiết và kí hiệu nh trong Định lí 3.2.3, các phát biểu sau
lf tơng đơng:
(i) R là thơng của một vành Cohen-Macaulay địa phơng;
(ii) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay;
(iii) Rad(AnnR (Hmi (M))) =

p với mọi i 1, mọi k Xi và mọi R-môđun hữu
pS(i)k

hạn sinh M sao cho Hmi (M) không hữu hạn sinh.


Tµi liÖu tham kh¶o
[AB] M. Auslander, D. Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Ann. of Math., 68 (1958),
625-657.
[BAG] K. Bahmanpour, J. A’zami and G. Ghasemi, On the annihilators of local cohomology
modules, J. Algebra, 363 (2012), 8-13.
[BS1] M. Brodmann and R. Y. Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications”, Cambridge University Press, 1998.
[BS2] M. Brodmann and R. Y. Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology
modules, Nagoya Math. J., 167 (2002), 217-233.

[BH] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993.
[C]

N. T. Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between
lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings, Nagoya Math.
J., 125 (1992), 105-114.

[CDN] N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan, Top local cohomology and the catenaricity of the
unmixed support of a finitely generated module, Comm. Algebra, 35 (2007), 1691-1701.
[CK] N.T. Cuong and V.T. Khoi, Modules whose local cohomology modules have CohenMacaulay Matlis duals, Proc. Hanoi Conf. on Commutative Algebra, Algebraic Geometry,
and Computational Methods (Editor D. Eisenbud), Springer, 1999, 223-231.
[CM] N. T. Cuong and N. D. Minh, Lengths of generalized fractions of modules having small
polynomial type, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 128 (2000), 269-282.
[CNa] D.T. Cuong and P. H. Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics
of Koszul complexes of d-sequences, J. Algebra (ISI) 441 (2015), 125-158.
[CN] N. T. Cuong and L. T. Nhan, Pseudo Cohen Macaulay and pseudo generalized Cohen
Macaulay modules, J. Algebra, 267 (2003), 156-177.
[DJ] M. T. Dibaei and R. Jafari, Cohen-Macaulay loci of modules, Comm. Algebra, 39 (2011),
3687-3691.
[FR] D. Ferrand and M. Raynaud, Fibres formelles d’un anneau local Noetherian, Ann. Sci.
E’cole Norm. Sup., (4)3 (1970), 295-311.

21


22
[HC] N. T. A. Hang and N. Q. Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology
modules, Bull. Korean Math. Soc. (ISI), To appear.
[HH] M. Hochter and C. Huneke, “Tight closure, invariant theory and the Brian con-Skoda
theorem,” J. Amer. Math. Soc., 3 (1990), 31-116.

[K] T. Kawasaki, On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Tran. Amer. Math. Soc.,
354 (2001), 123-149.
[L]

L. R. Lynch, Annihilators of top local cohomolgy, Comm. Algebra, 40 (2012), 542-551.

[Mac] I. G. Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43.
[Mat] H. Matsumura, “Commutative ring theory”, Cambridge University Press, 1986.
[Na] M. Nagata, Local rings, Tracts in Pure and Appl. Math., No. 13 (Interscience), 1962.
[NhA] L. T. Nhan and T. N. An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local
rings and local cohomology modules, J. Algebra, 321 (2009), 303-311.
[NCh] L.T. Nhan and N. Q. Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules,
Journal of Algebra and Its Applications, 14 (10), (2015), 1550142, 1-11.
[NQ] L. T. Nhan and P. H. Quy, ”Attached primes of local cohomology modules under localization and completion”, J. Algebra, 420 (2014), 475-485.
[Sch] P. Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, In: Proc.
of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk,
Belgium, (1998), 245-264.