Đề thi HSG 11 ngày 19/01/2009
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.6 KB, 4 trang )
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Môn: Toán
Thời gian làm bài:150 phút
Ngày thi : 17/1/2009
Câu1 (4Điểm)
Cho phơng trình:
2
1 tan
cos 4 4
2
1 tan
x
x m
x
+ =
+
1.Giải phơng trình với m =
1
2
2.Tìm m để phơng trình có nghiệm x
(0; )
4
.
Câu2(3Điểm)
Giải hệ phơng trình:
2
1
x y x y
y x y x
+ + =
+ =
Câu3 (6Điểm)
1.Tính:
2
2008
0
( 2008) 1 2008 2008
lim
x
x x
x
+
2.Cho khai triển:
2008
2
1 (1 )x x
+
Tính hệ số của x
10
Câu4: (3Điểm)
Tìm các điểm tại đó hàm số:
y=
cos 0
0 0
x voi x
x
voi x
=
không có đạo hàm
Câu5: (4Điểm)
Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC=DA=a;CA=DB=b;AB=DC=c.
1.Tính thể tích tứ diện ABCD.
2.Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
a b b c c a s
+ +
(s là diện tích toàn phần của tứ diện)
.Hết..
đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Môn: Toán
Thời gian làm bài:150 phút
Ngày thi:19/1/2009
Câu
Nội dung điểm
1/1
1/2
2
3/1
*Tập xác định:x
2
k
+
*PT tơng tơng: sin
2
2x-2sin2x+m-1/2=0
1)Với m=1/2:Thay PT ta đợc: sin
2
2x-2sin2x=0
sin 2 0
sin 2 2
x
x
=
=
x=
2
k
kết hợp điều kiện nghiệm : x=k
2)*Đặt t=sin2x do x
(0; )
4
nên 0<t<1 ta đợc:
t
2
-2t-1/2=-m với 0<t<1
*Xét HS: y=t
2
-2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng)
*Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2
*Điều kiện:
0
0
0
0
x
y
x y
y x
*Hai vế của PT của hệ không âm,bình phơng 2vế ta đợc:
2
2
2
2 2 1
x y x
y x y
=
=
2
1/ 2
4 4 0
4 4 1 0
x
y
x y
x y
=
+ =
17 /12
5 / 3
x
y
=
=
là nghiệm của hệ
1)
2
2008
0
( 2008) 1 2008 2008
lim
x
x x
x
+
=
2 2 2
2008
0
( 2008) 1 2008 ( 2008)
lim
x
x x x x
x
+ + +
=
2 2
2008
0
( 2008)( 1 2008 1)
lim
x
x x x
x
+ +
=
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
1,0
1,0
0,5
1,0
3/2
4
2
2007 2006
0
2008 2008
2008
lim( 2008)
(1 2008 ) (1 2008 ) ... 1
x
x
x x
+
+ + +
=-2008
2)
2008
2
1 (1 )x x
+
=
2008 2008
3 3
2008 2008
0 0 0
( ) ( )
k
k k k i k i i
k
k k i
c x x c c x x
= = =
=
=
2008
2
2008
0 0
( 1)
k
k i k i i
k
k i
c c x
+
= =
*Hệ số chứa x
10
ứng với
2 10
0 2008
;
k i
i k
i N k N
+ =
suy ra:
0 10 / 3i
Vậy i=0;1;2;3
*
0 10
1 8
2 6
3 4
i k
i k
i k
i k
= =
= =
= =
= =
Vậy hệ số chứa x
10
là:
10 0 8 1 6 2 4 3
2008 10 2008 8 2008 6 2008 4
c c c c c c c c +
*Hàm số có đạo hàm tại các điểm x với x
0 và cos
x
0 Hay HS có đạo hàm
tại các điểm x
0 và x
2/ (2k+1)
*Tại x=0:
0 0
lim lim cos
x x
y
x x
=
Không tồn tại giới hạn.(Yêu cầu chứng minh cụ thể)
*Tại điểm x=2/(2k+1)
0 0
2 2
( ) ( )
2 1 2 1
lim lim
x x
x
y
x x
y y
k k
+
+ +
= =
0
2 (2 1) (2 1)
lim cos cos
(2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
x
x x x
k k
k k k
+ +
+
+ + + + +
=
0
2 1 (2 1)
lim cos
2 1 2 (2 1)
x
x x
k
k k
+
+ + +
+
0 0
2 1 (2 1)
lim lim sin (2 1) )
2 1 2 (2 1) 2
x x
y
x x
k
k
x k k
+
= +
+ + +
=
[ ]
2
0
(2 1)
2 1
lim sin
2 1 2 2 (2 1)
x
x
x x
k
k k
+
+ + +
=
[ ]
2
0
(2 1)
2 1
lim sin
2 1 2 2 (2 1)
x
x
x x
k
k k
+
+ + +
=
2
2 (2 1)
(2 1)
2 1 4 2
k
k
k
+
= +
+
+
0
lim (2 1)
2
x
y
k
x
+
= +
(tơng tự)
Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=2/(2k+1)
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
5/1
5/2
*Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1)
1)
A
E
F
G
B
C
D
*Qua điểm B;C;D dựng các đờng thẳng song song các cạnh tam giác BCD nh
hình vẽ suy ra
AD=DE=DG=a;AB=BE=BF=c;AC=CF=CG=b Vậy tam giác AEF;AG F;AGE
vuông tại A
*
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2( )
4
4 2( )
4
2( )
AE a c b
AE AF c
AF AG b AF b c a
AG AE a
AG a b c
= +
+ =
+ = = +
+ =
= +
*V
ABCD
=1/4V
AEG F
=
1
24
AE.A F.AG=
2
12
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )( )a b c b c a c a b+ + +
2)*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4
*BĐT tơng đơng a
2
+b
2
+c
2
9R
2
*Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a
2
+b
2
+c
2
=
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )BC CA AB OC OB OA OC OB OA+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=6R
2
-2(
.OB OC OCOA OAOB+ +
uuur uuur uuuruuur uuuruuur
)
=9R
2
-(
OA OB OC+ +
uuur uuur uuur
)
2
2
9R
*Dấu bằng xảy ra khi
OA OB OC O+ + =
uuur uuur uuur ur
O trùng trọng tâm G tam giác ABC
tam giác ABC đều
ABCD là tứ diện đều.
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
1,0
0,5
