Tuyển tập các đề thi hết chuyên đề của cao học sư phạm hà nội k24 toán

MỤC LỤC CÁC ĐỀ THI HẾT CHUYÊN ĐỀ K24 CAO HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Đề thi hết học phần cho học viên Cao học K24 ............................................................................... 2
Môn thi: Đa tạp vi phân .................................................................................................................... 2
ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN (K23) ............................................................ 3
ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN (K24) ............................................................ 4
ĐỀ 1 MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI ........................................................................................... 5
Cho Cao Học Toán K24 ....................................................................................................................... 5
ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT MODULE.......................................................................................... 6
Khóa 60 – Thời gian làm bài: 120 phút ............................................................................................... 6
ĐỀ THI HẾT MÔN.............................................................................................................................. 7
Môn phương trình elliptic. Lớp Cao học Toán K24 ....................................................................... 7
ĐỀ THI GIỮA KÌ ................................................................................................................................ 8
Môn phương trình elliptic ................................................................................................................. 8
Lớp Cao học Toán K20 ........................................................................................................................ 8
ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC .............................................................. 9
Lớp Cao học Toán K21 – Thời gian: 60’ ............................................................................................. 9
ĐỀ THI CHO LỚP CAO HỌC K21 .................................................................................................. 10
Môn thi: Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong không gian Banach ...................................... 10
ĐỀ THI CHO LỚP CAO HỌC K22 .................................................................................................. 11
Môn thi: Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong không gian Banach ...................................... 11
ĐỀ THI CHO LỚP CAO HỌC K23 .................................................................................................. 12
Môn thi: Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong không gian Banach ...................................... 12
ĐỀ CƯƠNG MÔN PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH ..................... 13
CAO HỌC TOÁN K24 ...................................................................................................................... 13
ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN CAO HỌC K24 ...................................................................................... 16
Môn thi: Triết học ............................................................................................................................ 16
CHỦ ĐỀ THI NÓI TIẾNG ANH B1 .............................................................................................. 17
SPEAKING PAPER 5 ....................................................................................................................... 17
ĐỀ THI MÔN KHÔNG GIAN VÉCTƠ TÔPÔ ............................................................................ 18
Đề thi hết môn: Lý luận dạy học hiện đại(ca sáng) ....................................................................... 19
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN..................................................................................................... 20

Môn thi: Phương trình Hyperbolic - Cao học K24 ....................................................................... 20
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ......................................................................................... 21
Đề thi hết môn: Lý luận dạy học hiện đại(ca chiều) ..................................................................... 22
ĐỀ CƯƠNG MÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ....................................................... 23
BÀI KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN MÔN PHÉP TÍNH VI PHÂN ..................................................... 25


Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
Khoa Toán – Tin

Đề thi hết học phần cho học viên Cao học K24
Môn thi: Đa tạp vi phân
Thời gian làm bài: 120 phút
Học sinh không được dùng tài liệu trong phòng thi
Câu I:
1. Hãy định nghĩa đa tạp nhẵn m chiều. Cho ví dụ.
2. Cho M, N là hai đa tạp nhẵn và cho ánh xạ f : M → N . Hãy định nghĩa ánh xạ f là nhẵn
trên M. Cho ví dụ.
3. Cho M, N là hai đa tạp nhẵn và cho ánh xạ nhẵn f : M → N . Giả sử a ∈ M . Hãy định
nghĩa ánh xạ tiếp xúc Ta f : Ta ( M ) → T f ( a ) ( N ) . Chứng minh rằng ánh xạ
Ta f : Ta ( M ) → T f ( a ) ( N ) là  - tuyến tính.

Câu II: Cho M là đa tạp nhẵn có bờ m chiều, 0 ≤ p ≤ m .
1. Hãy định nghĩa  - không gian vectơ ε p ( M ) các p - dạng vi phân nhẵn trên M.
2. Hãy định nghĩa toán tử đạo hàm ngoài d : ε p ( M ) → ε p +1 ( M ) . Chứng minh rằng d  d = 0
3. Phát biểu định lý Stokes.
Hết


ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN (K23)

Dành cho học viên Cao học K23, Khoa Toán – Tin (Đề số 1)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I
1. Cho X là biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và σ - đại số  . Chứng minh rằng
=
DX E ( D ( X |  ) ) + D ( E ( X |  ) )
ở đó D
=
( X |  ) E ( X 2 |  ) − ( E ( X |  ))

2

2. Cho X 1 ,..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối đều trên ( 0,1) . Đặt
X = max ( X 1 ,..., X n ) và Y = min ( X 1 ,..., X n ) . Xác định F (Y | X )

Câu II
1. Phát biểu và chứng minh định lý khai triển Doob cho máctingan dưới
2. Cho ( X n , n ∈  ) là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên đoạn [ 0,1] . Đặt
n = σ ( X 0 ,..., X n ) . Giả sử X 0= a ∈ [ 0,1] với mọi n ∈ 
1+ X n
Xn




| n  =
1 − X n , P  X n +1 =
| n  =
P  X n +1 =
Xn

2
2





Chứng minh rằng ( X n , n ∈  ) là một máctingan hội tụ hầu chắc chắn và trong L2 tới biến ngẫu
nhiên X có phân phối nhị thức B (1, a )
Câu III
1. Cho ( Bt , t ≥ 0 ) là chuyển động Brown một chiều trong 
t

tBt − ∫ Bu du
2. Xác định phương sai của biến ngẫu nhiên Z=
t
0

Chứng minh rằng quá trình ( Btℑ − ℑtBt , t ≥ 0 ) là một máctingan đối với lọc tự nhiên sinh bởi quá
trình ( Bt , t ≥ 0 )
3. Cho ( X t , t ≥ 0 ) là quá trình có vi phân Itô dạng

d ( X t − tX t dt + eλ dBt ) , X 0 =
1 (chỗ này nhìn không rõ)
Tìm X và tính E ( X ) , D ( X )
---HẾT---


TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN (K24)
Dành cho học viên cao học K24, Khoa Toán – Tin
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Cho X , Y là các biến ngẫu nhiên, độc lập có cùng phân phối

1
−1) =
P( X =
P( X =
1) =
2
Đặt Z = I{ X +Y >0} . Xác định các biến ngẫu nhiên E ( X | Z ) và E ( Y | Z ) . Các biến ngẫu nhiên
này có độc lập không?
Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý khai triển Doob cho máctingan dưới ( X n , n ∈  ) .
Câu 3: Cho ( X n , n ∈  ) là biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 ) với

µ ∈  và σ > 0 . Đặt (Yn , n ∈  ) là quá trình ngẫu nhiên xác định bởi
=
Y0 X=
X 1 , Yn
Y1 X 0=
0,

n

∏X
j =0

j

, n≥2

và ( Z n , n ∈  ) là quá trình xác định bởi Z n = Yn 2 . Chứng minh rằng khi µ 2 + σ 2 =
1 thì

( Z n , n ∈  ) là một máctingan đối với lọc

h .c .c
Fn = σ ( X 0 ,..., X n ) và Z n 
→ 0 khi n → ∞ .

Câu 4: Cho ( w t , t ≥ 0 ) là quá trình Wiener tiêu chuẩn. Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn = t là một phân
hoạch đoạn [ 0;t ] . =
Đặt σ n max ( ti +1 − ti )=
với i 0,1,..., n − 1 . Chứng minh rằng
i

Sn
=

n −1

∑(w
i =0

ti +1

− wti

)

2

h .c .c
L
→t

→ t khi σ n → 0 . Hãy chọn một phân hoạch đoạn [ 0;t ] để S n 
2

Câu 5: Cho ( w t , t ≥ 0 ) là quá trình Wiener tiêu chuẩn. Đặt ( X t , t ≥ 0 ) và (Yt , t ≥ 0 ) là các quá
trình ngẫu nhiên xác định bởi
− wt −

1

Xt =
t + wt , Yt =
e 2,

Mt =
X t .Yt ,

t≥0

Tính Cov ( X t , Yt ) . Xác định vi phân Itô của quá trình ( M t , t ≥ 0 ) và từ đó chứng minh

( M t , t ≥ 0)

là một máctingan đối với lọc tự nhiên sinh bởi quá trình ( w t , t ≥ 0 ) .

Hết


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ 1 MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
Cho Cao Học Toán K24

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu
Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và M là một A-module
Câu I (2 điểm): Chứng minh rằng:
i.
ii.

Nếu M là tự do thì M là ánh xạ
Phát biểu và chứng minh Định lý Hamilton – Cayley mở rộng

Câu II (2 điểm): Cho N là một A-module. Chứng minh rằng:
i.

HomA ( M , N ) là một A – module

ii.

Nếu M và N là các A – module tự do thì HomA ( M , N ) là một A – module tự do

Câu III (2 điểm): Cho F là một A – module tự do. Chứng minh rằng:
i.

Nếu F có hạng n > 0 thì F ⊗ A M ≅ M n

ii.

M xạ ảnh khi và chỉ khi F ⊗ A M ≅ M n là A – module xạ ảnh.

Câu IV (2 điểm): Chứng minh rằng:
i.
ii.

Nếu A là một miền nguyên thì M có hạng.
Tồn tại một module không phải là module tự do nhưng vẫn là một module có hạng.

Câu V (2 điểm): Chứng minh rằng:
i.
ii.

Tích trực tiếp của một họ tùy ý các A – module nội xạ là một A – module nội xạ
Tồn tại một A – module nội xạ N sao cho mỗi A – module S đều đẳng cấu với một A –
module con của N.
Hết


Trường ĐHSP Hà Nội

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Khoa Toán – Tin

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT MODULE
Khóa 60 – Thời gian làm bài: 120 phút
Đề số 1

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và M là một A-module
Câu 1 (3 điểm)
Phát biểu và chứng minh Định lý Hamilton – Cayley mở rộng
Chứng minh rằng nếu M là hữu hạn sinh thì mỗi tự toàn cấu của M là một tự đẳng cấu

i.
ii.

Câu 2 (3 điểm) Chứng minh rằng:
i.

A ⊗A M ≅ M

ii.

Nếu F là một A – module tự do có hạng n > 0 thì F ≅ An và F ⊗ A M ≅ M n

iii.

( A / I ) ⊗ A M ≅ M / IM với mỗi ideal I của A

Câu 3 (2 điểm) Cho P là một A – module xạ ảnh. Chứng minh rằng:
i.

Dãy khớp các A –module:
0→ N →M →P→0

là chẻ ra
ii.

Tồn tại A – module xạ ảnh F sao cho P ⊕ F là một A – module tự do

Câu 4 (2 điểm) Cho N là một A – module con của M. Chứng minh rẳng: nếu N và M/N là các A –
module xạ ảnh thì M là một A – module xạ ảnh.
Hết


ĐỀ THI HẾT MÔN
Môn phương trình elliptic. Lớp Cao học Toán K24

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
PHÒNG SĐH, KHOA TOÁN – TIN

Thời gian 120 phút – Đề số 1

Câu 1. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong  N . Xét bài toán

=
u f ( u ) + h trong Ω
−∆

=
tren ∂Ω
 u 0

(1)

Giả thiết rằng h ∈ H −1 ( Ω ) và f ∈ C ( ,  ) thỏa mãn
f ( u ) ≤ α + β u , ∀u ∈ 
σ

( 2)

trong đó α , β , σ là các hằng số , 0 < σ < 1
1) Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (1)
2)=
Đặt F ( u )

∫ f ( t ) dt ( u ∈  ) và
u

0

I (u ) =

2
1
∇u dx − ∫ F ( u ) dx − ∫ hudx, u ∈ H 01 ( Ω )
∫
Ω
Ω
2Ω

Khi đó I là một phiến hàm thuộc lớp C1 trên H 01 ( Ω ) . Chứng minh rằng I là cưỡng.

3) Chứng minh rằng bài toán (1) có nghiệm yếu
Câu 2. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong  N . Giả sử f ∈ C AR ( Ω×  ) và tồn tại h ∈ L2 ( Ω ) và
hằng số λ , 0 ≤ λ < λ1 , sao cho

( 3)

f ( x, u ) ≤ h ( x ) + λ u với h.k.n x ∈ Ω, ∀u ∈ ,

{

trong đó λ1 =inf u

2
H 01 ( Ω )

| u ∈ H 01 ( Ω ) , u

L2 ( Ω )

}

=
1 > 0 . Xét bài toán

=
−∆u f ( x, u )

=
 u 0

trong Ω
tren ∂Ω

( 4)

Giả sử toán tử T : H 01 ( Ω ) → H 01 ( Ω ) xác định bởi
=
(Tu, v ) H 1 (Ω)
0

∫ f ( x, u ( x ) ) v ( x ) dx, ∀v ∈ H ( Ω )
1
0

Ω

1) Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (4)
2) Chứng minh rằng tồn tại r > 0 sao cho TBr ⊂ Br , trong đó

{

Br =v ∈ H 01 ( Ω ) : v

H 01 ( Ω )

3) Chứng minh rằng T là toán tử compact
4) Chứng minh rằng bài toán (4) có ít nhất một nghiệm yếu
Hết

}


ĐỀ THI GIỮA KÌ
Môn phương trình elliptic
Lớp Cao học Toán K20
Thời gian 60 phút

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong  N . Xét bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic
nửa tuyến tính sau

=
u f ( u ) + h trong Ω
−∆

tren ∂Ω
=
 u 0

(1)

Đặt

{

λ1 =inf u

2
H 01 ( Ω )

| u ∈ H 01 ( Ω ) , u

L2 ( Ω )

}

=
1 >0

Giả thiết rằng h ∈ H −1 ( Ω ) và f ∈ C ( ,  ) thỏa mãn
f ( u ) ≤ α + β u , ∀u ∈ 
σ

trong đó α , β là các hằng số , β <

λ1
2

1) Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (1)
2) Đặt
=
F (u )

∫ f ( t ) dt ( u ∈  )
u

0

Chứng minh rằng tồn tại các hằng số µ , λ , 0 < λ < λ1 , sao cho

F (u ) ≤ µ +
3) Đặt
I (u ) =

λ
2

u 2 , ∀u ∈ 

2
1
∇u dx − ∫ F ( u ) dx − ∫ hudx, u ∈ H 01 ( Ω )
∫
Ω
Ω
2Ω

Khi đó I là một phiến hàm thuộc lớp C1 trên H 01 ( Ω ) . Chứng minh rằng I là cưỡng.
4) Chứng minh rằng bài toán (1) có nghiệm yếu
Chú ý. Học viên không nhất thiết giải các ý theo thứ tự 1), 2), 3), 4). Được phép dùng kết quả của ý
trên để giải ý dưới.


ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
Lớp Cao học Toán K21 – Thời gian: 60’
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong  N , N ≥ 2 . Xét bài toán biên Dirichlet đối với phương trình
elliptic nửa tuyến tính sau

=

u f ( u ) + h trong Ω
−∆

=
tren ∂Ω
 u 0

(1)

Giả thiết rằng h ∈ L2 ( Ω ) và f ∈ C ( ,  ) thỏa mãn f ( u ) ≤ α + β u , ∀u ∈  trong đó α , β , σ là
σ

các hằng số , 0 < σ < 1
1) Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (1)
2)=
Đặt F ( u )

∫ f ( t ) dt ( u ∈  ) và
u

0

2
1
I ( u ) = ∫ ∇u dx − ∫ F ( u ) dx − ∫ hudx, u ∈ H 01 ( Ω )
Ω
Ω
2Ω

Biết I là một phiến hàm thuộc lớp C1 trên H 01 ( Ω ) . Chứng minh rằng I là cưỡng.

3) Chứng minh rằng bài toán (1) có nghiệm yếu
Chú ý. Học viên không nhất thiết giải các ý theo thứ tự 1), 2), 3), 4). Được phép dùng kết quả của ý
trên để giải ý dưới.


Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI CHO LỚP CAO HỌC K21
Môn thi: Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong không gian Banach
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

1. a) Định nghĩa ánh xạ khả vi tại một điểm và trên tập mở Ω trong không gian định chuẩn E
với giá trị trong không gian Banach F . Chứng minh mọi ánh xạ khả vi tại a ∈ Ω thì liên
tục tại a
b) Phát biểu và chứng minh công thức đạo hàm hàm hợp.
2. Chứng minh tính đối xứng của đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp cao.
3. Chứng minh đẳng thức
d ( f .w ) = df ∧ w + fdw
4. Giả sử f : [ a, b ] → F là ánh xạ liên tục và có đạo hàm phải tại mọi x ∈ ( a, b ) . Chứng minh
tồn tại ε ∈ ( a, b ) sao cho

f ( a ) − f ( b ) ≤ ( b − a ) f +' ( ε )
5. Giả sử f là hàm lớp C 2 nhận giá trị trong  trên lân cận mở Ω của x 0 ∈  n . Đặt
∂f
ui
=
=
( x ) , i 1,..., n, x ∈ Ω và xét ánh xạ
∂xi

=
ϕ:x→u

( u ( x ) ,..., u ( x ) ) ,
n

1

x∈Ω

a) Với điều kiện nào tồn tại lân cận V của x 0 để ϕ là C1 vi phôi tử V lên U = ϕ (V )

=
b) Giả sử điều kiện đó được thỏa mãn,
đặt x ϕ −1 ( u ) , u ∈ U . Chứng minh dạng vi phân
n

ω = ∑ xi dui
i =1

là dạng đóng. Từ đó suy ra trong lân cận U của u 0 = ϕ ( x 0 ) có hàm g lớp C 2 sao cho
xi =

∂g
∂ui

Thí sinh không dùng tài liệu trong khi làm bài.

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI CHO LỚP CAO HỌC K22
Môn thi: Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong không gian Banach
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian chép đề)
Học viên không được dùng tài liệu khi đi thi
1. Phát biểu và chứng minh công thức số gia giới nội. Từ đó thiết lập mối liên hệ
giữa tính liên tục của đạo hàm cấp 1 và các đạo hàm riêng cấp 1.
2. Phát biểu và chứng minh tính đối xứng của đạo hàm cấp 2. Từ đó suy ra tính
đối xứng của đạo hàm cấp n.
3. Chứng minh nếu f là hàm lớp C1 trên Ω với giá trị trong không gian Banach
F còn ω là p - dạng vi phân lớp C1 có giá trị trong R thì
d ( f .ω ) = df ∧ ω + fd ω

4. Giải sử f : [ a, b ] → F là ánh xạ liên tục và có đạo hàm phải liên tục trên [ a, b ) .
Chứng minh f lớp C1 trên ( a, b ) .
5. Giả sử E và F là các không gian Banach và U là tập mở trong E chứa 0. Giả
sử A : U → L ( E , F ) là ánh xạ lớp C1 với A ' : U → LS2 ( E , F ) . Giả sử B : U → F là
ánh xạ cho bởi B ( x ) = A ( x ) .x . Chứng minh nếu A ( 0 ) ∈ Isom ( E , F ) thì tồn tại lân
cận mở V của 0 trong E và lân cận W của 0 trong F sao cho B là C1 - vi
phôi.


Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI CHO LỚP CAO HỌC K23
Môn thi: Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong không gian Banach
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

1. Phát biểu và chứng minh công thức số gia giới nội. Từ đó thiết lập mối liên hệ
giữa tính liên tục của đạo hàm cấp 1 và các đạo hàm riêng cấp 1.
2. Phát biểu và chứng minh tính đối xứng của đạo hàm cấp 2. Từ đó suy ra tính
đối xứng của đạo hàm cấp n.
3. Chứng minh nếu f là hàm lớp C1 trên Ω với giá trị trong không gian Banach
F còn ω là p - dạng vi phân lớp C1 có giá trị trong R thì
d ( f .ω ) = df ∧ ω + fd ω

4. Giải sử f : [ a, b ] → F là ánh xạ liên tục và có đạo hàm phải liên tục trên [ a, b ) .
Chứng minh f lớp C1 trên ( a, b ) .
5. Giả sử E0 = C [ 0,1] là không gian các hàm liên tục trên [ 0,1] với chuẩn sup, E1 là không
gian các hàm lớp C1 trên [ 0,1] thỏa mãn x ( 0 ) = 0 với chuẩn:

{

}

x=
sup x ' ( t ) : t ∈ [ 0,1] ,
1

x ∈ E1

Cho ϕ : E1 → E0 xác định bởi ϕ ( x )= x '+ x 2 . Chứng minh ϕ là C ∞ - vi phôi từ lân cận V
của 0 ∈ E1 lân cận W của 0 ∈ E0


ĐỀ CƯƠNG MÔN PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
CAO HỌC TOÁN K24
1. Giả sử E là không gian Banach. Xét tính khả vi của các ánh xạ f : E → E và f : E →  tại

x = 0 cho bởi:
a)

f ( x) = x x

b)

f ( x) = x

2. Giả sử t1 ,..., tn ∈ [ 0,1] . Xét tính khả vi của f : C [ 0,1] →  cho bởi
n

f ( x ) = ∑ x ( ti )
i =1

ở đó C [ 0,1] là không gian Banach các hàm liên tục trên [ 0,1] với chuẩn sup
3. Xét tính khả vi của ánh xạ f : C [ 0,1] →  cho bởi
a) f ( x ) = ( x ( 0 ) )

2

b) f ( x ) = x ( 0 )
4. Xét tính khả vi của f : C [ 0,1] → C [ 0,1] cho bởi f ( x ) = x 2
5. Cho f : ( −1,1) → E , E là không gian Banach, với f ( 0 ) = 0 , f liên tục tại x = 0 và
lim
x →0

f ( 2x) − f ( x)
= m∈ E
x

Chứng minh f khả vi tại x = 0
6. Giả sử E là không gian Banach và f : (α , β ) → E là ánh xạ khả vi. Đặt
P=

{( x, y ) ∈ (α , β ) × (α , β ) : y ≠ x} và cho F : P → E

F ( x, y ) =

bởi

f ( y) − f ( x)
y−x

a) chứng minh nếu f’ liên tục tại a ∈ I thì

lim F ( x, y ) = f ' ( a )
x→a
y →a

b) Ngược lại nếu tồn tại lim F ( x, y )= m ∈ E thì f’ liên tục tại a.
x→a
y →a

7. Giả sử ϕ :  →  là ánh xạ lớp C 2 . Chứng minh ánh xạ f : C [ 0,1] →  cho bởi
1

f ( x ) = ∫ ϕ ( x ( t ) ) dt là khả vi trên C [ 0,1]
0

8. Giả sử f =
:I

(α , β ) ⊂  → E

là ánh xạ khả vi cấp p, p ≥ 1 và f = 0 trên tập con A ⊂ I có điểm

tụ a ∈ I . Chứng minh các đạo hàm đến cấp p của f tại a bằng 0.
9. Giả sử U là tập mở, lồi của không gian banach E và f : U → F là ánh xạ khả vi trên U. Giả sử
f ' : U → L ( E , F ) là ánh xạ hằng. Chứng minh f là tổng của một ánh xạ hằng và ánh xạ tuyến tính,

liên tục.
10. Giả sử f : [ a, b ] → F là ánh xạ liên tục có đạo hàm phải liên tục trên [ a, b ) . Chứng minh f lớp

C1 trên ( a, b ) .
11. Cho Ω ⊂  n , Ω ' ⊂  m là các tập mở và f : Ω → Ω ' là song ánh sao cho f và f −1 khả vi trên Ω
và Ω ' . Chứng minh m = n .
12. Hàm f : ( a, b ) →  gọi là lồi trên ( a, b ) nếu f

( (1 − λ ) x + λ y ) ≤ (1 − λ ) f ( x ) + λ f ( y ) xảy ra

cho mọi 0 ≤ λ ≤ 1, x, y ∈ ( a, b ) . Chứng minh nếu f là hàm lồi trên ( a, b ) thì nó có đạo hàm trái và
đạo hàm phải tại mọi điểm của ( a, b ) .
13. Giả sử U là tập mở lồi trong không gian Banach E và f : U →  là hàm khả vi trên U. Chứng
minh rằng f lồi trên U khi và chỉ khi ∀x, x0 ∈ U
f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 )

14. Giả sử f : [ a, b ] → F là ánh xạ liên tục. Giả sử f có đạo hàm phải tại ∀x ∈ ( a, b ) . Chứng minh
có số ξ ∈ ( a, b ) sao cho

f ( b ) − f ( a ) ≤ ( b − a ) ft ' (ξ )
15. Giả sử E, F là các không gian Banach và U là tập mở trong E chứa 0. Giả sử A : U → L ( E , F )
là ánh xạ lớp C1 với A ' : U → Ls2 ( E , F ) . Đặt B : U → F cho bởi B ( x ) = A ( x ) .x . Chứng minh
nếu A ( 0 ) ∈ Isom ( E , F ) thì tồn tại lân cận mở V của 0 trong E và lân cận W của 0 trong F sao cho
B là C1 - vi phôi từ V lên W.
16. Giả sử E, F là các không gian Banach, Ω ⊂ E là tập mở và  p ( Ω, F ) là không gian véctơ các
k
ánh xạ f lớp C p trên Ω với giá trị trong F sao cho f và các đạo hàm f ( ) (1 ≤ k ≤ p ) bị chặn trên Ω

a) Đối với mỗi f ∈  p ( Ω, F ) , đặt
=
f p sup

( f ( x) +

Chứng minh  p ( Ω, F ) là không gian Banach với .

f ' ( x ) + ... + f ( p ) ( x )
x∈Ω

)

p

b) Chứng minh ánh xạ f → f ' là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ  p ( Ω, F ) vào  p −1 ( Ω, L ( E , F ) )
với p ≥ 2


17. Giả sử E0 = [ 0,1] , E1 là không gian véctơ các hàm lớp C1 trên [ 0,1] thỏa mãn x ( 0 ) = 0 với

{

}

x 1 sup x ' ( t ) : t ∈ [ 0,1] , x ∈ E1 . Chứng minh hàm ϕ : E1 → E0 cho bởi ϕ ( x )= x '+ x 2 là
chuẩn =
C ∞ - vi phôi của lân cận V của 0 ∈ E1 lên lân cận W của 0 ∈ E0
18. Cho α là 1 – dạng vi phân trong  3 : α = ydx − xdy + dz
a) Các hàm lớp C1 u ( x, y, z ) và v ( x, y, z ) phải thỏa mãn điều kiện gì để dạng α − vdu là dạng
đóng
b) Chứng minh khi đó u và v không phụ thuộc vào z.
c) Có thể chọn hàm ν = v ( x, y ) tùy ý được không
19. Giả sử f là hàm thuộc lớp C 2 trong lân cận Ω của điểm x ( ) ∈  n . Đặt ui ( x ) =
0

ánh xạ ϕ : x → u =
( ui ( x ) ,..., un ( x ) )

∂f
( x ) và xét
∂x i

a) Với điều kiện nào tồn tại lân cận V của x( ) để ϕ là C1 vi phôi từ V lên U = ϕ (V )
0

b) Giả sử điều kiện đó được thỏa mãn,
đặt x ϕ −1 ( u ) , u ∈ U . Chứng minh dạng vi phân
=

( )

n

ω = ∑ xi dui là dạng đóng. Từ đó suy ra trong lân cận V của u ( 0) = ϕ x( 0) có hàm g lớp C 2 sao
i =1

cho xi =

∂g
∂ui

20. Cho ω = xdy ∧ dz − 2zf ( y ) , dx ∧ dy + yd ( y ) , dz ∧ dx, f :  →  là ánh xạ lớp C1 với f (1) = 1
a) Tìm ánh xạ f để dw = dx ∧ dy ∧ dz
b) Xác định f để dw = 0 . Đối với f như vậy, hãy tính

∫ w với S là mặt

x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥

21. Xét ϕ :  2 →  2 cho bởi ϕ ( x, y ) = ( u ( x, y ) , v ( x, y ) ) với
u ( x, y )= x + f ( y )

v ( x, y )= y + f ( x )

ở đó f là ánh xạ lớp C1 và f ' ( t ) ≤ k < 1 với mọi t ∈ 
a) Chứng minh ϕ là toàn ánh. Gợi ý chứng minh ∀ (ξ ,η ) ∈  2 hàm

ψ ( x, y ) = (ξ − u ( x, y ) ) + (η − v ( x, y ) ) có cực tiểu tại ( x, y ) và ϕ ( x, y ) = (ξ ,η )
2

b) Chứng minh ánh xạ ϕ là song ánh

2

2
2


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN CAO HỌC K24
Môn thi: Triết học

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài

Câu 1 (5 điểm). Phân tích nội dung nguyên lý mối liên hệ phổ biến? Ý nghĩa phương pháp luận của
nguyên lý này?
Câu 2 (5 điểm). Trình bày mối quan hệ biện chứng giữa tồn tại xã hội và ý thức xã hội. Ý nghĩa của
mối quan hệ này ở nước ta hiện nay?


CHỦ ĐỀ THI NÓI TIẾNG ANH B1
SPEAKING PAPER 5
PART 2 (4 minutes)
You have 2 minutes to prepare and 2 minutes to talk about the following topic:
Talk about your home town.
You should say:

•
•
•

Where it is;
Whether there is anything special about it;
What you like most about it.


TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

ĐỀ THI MÔN KHÔNG GIAN VÉCTƠ TÔPÔ
Cao học K24 – Đề số 1

KHOA TOÁN – TIN

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 (3 điểm)
a) Định nghĩa không gian thùng. Chứng minh rằng không gian lồi địa phương E là không
gian thùng khi và chỉ khi mọi nửa chuẩn nửa liên tục dưới trên E đều liên tục.
b) Phát biểu và chứng minh nguyên lý đồng liên tục.
Câu 2 (2 điểm) Phát biểu và chứng minh định lý Bourbaki – Alaoglu.
Câu 3 (2 điểm) Cho 0 < p < 1 và xét không gian


p
=
x
=



( xn )n≥1 : xn ∈ 

∀n ≥ 1,

∞

∑x
n =1

n

p


< +∞  ,


Chứng minh rằng  p là một không gian véctơ tôpô nhưng không là không gian lồi địa phương.
Câu 4 (3 điểm) Không gian lồi địa phương E được gọi là không gian bị chặn nội nếu mọi tập lồi
cân hút các tập bị chặn trong E đều là lân cận của điểm gốc 0 ∈ E .
Cho E là không gian bị chặn nội, F là không gian lồi địa phương và u : E → F là một ánh xạ tuyến
tính. Chứng minh ba khẳng định sau tương đương.
i.
ii.
iii.

u liên tục.
Nếu dãy { xn } hội tụ về 0 trong E thì dãy {u ( xn )} hội tụ về 0 trong F

Nếu B là một tập bị chặn trong E thì u ( B ) là tập bị chặn trong F.


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Đề thi hết môn: Lý luận dạy học hiện đại(ca sáng)
(Dành cho học viên cao học khóa 24)
Thời gian làm bài: 90 phút
NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1. Hãy nêu các biện pháp đổi mới dạy học môn học theo quan điểm dạy học định hướng phát
triển năng lực. Từ đó đưa ra 5 biện pháp theo ý kiến cá nhân cho là quan trọng nhất cần được quán
triệt nơi đơn vị anh (chị) công tác và nêu các cơ sở xuất phát để đưa ra 5 biện pháp trên.
Câu 2. Hãy phác thảo kế hoạch dạy học thực hiện đổi mới dạy học; trong đó thể hiện việc xác định
mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực ở một tiết dạy của
môn học cụ thể.
Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài!


ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Môn thi: Phương trình Hyperbolic - Cao học K24

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN

Thời gian làm bài 90 phút

f trong miền Ω × ( 0,T ) với
Câu 1. Cho phương trình utt + Lu =
Lu =

− ∑ ∂ i ( aij ( x, t ) ∂ j u ) + c ( x, t ) u
n

(1)

i , j =1

là toán tử tự liên hợp, Ω là một miền bị chặn trong  n , T > 0
1. Định nghĩa nghiệm suy rộng của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

và điều kiện biên

u ( x, 0 ) = g ( x )

ut ( x, 0 ) = h ( x )

( 2)

u |∂Ω×( 0,T ) = 0

( 3)

trong không gian W21,1 ( QT ) , QT = Ω × ( 0, T ) . Giải thích khái niệm đưa ra. Với điều kiện nào
thì nghiệm suy rộng trở thành nghiệm cổ điển của bài toán trên (giả sử ∂Ω trơn).
2. Phát biểu điều kiện để (1) là phương trình hyperbolic đều cấp hai. Chứng minh rằng khi đó
bài toán (1) − ( 3) có không quá một nghiệm suy rộng trong W21,1 ( QT ) với giả thiết rằng các
hàm

∂aij
∂t

(.,.)

và c (.,.) là bị chặn đều trong QT .

Câu 2. Trình bày khái niệm toán tử đóng, toán tử khả đóng và thác triển yếu của toán tử khả đóng.

Sử dụng khái niệm thác triển yếu để định nghĩa nghiệm suy rộng trong không gian ( L2 ( Q ) ) của hệ
3

phương trình hyperbolic đối xứng cấp một (ba ẩn), trong đó Q là một miền trong  4 .
Câu 3. Cho Ω là một miền bị chặn thuộc  n . Xét bài toán biên ban đầu
utt = ∆u , x ∈ Ω, t ∈ 

) 0, ∀x ∈ ∂Ω, t ∈ 
u ( x, t=

h ( x), x ∈ Ω
( x, 0 ) g ( x ) , u=
t ( x, 0 )
u=

Chứng minh rằng nếu u thỏa mãn bài toán ( 4 ) thì
=
Eu ( t )

dE
= 0 , trong đó
dt

(

)

1
2
ut2 + Du dx
∫
2Ω

---HẾT---

( 4)


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG
Lớp Cao học K24 – Toán Giải tích
Thời gian làm bài: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI
1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, cho ví dụ.
2. Cho Ω ⊂  n là miền bị chặn với biên trơn. Xét bài toán Dirichlet
−∆

=
u f , x ∈ Ω,
=
u 0, x ∈ ∂Ω,
với f ∈ L2 ( Ω )
a) Phát biểu định nghĩa nghiệm yếu của bài toán trên.
b) Chứng minh rằng bài toán có nghiệm yếu duy nhất.
3. Xét bài toán biên ban đầu
ut = 12u xx , x ∈ ( 0, π ) , t > 0,

u=
u=
0,
x ( 0, t )
x (π , t )
u ( x, 0 ) = 1 + sin 3 x.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp Fourier.
b) Tìm lim u ( x, t ) với x ∈ ( 0, π ) .
t →∞

4. Tìm nghiệm của bài toán biên sau
∆u= 0, x ∈ ( 0, 2π ) , y ∈ ( −1,1) ,

u ( x, −1) =0, u ( x,1) =1 + sin 2 x,
=
u x ( 0, y ) u=
0.
x ( 2π , y )

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Đề thi hết môn: Lý luận dạy học hiện đại(ca chiều)
(Dành cho học viên cao học khóa 24)
Thời gian làm bài: 90 phút
NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1. Phân tích cơ sở đổi mới dạy học theo quan điểm dạy học định hướng phát triển năng lực,
trong đó cần:
- Lập luận vì sao cần chuyển từ dạy học định hướng nội dung sang dạy học định hướng phát triển
năng lực? Nêu khái niệm và các thành phần của năng lực.
- Đề xuất một số biện pháp đổi mới dạy học môn học theo định hướng phát triển năng lực.
Câu 2. Trình bày phác thảo kế hoạch dạy học theo định hướng phát triển năng lực trong đó thể hiện
sự vận dụng một số phương pháp dạy học anh (chị) được biết.
Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài!


ĐỀ CƯƠNG MÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
I. LÝ THUYẾT
1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, cho ví dụ.
2. Cho Ω ⊂  n là miền bị chặn với biên trơn. Xét bài toán Dirichlet
u f , x ∈ Ω,
−∆
=
u 0, x ∈ ∂Ω,
=

với f ∈ L2 ( Ω )
a) Phát biểu định nghĩa nghiệm yếu của bài toán trên.
b) Chứng minh rằng bài toán có nghiệm yếu duy nhất.

3. Cho Ω ⊂  n là miền bị chặn với biên trơn. Xét bài toán Dirichlet

λu f , x ∈ Ω,
−∆u +=
∂u
= 0, x ∈ ∂Ω,
∂n

với f ∈ L2 ( Ω ) , λ > 0

a) Phát biểu định nghĩa nghiệm yếu của bài toán trên.
b) Chứng minh rằng bài toán có nghiệm yếu duy nhất.
4. Xét bài toán biên nửa tuyến tính

=
−∆u g ( x, u , ∇u ) , x ∈ Ω
=
u 0, x ∈ Ω,
với Ω ⊂  n là miền bị chặn
a) Phát biểu định nghĩa nghiệm yếu của bài toán trên.
b) Sử dụng nguyên lý ánh xạ co chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán với các giả thiết
thích hợp
5. Phát biểu nguyên lý cực trị đối với phương trình truyền nhiệt trong miền bị chặn và ứng dụng của
nó.
II. BÀI TẬP
1. Cho phương trình u xx + 4u yy + u x =
0
a) Đưa về dạng chính tắc phương trình trên
b) Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện u ( x,8x ) = 0 và u x ( x,8x ) = 4e −2x
2. Đưa về dạng chính tắc phương trình u xx + yu yy =

0 trên các miền mà ở đó phương trình thuộc loại
hyperbolic hoặc elliptic.
3. Xét bài toán biên ban đầu


ut = 12u xx , x ∈ ( 0, π ) , t > 0,
u=
u=
0,
x ( 0, t )
x (π , t )
u ( x, 0 ) = 1 + sin 3 x.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp Fourier.
b) Tìm lim u ( x, t ) với x ∈ ( 0, π ) .
t →∞

4. Giải bài toán sau bằng phương pháp Fourỉe

ut = u xx − u, x ∈ ( 0,1) , t > 0,
=
u ( 0, t ) u=
0,
x ( 0, t )
u ( x,=
0) x ( 2 − x ).
5. Giải bài toán Dirichlet
∆u= 0, 0 < x, y < π ,
u=
( x, 0 ) u=
( x, π ) 0,

=
u ( 0, y ) 0,=
u (π , y ) sin y.
6. Giải bài toán Dirichlet
∆=
u 0, x 2 + y 2 < 6,
u | x 2 + y 2=
y 2 + y.
6
=

7. Tìm nghiệm của bài toán biên sau

∆u= 0, x ∈ ( 0, 2π ) , y ∈ ( −1,1) ,
u ( x, −1) =0, u ( x,1) =1 + sin 2 x,
=
u x ( 0, y ) u=
0.
x ( 2π , y )


BÀI KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN MÔN PHÉP TÍNH VI PHÂN