Đề thi, 2008-Khối THPT Trường Đại học Sư phạm, Hà Nội

Đề thi, 2008-Khối THPT Trường Đại học Sư phạm, H Nà ội
C©u 1:
Cho biểu thức :
[P = frac{{a + b}}{{sqrt a + sqrt b }}:left( {frac{{a + b}}
{{a - b}} - frac{b}{{b - sqrt {ab} }} + frac{a}{{sqrt {ab}
+ a}}} ight) - frac{{sqrt {left( {sqrt a - sqrt b }
ight)^2 } }}{2}] Với a > 0 , b > 0 , [a] ≠ [b]
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a và b sao cho [b = (a + 1)^2 ] và P = -1
C©u 2:
Cho phương trình : [x^2 + (m^2 + 1)x + m + 2= 0 ] với m
là tham số.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình có
hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi là các nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị
của m sao cho: [frac{{2x_1 - 1}}{{x_2 }} + frac{{2x_2 -
1}}{{x_1 }} = x_1 x_2 + frac{{55}}{{x_1 x_2 }}]
C©u 3:
Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy điểm M tùy ý
M ≠ A, M ≠ B. Ký hiệu O,N,P lần lượt là tâm của các đường
tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC , AMC , BMC.
1. Chứng minh 4 điểm C,M,N,P cùng nằm trên một đường
tròn (C).
2. Chứng minh điểm O cũng nằm trên đường tròn (C).
3. Xác định vị trí của M để đường tròn (C) có bán kính nhỉ
nhất.
C©u 4:
Các số thực a, b, c, d thỏa mãn đồng thời các điều kiện :
[egin{array}{l} i)ac - a - c = b^2 - 2b ii)bd - b - d = c^2 -
2c end{array}]
iii) b ≠ 1, c ≠ 1

Chứng minh đẳng thức : ad + b + c = bc + a + d .
C©u 5:
Các số thực không âm x, y, z đôi mọt khác nhau và thỏa mãn
( x + z)(z + y) = 1
Chứng minh đẳng thức :
[frac{1}{{left( {x + y} ight)^2 }} + frac{1}{{left( {z + x}
ight)^2 }} + frac{1}{{left( {z + y} ight)^2 }} ge 4]