Ánh xạ chuẩn tắc và tính hyperbolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––

DƢƠNG THỊ ÁNH TUYẾT

ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀ TÍNH HYPERBOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––

DƢƠNG THỊ ÁNH TUYẾT

ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀ TÍNH HYPERBOLIC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là sự nghiên cứu độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Phạm Việt Đức, các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực.
Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào.

Tác giả

Dƣơng Thị Ánh Tuyết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

MỤC LỤC
Lời cam đoan .....................................................................................................i
Mục lục ............................................................................................................ ii
Lời nói đầu........................................................................................................ 1
Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị............................................................ 3
1.1. Hàm độ dài ............................................................................................. 3
1.2. Họ liên tục đồng đều .............................................................................. 3

1.3. Metric vi phân Roden-Kobayashi ........................................................... 4
1.4. Phủ chỉnh hình......................................................................................... 4
1.5. Không gian phân thớ .............................................................................. 5
1.6. Giả khoảng cách Kobayashi .................................................................... 5
1.7. Không gian phức hyperbolic ................................................................... 7
1.8. Một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic của không gian phức ...... 10
Chƣơng 2. Ánh xạ chuẩn tắc và tính hyperbolic ........................................ 20
2.1. Ánh xạ chuẩn tắc ................................................................................... 20
2.2. Ánh xạ chuẩn tắc và tính hyperbolic ..................................................... 25
Kết luận........................................................................................................... 37
Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 38

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

MỞ ĐẦU
Vào đầu những năm 70, S. Kobayashi đã đưa ra lí thuyết các không gian
phức hyperbolic và trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của giải tích phức. Trong những năm gần đây, lí thuyết này đã thu hút sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Với các kết quả của S.
Kobayashi, Zaidenberg, Kwack nhiều ứng dụng của họ chuẩn tắc đều đã được
sử dụng để nghiên cứu tính hyperbolic của các không gian phức. Đặc biệt vào
những năm 90 của thế kỉ trước, một loạt các công trình của Joseph và M.
Kwack đã sử dụng các công cụ thuần túy tô pô và họ chuẩn tắc đều để chứng
minh và mở rộng các kết quả quan trọng của giải tích hyperbolic. Mục đích của
luận văn này là trình bày chi tiết kết quả năm 2003 của hai tác giả trên về ánh

xạ chuẩn tắc và ứng dụng vào nghiên cứu tính hyperbolic của không gian phức.
Bố cục luận văn chia làm hai chương
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích phức hyperbolic. Đồng thời trình bày một số kết quả của Eastwood,
Kobayashi, Eastman về tiêu chuẩn cho tính hyperbolic thông qua các ánh xạ
chỉnh hình.
Chương 2. Ánh xạ chuẩn tắc và tính hyperbolic.
Đây là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày về ánh
xạ chuẩn tắc và một số tính chất của nó. Phần tiếp theo là mở rộng, khái quát
các kết quả của Eastwood, Kobayashi, Eastman, Zaidenberg và Abate trong đó
lấy ánh xạ chuẩn tắc để nghiên cứu tính hyperbolic của các không gian phức.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS
Phạm Việt Đức. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã chỉ
bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




2

Nhân dịp này em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo
trong trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Việt
Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học.
Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái
Nguyên, trường THPT Trần Phú, gia đình và các bạn bè đồng nghiệp đã tạo
điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận

văn này.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm độ dài [1]
Hàm nửa độ dài trên không gian phức X là hàm nửa liên tục trên, không
âm H trên nón tiếp xúc T( X) sao cho :

H(av) = a H(v) ,
với aÎ £ , v, av Î T( X) .
Một hàm độ dài là hàm nửa độ dài mà liên tục và H(v) > 0 với mọi

v ¹ 0, v Î T( X) .
Ta kí hiệu dH là khoảng cách sinh ra trên X bởi H . Khi đó
b

dH ( x, y) = inf ò H ( g '(t ))dt ,
g

a

trong đó g : [a ,b ]® X là đường cong lớp C1 nối x và y . Khoảng cách dH
sinh ra một tôpô trên X . Nếu H, E lần lượt là các hàm độ dài trên các không
gian phức X, Y và f Î H( X,Y) . Khi đó chuẩn df

H ,E

ứng với các hàm độ dài

H, E được định nghĩa bởi
df

H ,E

= df = sup{df p : p Î X},

trong đó

df p H ,E = df p = sup{E(df p (v)) : v Î T( X) p , H(v) = 1}.
1.2. Họ liên tục đồng đều [1]
Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không
gian tô pô Y . Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ x Î X tới y Î Y nếu với

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




4

mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của x và lân cận W
của điểm y sao cho
nếu f ( x) Î W thì f ( V) Ð U với mọi f Î F .
Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x Î X và mọi y Î Y thì F được
gọi là liên tục đồng đều từ X đến Y .
1.3. Metric vi phân Royden-Kobayashi [1]
Giả sử X là một không gian phức, D = {z Î £ : z < 1} là đĩa đơn vị

%x X gồm các véc tơ
mở trong £ . Gọi x là một điểm trong X . Nón tiếp xúc T
có dạng f* (u) , trong đó u Î TD và f Î H( D, X) .

%
Khi đó K X : T
X ® ¡ được định nghĩa bởi :
x
%
K X (v) = inf { u , u Î TD vµ f* (u) = v}, v Î T
X,
x
trong đó u là độ dài của véc tơ tiếp xúc u được đo bởi metric Poincaré

dsD2 =

4dzdz
2 2

(1- z )

, " z Î D của đĩa đơn vị D và infimum lấy với mọi

f Î H( D, X) và u Î TD sao cho f* (u) = v .
Nếu x là điểm chính quy, thì với mỗi v Î Tx X luôn tồn tại véc tơ

u Î TD sao cho f* (u) = v , do đó K X (v) < ¥ .
Nếu x là điểm kì dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt

K X (v) = ¥ .
%
X ® ¡ xác định như trên là một metric vi phân. Ta gọi
Ánh xạ K X : T
x

K X là metric vi phân Royden-Kobayashi trên không gian phức X .
1.4. Phủ chỉnh hình [1]
Ánh xạ chỉnh hình p : X ' ® X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi

x Î X , có lân cận mở U chứa x mà p - 1(U ) là hợp rời rạc những tập mở Ua

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5

ca X ' (tc l p - 1 (U ) =

UU

a

, Ua l cỏc tp m trong X ' v Ua ầ Ub = ặ

aẻ I

nu a , b ẻ I ,a ạ b ) tha món.

p

Ua

: Ua đ U l song chnh hỡnh.

Khi ú X ' l khụng gian ph, X gi l ỏy ca ph v vi mi x ẻ X ,

p - 1( x) gi th trờn x ca ph p .
1.5. Khụng gian phõn th [1]
nh x liờn tc p : E đ X gia cỏc khụng gian Hausdorff c gi l
phõn th K -vộc t bc r nu cỏc iu kin sau c tha món
i. Vi mi p ẻ X, Ep := p - 1( p) l K -khụng gian vộc t r chiu
( Ep c gi l th trờn p ) ;
ii. Vi mi p ẻ X tn ti lõn cn U ca p ẻ X v mt ng phụi

h : p - 1(U ) đ U K r thỏa mãn h( Ep ) {p} K r ,
v h p xỏc nh bi phộp hp thnh

hp : Ep ắ hắ
đ {p} K r ắ proj
ắ đ Kr ,

l mt ng cu K -khụng gian vộc t (cp (U, h) c gi l mt tm thng
húa a phng).
i vi mt K -phõn th vộc t p : E đ X , E c gi l khụng gian
ton th, X c gi l khụng gian ỏy, v ta thng núi E l mt phõn th
vộc t trờn X . Ta cũn kớ hiu phõn th vộc t trờn l ( E, p , X) .
Nu E, X l cỏc khụng gian phc v p l ỏnh x chnh hỡnh, ton ỏnh,
v phộp ng phụi h l ỏnh x song chnh hỡnh thỡ phõn th vộc t gi l phõn
th chnh hỡnh.
1.6. Gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc [1]
Vi 0 < r < Ơ ta t Dr = {z ẻ Ê : z < r }, Dr gi l a bỏn kớnh r .

S húa bi Trung tõm Hc liu HTN




6

1.6.1. Khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị
Xét ánh xạ r D : D´ D ® ¡

+

xác định bởi:

a- b
1- ba
r D (a, b) = ln
; " a, b Î D .
a- b

11- ba
1+

Ta có r D là một khoảng cách trên D và gọi đó là khoảng cách Bergman
– Poincaré trên đĩa đơn vị.
1.6.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.6.2.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .

H( D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian
phức X được trang bị tôpô compact mở.
Xét dãy các điểm

p0 = x, p1,..., pk = y của X , dãy các điểm

a1, a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1, f2 ,..., fk trong H( D, X) thỏa mãn
fi (0) = pi- 1, fi (ai ) = pi , " i = 1,2,..., k .
Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình g nối x với y là tập hợp :

g = {p0 ,..., pk , a1,..., ak , f1,..., fk }
thỏa mãn các điều kiện trên.
n

Ta đặt Lg =

å

r D (0, ai ) và định nghĩa dX ( x, y) = inf Lg trong đó infimum

i= 1

lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình g nối x với y .
Dễ thấy dX thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là:
i. dX ( x, y) ³ 0, " x, y Î X .
ii. dX ( x, y) = dX ( y, x), " x, y Î X .
iii. dX ( x, z) £ dX ( x, y) + dX ( y, z), " x, y, z Î X .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




7

Nói cách khác dX là một giả khoảng cách trên X . Giả khoảng cách dX
được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X .
1.6.2.2 Tính chất
Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của dX :
i. dD = r D và dDn (( zi ),(wj )) = max r ( zi , wj ) với mọi ( zi ),(wj ) Î Dn .
j = 1,n

ii. Nếu f : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Y thì dX ( p, q) ³ dY ( f ( p), f (q)), " p, q Î X .
Từ đó suy ra rằng nếu f : X ® Y là song chỉnh hình thì:

dX ( p, q) = dY ( f ( p), f (q)), " p, q Î X .
iii. Đối với một không gian phức X tùy ý , hàm khoảng cách dX là liên
tục trên X´ X .
iv. Nếu X và Y là các không gian phức thì với mọi x1, x2 Î X và

y1, y2 Î Y thì ta có:
max {dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )}= dX´ Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) .
1.7. Không gian phức hyperbolic [1]
1.7.1. Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng
cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X , tức là:

dX ( p, q) = 0 Û p = q, " p, q Î X .
1.7.2. Ví dụ
i. D là không gian phức hyperbolic vì dD = r D mà r D là khoảng cách
trên D nên dD cũng là khoảng cách trên D .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




8

ii. £ n không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử d£ n là giả khoảng cách
Kobayashi trên £ n , ta chỉ ra rằng d£ n = 0 và do đó d£ n không phải là khoảng
cách trên £ n . Với x, y Î £ n , " p Î D( p ¹ 0) ta xét ánh xạ:

f : D® £ n
za x+

y- x
z.
p

Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, f ( x) = 0, f ( p) = y . Do f làm giảm khoảng
cách đối với dD và d£ n nên ta có:

dD (0, p) ³ d£ n ( f (0), f ( p)) Þ d£ n ( x, y) £ r D (0, p) .
Cho p ® 0 ta có d£ n ( x, y) = 0. Vậy £ n không là hyperbolic.
1.7.3. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic
i. Nếu X, Y là các không gian phức thì X´ Y là không gian hyperbolic
khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic.
ii. Không gian con phức của một không gian hyperbolic là không gian
hyperbolic.
iii. Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và

f : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là hyperbolic.
1.7.4. Định lí Barth
Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì dX
sinh ra tô pô tự nhiên của X .
1.7.5. Không gian phức hyperbolic đầy
1.7.5.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian phức hyperbolic với khoảng cách d . Dãy

{xn }Ð X

được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) đối với khoảng cách d

nếu với mỗi e > 0, tồn tại n0 Î ¥ sao cho với mọi m, n > n0 ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

9

d( xn , xm ) < e .

1.7.5.2. Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và
đầy đối với khoảng cách Kobayashi dX , tức là mọi dãy cơ bản đối với khoảng
cách dX đều hội tụ.
1.7.5.3. Nhận xét
i. Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy.
ii. Tích hữu hạn các không gian hyperbolic đầy là một không gian
hyperbolic đầy.
iii. Một không gian con đóng của không gian hyperbolic đầy là không
gian hyperbolic đầy.
iv. Tính hyperbolic đầy là một bất biến song chỉnh hình.
v. Nếu X là hyperbolic và compact thì X là hyperbolic đầy.
1.7.6. Không gian phức nhúng hyperbolic
1.7.6.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó ta nói

X là nhúng hyperbolic trong Y nếu " x, y Î X; x ¹ y luôn tồn tại các lân cận
mở U của x và V của y trong Y sao cho dX ( X Ç U, X Ç V) > 0, trong đó

dX là giả khoảng cách Kobayashi trên X .
1.7.6.2. Nhận xét
i. Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng
hyperbolic trong chính nó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10

ii. Nếu X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X2 là nhúng hyperbolic trong

Y2 thì X1 ´ X2 là nhúng hyperbolic trong Y1 ´ Y2 .
iii. Nếu có hàm khoảng cách r trên X thỏa mãn dX ( x, y) ³ r ( x, y) với
mọi x, y Î X thì X là nhúng hyperbolic trong Y .

1.7.6.3. Định lí
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó các
điều kiện sau là tương đương
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y .
HI2. X là hyperbolic và {xn },{yn } là các dãy trong X thỏa mãn

xn ® x Î ¶ X, yn ® y Î ¶ X, dX ( xn , yn ) ® 0 thì x = y .
HI3. Giả sử {xn },{yn } là các dãy trong X thỏa mãn

xn ® x Î X, yn ® y Î X .
Khi đó nếu dX ( xn , yn ) ® 0 khi n® ¥ thì x = y .
HI4. Cho hàm độ dài H trên Y , tồn tại hàm liên tục, dương j trên Y
sao cho với mọi f Î H( D, X) ta có

f * (j H ) £ H D ,
trong đó H D là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D .
HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f Î H( D, X) ta có

f * H £ HD .

1.8. Một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic của không gian phức
1.8.1. Bổ đề [1]
Giả sử X, Y là các không gian phức . Giả sử dY' là hàm khoảng cách
trên Y , liên tục đối với tôpô của Y . Giả sử p : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




11

tính chất giảm khoảng cách từ dX tới dY' . Giả sử x Î X, y = p ( x) , và B( y, s)
là hình cầu mở ứng với khoảng cách dY' . Khi đó tồn tại hằng số C(s) > 0 chỉ
phụ thuộc vào s thỏa mãn

dX ( x, x ') ³ min {s, C(s)dV ( x, x ')},
với mọi x ' Î V = p - 1B( y,2s) .
1.8.2. Bổ đề Eastwood
Giả sử p : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức. Giả
sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y Î Y có lân cận U của y sao cho

p - 1(U ) là hyperbolic thì X là hyperbolic.
Chứng minh.
Lấy x, x ' Î X, x ¹ x ' .
+ Nếu p ( x) ¹ p ( x ') thì từ giả thiết p là giảm khoảng cách ta có

dX ( x, x ') > 0 , do đó X là hyperbolic.
+ Nếu p ( x) = p ( x ') = y . Theo giả thiết có lân cận mở U của y mà

p - 1(U ) là hyperbolic. Từ đó tồn tại s> 0 sao cho dY' -cầu B( y,2s) Ð U . Mặt
khác, p - 1B( y,2s) là hyperbolic vì nó là không gian con của không gian
hyperbolic p - 1 (U ) . Theo bổ đề 1.8.1 ta suy ra dX ( x, x ') > 0 .
Vậy X là hyperbolic.
1.8.3. Tiêu chuẩn Eastwood cho tính hyperbolic đầy
Giả sử p : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức. Giả
sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi điểm y Î Y có lân cận U của y sao cho

p - 1(U ) là hyperbolic đầy thì X là hyperbolic đầy.
Chứng minh.
Theo tiêu chuẩn Eastwood cho tính hyperbolic ta thấy X là hyperbolic.
Ta chỉ cần chứng minh X là đầy. Lấy {xn } là dãy dX -Cauchy trong X thỏa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




12

mãn

{p ( xn )}® y Î Y .

Giả sử U là lân cận của y sao cho p - 1 (U ) là

hyperbolic đầy. Khi đó xn Î p - 1(U ) với mọi n đủ lớn. Lấy s> 0 đủ nhỏ sao
cho U É B( y,2s) (hình cầu ứng với dY ). Khi đó với m, n đủ lớn ta có

dX ( xn , xm ) đủ nhỏ, và có một dây chuyền chỉnh hình trong X nối hai điểm này
với nhau sao cho tổng Kobayashi đủ nhỏ. Theo bổ đề 1.8.1, tổng Kobayashi

phải lớn hơn hoặc bằng C(s)dV ( xm, xn ) trong đó V = p - 1B( y,2s) .Từ đó

dV ( xm, xn ) ® 0 khi m, n® ¥ .
Nhưng khoảng cách Kobayashi của p - 1 (U ) nhỏ hơn dV vì có nhiều dây
chuyền chỉnh hình trong p - 1 (U ) hơn trong V . Do đó {xn } hội tụ tới một điểm
trong p - 1 (U ) .
Vậy X là hyperbolic đầy.
1.8.4. Định nghĩa
(1). Cho dY là giả khoảng cách trên không gian tô pô Y và D là tập con
đóng của Y . Khi đó dY được gọi là khoảng cách modulo D nếu

dY ( y, y ') > 0 ,
trừ khi y = y ' vµ y, y ' Î D .
(2). Ta gọi khoảng cách dY modulo D là khoảng cách đầy modulo D
nếu mỗi dãy Cauchy {yn } ứng với dY trong Y ta có một trong các khẳng định
sau:
i. {yn } hội tụ tới một điểm q trong Y .
ii. Với mỗi lân cận mở V của D trong Y , tồn tại một số nguyên dương

n0 sao cho yn Î V với mọi n > n0 .
Các mệnh đề và định lí từ 1.8.5 đến 1.8.15 được tham khảo chính trong [9]
1.8.5. Mệnh đề
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




13

Cho X và Y là các không gian tôpô với giả khoảng cách tương ứng là

dX , dY . Gọi D là tập con đóng của Y ( D có thể rỗng). Giả sử dY là khoảng cách
modulo D . Cho f : X ® Y là ánh xạ có tính chất giảm khoảng cách. Nếu một
trong ba điều kiện sau thỏa mãn thì dX là khoảng cách modulo f - 1(D ) .
(1) Với x, x ' Î X; x ¹ x ' mà f ( x) = f ( x ') , thì tồn tại lân cận V của

f ( x) trong Y sao cho x vµ x ' nằm trong các thành phần liên thông khác
nhau của f - 1 ( V) ;
(2) Mỗi x Î X có lân cận U sao cho f là đồng phôi từ U lên tập
mở f (U ) ;
(3) X là compact địa phương và với mỗi y Î Y thì f - 1 ( y) là tập hữu hạn.
Chứng minh.
Lấy x, x ' Î X; x ¹ x ' và x Ï f - 1(D ) .
Nếu f ( x) ¹ f ( x ') , thì ta có dX ( x, x ') ³ dY ( f ( x), f ( x ')) > 0 .
Ta xét trường hợp f ( x) = f ( x ') , đặt y = f ( x) = f ( x ') . Ta giả sử

dX ( x, x ') = 0 .
(1) Lấy V là lân cận của f ( x) trong Y thỏa mãn điều kiện (1). Vì

f ( x) Ï D , không mất tính tổng quát ta giả sử rằng V là một e -lân cận của
f ( x) với e > 0 nào đó. Lấy U là e -lân cận của x trong X . Khi đó U chứa

x ' và gọi g là đường cong nối x và x ' trong U . Vì f là giảm khoảng cách,
f : U ® V và g Ð f - 1( V) . Từ đó ta có điều mâu thuẫn. Vậy dX ( x, x ') > 0 .
(2) Lấy U là lân cận của x thỏa mãn điều kiện (2). Lấy V = f (U ) và
áp dụng (1) ta có điều phải chứng minh.
(3) Lấy U là lân cận mở của x với bao đóng compact U sao cho

U Ç f - 1(D ) = Æ và f - 1( y) Ç U = {x}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14

Khi đó dX ( x,¶ U ) ³ dY ( y, f (¶ U )) > 0
Vì đường cong bất kì nối x với x ' có độ dài ít nhất là dX ( x, ¶ U ) . Nên
ta có điều mâu thuẫn. Vậy dX ( x, x ') > 0 .
Mệnh đề được chứng minh.
1.8.6. Hệ quả
Cho X và Y là các không gian tôpô với giả khoảng cách tương ứng là

dX , dY . Gọi D là tập con compact của Y . Nếu f : X ® Y là ánh xạ riêng,
hữu hạn có tính chất giảm khoảng cách và dY là khoảng cách đầy modulo D
thì dX là khoảng cách đầy modulo f - 1(D ) .
Mệnh đề sau được chứng minh bởi Kobayashi ([9], trang 61).
1.8.7. Mệnh đề
Cho X là không gian phức. Nếu tồn tại họ các điểm pa Î X và số
dương da sao cho với mỗi a , da -lân cận

Ua = {q Î X; dX ( pa , q) < da }
là hyperbolic và {Ua } là một phủ mở của X , thì X là hyperbolic.
Đặc biệt, nếu với mỗi p Î X , tồn tại một số dương d sao cho d -lân cận

U ( p;d) = {q Î X; dX ( p, q) < d}
là hyperbolic thì X là hyperbolic.
1.8.8. Định nghĩa

%® X được gọi là spread nếu với mỗi điểm

Ánh xạ chỉnh hình f : X
%, có lân cận U% sao cho f
%
pÎ X

%
U

%® f (U%) là song chỉnh hình.
:U

1.8.9. Định lí
Cho f : X ® Z là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Z . Khi đó X là hyperbolic nếu Z là hyperbolic và f : X ® Z là spread.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




15

Chứng minh.
Cho f : X ® Z là spread, tức là với mỗi điểm p Î X có lân cận U
trong X sao cho f

U

: U ® f (U ) là song chỉnh hình. Vậy giả thiết của định lí

thỏa mãn điều kiện (2) của mệnh đề 1.8.5 khi thay Z bởi Y . Từ đó ta suy ra
giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X . Vậy X là hyperbolic.
Định lí được chứng minh.
1.8.10. Định lí
Cho f : X ® Z là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Z . Khi đó X là hyperbolic nếu Z là hyperbolic và f : X ® Z là ánh xạ hữu hạn.
Chứng minh.
Vì f : X ® Z là ánh xạ hữu hạn nên với mỗi z Î Z thì f - 1 ( z) là tập
hữu hạn. Theo (3) trong mệnh đề 1.8.5 ta có dX ( x, x ') > 0 với mọi

x, x ' Î X; x ¹ x ' . Vậy X là hyperbolic. Định lí được chứng minh.
1.8.11. Định lí
Cho f : X ® Z là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Z . Khi đó X là hyperbolic nếu Z là hyperbolic và có một phủ mở {Va } của
Z sao cho mỗi tập f - 1( Va ) là hyperbolic.
Chứng minh.
Với mỗi z Î Z , lấy d> 0 sao cho V( z, d) Ð Va với Va nào đó. Khi đó
theo giả thiết f - 1( V( z, d)) là hyperbolic. Với mỗi p Î X ta có d -lân cận

{q Î X; dX ( p, q) < d}Ð f - 1(V( f ( p); d)) .
Vì f - 1( V( f ( p); d)) là hyperbolic nên d -lân cận

{q Î X; dX ( p, q) < d}

hyperbolic. Theo mệnh đề 1.8.7 ta suy ra X là hyperbolic.
Định lí được chứng minh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



là


16

1.8.12. Định lí
Cho f : X ® Z là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Z . Khi đó X là hyperbolic nếu Z là hyperbolic và f : X ® Z là một không
gian thớ phức với thớ compact hyperbolic.
Chứng minh.
Giả sử ( X, f , Z) là phân thớ chỉnh hình với thớ F . Theo giả thiết ta có

Z và F là hyperbolic. Lấy p, q Î X .
Nếu f ( p) ¹ f (q) , thì

dX ( p, q) ³ dZ ( f ( p), f (q)) > 0,
do đó X là hyperbolic.
Nếu f ( p) = f (q) . Chọn lân cận U của f ( p) trong Z sao cho

f - 1(U ) = U ´ F .
Gọi Bs là hình cầu trong Z tâm f ( p) , bán kính s ứng với dZ .
Chọn s > 0 vµ r > 0 sao cho

B2s Ð U vµ dD (z,0) < s ví i z Î Dr .
Từ đó, nếu p : D ® X là ánh xạ chỉnh hình và p (0) Î f - 1( Bs ) , thì

p ( Dr ) Ð U ´ F .
Chọn c> 0 sao cho

dD (0, a) ³ cdDr (0, a) với mọi a Î Dr /2 .
Giả sử p i : D ® X là các ánh xạ chỉnh hình và bi Î D sao cho

p 1(0) = p,p i (bi ) = p i + 1(0),i = 1,..., k - 1,p k (bk ) = q .
Bằng cách chèn thêm vào dây chuyền nếu cần ta có thể giả thiết

bi Î Dr /2 với mọi i . Đặt
p0 = p, p1 = p 1(b1 ),..., pk = p k (bk ) = q.
Xét hai trường hợp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




17

Trường hợp 1. Có ít nhất một điểm pj ,0 £ j £ k nằm ngoài f - 1( Bs ) .
Khi đó ta có

k

å

k

å

dD (0, bi ) ³

i= 1

dX (p i (0), p i (bi ))

i= 1
k

=å dX ( pi- 1, pi )
i= 1
k

³

å

dZ ( fi ( pi - 1 ), f ( pi )) ³ s

i= 1

Trường hợp 2. tất cả các điểm pi ,0 = 0,..., k đều nằm trong f - 1( Bs ) .
Khi đó ta có
k

å

k

dD (0, bi ) ³ cå dDr (0, bi )

i= 1

i= 1
k

=cå dF (j ( pi- 1), j ( pi ))
i= 1

³ cdF ( p, q),
trong đó j :U ´ F ® F là phép chiếu chính tắc. Vậy ta có

dX ( p, q) ³ min[s, cdF ( p, q)]> 0 .
Do đó X là hyperbolic. Định lí được chứng minh.
1.8.13. Định nghĩa
Giả sử X, Y là các không gian phức.
(1). Dãy

¥

{fi }i= 1 Ð H(Y, X) được gọi là phân kì compact nếu với mỗi tập

con compact K của Y , mỗi tập con compact K ' của X , tồn tại j 0 Î ¥ sao
cho f j ( K ) Ç K ' = Æ, " j ³ j 0 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

18

(2). Họ H(Y, X) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy

¥

{fi }i = 1

trong

H(Y, X) chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact hoặc là
phân kì compact.
(3). Không gian phức X được gọi là taut nếu họ H(Y, X) là họ chuẩn
tắc với mỗi không gian phức Y .
1.8.14. Định lí
Cho f : X ® Z là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Z . Khi đó X là taut nếu Z là taut, f : X ® Z là ánh xạ riêng và có một phủ
mở {Va } của Z sao cho mỗi tập f - 1( Va ) là taut.
Chứng minh.
Lấy {Vi } là phủ mở đếm được của Z sao cho mỗi tập f - 1 ( Vi ) là taut.
Lấy dãy {p n }Ð H( D, X) và giả sử rằng {p n } không phân kì compact.
Khi đó

{f o p n } không phân kì compact. Vì Z

con ta có thể giả sử rằng

là taut, bằng cách lấy một dãy

{f o p n } hội tụ tới g Î H( D, Z) .

Đặt Ui = g- 1( Vi ) Ð D . Lấy một phủ mở

{Wi } của D

sao cho Wi là

compact tương đối trong Ui .

{

Ta xét dãy p n

W1

} và lấy số nguyên dương n

1

sao cho

p n (W1 ) Ð f - 1( V1 ) ví i n ³ n1 .
Vì f o p n

W1

{

® g W1 nên suy ra p n

W1

} không là phân kì compact. Do

đó tồn tại một dãy con {p (1)
n } của dãy {p n } hội tụ trong

H(W1, f - 1(V1 )) Ð H(W1, X) .

{

Xét dãy p (1)
n

W2

}, ta có dãy con {p } sao cho {p

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

(2)
n

(2)
n
W2

} hội tụ trong

19

H(W2 , f - 1(V2 )) Ð H(W2 , X) . Cứ tiếp tục như vậy ta thu được một dãy con

{p (nk) }Ð {p (nk- 1) } sao cho dãy {p (nk) } hội tụ trong
H(Wk , f - 1(Vk )) Ð H(Wk , X) .
Khi đó ta có dãy đường chéo {p (nn) } hội tụ trong H( D, Z) .
Định lí được chứng minh.
1.8.15. Định lí
Cho f : X ® Z là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Z . Khi đó X là hyperbolic đầy nếu Z là hyperbolic đầy, f là ánh xạ riêng và
hữu hạn.
Chứng minh.
Từ mệnh đề 1.8.5 và hệ quả 1.8.6 ta có ngay điều cần chứng minh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

21

CH ƢƠNG 2
ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀ TÍNH HYPERBOLIC
2.1. Ánh xạ chuẩn tắc
Cho X, Y là các không gian tôpô. Ta có các kí hiệu sau :
+ Y¥ = Y È {¥

} là compact hóa 1 điểm của không gian phức Y .

+ C( X,Y) là không gian các hàm liên tục từ X vào Y .
+ Ta định nghĩa F o G =

{f o g, f Î F, g Î G} trong

đó F, G là các

không gian hàm.
2.1.1. Định nghĩa.
Cho X, Y là các không gian phức. Một họ F Ð H (X , Y ) là chuẩn tắc
đều trong H (X , Y ) nếu F o H (M , X ) là compact tương đối trong

C (M , Y ¥
nếu họ

) với mỗi đa tạp phức

M . Ta nói rằng f là một ánh xạ chuẩn tắc

{f } là chuẩn tắc đều.

Rõ ràng rằng từ định nghĩa 2.1.1 mỗi phần tử của một họ chuẩn tắc đều
là một ánh xạ chuẩn tắc. Ví dụ sau khẳng định rằng một họ các ánh xạ chuẩn
tắc có thể không là chuẩn tắc đều.
2.1.2. Ví dụ
Định nghĩa họ F  H  D, P1 
với f n  z  

  được xác định bởi F   f

n

: n  1,2,...

1
. Khi đó, f n là chuẩn tắc với mỗi n  1,2,... nhưng F
n  nz  1

không là chuẩn tắc đều.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN