Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm khí quyển

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...........................................................................................................................1
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN....................3
1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI:............................................................................. 3
1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN............................6
1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN........................................................14
1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN......17
1.6. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU............................................................................................................................ 19
1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH.....21
1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN.................23
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ
QUYỂN.......................................................................................................................... 25
2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI (VẬT
CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC) ...................................................... 25
2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN............................................................................................25
2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT.......................................................................27
2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN...............27
2.4.1 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN........................................................28
2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15).............................30
2.4.3 MỘT VÀI KẾT QUẢ BỔ TRỢ..................................................................... 30
2.4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC.........................................................................................33
2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH............................................................................................. 34
2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)-(3.2.15).......................................34
CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN THỬ NGHIỆM.............................................. 37
KẾT LUẬN..................................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................. 42
PHỤ LỤC........................................................................................................................43


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan : Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá
nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Công
Điều. Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Học viên

Lưu Xuân Trường


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1: Form chính của chương trình............................................................................ 38
Hình 2: Form dữ liệu của chương trình.........................................................................38
Hình 3: Form nghiệm của chương trình.........................................................................39
Hình 4: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ ϕ theo trục x..................................................39
Hình 5: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ ϕ theo trục z..................................................40


MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc nghiên cứu những bài toán biên của
phương trình vật lý toán, giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu
quan trọng của thực tiễn.
Trong một số ít trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờ
vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích
phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là các bài
toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì
nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc nếu có nhưng rất phức tạp. Trong
những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp gần đúng.
Thế giới đang phải đối mặt với việc môi trường đang bị ô nhiễm ngày
càng nghiêm trọng. Trên thế giới đã xảy ra rất nhiều trận mưa axit, khí hậu nóng
lên làm cho băng tan dẫn đến mực nước biển dâng lên đe dọa các vùng đồng
bằng ven biển, hiện tượng nước mặn xâm nhập sâu vào đất liền…

Với việc công nghiệp hóa và hiện đại hóa với tốc độ ngày càng nhanh, các
nhà máy mọc lên không chỉ là ở những khu công nghiệp xa dân cư mà còn được
xây dựng ở những vùng đông dân. Khói độc từ các nhà máy thải ra gây hại cho
người dân sống xung quanh.
Luận văn này tập trung vào giải quyết bài hoán ô nhiễm khí quyển do nhà
máy thải ra bằng “phương pháp sai phân” nhằm mục đích có thể dự đoán trước
được ảnh hưởng và mật độ của các chất gây ô nhiễm để hạn chế tác hại của nó.
Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương, sau cùng là tài liệu dẫn và
phần phụ lục. Chương một trình bày các kiến thức cơ bản của lược đồ sai phân
nhằm phục vụ cho chương hai. Chương hai là phần chính của khóa luận, trong
đó trình bày bài toán ô nhiễm khí quyển do các nhà máy thải ra từ ống khói và
xây dựng thuật toán để giải nó. Chương ba đưa ra kết quả tính toán thử nghiệm
của một bài toán thực tiễn nhằm minh họa cho thuật toán đã xây dựng ở chương
hai. Phần phụ lục là toàn văn chương trình được lập trình trên ngôn ngữ C++.
12


Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Công Điều – Viện Công nghệ
Thông tin đã tận tình hướng dẫn em trong thời gian em làm khóa luận, đồng thời
em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và các bạn cùng lớp đã nhiệt
tình giúp đỡ em làm khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức của bản thân em còn hạn chế nên chắc chắn
luận văn còn những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
và các bạn.


CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN
Trong chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong

chương hai để nghiên cứu lược đồ sai phân ẩn của bài toán ô nhiễm khí quyển.
1.1 LƯỚI VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI:
Để viết được lược đồ sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho một bài toán vật lý
của một phương trình vi phân đã cho cần thực hiện hai bước:
Thay miền biến thiên liên tục của biến số bởi miền biến thiên rời rạc của nó,
toán tử vi phân bởi một toán tử sai phân nào đó, xác định các biểu thức sai phân
đối với điều kiện biên và điều kiện ban đầu.
Sau đó sẽ nhận được một hệ các phương trình đại số dẫn đến việc xác
định nghiệm của bài toán đối với một phương trình vi phân đã cho được đưa về
tìm nghiệm của một hệ phương trình đại số nhận được. Khi giải một số bài toán
nào đó, ta không thể xác lập lại các giá trị của nghiệm sai phân khi biến số biến
đổi liên tục trong một miền nào đó của không gian Euclid. Vì vậy ta cần chọn
trong miền này một tập hợp hữu hạn các điểm nào đó và chỉ tìm nghiệm tại các
điểm này. Tập hợp những điểm này gọi là lưới. Hàm được xác định tại các nút
lưới được gọi là hàm lưới.
Như vậy miền biến thiên liên tục của đối số được thay bởi lưới, tức là
miền biến thiên rời rạc của đối số. Và như vậy, chúng ta xấp xỉ không gian
nghiệm của các phương trình vi phân bởi không gian các hàm lưới.
Các tính chất của nghiệm sai phân và đặc biệt là xấp xỉ của nó đối với
nghiệm chính xác phụ thuộc vào việc chọn lưới.
Ta xét một vài ví dụ về lưới.

3


Ví dụ 1: Lưới đều trên một đoạn thẳng.
Chia đoạn đơn vị [0,1] ra N phần bằng nhau, khoảng
cận bằng xi = i .h

= ±1, ±2,... được gọi là bước lưới, các điểm chia Xi=ih (i = 0,1,...,N)

1

,i

1

1

các giữa các nút lân

1 1

được gọi là các nút lưới, tập tất cả các nút lưới:

ωh = {xi = ih : i = 1,...,

lập

N−1}

thành một lưới.
Có thể xem x 0 = 0 , x N = 1 là những nút lưới.
Ký hiệu:
ϖ h = {xi = ih : i = 0,1...., N }

Trên đoạn [0,1], thay cho hàm của biến số liên tục y(x) được xét hàm của
biến số rời rạc

yh ( xi ) , giá trị của hàm này được tính từ các nút lưới. Còn

bản

thân hàm phụ thuộc bước lưới h như phụ thuộc vào một tham số.
Ví dụ 2: Lưới đều trên mặt phẳng. Xét tập các hàm hai biến u(x,t). Để đơn
giản xét miền xác định là hình chữ nhật:
G = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T}

Chia các đoạn [0,1] và [0,T] lần lượt thành N1,N2 phần bằng nhau. Giả sử

h=

1

,τ =

N1

1
N2

Qua các điểm chia ta vạch ra các đường song song với trục tọa độ tương ứng. Giao của
các đường thẳng này là những nút lưới:

ϖ =t  x ,
 i
hr


(

j

)

t: x = ih,
i

= j , i = 0,...., N ; j = 0,....,
N
1

j

;h
=

1

,τ =

T 

2
1

τ

N

N

2




Ta có các bước lưới h và τ tương ứng với hai trục x và t . Các nút lân cận là các
nút cùng nằm trên một đường thẳng và có khoảng cách là các bước lưới h hoặc τ .
Ví dụ 3: Lưới trong miền hai chiều
Giả sử trên mặt phẳng x = (x1,x2), cho miền G dạng tùy ý với biên ∂G .
Ta vạch ra các đường thẳng:
x1 i1= i1.h1,i1 = 0, ±1, ±2,...

Thang Long University Libraty


x2i2= i2 .h2 ,i2 = 0, ±1, ±2,...

trong đó hi > 0,i = 1, 2 . Do đó trên mặt phẳng ( x , ta có một lưới với các nút
1
x2 )

Thang Long University Libraty


(i1h1 ,i2h2 ) ,i1 ,i2 = 0, ±1, ±2,...
Lưới này đều theo mỗi hướng riêng biệt (Oxì,Ox2). Ta chỉ cần chú ý các nút
thuộc miền G = G + ∂G . Các nút nằm trong miền G được gọi là các nút trong, lập
. Những điểm giao của các đường

thành lưới
ωh

i

x 1 = i .h ,i
1

x2i2 = i2 .h 2 ,i2 = 0, ±1, ±2,...với biên
∂G

1

và

1 1

được gọi là những nút biên. Ký hiệu tập hợp

các nút biên là yh . Ta thấy có những nút biên mà khoảng cách đến các nút trong
gần nhất nhỏ hơn h hay h2 . Như vậy, lưới trên mặt phẳng đều theo các hướng x1, x1
nhưng lưới ϖ h = ωh + đối với miền G không đều ở lân cận biên.
γh

Như vậy miền G của biến x được thay bởi lưới ωh , tức là một tập hữu hạn các
điểm

i
i

= (x 1 , x 2 ) ⊂ G . Thay cho hàm u(x) của biến liên tục x ∋ G ta sẽ xét hàm

xi

1

2

lưới y(xi ) , nghĩa là hàm của các nút lưới

xi∈ϖ .

Hàm lưới y(xi ) có thể viết dưới

dạng vecto. Nếu đánh số lại nút theo một thứ tự nào đó: x1, x2 ,...,

thì giá trị của

xN

hàm lưới tại các nút này có thể xem như các thành phần của một vecto cột:
T

y = ( y1 , y2 ,..., y )

Nếu miền G hữu hạn, thì chiều N của vecto y cũng hữu hạn. Nếu G vô hạn, thì
lưới có vô số nút lưới, và số chiều của vecto y cũng vô hạn.
Người ta thường xét tập hợp các lưới {ωh phụ thuộc vào bước lưới h như một

}

tham số. Vì vậy, các hàm lưới yh (x) cũng phụ thuộc vào tham số h (hoặc vào số
nút lưới đều ).
Nếu lưới ωh không đều thì phải xem h như một vecto h = (h1, h2 ,..., hN ) với các
phần tử h1, h2 ,..., hN . Cũng tương tự như vậy, với trường hợp miền G nhiều chiều:
x = (x,,x2,...,xp), khi đó h = (h1, h2 ,..., hp ) , nếu lưới
xi (i = 1,..., p) .

đều theo mỗi hướng

ωh

Hàm u(x) của biến số liên tục x ∈ G

là các phần tử của một không gian

hàm H0 nào đó. Tập các hàm lưới yh(x) lập thành một không gian Hh . Như vậy,


khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, người ta đã thay không gian H0 bởi
không gian Hh của các hàm lưới yh(x).
5


Kta có tập hợp {H }
h
hi
x
t
t

p
hợ
p
c
c
l
ới

{

ω

}


của các không gian các
hàm lưới phụ thuộc vào tham số h . Trong không gian tuyến tính

Hh đưa vào

chuẩn ||.|| là tương tự lưới của || . ||0 chuẩn trong không gian xuất

H0 .

phát

Giả sử u(x) là nghiệm của bài toán liên tục đang xét u ∋ H0 , yh là nghiệm

của bài toán sai phân ( xấp xỉ ), yh ∋ Hh .
Điều chính yếu trong giải gần đúng là đánh giá độ xấp xỉ của yh so với u .

Giả sử || . || là chuẩn trong H0 , đương nhiên đòi hỏi || . ||h xấp xỉ || . |0| theo nghĩa
sau:

0

l || uh ||h =|| u ||0
im0
h→

H0 .

Với mọi vecto u trong

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN
Giả sử cho một toán tử vi phân L tác động lên một hàm v=v(x). Khi
nghiên cứu sự xấp xỉ sai phân một toán tử L thường người ta chỉ xét một cách
địa phương tức là tại một lân cận nào đó của điểm X cố định bất kỳ của không
gian và nếu v(x) liên tục thì xem vh (x) = v(x). Tổng quát:
v h = P h v ⊂ H , v ∈ H0 , P h : H0 → Hh

Sau đó cần chọn khuôn lưới, tức là chỉ rõ tập các nút lân cận với các nút x
mà tại đó các giá trị của hàm lưới v(x) và các hệ số khác của toán tử L có thể
được dùng để xấp xỉ toán tử L .
Thay các đạo hàm của v và các đại lượng khác của toán tử bởi các biểu
thức sai phân Lhvh , thay cho toán tử Lv. Đó là một tổ hợp tuyến tính các giá trị
của hàm lưới vk trên khuôn lưới:
Lhvh (x) =

∑

Ah (x,ζ )vh (ζ )

(Lhvh )i =

∑

Ah (xi , x j )vh (x j )

ζ ∈Uh ( xi )

Hoặc:
xi ∈Uh ( xi )


Trong đó Ah (x,ζ ) là hệ số, h là bước lưới, Uh (x) là khuôn lưới tại nút x. Việc
thay gần

L như
h

đùng toán

v
h

tử vi phân

vậy
được

Lv bởi biểu
thức sai
phân gọi là
sự xấp xỉ
toán tử vi
phân bởi
toán tử sai
phân.
Ta xét vài ví
dụ xấp xỉ sai
phân của
một vài toán
tử sai phân
đơn giản.

Ví
dụ
1:

Lv =

dv
dx

.

Cố định một
điểm nào đó của
trục Ox và lấy
các điểm x-h và

x+h với h>0.
Khai triển v(x)
công thức Taylor
tại x ta có:
h2

v
x
+2
h!
=
v
x
+
hv

'(x) +

v"(x) +
)


v(x ±
v '(x) =
h) − v(x) h
±
2
v ''(x) + 0(h
)

(1.2.1)
2

h

v
v
'(

(1.2.2)

v
0(

2!

±h

Để xấp xỉ
Lv ta dùng
một trong
các biểu
thức sau:

Để có
khái
niệm
này ta
đã giả
thiết

rằng
v(x)
là
hàm
đủ
trơn
trong
một
lân

dx

+

(σ )

h
x
x

7
h

x

v(x
−
L v=
− h) − v(x
=v

h0

(1.2.4)
h

−

h

củ

x

a
điể
m
(1.
2.
2)
ta
có:

+

L hv

được gọi là
hàm sai
phân phải

và

lấy tổ hợp tuyến
tính của các biểu
thức ( 1.2.3 ) và
( 1.2.4 ) như sau:
L v=
σv +
(1−σ )
v

h

là một
số cố
định.
Từ
,x h
0 (1.2.1)
o+ , ,
h
đó)

( x,x+h ) và ( x,x-h). Ngoài
ra việc tính xấp xỉ sai phân có
dv thể
của đạo hàm
(1.2
.3)

L
v=
v(x
+
h)
−
v(x
)
=
v

cậx : v
(x ới
n−
h
h0
nà <
0

2

được xác
ô n út hai điểm
định tại các

L được gọi là

hàm sai phân
v trái, hay
h

còn gọi là đạo hàm sai
phân tiến và lùi tương
+
−
ứng.
C biểu thức sai
L và L hv
á phân
hv
c


Khi σ = 0, 5 ta có đạo hàm sai phân trung tâm.
v =
0x

1
2

(v
x

+

)=
h)

vx

v(x + h) − v(x −

(1.2.5)

2h

Như vậy có thể xấp xỉ vô số các biểu thức sai phân xấp xỉ toán tử Lv=v. Khi
thay toán tử vi phân Lv bởi toán tử sai phân
Đại lượng ψ (x) = Lhv(x) −

Lhv ta đã phạm một sai số nào đó.

được gọi là sai số xấp xỉ toán tử Lv tại điểm x.

Lv(x)

Theo công thức khải triển Taylor ta có thể viết:
v =
x

v =

v(x + h) − v(x)
h
−
v(x) v(x − h)

x

v =

= v '(x) +
= v '(x) −

h

2
h

2

v "(x) + 0(h )
2

v "(x) + 0(h )

2

v(x + h) − v(x − h)

0
x

h

2h

= v '(x) + 0(h ) .
2

Ta thấy rõ ràng:
ψ (x) = vx − v '(x) = 0(h),ψ (x) = vx − v '(x) = 0h ,ψ (x) = vx − v '(x) =20(h )

Ta nói rằng toán tử sai phân
Lh

xấp xỉ toán tử vi phân L với bậc m>0 tại điểm x nếu:

ψ (x) = v − v '(x) = 0(h),ψ (x) = L v(x) − Lv(x) = 0(hm )
x

Ví dụ 2:

n

Lv = v =

h

d 2v
2

dx

Để miêu tả xấp xỉ sai phân đạo hàm bậc hai ta cũng xét một điểm nút x cố
định bất kỳ của lưới và lấy thêm hai điểm lân cận x-h và x+h. Ta xuất phát từ
định nghĩa, đạo hàm bậc hai là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất rồi dùng các biểu
thức gần đúng của đạo hàm bậc nhất ở trên, ta có:
2

Lv =

d v
dx

2

=

d dv
( ) ≈ Lhv = (vx )x
dx dx

v(x + h) − v(x)
vx (x) − vx (x − h)
=
h) h

h

−
h

v(x) − v(x − h)
h

=

v(x + h) − 2v(x)
+ v(x −

2
h


Mặt khác lại có:


v(x + h) − v(x) v(x) − v(x − h)
−
v
(x
+
h)
−
v
(x)
v(x + h) − 2v(x)
+ v(x −
x
h
h
(vx )x = x
2
=
=
h) h
h
h
1
= [v(x + h) − 2v(x) + v(x − h)]

Từ đó suy ra:
= (v ) =
L v = (v ) v
h

x x

x

x

xx

h2

Khai triển hàm v(x) theo công thức Taylor ta được:
2

3

5

v"(x) + v '''(x) v (x) + v(5) (x) + 0(h6 )
h
h
h
+
2!
3!
4!

5!

v(x − h) = v(x) −
h
hv '(x) +

v"(x) − v '''(x) v (x) − v(5) (x) + 0(h6 )
h
h
h
+
2!
3!
4!
5!

2

1 2
v = [h v
h
"(x) +
xx

4
(4)

v(x + h) = v(x) +
h
hv '(x) +

h2

3

4

5

(4)

4
2

h=v
v (x) + 0(h )]
"(x) +
12
(4)

6

(4)

4

v (x) + 0(h )
12

Vậy sai số xấp xỉ có dạng:

ψ (x) = L v − Lv = 0(h2 ) .

h

Ví
dụ 3:

Lv =

∂v

2

∂v

−
∂t

, v = (x, t)
2
∂x

Cho (x,t) là một điểm cố định trên mặt phẳng (x,t), h>0, τ
>0 là hai bước lưới theo các trục Ox, Ot tương ứng. Đặt:
v = v(x,t), vˆ = v(x,t +τ ), v = v(x,t −τ )

Trước tiên ta xét xấp xỉ đơn giản nhất trên khuôn 4 điểm:
(x − h,t),(x,t),(x + h,t),(x,t +τ )

Ta có: ∂v

+ 0(τ ) =
− v(x, t)

=

v∂t
τ

v(x + τ )

τ+ 0(τ )

2

∂v
∂x

2

=v
xx

1
2
2
+ 0(h ) [v(x + h, t) − 2v(x, t) + v(x − h, t)] + 0(h )
h2
=

2
Ký∂Lv
∂v
=∂x2
hiệu:

−
∂

(0)

hτ

Trong cấu
trúc của

L v=v−v
t

xx

(
0
)
h
τ

chúng ta đã
lấy

vxx ở thời điểm t lớp dưới. Tương tự,

ta

có thể
vx ở thời điểm t+τ , tức lớp sau như sau:
lấy
x
9

L


(1)

L v = v − vˆ
hτ

t

xx

Lấy tổ hợp tuyến tính

L
v

(σ )

v = −[σ
vˆ

hτ

t

+ (1−σ ) ] và L(1)
vˆ
v hτ
xx
xx

ta được một họ tham số

của toán tử sai phân
L

(σ )

v=v

hτ

t

−[σ
vˆ

+ (1−σ )vˆ ]

xx

xx

Họ này với σ ≠ 0,σ ≠ 1 được xác định trên khuôn lưới 6 điểm:
(x-h,t), (x,t), (x+h,t), (x-h,t+τ ), (x,t+τ ), (x+h,t+τ )
Bây giờ ta tính sai số của các xấp xỉ trên. Theo khai triển Taylor ta có:
vt =

∂v(x, t)

+

∂t

2
τ ∂ v(x, t) + 0(τ 2 ) =∂v(x, t) + 0(τ )

∂t

2

2

2

∂t

4

2

∂ v(x, t) h ∂ v(x, t)
∂ v(x, t)
4
2
v xx =
0(h ) =
4
2
+
+ 0(h ) .
12
∂x
∂x
2
∂x
2

Ký hiệu:

H (t) =

∂ v(x, t)
∂x

2

Theo khai triển Taylor ta có:

Mà:

τ
(τ / 2
3
H (t ± 2)) = H (t) ± H '(t) +
H "(t) + 0(τ )
2
2!
3
H (t) = H[(t +τ / 2) −τ / 2] = H (t + τ / 2) − (τ / 2)H '(t +τ / 2) + 0(h )
2

Nên:
Vì:

2

3

∂ v(x, t) ∂ v(t +τ / 2) τ ∂ v(x, t +τ / 2)
2
2
2
2
− 2
+ 0(τ )
∂x =
∂x
∂x ∂t

3

H '(t) =

∂ v(x, t)
2

∂x ∂t

. Vậy suy ra:

2

v xx =

∂ v(x, t + τ / 2)
2
∂x

3

τ ∂ v(x, t + τ / 2)

+2

2

∂x ∂t

2

Tương tự, ta xét ở lớp thời gian sau t+τ . Đặt:
∂ v(x, t +τ )
2

G(t + τ ) =
=

∂x

τ τ

2

⇒ G '(t + τ ) ∂ v(x, t +τ )
2
∂x ∂t

Mà G(x, t +τ ) = G(x, t + + ) , nên ta có:
2

2

3

2

+ 0(h + τ ) .

vˆxx

∂ v(x, t +τ )
2

=

∂x

2

2

+ 0(h )

τ

τ ta được:

2

2

Theo khai triển Taylor tương tự hàm G(x, t + +
)


2

3

∂ v(x, t + τ ) τ ∂ v(x, t + τ / 2)
2
2
vˆxx =
0(h + τ )
2
2
+
+
∂x
2
∂x ∂t

Từ đó ta có:
(0)

L v=v−v
hτ

t

=
xx

2

∂v(x, t) ∂ v(x, t)
2
2

2
−
+ 0(h + τ ) = Lv(x, t) + 0(h + τ )
2
∂x

∂t
(1)

L

Với σ = 0,
5

2
v = v −v
ˆ = ∂v(x, t + τ )− ∂ v(x, t + τ )+ 0(h2 + τ ) = Lv(x, t + τ ) + 0(h2 + τ )
hτ
t
xx
2
∂t
∂x

ta
có

L(0,5)v = (0,5v−ˆ +
0,5v
hτ v

t
xx

)
xx

∂v(x, t + τ / 2) ∂ v(x, t + τ / 2)
2
2
2
2
+
+ 0(h + τ ) = Lv(x, t + τ / 2) + 0(h + τ )
2
∂t
∂x
2

=

Vậy:
ϕ0 = 0(h2 +τ ) = Lh(0)v − Lv(x,t)
τ

ϕ = 0(h +τ ) = Lh(1)v − Lv(x,t +τ )
1

2

τ

σ

σ

ϕ = 0(h +τ ) = Lh ( )v − Lv(x,t +τ /
2

2

τ

2) ,

Ví dụ 4:

2

Lv =

∂v
∂t

2

σ = 0,5

2

−

∂v
2

∂x

Trong trường hợp này, để viết toán tử sai

phân

Lhτ v = vtt −
vxx

cần phải sử

dụng giá trị của hàm lưới tại ba thời điểm t-τ , t, t+τ . Ta thấy khuôn lưới ít nhất
là 5 điểm.
Một trong những phép tính gần đúng khả dĩ khi dùng giá trị
trung bình t có dạng:
Trong đó:

vxx tại lớp

(1.2.7)

Lhτ v = vtt −
vxx
vtt (x, t) = v(x, t +τ ) − 2v(x, t) + v(x, t −τ )

τ

2


Tương tự, có thể viết biểu thức của toán tử:
Lhτ v = vtt −
vˆxx

11

(1.2.8)


Trong khuôn lưới 9 điểm có thể viết họ 2 tham số của các toán tử sai phân như
sau:

Lhτ v = v −[σ vˆ + (1− σ − σ )v +
σ 2vxxtt]
1 xx
1
2
xx

(1.2.9)

σ1σ2

Khi σ1 = σ 2 = thì ta có (1.2.7). Còn khi σ1 = 1,σ 2 = thì ta có (1.2.8). Ta có:
0

0
vtt

2

=

,

∂ v(x, t)
∂t

2

+ (0τ )
2

vxx =

∂ v(x, t)

2

Do đó, toán tử sai phân (1.2.7) có sai số xấp xỉ là
(1.2.9) cũng có sai số xấp xỉ bậc này khi σ1 = σ 2 = σ

∂x

2

2

+ 0(h )

0(h +τ ) . Toán tử sai phân
2

2

(σ là một số bất kỳ).

1.3 SAI SỐ XẤP XỈ TRÊN LƯỚI
Chúng ta đã xem xét cách tính xấp xỉ sai phân tại một điểm và nói về bậc
của phép tính xấp xỉ sai phân đó. Việc đánh giá bậc xấp xỉ này thường đòi hỏi ở
trên toàn lưới ωh .
Giả sử ωh là lưới trong miền G thuộc không gian Euclid p chiều:
p

G ⊂ R , x = (x1 , x2 ,...., x )
p

Gọi H0 là không gian các hàm trơn u(x), Hh là không gian tuyến tính các hàm
lưới, ||.||0 là chuẩn trong H0, ||.||h là chuẩn trong Hh.
Ví dụ, nếu p=1 và Hh=L2 thì chuẩn
là
2
N u h) 1/ 2 ;
−1
|| u || = (
h

∑

j

w
= {; x , j = 1, 2,..., N
−1}
h

j

j =1

Nếu p>1, thì chuẩn sẽ là
 1/ 2
|| u ||h = ∑ u (x )h ,

j


2

h = (h1, h2 ,..., hp )

=1

trong đó, ∑ được lấy theo mọi nút x của lưới ωh . Giả thiết rằng:
a, Tồn tại một toán tử tuyến tính
Ph : H0 → Hh

u = u(x )

j

j


sao cho mỗi hàm u(x) ∈ Hh tương ứng với một hàm lưới uh (x), x ∈ωh , tức là
uh = Phu ∈ Hh

b, Các chuẩn ||.||h và ||.||0 tương thích, tức là:


lim || Phu ||h =|| h ||
0

|h|→0

trong đó |h| là chuẩn của vector h.
Xét một toán tử L nào đó trong H0 và toán tử Lh chuyển hàm lưới

vh ∈ Hh

thành hàm lưới Lhvh ∈ Hh được cho trên ωh (tức là Lh tác động từ Hh → Hh ).
Người ta gọi hàm lưới ψ sau đây là sai số của phép xấp xỉ toán tử L bởi toán tử
h

Lh :
ψ h = Lhvh − (Lv)h

trong đó, vh = Phv, (Lv)h = Ph Lv , v là một hàm bất kỳ trong H0 .
Chúng ta nói rằng, toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử vi phân L với bậc m>0 nếu:
||ψ 'h ||=|| Lhvh − (Lv)h ||= 0(| h | ''')

Hoặc:
|| Lhvh − (Lv)h ||= M | h | '''

trong đó, M là một hằng số dương không phụ thuộc |h|. Nếu h = (h1, h2 ,...,

thì

hp )
p

| h |= (∑

hi2) 1/ 2

i=1

Chú ý rằng việc chọn chuẩn thích hợp để đánh giá sai số xấp xỉ liên quan
đến cấu trúc của toán tử sai phân.
Trong trường hợp hai biến, chẳng hạn u(x,t) là nghiệm của phương trình
không dừng (truyền nhiệt, truyền sóng v.v…), thì toán tử sai phân Lhτ xấp xỉ
toán tử vi phân L được xác định trên các hàm lưới vh(x,t) cho trên lưới:
whτ = wh × wτ = {(x,t) : x ∈ wh ,t ∈ wτ }

trong đó ωh là hàm lưới trong miền G ⊂ R p ,
w

là lưới trên đoạn [0,t0] . Giả sử
τ

v(x,t) được xem như là một hàm của đối số x ∈ H0 . Khi đó:
vh (x,t) = Ph v(x, t) ∈ H h

Với bất kỳ t ∈ [0;t0 ] . Nếu v(x,t) liên tục theo t thì có thể đặt
vhτ = vh (x,t),∀t ∋ wτ