trắc nghiệm, tự luận hàm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (709.88 KB, 23 trang )

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG



CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))
(C)' = 0
(xα)' = αxα-1(α ∈ R, x > 0)
(uα)' = αuα-1.u'(α ∈ R, u > 0)
1
u'
( x )' =
( u )' =
(x > 0)
(u > 0)
2 x
2 u
1
1
1
u'
( )' = − 2 (x ≠ 0)
( )' = − 2 (u ≠ 0)
x
u
x

u
(sinx)' = cosx
(sinu)' = cosu.u'
(cosx)' = -sinx
(cosu)' = -sinu.u'
π
u'
π
1
(tanx)' =
(x ≠ + kπ , k ∈ Z)
(tanu)' =
(u ≠ + kπ , k ∈ Z)
2
2
cos x
2
2
cos u
u'
1
(cotx)' = - 2 (x ≠ kπ, k ∈ Z).
(cotu)' = - 2 (u ≠ kπ, k ∈ Z).
sin x
sin u
x
x
u
u
(e )' = e

(e )' = u'.e
x
x
(a )' = a .lna
(au)' = u'.au
1
u'
(ln x )' = (x ≠ 0)
(ln u )' = (u ≠ 0)
x
u
1
u'
(log a x )' =
(log a u )' =
(x ≠ 0)
(u ≠ 0)
x ln a
u ln a
2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b).
dy = f'(x)dx
3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:
sin x
cos x
• tanx =
• cotx =
• tanx.cotx = 1
cos x
sin x
1 + cos 2a

1 − cos 2a
2
2
• sin2a = 2sinacosa
• cos a =
• sin a =
2
2
1
1
1
2
= 1 + tan 2 x
•
• 2 = 1 + cot x
• cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]
2
2
cos x
sin x
1
1
• sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a - b)]
• sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
2
2

§1. NGUYÊN HÀM

I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác đònh trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
* Chú ý:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên
hàm của f(x) trên K. Kí hiệu ∫ f ( x )dx = F(x) + C.
2) Trong kí hiệu

1

∫ f ( x )dx thì "d..." gắn với biến tương ứng của hàm f. Ví dụ: ∫ s ds , ∫ cos tdt ,...

3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F'(x)dx = f(x).
2. Các tính chất của nguyên hàm:
1

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Tính chất 1:

∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C

Tính chất 2:

∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ; (k là hằng số khác 0)
∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx

Tính chất 3:

Ví dụ: Với x ∈ (0; +∞),

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx +

1

∫ x dx = ∫ (ln x )' dx = lnx.

2
trên khoảng (0; +∞).
x

3. Sự tồn tại nguyên hàm:
Đònh lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2

Ví dụ: Hàm số f(x) = x 3 có nguyên hàm trên (0; +∞) và
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
x
x
∫ 0dx = C
∫ e dx = e + C

∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

xα +1
+ C(α ≠ −1)

α +1

x
∫ a dx =

2

∫ x 3 dx =

ax
+ C(0 < a ≠ 1)
ln a

5

3 3
x + C.
5

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
dx
∫ cos x = tgx + C
2

dx
dx
= − cot gx + C
=
ln

x
+
C
(
x
≠
0
)
∫
∫x
sin 2 x
Ví dụ 1:
x3 + 2x − 1
s
s 2
2
dx
a) ∫
b) ∫ (2 + 3 ) ds
c) ∫ tan tdt
2
x
Ví dụ 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số y = f(x) = x2 + 2x - 1, biết rằng F(1) = 0.
Bài tập
Dạng 1. Tìm ngun hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm ngun hàm của các hàm số.
1
2x 4 + 3
( x 2 − 1) 2
1. f(x) = x2 – 3x +

2. f(x) =
3.
f(x)
=
4. f(x) = x + 3 x + 4 x
2
2
x
x
x
1
2
x
2
−3
5. f(x) =
6. f(x) = 2 sin
7. f(x) = tan2x
8. f(x) = cos2x
2
x
x
1
cos 2 x
9. f(x) = (tanx – cotx)2
10. f(x) =
11. f(x) =
12. f(x) = sin3x
2
2

2
sin x. cos x
sin x. cos 2 x
e−x
x x
x
13. f(x) = 2sin3xcos2x 14. f(x) = e (e – 1)
15. f(x) = e (2 +
16. f(x) = 2ax + 3x
)
2
cos x
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
1
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0
4. f’(x) = x - 2 + 2 và f(1) = 2
x
b
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2
x
II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số:
Đònh lí: Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Ví dụ 1: Tìm a)

∫

ln x
dx
x

∫ f [u( x )]u' ( x )dx = F[u( x )] + C
2
b) ∫ sin x. cos xdx

2

c)

∫

x
3

2

x +1

dx

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Hệ quả: Nếu

∫ f ( x )dx = F( x ) + C

thì

1

∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C

x3
1 (2 x + 1)3
+ C nên ∫ (2 x + 1)2 dx =
+C
3
2
3
Ví dụ 2: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau:
1
1
−x
x
dx
d) ∫ e dx
e) ∫ 1 − x dx f) 2 2 dx
a) ∫ cos(2 x + 1)dx b) ∫ sin(1 − 4 x)dx c) ∫
∫
3x − 1
x +1
dx
Ví dụ 3: Tính ∫ 2
x − 5x + 6
Bài tập: Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx

2
7
3
4 2
1. ∫ 5 − 2 x dx
2. ∫
3. ∫ (2 x + 1) xdx 4. ∫ ( x + 5) x dx
5. ∫ x 2 + 1.xdx
2x −1
dx
3x 2
x
ln 3 x
x 2 +1
dx 8. ∫
dx
6. ∫ 2
7. ∫
9.
10. ∫ x.e dx
dx
2
∫
3
x (1 + x )
x +5
x
5 + 2x
tan xdx
sin x

4
dx 13. ∫ cot xdx
11. ∫ sin x cos xdx 12. ∫
14. ∫
15. ∫ tan xdx
5
cos x
cos2 x
Ví dụ 1: Ta có

16.

∫

2
∫ x dx =

x

e

dx

17.

e x dx

∫

e tan x

∫ cos2 x dx

18.

∫ cos

19.

3

x sin 2 xdx

x
e −3
dx
21. ∫ x
22. ∫ x 3 x 2 + 1.dx
e +1
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Đònh lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
∫ u ( x)v' ( x)dx = u( x).v( x) − ∫ u ' ( x)v( x)dx
x

* Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên
Phương pháp: Tính ∫ u ( x )v' ( x)dx

Lấy vi phân: lấy đạo hàm rồi
nhân thêm d... của biến tương ứng

vi phân hai vế

Đặt

∫ udv = uv − ∫ vdu

u = ... ⇒ du = ...dx
. Khi đó ta có ∫ u ( x )v' ( x)dx = uv − ∫ vdu .
dv = ...dx ⇒ v = ...

nguyên hàm hai vế

Ví dụ: Tính
x
a) ∫ xe dx ;

Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
1. ∫ x. sin xdx
2. ∫ x cos xdx
3.
5.

∫ x sin 2 xdx

6.

9.

∫ x ln xdx

10.

x

∫ cos x dx
17. ∫ e . cos xdx
13.

2

x

14.

∫ x cos 2 xdx
∫ ln

∫ xtg
18.

2

2

xdx

xdx

∫x e
3

15.
x2

dx

b) ∫ x cos xdx ;

∫ (x

2

+ 5) sin xdx

∫ x.e dx
ln xdx
11. ∫
x
7.

c) ∫ ln xdx .
2
4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx

x

∫ sin x dx
19. ∫ x ln(1 + x
3

8.

12.
16.

2

)dx

∫ ln xdx
∫e

x

dx

∫ ln( x + 1)dx
20. ∫ 2 xdx
2

x

20.

∫x

x − 1.dx

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

∫ x lg xdx

21.

22.

ln(1 + x)
2
dx
24. ∫ x cos 2 xdx
x2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

∫ 2 x ln(1 + x)dx

23.

∫

1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
1
3
2 x
dx ;
a) ∫ sin dx ;
b) ∫ (1 + 2 x) dx ;
c) ∫
2

3x + 1
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x + x +1
2x −1
a) f(x) =
;
b)
f(x)
=
;
3
ex
x

x3
dx .
d) ∫
x+2
1
;
sin x. cos 2 x
1
f) f(x) =
.
(1 + x)(1 − 2 x)
c) f(x) =

e) f(x) = tan2x;

d) f(x) = sin5x.cos3x;

2

Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
3

9
a) ∫ (1 − x) dx (đặt t = 1 - x);

b) x (1 + x 2 ) 2 dx (đặt t = 1 + x2);
∫

3
c) ∫ cos x sin xdx (đặt t = cosx);

d) ∫

Bài 4: Tìm:

dx
(đặt t = ex + 1).
e + e−x + 2
x

x +1
dx .
x + 2x + 2
Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
2
x

a) ∫ (1 − x) cos xdx ;
b) ∫ x sin 2 xdx ;
c) ∫ x ln(1 + x)dx ;
d) ∫ ( x + 2 x − 1)e dx ;
2x
3 2x
a) ∫ (e + 5) e dx ;

e) ∫ x sin( 2 x + 1)dx ;

2
b) ∫ sin x cos xdx ;

3x
g) ∫ (1 + x )e dx ;

b) y = cos

b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x biết rằng F(π) = 0.

2

Bài 2: Tìm:
2
a) ∫ 2 x x + 1dx ;

e tan x
dx ;
e) ∫
cos 2 x

Bài 3: Tìm:
2 x
a) ∫ x e dx ;
2
d) ∫ x cos(3 x)dx ;

b) ∫ 3 x

2

x 3 + 1dx ;

e− x
dx ;
f) ∫
1 + e−x

2

h) ∫ x ln(1 + 2 x )dx .

Bài 6: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau:
1
2
x
a) f(x) = 3 x − + 4.e biết rằng F(0) = 1;
x
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y = (2tanx + cotx)2;

c) ∫

x
;
2

c) y = sinx 2 cos x − 1 .

x
dx ;
(3 x + 9) 4
1
dx ;
g) ∫
x ln x
c) ∫

2

2
b) ∫ 3 x cos(2 x )dx ;

e) ∫ x ln xdx ;

4

d) ∫

2x + 4

dx ;
x + 4x − 5
2

h) ∫ 2 xe

x 2 +4

dx .

3
c) ∫ x ln(2 x )dx ;
x
f) ∫ x sin dx .
3

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

§2. TÍCH PHÂN

I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:
1. Diện tích hình thang cong:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm
số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.
y
Với hình phẳng D giới hạn bởi một đường
cong kín bất kì ta có thể chia nhỏ thành những
B
hình thang cong bằng cách kẻ những đường

y = f(x)
song song với các trục tọa độ.
A

x
O

a

b

Diện tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), trong
đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x).
2. Đònh nghóa tích phân:
Cho y = f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác đònh trên đoạn [a; b]) của
b

hàm số f(x), kí hiệu là

∫ f ( x )dx . Dùng kí hiệu F( x )
a

Cận trên

b

∫ f ( x)dx = F ( x)

Cận dưới

b
a

b
a

để chỉ hiệu số F(b) - F(a), ta có:

= F (b) − F (a ) (NewTon - Lebniz)

a

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1

2
a) ∫ x dx =

e

b)

0

∫
1

dx
=

x

a

* Chú ý: i) Ta quy ước ∫ f ( x)dx = 0 (a = b),
a

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx (a > b).

ii) Tích phân của hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, chỉ phụ thuộc vào hàm
b

số và các cận a, b nên ta có thể kí hiệu

∫

f ( x )dx hoặc

a

b

∫ f (t)dt .
a

iii) Ý nghóa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;
b

b], thì tích phân

∫ f ( x )dx

là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò hàm số f(x), trục Ox và hai

a

b

đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =

∫ f ( x )dx .
a

II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
b

b

* Tính chất 1: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k là hằng số)
a

a

b

b

b

a

a

a

* Tính chất 2: ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx.
5

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
2

2
Ví dụ: Tính tích phân sau: ∫ ( x − 3 x )dx =
0

...............................................................................................................................................................................................

* Tính chất 3:

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (a < c < b)

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
2π

2

a) I = ∫

x − 1dx ;

b) J =

∫

1 − cos 2 x dx .

0

−2

BÀI TẬP: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN HÀM CƠ BẢN:
1

e

1 1
2
2. ∫ ( x + + 2 + x )dx
x
x
1

1. ∫ ( x + x + 1)dx
3

0

π
2

1

5. ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx

x
6. ∫ (e + x )dx

1
9. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx

x
π

1

π
3
π
2

3

3.

∫ x − 2 dx

3
7. ∫ ( x + x x )dx
0

∫

x + 1dx

1

2

8. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
1

e2

7x − 2 x − 5
11. ∫
dx
x
1

10. ∫ (e + x + 1)dx
x

4.

1

1

0

2

2

0

3

5

12.

∫
2

dx
x+2 + x−2

III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1. Phương pháp đổi biến số:
Đònh lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Giả sử hàm số x = ϕ (t ) có đạo hàm liên tục trên
b

β

a

α

đoạn [α ; β ] sao cho ϕ ( α ) = a, ϕ (β) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b , ∀t ∈ [α ; β ] ta có: ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt.
b

a) Đổi biến số dạng 1: Tính I = ∫ f ( x)dx bằng cách đặt x = ϕ (t )
a

1

Ví dụ: Tính tích phân

1

∫1+ x
0

2

dx

b

b) Đổi biến số dạng 2: Tính I = ∫ f ( x)dx bằng cách đặt t = ϕ (x)
a

Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ'(x)dx
Đổi cận: x = a ⇒ t1 = ϕ(a)
x = b ⇒ t2 = ϕ(b)
Biến đổi f(x)dx = C.f[ϕ(x)].ϕ'(x)dx (với C là hằng số)
Khi đó ta có: I =

b

t2

t2

a

t1

t1

∫ f ( x )dx = ∫ C. f [ϕ ( x )].ϕ ' ( x )dx = ∫ C. f (t)dt

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
π
2

a) sin 2 x cos xdx ;
∫
0

0

b) ∫ x x + 1dx ;
−1

BÀI TẬP: Tính các tích phân:

6

2

1

c) ∫ x(x − 1)
0

2017

dx.

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
π
2

3
2
1. ∫ sin xcos xdx

6.

π
3
π
6

∫

π
2

2
3
2. ∫ sin xcos xdx

π
3

1

x x +1
3

π
2

dx

1
dx
12. ∫
1 + x2
0
sin x
17.
∫0 1 + 3cosx dx

3

π
3

π
2

1

9.

∫

x +1
3

dx

x
15. ∫ e

sin xdx

sin x − cos x
1 + ln x
dx
dx 19. ∫
π
x
1 + sin 2 x

1

∫x

3

1 − x 2 dx

2

+2

xdx

0

π
2

∫

10.

0

1

cosx

π
4

e

18.

1

x2

0

14. ∫ e

cosxdx

π
4

π
2

16. ∫ sin xcos xdx
2

13. ∫ e

sin x

π
6

0

0

π
2

5. ∫ cot xdx

∫ tan xdx

3
2
8. ∫ x x + 1dx

0

1

1

4.

π
4

π
4

1

2
7. ∫ x x + 1dx

1 + 4sin xcosxdx

2

1

sin x

∫ 1 + 3cosx dx
0

0

11. ∫

3.

π
2

4

π
2

20. ∫ sin 2 x + sin x dx
0
1 + 3 cos x

2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
Đònh lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b] thì :
b

b

b

a

a

b

∫ u ( x)v' ( x)dx = (u ( x)v( x)) a − ∫ u' ( x)v( x)dx hay ∫ udv = uv a − ∫ vdu.
b

a

b

a

vi phân hai vế
b

* Chú ý: Tính I = ∫ u ( x)v' ( x)dx . Đặt
a

u = ... ⇒ du = ...dx
b b
(
uv)
− vdu .
, khi đó: I =

dv = ...dx ⇒ v = ...
a ∫a
nguyên hàm hai vế

Tích phân các hàm sớ dễ phát hiện u và dv
β

∫

Dạng 1

α

u = f ( x)
du = f '( x)dx


sin ax 
sin ax 


Đặt: 

 ⇒


 dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx


e ax 

eax 


dx

u = ln(ax)
 du = x
⇒
Đặt 
 dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
 ∫

sin ax 


f ( x) cosax dx
e ax 

β

∫ f ( x) ln(ax)dx

Dạng 2:

α
β

ax sin ax 
Dạng 3: ∫ e . 
dx

cosax 
α

π

2

2
ln x
Ví dụ 1: Tính các tích phân: a) I = ∫ 5 dx ; b) J = x cos xdx ;
∫
x
1
0

Ví du 2: Tính các tích phân sau
u = x 2 e x
1
2 x
xe

dx đặt 
a/ ∫
dx
2
( x + 1)
0
 dv = ( x + 1) 2

1

1

1

1

c) K = ∫ xe dx ;
x

0

u = x 5
x dx

b/ ∫ 4
x 3dx
3 đặt 
(
x
−
1)
dv
=
2

( x 4 − 1)3

3

1

8

dx
1 + x2 − x2
dx
x 2 dx
=
dx
=
−
= I1 − I 2
c/ ∫
2 2
2 2
2
2 2
∫
∫
∫
(1
+
x
)
(1
+
x
)
1

+
x
(1
+
x
)
0
0
0
0
7

π
2

d) L = e x sin xdx .
∫
0

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
1

dx
bằng phương pháp đởi biến sơ
1 + x2
0

Tính I1 = ∫
1

x 2 dx
Tính I2 = ∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
(1 + x 2 ) 2
0

u = x

x

 dv = (1 + x 2 ) 2 dx


Bài tập
e

ln x
1. ∫ 3 dx
x
1

1

e

2.

∫ x ln xdx
1

e

2
6. ∫ x ln xdx 7. ∫ x ln( x + 1)dx

e

1

∫ ( x + x ) ln xdx

10.

∫ ln( x

11.

π
2

15) x cos2 xdx 16)
∫
0

∫ sin
e

21) ∫

xdx

17)

a)

∫

−

3

1
2

12.

∫x

e

2

ln 3 x
5. ∫ 3 dx
x
1

ln xdx

1
π
2

∫ ( x + cosx) s inxdx
0

1

∫ x tan

2

xdx 13.

∫ ( 2 x + 3) e

2x

dx

14.

0

π
3

π

x + sin x
dx
cos2 x
0

18) ∫ x sin x cos xdx

∫

2

0

π
2

π
2

∫ e cos xdx
x

0

π
4

19) x(2 cos2 x − 1)dx
∫
0

3

dx 22) ( x + cos 3 x) sin xdx 23) ∫ ln( x 2 − x)dx
∫
x
2
0
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1
2

9.

π
4

ln x

1

ln xdx

π
3

+ x)dx

0

2

ln(1 + x)
dx
2
x
1

2

2

1

1

π2

∫

∫x

2

1

20)

8.

0

1

4.

0

1

e

e

2
3. ∫ x ln( x + 1)dx

1
2

ln 2

3
b) x − 1 dx ;
∫0 x 2 − 1

2

(1 − x ) dx ;

c)

0

2

1
dx
e) ∫1 x ( x + 1) ;

1

2
dx ;
d) ∫
( x − 2)( x + 3)
−1

∫

e 2 x +1 + 1
dx ;
ex

0

dx

x − 3x + 2
−1

g) ∫

2

.

2

Bài 2: Tính các tích phân sau:
π
2

π
2

π
2

a) sin( π − x )dx ;
∫0 4

b) ∫ sin 3 x cos 5 xdx ;
−

π
2

c) ∫ sin 2 x. sin 7 xdx ;

π
2

−

d) sin 2 xdx .
∫

π
2

0

Bài 3: Tính các tích phân sau:
2

a) ∫ 1 − x dx ;
0

2

b) ∫

3

2
c) ∫ x − x − 2 dx ;

x 2 + 2 x + 1dx ;

1

0

3

2
d) ∫ x − 3 x + 2 dx .
0

Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
2

a) ∫ x + 2dx ;
1

3

e) ∫
0

x

2

(1 + x )

3

2

dx ;

1

b) ∫ x

1

3

1 − x dx ;

0

1

e x (1 + x )
dx ;
1 + xe x
0

f) ∫

c) ∫ e 2 xdx ;
x2

0

1

2
g) ∫ 1 − x dx .
0

8

π

2
d) ∫ sin 2 x cos xdx ;
0

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:
π
2

2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
4
x−2 2
) dx ;
a) ∫ (
x+3
−2
1

−1

2x + 1
x2 + x + 1

2
−x
d) ∫ ( x − 2 x − 1)e dx .

0

1

0

1

c) ∫ ln(1 + x )dx ;

2
b) ∫ x ln xdx ;

a) ( x + 1) sin xdx ;
∫

d) ∫

1

e

0

6

9

b) ∫ ( x + 3 − x − 4 )dx ;

3
c) ∫ x 1 − x dx ;

−4
π
2

1

2

x9
dx .
f) ∫ 10
x + 4x5 + 4
1

cos x
e)
∫0 1 + 4 sin x dx ;

dx ;

Bài 2: Tính các tích phân sau:
1

a) ∫
0

0

3

dx
4−x

;

2

dx
c) ∫ 2
;
x + 2x + 2
−1

dx
b) ∫ 2
;
x +3

3

d)

a
2

1

∫

a2 − x 2

0

dx (a > 0) .

Bài 3: Tính các tích phân sau:
π
2

1

e

a) ( x 2 − 2 x + 3) sin xdx ;
∫

2

d) ∫ x cos xdx .

0

1

0

0

2
2x
c) ∫ ( x + 1)e dx ;

b) ∫ x ln xdx ;
2

1

IV. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tơc trªn [-a; a], khi ®ã:
VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [3π
2

TÝnh:
−

∫π

a

a

−a

0

∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx

3π 3π
] tháa m·n f(x) + f(-x) =
;
2 2

2 − 2 cos 2 x ,

1

x 4 + sin x
∫−1 1 + x 2 dx

+) TÝnh

f ( x)dx

3
2

a

Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tơc vµ lỴ trªn [-a, a], khi ®ã:

∫ f ( x)dx = 0.

−a
1

∫ ln( x +

VÝ dơ: TÝnh:

1 + x 2 )dx

−1

π
2

∫π cos x ln( x +

−

1 + x 2 )dx

2
a

Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tơc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:

∫

−a
1

VÝ dơ: TÝnh

∫x

−1

π
2

x dx
4

∫

− x +1
2

−

π
2

a

f ( x )dx = 2 ∫ f ( x) dx

0

x + cos x
dx
4 − sin 2 x
a

Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tơc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
3

VÝ dơ: TÝnh:

x +1

∫1+ 2

−3

π
2

2

x

dx

∫π

−

sin x sin 3 x cos 5 x
dx
1+ ex

2

9

a

f ( x)
∫−a1 + b x dx = ∫0 f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a)

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

π
], th×
2

Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tơc trªn [0;

π
2

π
2

∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx

0

0

π
2

π
2

sin 2009 x
∫0 sin 2009 x + cos 2009 x dx

VÝ dơ: TÝnh

sin x

∫

sin x + cos x

0

π

Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:

∫ xf (sin x)dx =
0

π

VÝ dơ: TÝnh
b

Bµi to¸n 6:

∫
a

π

x
∫0 1 + sin x dx

π

x sin x

∫ 1 + cos

2

0

x

x sin x

0

b

b

∫

⇒

a

VÝ dơ: TÝnh

ππ
f (sin x)dx
2 ∫0

∫ 2 + cos x dx

b

f (a + b − x )dx = ∫ f ( x )dx

dx

f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx

0

0

π
4

dx

∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx
0

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tơc trªn R vµ tn hoµn víi chu k× T th×:
a +T

∫
a

T

2008π

∫

∫

−1

π
4

1− x
dx

1+ 2x
2

2.

∫π

−

1
2

0

1 − cos 2 x dx

x − x + x − x +1
dx 3.
cos 4 x
7

5

1

3

∫ (1 + e

x

−1

π
2

dx
)(1 + x 2 )

4.

π

6. ∫ sin(sin x + nx)dx 7.
0

2

∫

−π

2

2

sin 5 x
1 + cos x

2

tga

cot ga

e

1
e

xdx
∫
8. 1 + x 2 +
1

dx

x + cos x
dx
2
x

∫π 4 − sin

−

4
2π

1− x

)dx
5. ∫ cos 2 x ln(
1+ x
1
−

0

T

f ( x) dx = n ∫ f ( x )dx

0

C¸c bµi tËp ¸p dơng:
1.

∫

⇒

0

VÝ dơ: TÝnh

1

nT

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx

∫

dx
= 1 (tga>0)
x(1 + x 2 )

V. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3

1.

∫x

2

2

− 1dx

2.

−3

π

5.

∫

−π

1 − sin x dx

∫x

2

3. ∫ x x − m dx

− 4 x + 3 dx

0

π
3

6.

∫

π
6

4.

0

tg x + cot g x − 2dx 7.
2

π
2

1

2

−

3π
4

∫ sin 2 x dx

π
4

∫π sin x dx

2π

8.

∫

2

1 + cos x dx

0

§2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Hình phẳng giới hạn giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
y liên tục, trục hoành (y = 0) và hai đường
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thò của hàm số f(x)
thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

S = ∫ f ( x ) dx
a

10

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = x 3, trục hoành và hai đường thẳng x
= -1, x = 2.
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
y
Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hai
hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b. Khi đó diện tích hình phẳng D là:
b

S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx
a

* Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f 1(x) = f2(x) có đúng hai nghiệm x 1, x2 ∈ (a; b) với (x1 < x2)
x1

thì

∫
a

x1

f1 ( x ) − f2 ( x ) dx = ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx . Khi đó:
a

b

x1

x2

b

a

a

x1

x2

S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx = ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx + ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx + ∫ [ f1 ( x ) − f2 ( x )]dx

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x2 - 3x + 4 và y = x + 1.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = 2.
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = π.
II- TÍNH THỂ TÍCH:
1. Thể tích của vật thể:
Cắt vật thể (T) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc trục Ox lần lượt tại x = a, x = b. Một mặt
phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x ∈ [a; b] cắt (T) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên
tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích vật thể (T) là:
b

V = ∫ S ( x )dx
a

2. Thể tích khối chóp cụt:
Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và có chiều cao
h
bằng h. Khi đó thể tích khối chóp cụt là V = ( B + BB' + B' ) .
3
III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:
Hình thang cong giới hạn bởi đồ thò hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b)
quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay.
Thể tích khối tròn xoay là:
b

V = π ∫ [ f ( x )]2 dx
a

Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = cosx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.
Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox.

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x 2 - 2x + 3, y = 0 quay
quanh trục Ox.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x2, y = 0 và đường thẳng y = -x.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3;
b) y = x2 - 2, y = -3x + 2;
c) y = x2 - 12x + 36, y = 6x - x2.
11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x2, y = x + 2;
b) y = |lnx|, y = 1;
c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm
M(2; 5) và trục Oy.
Bài 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 - x) quay
quanh trục hoành.
Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
x
π
a) y = -x2 + 1, y = 0;
b) y = sin , y = 0, x = 0, x = ;
c) y = lnx, y = 0, x = e.
2
4

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
π
π
a) y = 1 - x2, y = 0;
b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = ;
c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = .
4
4
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2, x - y + 2 = 0, y = 0.
Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác đònh bởi y = 2x - x 2, y = x, quanh trục Ox.

* ÔÂN TẬP CHƯƠNG III *
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x);
b) f(x) = sin4xcos22x;
1
c) f(x) =
d) f(x) = (ex - 1)3.
2 ;
1− x
Bài 2: Tính
( x + 1) 2
e3x + 1
(
2
−
x
)

sin
xdx
dx ;
dx ;
a) ∫
;
b) ∫
c) ∫ x
x
e +1
1
1
1
dx ;
dx ;
dx .
d) ∫
e) ∫
f) ∫
2
(1 + x )(2 − x )
(sin x + cos x )
1+ x + x
Bài 3: Tính:
3
2
π
64
x
1+ x

2 3x
dx ;
dx ;
a) ∫
b) ∫ 3
c) ∫ x e dx ;
d) ∫ 1 + sin 2 x dx .
1+ x
x
0
0
0
1
Bài 4: Tính:
π
2

1

a) cos 2 x sin xdx ;
∫
2

0

2

1
dx ;
d) ∫ 2

0 x − 2x − 3

2

( x + 1)( x + 2)( x + 3)
dx ;
2
x
1

x
−x
b) ∫ 2 − 2 dx ;

c) ∫

−1

π
2

π

e) (sin x + cos x ) dx ;
∫
2

0

2

f) ∫ ( x + sin x ) dx .
0

2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn bởi y = 2 1 − x 2 và y = 2(1 - x).
a) Tính diện tích hình D;
b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tại thành.
Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C): y = x 2 + 1, trục
tung và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox.

12

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
----- oOo -----

§1. SỐ PHỨC
1. Số i:
Phương trình x2 + 1 = 0 có một nghiệm là một số được kí hiệu là "i" với i2 = -1
2. Đònh nghóa số phức:
• Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b ∈ R, i 2 = -1 được gọi là một số phức.
• Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
• Tập hợp các số phức kí hiệu là C (Complex).
* Chú ý:
z = a + bi
• Số thực a = a + 0i. Mỗi số thực a cũng là một số phức và R ⊂ C.
• Số thuần ảo: bi = 0 + bi
• i = 0 + 1i (số i được gọi là đơn vò ảo)

• Số phức 1 + (-3)i có thể viết 1 - 3i, số phức 1 + 3 i còn có thể viết 1 + i 3 .
3. Số phức bằng nhau:
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d
Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i bằng nhau.
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................

4. Biểu diễn hình học số phức:
Điểm M(a; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt
phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
Ví dụ 1: Biểu diễn hình học của các số phức: 3 + 2i, 2
- i, -2 - 3i, 3i, 4.
Giải: ......................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................

y
6
5

....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm
biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo

bằng -5 và phần thực thuộc khoảng (-4; 4).
Giải: ......................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................

4
3
2
1
-5

-4

-3

-2

-1

O
-1
-2
-3
-4
-5
-6

5. Môđun của số phức:

13

1

2

3

4

5

x

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm
M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ OM
được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z .Vậy:
z = a + bi = OM =

y
M

b

a2 + b2

x
O

6. Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a - bi là số phức liên hợp của z
và kí hiệu là z = a - bi.
Ví dụ:
Số phức liên hợp của z = -3 + 2i là: ......................................................
Số phức liên hợp của z = 4 - 3i là: .......................................................
* Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z
đối xứng nhau qua trục Ox, và z = z, z = z .

a

y
z = a + bi
M

b

x
O

-b

a

M'
z = a - bi

 Ghi chú:
...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
a) z = 1 - πi;
b) z = 2 - i;
c) z =
Bài 2: Tìm các số thực x và y, biết:

a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i;
c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.
Bài 3: Tính |z| với:
a) z = -2 + i 3 ;
b) z = 2 - 3i;
Bài 4: Tìm z , biết:
a) z = 1 - i 2 ;
b) z = - 2 + i 3 ;

2 2;

d) z = -7i.

b) (1 - 2x) - i 3 =

5 + (1 - 3y)i;

c) z = -5;

d) z = i 3 .

c) z = 5;

d) z = 7i.

Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng -2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];

14

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2].
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) |z| = 1;
b) |z| ≤ 1;
c) 1 < |z| ≤ 2;
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z = 3 .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z + i = 2 .
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

15

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

§2. CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
1. Phép cộng và phép trừ hai số phức:
Phép cộng và phép trừ số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.
Ví dụ: Cho 2 số phức z1 = 2 + 5i; z2 = -2i. Tính z1 + z2, z1- z2.
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

2. Phép nhân hai số phức:
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i 2 = -1 trong kết quả nhận
được.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i.
* Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số
thực.
Ví dụ: Cho các số phức z = 1 - 2i, z1 = -2 + 3i. Thực hiện các phép tính:
a) z.z1;
b) z2;
c) z3 - 3z1.
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

 Ghi chú:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

a) (3 - 2i)(2 - 3i);
b) (-1 + i)(3 + 7i);
c) 5(4 + 3i);
d) (-2 - 5i).4i.
Bài 4: Tính:
a) (2 + 3i)2;
b) (2 + 3i)3;
c) (1 - 3i)3.
Bài 5: Tính i3, i4, i5. Nêu cách tính in với n là một số tự nhiên tùy ý.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tính giá trò của biểu thức Q = (2 + 5 i)2 + (2 - 5 i)2.
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i);
b) z = i(2 – i)(3 + i);
c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i);
2
2
12
13
d) z = (1 + i) – (1 – i) ;
e) z = 2i + i ;
f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

1+ i
6 + 3i
a)
;
b)
.
2 − 3i
5i
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

3 − 2i
2+i 3
1
Bài 2: Tìm nghòch đảo của số phức z, biết:
z
a) z = 1 + 2i;
b) z = 2 - 3i;
Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

c)

5i
;
2 − 3i

c) z = i;
(1 + i) 2 (2i)3
b)
;
−2+i
5 + 4i
d) 4 - 3i +
.
3 + 6i

a) 2i(3 + i)(2 + 4i);
c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i);
18

d)

5 − 2i
.
i

d) z = 5 + i 3 .

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;

b)

z
+ (2 − 3i) = 5 − 2i .
4 − 3i

2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
4 + 2i
a) z = 3 − i −
;
b) z = 7 - 2i - (3 - 2i)2;
i
7 + 3i − 1 + 5i
3 −i
2 −i
−

d) z =
;
e)
−
;
1+ i
3 − 2i
1+ i
i
Bài 2: Cho z = 2 + 3i . Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức
Bài 3: Giải phương trình

2+i
− 1 + 3i
z=
.
1− i
2+i

c) z =

7−i
+ 5 - 4i;
2−i

z + 7i
.
z+5

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

.
2a
−b±i ∆
Nếu ∆ < 0 thì (*) có 2 nghiệm phức x1,2 =
.
2a
* Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n ≥ 1) đều có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + 5 = 0 trên tập số phức.
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - 6 = 0 trên tập số phức.

Giải:

3. Đònh lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức:
a) Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ R, a ≠ 0). Hãy tính z1 + z2 và
z1.z2 theo a, b, c.
b) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm
nghiệm.
c) Cho hai số phức z1, z2. Biết rằng z1 + z2 và z1.z2 là hai số thực. Chứng tỏ rằng z 1, z2 là hai nghiệm của
một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

 Ghi chú:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

a) x 2 − 3.x + 1 = 0 ;
b) 3 2 .x 2 − 2 3.x + 2 = 0 ;
c) 3 x 2 2 − 2 x 3 + 2 = 0 .
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z 3 − 8 = 0 ;
b) x 3 + 8 = 0 ;
c) z3 – 1 = 0;
d) z 3 + 2 z 2 + 10 z = 0 .

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

21

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

* ÔÂN TẬP CHƯƠNG IV *
TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG IV:

22

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

1. Bài tập cơ bản:

Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình sau đây?
y

y

y

2
0

1

0

x

x
-2

-1

0

1

x
2

-1

a)

b)

c)

Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng 1;
b) Phần ảo của z bằng -2;
c) Phần thực của z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1];
d) |z| ≤ 2.
Bài 3: Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 - x)i;
b) 2x + y - 1 = (x + 2y - 5)i.
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
1+ i
a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)];
b) (4 - 3i) +
;
2+i
3 + i 4 − 3i
−
c) (1 + i)2 - (1 - i)2;
d)
.
2+i 2−i
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i;
b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz.
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 3z2 + 7z + 8 = 0;
b) z4 - 8 = 0;
c) z4 - 1 = 0.
Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm các số thực a, b để z = 1 + 3i là một nghiệm của phương trình z4 + bz2 + c = 0.
Bài 2: Tìm các số phức z sao cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) là một số thực.
Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 - i)2009.
Bài 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - 3. Tính f(1 - 3i).
Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - 3. Chứng minh rằng f(1 + i) + f(1 - i) ∈ R.
Bài 6: Tính z6 biết 3z - z = -4 + 8i.
1
3
Bài 7: Chứng minh rằng z = − +
i là một nghiệm của phương trình z3 = 1.
2 2
Bài 8: Tìm các nghiệm phức của phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + 9 = 0.
Bài 9: a) Tìm các số thực a, b để có phân tích 2z 3 - 9z2 + 14z - 5 = (2z - 1)(z 2 + az + b) rồi giải phương
trình 2z3 - 9z2 + 14z - 5 = 0 trên C.
b) Tìm các số thực a, b để có phân tích z 4 - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) rồi giải phương
trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = 0 trên C.
Bài 10: Giải các hệ phương trình sau:
 z1 + z2 = 4 + i
 z1 z2 = −5 − 5i
2 z1 − ( 2 − i ) z 2 = 4 − 6i
a)  2
;
b)  2
;
c) 

.
2
2
z1 + z2 = 5 − 2i
z1 + z2 = −5 + 2i
 4 z1 − 2iz 2 = 16 − 4i

23

trắc nghiệm, tự luận hàm số

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về