Giáo trình HH sơ cấp

HÌNH HỌC SƠ CẤP
Bài 1. Một số định lý cơ bản
1. Định lý Xêva: Cho tam giác ABC. A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
BC, CA và AB. Chứng minh rằng AA’, BB”, CC’ đồng quy tại K khi và chỉ khi
' ' '
. . 1
' ' '
AC BA CB
C B A C B A
=
.
Giải:
(⇒) Giả sử AA’, BB”, CC’ đồng quy tại K.
Theo định lý Talet ta có:
' ' '
, ;
' ' '
AC AJ BA AI CB CB
CB
C B A C AJ B A AI
= = =
' ' '
. . . . 1
' ' '
AC BA CB AJ AI CB
C B A C B A CB AJ AI
⇒ = =
.
(⇐) Giả sử (1)
Gọi K là giao điểm của AA’ và BB’. Giả sử CK cắt AB tại C’’. Ta có AA’, BB’, CC’’
đồng quy tại K nên theo phần a) ta có:

'' ' '
. . 1
'' ' '
AC BA CB
C B A C B A
=
(2)
Từ (1) và (2) ⇒
' ''
' ''
AC AC
C B C B
=
⇒ C’ và C’’ cùng là điểm chia trong của đoạn AB theo tỉ
số k ⇒ C’ ≡ C’’.
Nhận xét: Định lý Xêva cho ta một dấu hiệu để chứng minh 3 đường thẳng xuất phát từ
một đỉnh của tam giác đồng quy.
Ví dụ1.
1. Trong một tam giác 3 đường trung tuyến đồng quy tại G. G gọi là trọng tâm của tam
giác.
2. Trong một tam giác 3 đường cao đồng quy tại H. H gọi là trực tâm của tam giác.
3. Trong một tam giác 3 đường phân giác đồng quy tại I. I gọi là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác.
4. Trong một tam giác, một đường phân giác trong và 2 đường phân giác ngoài của 2
góc còn lại đồng quy tại một điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn bàng tiếp của tam
giác. Kí hiệu là O
A
, O
B
, O

C
.
5. Trong một tam giác 3 đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm của đường tròn nội
tiếp với cạnh đối diện đồng quy tại một điểm G. Gọi là điểm Giecgôn.
6. Trong một tam giác 3 đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm của đường tròn bàng
tiếp thuộc cạnh đối diện đồng quy tại một điểm N. Gọi là điểm Naghen.
2. Định lí Giecgôn
Cho tam giác ABC, K là điểm trong miền tam giác kể cả biên. AK, BK, CK lần lượt cắt
các cạnh đối diện của tam giác tại A’, B’, C’. Thế thì ta có:
a)
' ' '
1
' ' '
KA KB KC
AA BB CC
+ + =
.
b)
2
' ' '
KA KB KC
AA BB CC
+ + =
.
3. Công thức tính diện tích tam giác có 3 đỉnh là chân 3 đường thẳng Xêva.
A
B
C
K
A’

B’C’
IJ
a) Định lý Vanôben: Cho tam giác ABC, gọi K là điểm chạy trong miền tam giác. AK,
BK, CK lần lượt cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’. Thế thì ta có:
' ' '
' ' '
KA AC AB
KA C B B C
= +
.
Chú ý: a) Gọi tỉ số ba điểm MNP là (MNP) =
PM
PN
.
b) Đặt λ
a
= (BCA’), λ
b
= (CAB’), λ
c
= (ABC’). Theo Xêva ta có: λ
a
.λ
b
.λ
c
= 1.
b) Định lí: Cho tam giác ABC, K là điểm chạy trong miền tam giác AK, BK, CK lần
lượt cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’. Gọi S’ là diện tích tam giác A’B’C’ và S là diện
tích tam giác ABC. Thế thì:

2
' (1 )(1 )(1 ) víi
a b c
S
S
π λ λ λ
π
−
= = − − − −
4. Đường thẳng Ximxơn:
Định lí: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. A’, B’,
C’ là chân đường cao hạ từ M xuống 3 cạnh BC, CA, AB (kể cả phần kéo dài). Thế thì
A’, B’, C’ thẳng hàng. Đường thẳng nối 3 điểm A’, B’, C’ gọi là đường thẳng Ximxơn.
5. Định lí Stioa:
Cho tam giác ABC. D là điểm nằm trên cạnh BC với BD = m, CD = n. Thế thì ta có:
ad
2
= mb
2
+ nc
2
- a.m.n
d = AD.