Tiểu luận động lực học công trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (576.46 KB, 36 trang )
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
phần 1. Đề tài tiểu luận
Đề tài: Dao động của dầm chịu tải trọng di động. Các ví dụ.
Ngày nay, cùng với sự phát triển nhanh chóng của khoa học kỹ thuật nói chung, giá trị
của tải trọng di động cũng nh vận tốc di động ngày càng lớn. Do đó việc nghiên cứu quá
trình phát triển biến dạng, chuyển vị, nội lực động trong kết cấu chịu tải trọng di động cần
đợc quan tâm, ngiên cứu với các mô hình ngày càng hoàn thiện chặt chẽ hơn.
Theo sơ đồ khối lợng của tải trọng và của hệ ta có các mô hình tính cơ bản sau:
1) Tải trọng có khối lợng di động trên hệ đợc
P
xem là không có khối lợng (hình 1a).
V
a)
2) Tải trọng không kể khối lợng di động trên
Mp
hệ có khối lợng (hình 1b).
3) Tải trọng có khối lợng di động trên hệ có
P
khối lợng (hình 1c).
V
b)
Phơng trình vi phân biểu thị dao động của dầm
m
không có khối lợng chịu tải trọng di động có khối lợng đợc F.Willis thiết lập đầu tiên năm 1849. Sau
P
đó Stockes đã nghiên cứu đề xuất cách giải.
V
c)
Cách giải chính xác bài toán dao động của dầm
Mp
m
chịu tải trọng di động không có khối lợng đợc viện
sỹ ngời Nga A.N. Krlôv công bố đầu tiên vào năm
1905. Tiếp đó là những nghiên cứu của nhiều nha
Hình 1
khoa học khác đã đề xuất các phơng pháp khác nhau xung quanh vấn đề lập và tích phân
phơng trình vi phân của dao động.
Với sự phát triển của máy tính điện tử việc áp dụng của phơng pháp số giải phơng trình
vi phân của bài toán trên mô hình tính càng sát với thực tế đang đợc quan tâm hoàn thiện
nhằm đạt kết quả với độ chính xác cao hơn. Tuy nhiên do ảnh hởng của nhiều yếu tố thực tế
đến tính chất tác dụng của tải trọng nh: vận tốc di chuyển của tải trọng thay đổi, độ không
bằng phẳng của tải trọng công trình, chất lợng của các thiết bị gây ra và truyền tải trọng di
động lên côg trình, ảnh hởng của các nguyên nhân gây cản, nên hớng nghiên cứu kết
hợp giữa nghiên cứu lí thuyết và nghiên cứu thực nghiệm là rất cần thiết và đợc nhiều nhà
khoa học quan tâm vận dụng có hiệu quả.
Trong phần này chỉ nghiên cứu một vài phơng pháp cơ bản để giải bài toán dao động của
dầm đơn giản chịu tải trọng di động.
I. Phơng trình vi phân tổng quát của dao động khi tải trọng có khối lợng di
động với vận tốc xác định trên dầm có khối lợng phân bố.
Xét dầm có khối lợng phân bố m(z) và chịu tải trọng P(t) có khối lợng Mp di động với
vận tốc v (hình 2). áp lực tổng cộng của tải trọng di động tác dụng lên dầm bằng:
d 2 y ( z, t )
R ( t ) = P ( t ) M P
dt 2
,
(1)
P(t)
V
Mp
=Vt
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 1
y(, t)
z
l
Hình 2
m(z)
y(z, t)
z
Tiểu Luận
Đặt:
Động Lực Học Công Trình
z = = vìt
, độ võng của dầm xác định bằng phơng trình y(z, t), còn quỹ đạo di
y ( z, t ) = y ( , t ) = y ( vt , t )
động của tải trọng đợc xác định bằng phơng trình
tắc hàm hợp, gia tốc toàn phần của tải trọng di động bằng:
, do đó theo qui
2
d 2 y ( z, t ) 2 y ( z, t )
2 y ( z, t )
2 y ( z, t )
=
+ 2
+
dt 2
t 2
t z
z 2
(2)
Thay tải trọng tập trung di động R(t) bằng tải trọng phân bố tơng đơng q(z, t) và bằng
phân tích tải trọng theo dạng dao động riêng chính của dầm, ta có:
R ( t ) yk ( )
q ( z , t ) = m ( z ) yk ( z )
k =1
l
m ( z ) y ( z ) dz
2
k
0
(3)
yk ( z )
Trong đó:
- dạng dao động riêng chính thứ k của dầm.
Nh vậy phơng trình vi phân biểu thị dao động của dầm lúc này có dạng:
2 y ( z, t )
2 y ( z, t )
EI
z
+
m
z
+ r ( z, t ) =
( )
( )
2
2
z
t
R ( t ) yk ( )
= m ( z ) yk ( z ) l
k =1
2
m ( z ) yk ( z ) dz
2
z 2
0
(4)
r ( z, t )
Trong đó:
- lực cản, với mô hình cản đàn nhớt, lực cản đợc xem tỷ lệ với khối
lợng và vận tốc của dao động, ta có:
r ( z, t ) = 2 m ( z )
y ( z , t )
t
, với là hệ số cản.
Trờng hợp dầm đơn giản có 2 đầu khớp, tiết diện không đổi, mang khối lợng phân bố
m, các dạng chính của dao động riêng của dầm có dạng:
yk ( z ) = sin
k z
l
, với k = 1, 2, 3,...
Lúc này tải trọng tơng đơng
q ( z , t ) = m sin
k =1
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 2
q ( z, t )
k z
l
theo (3) sẽ có dạng đơn giản hơn:
k
R ( t ) sin
l
2 k z
0 m sin l dz
l
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
q ( z, t ) =
2R ( t )
l
sin
k =1
k
k z
sin
l
l
Hay:
Trong trờng hợp này phơng trình vi phân của dao động có dạng:
EI
=
4 y ( z, t )
z 4
+m
2 y ( z, t )
t 2
d 2 y ( z, t )
2
P ( t ) M P
l
dt 2
+ 2 m
y ( z , t )
t
(5)
=
k
k z
sin
sin
l
l
z = = vt k =1
(6)
Giải phơng trình (6) với trờng hợp tải trọng di động có khối lợng trên dầm có khối lợng là bài toán phức tạp, cần sử dụng các phơng pháp số và thực hiện tính trên máy tính
điện tử.
II. Dao động của dầm không có khối lợng chịu tải trọng có khối lợng di khối lợng di động.
Xét dầm không có khối lợng chịu tải trọng có giá trị không đổi P di động với vận tốc
đều v (hình 3).
P
V
Mp
z
y(z)
z=Vt
l
áp lực tổng cộng của tải trọng di động tác dụng lên dầm bằng:
Hình 3
d 2 y ( z, t )
d 2 y ( z, t )
R( t) = P MP
=
P
1
ữ
dt 2
gdt 2
,
(7)
Vì bỏ qua khối lợng của dầm tức là không xét đến lực quán tính phân bố của khối lợng cho nên ta chỉ quan tâm đến vị trí tiết diện dới tải trọng có toạ độ z. Độ võng của dầm
tại tiết diện này là hàm phụ thuộc vị trí của tiết diện, nghĩa là phụ thuộc vị trí tải trọng
y = y ( z)
và
z = vt
. Do đó:
2
d2y
2 d y
=
v
dt 2
dz 2
Theo (7) áp lực của tải trọng tác dụng lên dầm lúc này bằng:
v2d 2 y
R ( t ) = P 1
ữ
gdz 2
(8)
Độ võng của dầm tại tiết diện ứng dới tải trọng do tải trọng R(t) gây ra bằng:
R ( t ) z2 ( l z )
y ( z) =
3lEI
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 3
2
(a)
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
v 2d 2 y z 2 ( l z )
y ( z ) = P 1
ữ
gdz 2 3lEI
2
hay:
Suy ra phơng trình vi phân dao động trong trờng hợp này có dạng:
d2y
3lEIg
g
+ 2 2
y( z) = 2
2
2
dz
v
Pv z ( l z )
(9)
Đây là phơng trình Stockes là phơng trình vi phân cấp 2 có hệ số thay đổi, có thể giải
bằng cách đổi biến số để đa về phơng trình vi phân có hệ số không đổi hoặc áp dụng phơng
pháp tích phân số.
* Cách tìm nghiệm gần đúng của phơng trình Stockes
Giả thiết khi lấy đạo hàm bậc hai của hàm y(z) theo biểu thức (a), ta xem áp lực động
là một hằng số R(t) = R = const, do đó:
d 2 y ( z)
R
=
( 2l 2 12lz + 12 z 2 )
2
dz
3lEI
Thay vào (8) ta đợc:
v2 R
R ( t ) = P 1
2l 2 12lz + 12 z 2 ) ữ
(
g 3lEI
Nh vậy áp lực động là một đại lợng phụ thuộc
z = vt
(10)
, tức là phụ thuộc thời gian t. Giá
trị lớn nhất của áp lực động xẩy ra khi tải trọng di động đến vị trí giữa dầm
z =l/2
:
v 2 Rl
Rmax = P 1 +
ữ
3gEI
a) Nếu cho R = P, ta tìm đợc giá trị gần đúng:
v 2 Pl
Rmax = P 1 +
ữ
3gEI
Lúc này hệ số động
(1+ à ) =
( 1+ à )
đợc xác định theo biểu thức:
Rmax
v 2 Pl
v 2 M Pl
= 1 +
=
1
+
ữ
P
3EI
3 gEI
(11)
Do đó nghiệm gần đúng của phơng trình (9) tại tiết diện giữa dầm
v 2 Pl
yd ( l / 2 ) = ytinh ( 1 + à ) = ytinh 1 +
ữ
3gEI
b) Nếu giải phơng trình (10) theo R, ta đợc:
P
R=
1+
Pv
2l 2 12lz + 12 z 2 )
(
3 gEIl
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 4
2
ytinh =
, với
pl 3
48 EI
z =l/2
bằng:
(12)
Tiểu Luận
Tại
Động Lực Học Công Trình
z =l/2
, ta có:
Rmax =
P
P
=
2
Pv l
M p v 2l
1
1
3 gEI
3EI
Lúc này hệ số động
( 1+ à )
( 1+ à ) =
1
bằng:
1
M p v 2l
3EI
(13)
Giá trị thực tế của hệ số động thờng nằm trong khoảng giữa hai giá trị tính theo (11)
và (13).
Trong thực tế khối lợng không thể bỏ qua đợc so với khối lợng của tải trọng, do đó ý
nghĩa thực tiễn của bài toán này cũng rất hạn chế.
III. Dao động của dầm có khối lợng phân bố đều chịu tải trọng di động không
có khối lợng.
Xét dầm có khối lợng phân bố m và chịu tải trọng có giá trị không đổi P di động với
vận tốc đều v. Khối lợng của tải trọng là nhỏ so với dầm, có thể bỏ qua (hình 4). Nếu không
kể đến lực cản theo (6) phơng trình vi phân của dao động trong trờng hợp này có dạng:
4 y ( z, t )
2 y ( z, t ) 2P
k
k z
EI
+m
=
sin
sin
4
2
z
t
l k =1
l
l
P
EI, m
(14)
z
y(z, t)
=Vt
z
l
Thay
= vt
k =
và đặt
Hình 4
, ta có:
y ( z, t )
y ( z, t ) 2 P
k z
+
m
=
sin k sin
4
2
z
t
l k =1
l
4
EI
k v
l
2
(15)
Tìm nghiệm của (15) theo tổng các dạng chính của dao động riêng:
k =1
k =1
y ( z , t ) = Fk ( t ) yk ( z ) = Fk ( t ) sin
Trong đó:
Fk ( t )
k z
l
- hàm cha biết phụ thuộc vào thời gian,
yk ( z )
- dạng chính thứ k của dao động riêng của dầm.
Thay (16) vào (15) ta đợc:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 5
(16)
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
4
k z
k z 2 P
k z
k
&
&
EI Fk ( t )
sin
+
m
F
t
sin
=
sin k sin
(
)
k
ữ
l
l
l k =1
l
l
k =1
k =1
Đối chiều tong số hạng của đa thức đồng nhất không, ta sẽ đợc phơng trình vi phân
đối với số hạng thứ k:
&( t ) + 2 F ( t ) = 2 P sin
F&
k
k k
k
ml k =1
2
k
k =
ữ
l
, với k = 1,2,, ,
(17)
EI
m
Trong đó:
- tần số dao động riêng ứng với dạng dao động chính thứ k
của dao động riêng.
Phơng trình (17) có dạng giống nh phơng trình vi phân biểu thị dao động cỡng bức
của hệ có một bậc tự do chịu lực kích thích tuần hoàn P(t) = sint nh đã biết, do đó nghiệm
của phơng này có dạng:
Fk ( t ) = Ak sin k t + Bk cos k t +
2 P sin k t
ml ( k2 k2 )
(18)
Ak , Bk
với
là các hằng số tích phân đợc xác định từ điều kiện ban đầu của dao động ở
thời điểm t = 0:
y ( z, 0 ) = 0
y&( z , 0 ) = 0
và
Fk ( 0 ) = 0
F&k ( 0 ) = 0
và
Từ các điều kiện ban đầu ta tìm đợc:
Bk = 0
Thay
Ak , Bk
Ak =
,
vào phơng trình (18), ta đợc:
Fk ( t ) =
Đặt:
=k
2
k
4
2
1
Tần số cơ bản
khối lợng tập trung
2P
sin k t k sin k t ữ
2
2
k
ml ( 1 k / k )
2
k
12 =
, với
1
4 EI
l 4m
k2 =
, ta có:
k 4 4 EI
l 4m
(19)
.
có thể xác định gần đúng nh đối với hệ có bậc tự do bằng một mang
M = ml / 2
1 =
đặt ở giữa dầm:
1
2
=
M 11
ml11
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 6
k
1
2P
2
k
mlk ( 1 k2 / k2 )
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
k2 = k 4
Do đó:
Trong đó:
11
2
ml11
- chuyển vị tại giữa dầm do lực P = 1 đặt tại giữa dầm gây ra.
k =
k
vl
=
k k
m
EI
Ký hiệu:
Phơng trình (19) sẽ có dạng:
Fk ( t ) =
P11
sin k t k2 sin k t )
2 (
k (1 k )
4
(20)
Thay (20) vào (16), nghiệm của phơng trình (15) sẽ là:
P
k z
y ( z , t ) = 4 11 2 ( sin k t k2 sin k t ) sin
l
k =1 k ( 1 k )
(21)
Phơng trình (21) cho phép xác định độ võng của dầm tại tiết diện có hoành độ z bất
kỳ ở thời điểm tải trọng di động đặt ở vi trí
k
Tần số dao động riêng
nhanh.
= vt
.
tăng nhanh theo chỉ số k, nên chuỗi nghiệm (21) hội tụ
n n
n 1
Nếu với giá trị k = n nào đó, giá trị
thì
, số hạng thứ n của nghiệm (21)
có dạng 0/0. Khử vô định bằng qui tắc LHospital, ta có:
y ( z, t ) =
P11
n z
t cos nt sin n t ) sin
4 ( n
2n
l
Ta thấy độ võng của dầm tăng lên vô hạn theo thời gian t, trong dầm sẽ xẩy ra hiện tợng cộng hởng. Từ điều kiện hình thành cộng hởng là
vận tốc tới hạn của tải trọng:
vth( k ) l
k =
k
vth( ) =
k
k k
hay
k 1
m
=1
EI
k
l
EI
m
Vận tốc tới hạn nhỏ nhất của tải trọng tơng ứng với khi k = 1 bằng:
vth,min = vth( ) =
1
Nếu thay
k = k v / l
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 7
, ta sẽ tìm đợc
và
l
EI
m
= vt
(22)
(23)
vào (21) thì phơng trình độ võng của dầm sẽ có dạng:
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
k
l
y ( z, ) = P11 4
2
k =1 k ( 1 k )
sin
Trong đó:
- tọa độ của tải trọng di động,
z - tọa độ tiết diện của dầm.
=l
, nghĩa là khi tải trọng đặt ở gối tựa bên phải dầm, độ võng
k sin
của dầm vẫn tồn tại vì số hạng
khi tỷ số
Thay
trọng:
(24)
Từ (24), ta thấy khi
k
k
k
k
k sin
sin
ữ
l
kl
k
k
thờng khác không. Số hạng này chỉ bằng không
là một số nguyên.
z =
vào (24) ta đợc phơng trình xác định độ võng động tại tiết diện ứng dới tải
k
l sin k sin k
y ( ) = P11 4
ữ
k
2
l
kl
k =1 k ( 1 k )
sin
=l
Trong trờng hợp này khi
tải trọng di động ra ngoài dầm
độ võng tại tiết diện ứng dới tải trọng bằng không. Khi
>l
, dầm sẽ dao động tự do, phơng trình dao động tự do
của dầm lúc này đợc xác định với điều kiện ban đầu ở thời điểm
z =l/2
Từ (25), nếu cho
định độ võng ở giữa dầm:
y ( l / 2, t ) =
(25)
t = t1 = l / v
.
và chỉ giữ lại số hạng đầu của chuỗi, ta có công thức xác
P11
( sin 1t 1 sin 1t )
( 1 k2 )
(26)
Từ phơng trình độ võng của dầm (21) hay (24), suy ra các biểu thức tính nội lc động
trong dầm khi
:
k z
2 Pl
l sin k sin k
M ( z, ) = 2 2
ữ
k
k =1 k ( 1 k2 )
l
kl
sin
k z
2P
l sin k sin k
Q ( z, ) =
ữ
k
k =1 k ( 1 k2 )
l
kl
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 8
(27)
cos
(28)
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Cách giải bài toán trên đợc xem là cách giải chính xác.
* Công thức hệ số động theo độ võng, theo mômen uốn và theo lực cắt.
Để tìm độ võng tĩnh và nội lực tĩnh trong dầm, ta có thể sử dụng biểu thức (21), (27),
(28) và xem tải trọng di động từ từ, ở mọi thời điểm với vận tốc bằng không. Khi
có
k 0
và
k 0
v0
, ta
, suy ra:
1
k z
k
sin
sin
ữ
4
l
l
k =1 k
yt ( z , ) = P11
2 Pl
1
k z
k
sin
sin
ữ
2 2
k =1 k
l
l
M t ( z, ) =
Qt ( z , ) =
(29)
(30)
2P 1
k z
k
sin
cos
ữ
k =1 k
l
l
(31)
Lần lợt so sánh các biểu thức độ võng động, nội lực động với độ võng tĩnh, nội lực
tĩnh ta sẽ tìm đợc các hệ số động tơng ứng:
a) Hệ số động theo độ võng:
k z
sin
l sin k sin k
ữ
k
4
2
l
kl
k =1 k ( 1 k )
( 1+ à ) =
1
k z
k
k
k =1
4
sin
sin
ữ
l
l
b) Hệ số động theo mômen uốn:
k z
( 1+ à )
sin
k
k
k sin
ữ
l
kl
1
k z
k
sin
sin
ữ
2
l
l
k =1 k
(32)
k ( 1 l ) sin
=
k =1
2
2
k
(33)
c) Hệ số động theo lực cắt:
k z
l
2
k =1 k ( 1 k )
( 1+ à ) =
cos
k
k
k sin
sin
ữ
l
kl
1
k z
k
sin
cos
ữ
l
l
k =1 k
(34)
Ta thấy hệ số động phụ thuọcc vị trí tải trọng, vị trí tiết diện khảo sát và đại lợng
nghiên cứu.
Nếu chỉ giữ lại số hạng đầu tiên của chuỗi trong các công thức hệ số động theo độ
võng và theo nội lực sẽ nh nhau và bằng:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 9
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
( 1+ à ) y = ( 1+ à ) M = ( 1+ à ) Q
1
1
ữ
=
sin
1
ữ
1 12 sin
1l ữ
l
(35)
Lúc này hệ số động chỉ phụ thuọcc vị trí tải trọng di động. Khi tải trọng di động đến
giữa nhịp
=l/2
, ta có:
( 1+ à ) =
1
1 1 sin
ữ
2
1 1
2 1
(36)
sin
Giá trị lớn nhất của hệ số động xẩy ra khi
( 1 + à ) max =
= 1
2 1
:
1
1 1
(37)
IV. Dao động của dầm chịu tải trọng phân bố di động.
Xét đoàn tải trọng phân bố đều với cờng độ q, khối lợng q/g có chiều dài vô hạn di
động trên dầm với vận tốc không đổi. Kết quả nghiên cứu cho thấy, khi đoàn tải trọng bắt
đầu di động trên dầm thì độ võng của dầm tăng dần lên, khi đoàn tải trọng chất đầy trên
toàn nhịp dầm thì dao động giảm dần và sau một khoảng thời gian thì dao động sẽ bình ổn.
Lúc này ta thấy đờng đàn hồi của dầm không thay đổi thời gian. Qỹ đạo chuyển động của
tải trọng chính là trục võng của dầm. Phơng trình vi phân của trục dầm có dạng:
d 4 y ( z, t )
EI
= P ( t )
dz 4
Trong đó:
y ( z)
(38)
- độ võng của dầm phụ truộc vào tọa độ z của tiết diện,
P( t)
- cờng độ tải trọng động tác dụng lên dầm bao gồm cờng độ của tải
trọng phân bố q và lực quán tính của tải trọng, ta có:
q d2y
P ( t ) = q
g dt 2
Vì z = vt, nên:
Thay
P( t)
q d2y
P ( t ) = q v2 2
g dz
vào (38), ta đợc:
d 4 y( z)
q
+ 2 y ( z) =
4
dz
EI
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 10
=v
, với
q
gEI
(39)
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Giải phơng trình (39) với điều kiện biên:
y ( z) =
EIg 2
qv 4
y ( 0) = y ( l ) = 0 y "( 0 ) = y "( l ) = 0
,
, ta đợc:
l
2z
cos
z
+
tg
sin
z
( l z ) 1
2
2
Độ võng cực đại ở giữa nhịp:
ymax
EIg 2 1
2l 2
= y ( l / 2) =
1
qv 4 cos l
8
2
Biểu thức mômen uốn:
M ( z ) = EIy " ( z ) =
Khi
l = ,3 ,5 ,...
EIg
v2
l
cos z + tg 2 sin z 1
, độ võng tăng lên vô cùng, lúc này dầm ở trạng thái tới hạn. Vận
tốc tới hạn nhỏ nhỏ nhất của đoàn tải trọng đợc xác định từ điều kiện
vth ,min =
l
l =
:
EIg
q
Ví dụ:
Xác định hệ số động của tải trọng di động trên dầm đơn giản có nhịp l = 10m, mang
khối lợng phân bố đều m. Tần số dao động riêng của dầm = 40 1/s, vận tốc di động của
tải trọng v = 80 km/h = 22.2 m/s.
Giải:
Nếu xem khối lợng của tải trọng di động là không đáng kể, hệ số động xác định theo
công thức (37):
(1+ à ) =
1
1 1
1 =
, với
vl
m
EI
( 1+ à ) =
1
vl m
1
EI
2
= 2
l
EI
m
( 1+ à ) =
1
1
=
= 1.21
v
22.2 3.14
1
1
ì
l
40
10
Nếu tải trọng di động có khối lợng đáng kể so với khối lợng của dầm thì hệ số động
tính theo công thức trên không phù hợp. Lúc này hệ số động cần đợc xác định theo vận tốc
giới hạn của tải trọng theo (23), khi trong dầm xẩy ra hiện tợng cộng hởng:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 11
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
vth =
l
EI l
10
= =
40 = 127m / s = 455km / h
m
3.14
Nếu khối lợng của dầm xem là không đáng kể so với khối lợng của tải trọng di động
M, hệ số động sẽ thay đổi và đạt giá trị lớn nhất khi tải trọng di động đến tiết diện giữa
dầm. Theo (11), ta có:
( 1+ à ) = 1+
2
2
v 2 Ml
4v
4 ì 22.2
= 1+ ữ = 1+
ữ = 1.05
3EI
l
40 ì 10
phần 2. Bài tập
q(t) = q(0)sint
m1 = m
m3 = m
2EI
l
Với 1 là tần số cơ bản
a) Xác định tần số dao động riêng
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động ( MđP)
c) Xác định hệ số Kđ
m2 = m
EI
EI
l
Giải:
a) Xác định tần số dao động riêng :
Đây là hệ đối xứng mang các khối lợng đợc bố trí
đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo 2 dạng: dạng dao
động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng.
1. Dạng dao động riêng đối xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh hình vẽ:
- Hệ có n = 1 là chuyển vị thẳng đứng của khối lợng
m1 = m/2
- Tần số dao động riêng đối xứng:
1
dx =
m111
l
q(t) = q(0)sint
m2 = m
m1 = m/2
2EI
l
Bài 1: Cho hệ có sơ đồ nh hình vẽ:
= 0.61
EI
l
Trong đó: m1 = m/2
11 là chuyển vị tại điểm đặt khối lợng m1 do lực quán tính J =1 đặt tại m1
gây ra:
11 = ( M J ) . ( M K0 )
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 12
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
- Biểu đồ mômen
(M )
J
và
(M )
0
K
J=1
0.3l
PK = 1
l
0.7l
(M )
(M )
0
K
J
11 = ( M J ) . ( M K0 ) =
+
1 1
2 1
1
ì 0.3l ì l ì l ì 0.7l ì l ì l ữ+
2 EI 2
3 2
3
1 1
2 11l 3
ì
0.3
l
ì
l
ì
l ữ=
EI 2
3 120 EI
q(t) = q(0)sint
m2 = m
m1 = m/2
l
2EI
EI
l
dx =
1
=
m111
1
=
m 11l 3
ì
2 120 EI
240 EI
EI
= 4.671
3
11ml
ml 3
, 1/s
2. Dạng dao động riêng phản xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh hình vẽ:
- Hệ có n = 1 là chuyển vị ngang của các khối lợng m1 = m/2 và m2 = m.
- Khối lợng khái quát:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 13
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
M KQ = m1 + m2 = 1.5m
- Tần số dao động riêng phản xứng:
1
px =
M KQ KQ
KQ
Trong đó:
- là chuyển vị tại tiết diện đặt khối lợng khái quát do lực quán tính J =1
đặt theo phơng chuyển động gây ra:
KQ = ( M J 1 ) . ( M J 1 )
J=1
(M )
l
J1
- Biểu đồ mômen
:
11 = ( M J 1 ) . ( M J 1 ) =
1 1
2
1
1
2
ì ìl ìl ì l +
ì ìl ìl ì l =
EI 2
3
2 EI 2
3
3
l
=
2 EI
=
(M )
J1
Vậy:
px =
1
=
M KQ KQ
1
1.5m ì
3
l
2 EI
= 1.155
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động ( MđP)
( M Pd ) = K d ( M Pt )
Ta có:
Trong đó: Kđ - hệ số động
1
Kd =
2
1 2
EI
ml 3
, 1/s
= 0.61 = 0.6 px = 0.6 ì1.155
Với:
1. Dạng dao động đối xứng:
q = 1q0
K ddx =
= 1.022
0.6932
1
4.6712
2
0.2q0l
- Biểu đồ mômen
(M )
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 14
t
P
EI
EI
= 0.693
3
ml
ml 3
0.2044q0l2
do q = q0 đặt tĩnh trên
2 hệ gây ra:
0.3q0l
t
M
( P)
0.3066q0l2
(M )
d
P
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
- Biểu đồ mômen động
(M )
d
P
trên toàn hệ:
0.2044q0l2
0.2044q0l2
0.3066q0l2
(M )
d
P
2. Dạng dao động đối xứng:
1
K dpx =
= 1.5625
0.6932
1
1.1552
- Biểu đồ mômen
(M )
t
P
do q = q0 đặt tĩnh trên hệ gây ra:
q = q0
0.195q0l2
0.125q0l2
(M )
t
P
- Biểu đồ mômen động
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 15
0.195q0l2
( M0.195q
) 0l2
d
P
trên toàn hệ:
d
M
( P)
(M )
d
P
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
c) Xác định hệ số Kđ
K ddx = 1.022
K dpx = 1.5625
2P(t)
m0 = m/l
EI =
l
EI
m1 = m
m2 = 2m
Với 1 là tần số cơ bản
2P(t)
a) Xác định []
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động
(MđP)
l
2EI
EI
Trong đó:EIMKQ = m2 = m
= 1tại điểm đặt khối lợng
KQ là chuyểnJ vị
MKQ do lực quán tính J =1 đặt tại m2 gây ra:
3EI
l
* Xác định KQ:2EI
Dùng phơng pháp chuyển vị để xác định nội lực
trong hệ, ta có phơng trình chính tắc nh sau:
EI
Trang 16
l
m3 = m0l = m
l
EI
m2 = 2m/2
m1 = m
2EI
l
Giải:
a) Xác định []
Đây là hệ đối xứng mang các khối lợng đợc bố trí
đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo 2 dạng: dạng dao
động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng.
1. Dạng dao động riêng đối xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh hình vẽ:
- Hệ có n = 1 là chuyển vị thẳng đứng của khối lợng m2 = 2m/2 = m
- Tần số dao động riêng đối xứng:
1
dx =
M KQ KQ
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Hệ cơ bản
m1 = m
l
Bài 2: Cho hệ kết cấu chịu lực kích
thích P(t) = P0sint nh hình vẽ:
= 0.61
Z1 = 1
3EI
l
2EI
l
l
(M )
1
TiÓu LuËn
§éng Lùc Häc C«ng Tr×nh
r11Z1 + R1P = 0
Víi:
r11 = 2
3EI 2 EI 8EI
+
=
l
l
l
R1P = −
⇒
J=1
l
2
l
2
l
2
l2
Z1 =
16 EI
(M )
(M )
0
P
J1
- BiÓu ®å m«men
:
( M J 1 ) = Z1. ( M1 ) + M P0
(
)
Pk=1
3l
8
3l
16
l
3l
16
5l
8
(M )
⇒
(M )
1 1 3l
2 l
0
δ KQ = ( M J 1 ) . ( M k0 ) =
2 × × × l × × ÷+
J1
EI
2 16
3 2
k
1 1 3l
2 1 5l
1
7l 3
+
× × l × l − × × l × l ÷=
2 EI 2 8
3 2 8
3 96 EI
Học viên: Phaïm Thò Lan
Trang 17
l
2
Động Lực Học Công Trình
1
96 EI
EI
=
= 3.703
3
3
7l
7ml
ml 3
m
96 EI
m3 = m0l = m
2. Dạng dao động riêng phản xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh hình vẽ:
- Hệ có bậc tự do n = 2, là chuyển vị ngang của khối lợng m3 và chuyển vị ngang của các khối lợng m1, m2.
- Phơng trình tần số có dạng:
( m
1 11
ui )
m1 21
, 1/s
l
1
=
M KQ KQ
dx =
EI
m2 = 2m/2
m1 = m
m212
( m2 22 ui )
=0
2EI
Trong đó: ki - là chuyển vị của khối lợng mk do lực
quán tính Zi = 1tác dụng tĩnh tại vị trí khối lợng mi gây ra.
EI
l
Tiểu Luận
l
11 = ( M 1 ) . ( M1 )
3
1 1
2
1 1
2
4l
=
2 ì ì l ì l ì ì l ữ+
ì 2l ì l ì ì 2l ữ =
EI
2
3 2 EI 2
3
3EI
22 = ( M 2 ) . ( M 2 ) =
1
EI
12 = 21 = ( M 1 ) . ( M 2 )
Chọn:
2
1 1
2
l3
1
ì
l
ì
l
ì
ì
l
+
ì
l
ì
l
ì
ì
l
=
ữ
ữ
3 2 EI 2
3 2 EI
2
1 1
2
1 1
2 2l 3
=
ì l ì l ì ì l ữ+
ì 2l ì l ì ì l ữ =
EI 2
3 2 EI 2
3 3EI
4l 3
0 =
3EI
Z1 = 1
m0 = m
Ta có:
11 = 11 = 1
0
12 =
12
= 0.5
0
22 =
22
= 0.375
0
m1 =
m3
=1
m0
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 18
l
Z2 = 1
l
l
l
2l
(M )
1
(M )
2
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
m2 =
m1 + m2
=2
m0
Phơng trình tần số:
( 1 ui )
0.5
1
( 0.75 ui )
=0
Khai triển định thức, ta đợc:
ui2 1.75ui + 0.25 = 0
u1 = 1.593 u2 = 0.157
,
- Tần số dao động riêng phản xứng:
1
1
EI
1px =
=
= 0.686
3
4l
m0 0u1
ml 3
m
ì 1.593
3EI
1
=
m0 0u2
2px =
1
3
m
4l
ì 0.157
3EI
= 2.186
, 1/s
EI
ml 3
, 1/s
b) Vẽ biểu đồ mômen uốn động (MđP)
- Tần số dao động cỡng bức:
= 0.61 = 0.61px = 0.4116
EI
ml 3
, 1/s
- Hệ phơng trình chính tắc để xác định các biên độ của các lực quán tính:
u
11 ữZ1 + 12 Z 2 + 1P = 0
m1
Z + u Z + = 0
2P
12 1 22 m ữ 2
2
Với:
4l 3 2l 3
P0
+
3
EI
3EI
1P P011 + P012
1P =
=
=
3
4l
0
0
3EI
2P =
2 P P0 21 + P0 22
=
0
0
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 19
ữ
= 1.5 P
0
2l 3
l3
P0
+
ữ
3EI 2 EI
=
= 0.875P0
4l 3
3EI
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
u =
1
=
m0 0 2
1
2
4l
EI
0.4116
ữ
3EI
ml 3
3
m
= 4.427
Thay vào hệ phơng trình trên, ta đợc:
P0
( 1 4.427 ) Z1 + 0.5Z 2 + 1.5P0 = 0
4.427
0.5
Z
+
0.375
1
ữZ 2 + 0.875 P0 = 0
2
3.427 Z1 0.5Z 2 1.5 P0 = 0
0.5Z1 1.8385Z 2 + 0.875P0 = 0
P0
P0l
2P0l
3P0l
Z1 = 0.5282 P0
Z 2 = 0.6202 P0
- Biểu đồ mômen động đợc vẽ theo biểu thức:
( M Pd ) = ( M1 ) Z1 + ( M 2 ) Z 2 + ( M Pt )
1.5282P0l
(M )
t
P
3.1484P0l
4.6766P0l
(M )
m2 = 2m
l
Bài 3: Cho hệ kết cấu chịu lực kích thích
P(t)=P0sint nh hình vẽ:
= 0.81
d
P
Với 1 là tần số cơ bản
- Xác định []
- Xác định [yi]
- Vẽ biểu đồ mômen uốn động (MđP)
P(t)
m1 = 2m
l
Giải:
EI = const
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 20
l
l
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Đây là hệ đối xứng mang các khối lợng đợc bố trí đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng
theo 2 dạng: dạng dao động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng.
m2 = m
P(t)
2
l
l
m2 = m
P(t)
2
m1 = m
l
l
m1 = m
Dao động đối xứng
Dao động phản xứng
1. Dạng dao động riêngl phản xứng:
l
- Sơ đồ tính nửa hệ nh hình vẽ:
- Từ sơ đồ nửa hệ nh trên ta thấy rằng các khối m 1, m2 và lực kích thích P(t) đều đợc
đặt trên gối tựa nên không xuất hiện nội lực trong hệ. Hay nói cách khác là không gây ra
dạng dao động riêng phản xứng. Ta chỉ cần xét dạng dao động riêng đối xứng.
2. Dạng dao động riêng đối xứng:
- Sơ đồ tính nửa hệ nh hình vẽ:
- Hệ có n = 2 là chuyển vị thẳng đứng của khối lợng m1 = m và chuyển vị thẳng đứng
của khối lợng m2 = m.
- Phơng trình tần số có dạng:
( m
1 11
ui )
m1 21
m212
( m2 22 ui )
=0
- Bằng phơng pháp chuyển vị ta vẽ đợc biểu đồ
(M )
1
và
(M )
2
nh hình vẽ:
Z2 = 1
l
41
16l
41
25l
41
Pk2= 1
Z1 = 1
18l
41
5l
l 41
10l
41
8l
41
23l
41
Pk1 = 1
l
l
41
4l
41
2l
41
- Để xác định các chuyển vị ki ta tạo các trạng thái khả dĩ và vẽ các biểu đồ mô men
uốn đơn vị
(M )
0
k1
(41M ) ( M 1 )
5l
và
0
k2
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 21
nh sau:
( M k01 )
(M )
2
(M )
0
k2
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Vậy, ta có:
11 = ( M 1 ) . ( M k01 ) =
1 1 18l 2 1 23l 1 1 10l 5l 14l 3
lì
ì l lì
ì l+ l
ữì l =
EI 2
41 3
2
41 3 2 41 41 123EI
1 1 16l 2 1 25l 1 1 16l 5l 4l 2l
lì
ì l lì
ì l + l
+ ữì l
EI 2
41 3 2
41 3 2 41 41 41 41
17l 3
=
123EI
22 = ( M 2 ) . ( M k02 ) =
12 = 21 = ( M 2 ) . ( M
Chọn:
0
k1
14l 3
0 =
123EI
11 =
Ta có:
)
,
1
=
EI
1
l 1 2l 4l
l3
2 l ì l ì 41 + 2 l 41 41 ữì l = 82 EI
m0 = m
11
3
17
= 1 12 = 12 =
= 0.1071 22 = 22 =
= 1.2143
0
0
28
0 14
,
,
m1
m
= 1 m2 = 2 = 1
m0
m0
,
Phơng trình tần số:
0.1071
( 1 ui )
=0
0.1071 ( 1.2143 ui )
m1 =
Khai triển định thức, ta đợc:
ui2 2.2143ui + 1.2028 = 0
u1 = 1.2587 u2 = 0.9556
,
- Tần số dao động riêng đối xứng:
1
1
EI
1dx =
=
= 2.642
3
14l
m0 0u1
ml 3
m
ì1.2587
123EI
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 22
, 1/s
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
1
=
m0 0u2
2dx =
1
3
m
14l
ì 0.9556
123EI
= 3.0321
EI
ml 3
, 1/s
* Xác định các dạng chínhcủa dao động riêng đối xứng:
u1 = 1.2587
1dx
- Tơng ứng với
ta có
và phơng trình:
m111 u1 y11 + m212 y21 = 0
(
Chọn
)
( 1 1.2587 ) 0.1071 y12 = 0
y11 = 1
, ta có:
y21 = 2.4155
u2 = 0.9556
- Tơng ứng với
ta có
và phơng trình:
m111 u2 y12 + m212 y22 = 0
2dx
(
Chọn
)
( 1 0.9556 ) 0.1071y22 = 0
y12 = 1
, ta có:
y22 = 0.4146
m2 = 2m
y21=2.4155
y22=0.4146
m2 = 2m
y12=1
y11=1
m1 = 2m
m1 = 2m
* Vẽ biểu đồ mômen uốn động (MđP):
dx
1 dx
- Tần số dao động cỡng bức:
= 0.81 = 0.81
EI
= 2.1136
ml 3
dx
2
, 1/s
- Hệ phơng trình chính tắc để xác định các biên độ của các lực quán tính:
u
11 ữZ1 + 12 Z 2 + 1P = 0
m1
Z + u Z + = 0
2P
12 1 22 m ữ 2
2
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 23
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Với:
1P =
2P =
u =
1P
0
P0 14l 3
P0
ì
11
2
123EI = 0.5 P
2
=
=
0
14l 3
0
123EI
2P
0
P0
l3
P0
21 2 82 EI ữ
= 2
= 3 = 0.0536 P0
14l
0
123EI
1
=
m0 0 2
1
2
14l
EI
m
2.1136
ữ
123EI
ml 3
3
= 1.9667
Thay vào hệ phơng trình trên, ta đợc:
( 1 1.9667 ) Z1 0.1071Z 2 + 0.5P0 = 0
0.1071Z1 + ( 1.2143 1.9667 ) Z 2 0.0536 P0 = 0
0.9667 Z1 0.1071Z 2 + 0.5 P0 = 0
P0 = 0
0.1071Z1 0.7524 Z 2 0.0536
P l/82
0
Z1 = 0.5335P0
Z 2 = 0.1472 P0
- Biểu đồ mômen động đợc vẽ theo biểu thức:
( M Pd ) = ( M1 ) Z1 + ( M9P2 ) lZ/412 + ( M Pt )
P0/2
0
5P0l/41
4P0l/41
23P0l/82
0.115P0l
5P0l/82
0.032P0l
0.45P0l
0.266P0l
(M )
t
P
0.45P0l
0.583P0l
0.184P0l
0.184P0l
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 24
0.133P0l
(M )
d
P
0.032P0l
0.133P0l
0.266P0l
Tiểu Luận
Động Lực Học Công Trình
Bài 4: Cho hệ kết cấu có sơ đồ nh hình vẽ:
+ Bớc khung:
+ Kích thớc cột:
+ Kích thớc dầm:
+ Chiều dày sàn:
h
h
h = 3.6m
B = 4.2m
( bc ì hc ) = ( 0.22 ì 0.45) m
h
+ Chiều cao tầng:
l = 6m
( bd ì hd ) = ( 0.22 ì 0.6 ) m
h
+ Nhịp khung:
hs = 0.1m
l
P tc = 200 ( daN / m 2 )
+ Hoạt tải:
+
g = 9.81 m/s2
+ Bêtông cấp độ bền B20:
E = 27 ì108 ( daN / m 2 )
Yêu cầu:
+ Xác định các tần số dao động riêng, các dạng dao động riêng tơng ứng.
+ Xác định lực động đất cấp 7, 8; Đất dới đế móng: loại 1
m4
m4
m3
m3
gạch lát nền:
+ Tỉnh tải của sàn:
m2
m2
m1
m1
.
h
h
g 0 = 150 ( daN / m 2 )
h
Giải:
1. Sơ đồ tính:
- Ta đa về hệ khung mang các khối lợng tập trung nh hình
vẽ.
- Xác định các khối lợng m1, m2, m3, m4:
+ Lấy gần đúng tải trọng phân bố của các lớp trát và
=150 + 2500 ì 0.1ì1.1 = 425 ( daN / m 2 )
h
g s = g 0 + b hs n =
+ Tỉnh tải của dầm:
g d = 2500 ì 0.22 ì 0.6 ì1.1 = 363 ( daN / m )
+ Tỉnh tải của cột:
g c = 2500 ì 0.22 ì 0.45 ì 1.1 = 272 ( daN / m )
+ Hoạt tải:
p = 200 ì1.2 = 240 ( daN / m 2 )
Vậy:
Hc viờn: Phaùm Thũ Lan
Trang 25
l
