khảo sát hàm số bài toán tương giao giữa các đồ thị

TRNG THPT QUANG TRUNG A NNG

Tiết 21
Đ 5: Khảo sát sự biến

thiên và vẽ đồ thị hàm số


III Sự tơng giao của các đồ thị

Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm của (P): y = x2 - 2x + 2
và đờng thẳng (d): y = 5.
Bài giải: Phơng trình hoành độ giao điểm
x2 - 2x + 2 = 5
(*)
x2 - 2x - 3 = 0
x=-1y=5
x=3 y=5
Vậy đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm A(-1; 5) và B(3; 5)


Minh hoạ bằng đồ thị

y = x2 2x + 2

y

Từ VD1 ta có nhận xét:
Để biết toạ độ giao điểm
của hai đồ thị ta thờng lập

phơng trình hoành độ
giao điểm của chúng.

A
5

y=5

2

-1

Em hãy cho biết mối liên
hệ giữa số nghiệm của PT
hoành độ giao điểm với số
giao điểm của hai đồ thị ?

B

1
O

1

3

x


Bài toán

Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) và hàm số y = g(x)
có đồ thị (C2). Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị
(C1) và (C2) ta đi giải phơng trình
f(x) = g(x)
(1)
Giả sử x0, x1,..là các nghiệm của (1). Khi đó các giao
điểm của (C1) và (C2) là M0(x0; f(x0)), M1(x1; f(x1)), ...
N/x: Số nghiệm của PT(1) bằng số giao điểm của (C1) và
(C2) và ngợc lại.


Ví dụ 2: Tìm m để đờng thẳng y = 2x + m luôn cắt
đồ thị (C) của hàm số sau tại hai điểm phân biệt
2x +1
y=
x 1
Bài làm

Phơng trình hoành độ giao điểm
2x +1
= 2x + m
(2)
x 1
Để đờng thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
thì PT (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.
2 x + 1 = ( x 1)(2 x + m)

(2)
x 1

2
x
+
1
=
(
x
−
1)(2
x
+
m
)

(2) ⇔ 
x ≠ 1
⇔

 2 x 2 + ( m − 4) x − m − 1 = 0

x ≠ 1

§Æt g(x) = 2x2 + (m - 4)x - m - 1, ta cã
∆ = (m - 4)2 + 8(m + 1) = m2 + 24 > 0, ∀ m ∈ R
vµ g(1) = - 3 ≠ 0.
⇒ PT (2) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt ≠ 1.
VËy (d) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi ∀
m.

Ví dụ 3:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x3 + 3x - 2.
b) Sử dụng đồ thị hãy biện luận theo m số
nghiệm của phơng trình
x3 - 3x + 2 + m = 0
(3)
Bài làm:
a) Ta có y = -3x2 + 3 = 0 x = -1 y = - 4
x=1 y=0
Đồ thị hàm số có hai điểm CĐ(1; 0), CT(-1; -4)


Đồ thị:

b) PT (3):
x3 - 3x + 2 + m = 0
- x3 + 3x - 2
=m

y

-2

-1 O

1

2

x

-2
y=m
-4

Đặt y = - x3 + 3x - 2 có đồ thị (C) (hình vẽ)
và y = m là đờng thẳng song song hoặc trùng với trục Ox
Ta thấy số nghiệm của PT(3) bằng số giao điểm của đt
y = m với đồ thị (C). Nhìn vào đồ thị ta có:


y

-2

-1

O

1

2

x

-2

-4

y=m

m<-4
m=-4
-4m=0
m>0

: PT (3) cã 1 nghiÖm.
: PT (3) cã 2 nghiÖm.
: PT (3) cã 3 nghiÖm.
: PT (3) cã 2 nghiÖm.
: PT (3) cã 1 nghiÖm.


KÕt luËn cña VD 3
+) m < - 4 hoÆc m > 0: PT(3) cã 1 nghiÖm
+) m = - 4 hoÆc m = 0: PT (3) cã 2 nghiÖm.
+) - 4 < m < 0

: PT (3) cã 3 nghiÖm.


Kết luận chung:
Dạng 1: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (không
vẽ đồ thị):
- Lập phơng trình hoành độ giao điểm,
- Đa về dạng phơng trình bậc hai; bậc ba; ...
- Biện luận số nghiệm của phơng trình suy ra số giao
điểm.

Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phơng trình bằng đồ
thị:
- Chuyển về dạng đồ thị đã đợc vẽ,
- Sử dụng đồ thị và biện luận,
- Kết luận.


Bài tập củng cố:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 +2.
2) Tìm m để phơng trình x4 - 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm
phân biệt.