MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

Trường THPT Chun Nguyễn Thiện Thành
Tổ: Tốn – Tin
GV: Phạm Thị Hồng Nhụy

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH


CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

 Hệ

phương trình bậc nhất hai ẩn
 Hệ phương trình đối xứng loại 1
 Hệ phương trình đối xứng loại 2
 Hệ đẳng cấp
 

 

 

 x,

y = kx


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 Phương

pháp thế
 Phương pháp cộng đại số
 Phương pháp đưa về dạng tích
 Phương pháp đặt ẩn phụ
 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của
hàm số
 Phương pháp đánh giá


1. Phương pháp thế
Phương pháp: Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một
phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại.


1. Phương pháp thế
Ví dụ 1. Giải hpt:

 x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 (1)
 2
(2)
 x + 2 xy = 6 x + 6

Phân tích
6 x + 6 − x2
(2) ⇔ y =
2x
2
2 2
 6x + 6 − x  2  6x + 6 − x 
(1) ⇔ x 4 + 2 x 3 

÷+ x 
÷ = 2x + 9
2x
2x




(6 x + 6 − x 2 ) 2
4
2
2
⇔ x + x (6 x + 6 − x ) +
= 2x + 9
4
⇔ 4 x 2 (6 x + 6) + (6 x + 6 − x 2 ) 2 = 4(2 x + 9)

⇔ x( x + 4)3 = 0


1. Phương pháp thế
Ví dụ 1. Giải hpt:

 x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 (1)
 2
(2)
 x + 2 xy = 6 x + 6

Giải:
   Ta có x = 0 không thỏa mãn (2). Với x :

6x + 6 − x2
(2) ⇔ y =
2x
2

 6x + 6 − x  2  6x + 6 − x 
(1) ⇔ x 4 + 2 x 3 
÷+ x 
÷ = 2x + 9
2x
2x




(6 x + 6 − x 2 ) 2
4
2
2
⇔ x + x (6 x + 6 − x ) +
= 2x + 9
4
x = 0
3
⇔ x( x + 4) = 0 ⇔ 
 x = −4
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2

 17 
 −4; ÷
4



1. Phương pháp thế
Ví dụ 1. Giải hpt:

 x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 (1)
 2
(2)
 x + 2 xy = 6 x + 6

Giải: Cách khác
(1) ⇔ ( x 2 + xy ) 2 = 2 x + 9

(2) ⇔ 2( x 2 + xy ) = 6 x + 6 + x 2
(1) ⇔ (6 x + 6 + x 2 ) 2 = 4(2 x + 9)
2

⇔  ( x + 3) 2 − 3 = 8( x + 3) + 12
 x + 3 = −1
⇔
x + 3 = 3
Thay x tìm được vào (2) để tìm y
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

 17 
 − 4; ÷
4



2. Phương pháp cộng đại số
Phương pháp: Ta kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các
phép toán: cộng, trừ, nhân, chia (trong điều kiện) ta thu được
phương trình mới mà việc giải phương trình này là khả thi
hoặc có lợi cho các bước sau.


2. Phương pháp cộng đại số
Ví dụ 2. Giải hpt:

2

x
 − 4 3x − 2 + 10 = 2 y
 2

 y − 6 4 y − 3 + 11 = x

Phân tích:

x 2 − 4 3x − 2 + 10 = 2 y
x 2 − (3 x − 2) + (3 x − 2) − 4 3x − 2 + 4 + 6 = 2 y
x 2 − 4 x + 4 + (3 x − 2) − 4 3 x − 2 + 4 + x + 4 = 2 y
2

2

( x − 2) + ( 3 x − 2 − 2) + x + 4 = 2 y

2
2
(y
−
3)
+
(
4
y
−
3
−
3)
+ 2y − 4 = x



( x − 2) 2 + ( 3 x − 2 − 2) 2 + (y − 3) 2 + ( 4 y − 3 − 3) 2 = 0

(1)
(2)


2. Phương pháp cộng đại số
Ví dụ 2. Giải hpt:

 x 2 − 4 3x − 2 + 10 = 2 y
 2
 y − 6 4 y − 3 + 11 = x

Giải:
 Điều kiện

 

Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2

( x − 2) + ( 3 x − 2 − 2) + x + 4 = 2 y

2
2

(y − 3) + ( 4 y − 3 − 3) + 2 y − 4 = x

Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được

( x − 2) 2 + ( 3 x − 2 − 2) 2 + (y − 3) 2 + ( 4 y − 3 − 3) 2 = 0

Từ đó ta tìm được nghiệm duy nhất của hệ là (x;y) = (2;3).

(1)
(2)

2. Phương pháp cộng đại số
 x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2 (1)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
(2)
 x = 2 y + 4 xy
Phân tích:

 x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2 (1)

(2)
 x = 2 y + 4 xy
 x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2

 x − 2 y − 4 xy = 0

(x − 2 y ) 2 − ( x − 2 y ) − 2 = 0


2. Phương pháp cộng đại số
 x 2 + 4 y 2 − 8 xy = 2
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
 x = 2 y + 4 xy (2)
Giải: Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được

x 2 + 4 y 2 − 8 xy − x = 2 − 2 y − 4 xy
⇔ x 2 + 4 y 2 − 4 xy − x + 2 y − 2 = 0
⇔ ( x − 2 y)2 − ( x − 2 y) − 2 = 0
 x − 2 y = −1
⇔
x − 2y = 2

2 y = x + 1
⇔
2 y = x − 2

Thay lần lượt vào (2) ta tìm được


− 1− 2
x
=
1
−
2
⇒
y
=

2


− 1+ 2
x
=
1
+
2
⇒
y
=



2

(1)


3. Phương pháp đưa về dạng tích
Phương pháp: Phân tích một trong hai phương trình của hệ
thành tích các nhân tử. Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình
thành phương trình mới rồi mới đưa về dạng tích.


3. Phương pháp đưa về dạng tích
Ví dụ 4. Giải hpt:

 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)

 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)

Phân tích:

(1) ⇔ xy + ( x + y ) = x 2 − 2 y 2
⇔ y( x + y) + ( x + y) = x2 − y 2
⇔ ( x + y )( y + 1 − x + y ) = 0


3. Phương pháp đưa về dạng tích
Ví dụ 4. Giải hpt:

 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)


 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)

Giải:
  Điều kiện: . Ta có

(1) ⇔ y ( x + y ) + ( x + y ) = x 2 − y 2
⇔ ( x + y )( y + 1 − x + y ) = 0
 

TH1. , loại do

 

TH2. , thay vào (2) ta được:

(2 y + 1) 2 y − y 2 y = 4 y + 2 − 2 y
⇔ ( y + 1) 2 y = 2( y + 1)
 y +1 = 0
 y = −1 (l )
⇔
⇔
 2 y = 2
y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (5;2)


3. Phương pháp đưa về dạng tích
8 xy
 2

2
 x + y + x + y = 16 (1)
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: 
 x + y = x2 − y
(2)


Phân tích
(1) ⇔ ( x 2 + y 2 )( x + y ) + 8 xy = 16( x + y )
⇔ ( x + y ) 2 − 2 xy  ( x + y ) + 8 xy = 16( x + y )
⇔ ( x + y ) ( x + y ) 2 − 16  − 2 xy ( x + y − 4) = 0
⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − 2 xy ] = 0


3. Phương pháp đưa về dạng tích
8 xy
 2
2
 x + y + x + y = 16 (1)
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: 
 x + y = x2 − y
(2)


Giải:

ĐK : x + y > 0
(1) ⇔ ( x 2 + y 2 )( x + y ) + 8 xy = 16( x + y )
⇔ ( x + y ) 2 − 2 xy  ( x + y ) + 8 xy = 16( x + y )
⇔ ( x + y ) ( x + y ) 2 − 16  − 2 xy ( x + y − 4) = 0

⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − 2 xy ] = 0

 

TH1. , thay vào (2) ta được:

 

TH2. vô nghiệm

 x = −3 ⇒ y = 7
x + x−6 = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = 2
2

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: (-3;7), (2;2).



Củng cố
Phương pháp thế Phương pháp cộng
đại số

Phương pháp đưa
về dạng tích

Ta rút một ẩn (hay Ta kết hợp 2 phương

Phân tích một trong
hai phương trình của

hệ thành tích các nhân
tử. Đôi khi cần tổ hợp
hai phương trình
thành phương trình
mới rồi mới đưa về
dạng tích.

một biểu thức) từ
một phương trình
trong hệ và thế vào
phương trình còn
lại.

trình trong hệ bằng
các phép toán: cộng,
trừ, nhân, chia (trong
điều kiện) ta thu được
phương trình mới mà
việc giải phương trình
này là khả thi hoặc có
lợi cho các bước sau.

Một số phương pháp giải hệ phương trình
(tiết 1)


Have a nice day!