BỘ đề THI HSG lớp 9 môn TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC
2011-2012

TP. ĐÀ NẴNG
Môn thi: Toán. Ngày thi: 16/02/12
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút(không tính thời gian
giao đề)
-------------------

Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: A=(2x√

+1x+2x√ +1+1−2x√x−1).(1+1x√) với
x>0;x≠1. Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên.
b) Cho biểu thức:

M=(x√+x+1−−−−√ +x+2−−−−√)(x√ +x+1−−−−√ −x+2−−−−√) ×

×(x√ −x+1−−−−√ +x+2−−−−√)(−x√ +x+1−−−−√ +x+2−−−−√)
Với x là số tự nhiên khác 0. Chứng minh M cũng là số tự nhiên.

Bài 2. (2,0 điểm)
a) Tìm x biết: x+24−−−−−√+x−16−−−−−√=10
b) Giải hệ phương trình: ⎧⎩⎨x+xy+y=9y+yz+z=4z+zx+x=1
Bài 3. (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có A(0;1);B(0;4);C(6;4) và

D(4;1). Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng AD,BC lần lượt tại M,N sao cho
đường thẳng d chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương
trình đường thẳng d có dạng y=mx−5m3 (với m≠0).


a) Tìm tọa độ của M và N.
b)Tìm toạn độ điểm Q trên d sao cho khoảng cách từ Q đến trục Ox bằng 2 lần khoảng
cách từ Q đến Oy.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trung điểm BC. Trên các
cạnh AB,AC lần lượt lấy hai điểm D,E sao cho DHEˆ=60o. Lấy M bất kì trên cung
nhỏ AB.
a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc BACˆ,BDEˆ,DECˆ đồng quy.
b) Cho AB có độ dài 1 đơn vị. Chứng minh: MA+MB<43
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác trong Ax của góc A. Vẽ đường thẳng d là
trung trực của đoạn thẳng BC. Gọi E là giao của Ax và d. Chứng minh E nằm ngoài
tam giác ABC.
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:

11+x3+y3+11+y3+z3+11+z3+x3≤1
*Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài thi.
----------------------HẾT---------------------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 20112012

QUẢNG NAM
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 03/04/2012
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
-------------------


Bài
Thực hiện phép tính:

(2,0

1.

điểm)

3+22√−−−−−−−√4.2√−1−−−−−−√+(x+12)x√−6x−8−−−−−−−−−−−
−−−−−√3x−x√x−1−−−−√−2√+1−−−−−−√.3−22√−−−−−−−√4
Bài

(4,0

2.

a)

Chứng

minh

điểm)

2139+3921⋮45

rằng:

b) Tìm a,b thuộc N∗ sao cho: 1a+12b=27

Bài
a)

(6,0

3.
trình:

điểm)

x−2−−−−√+y−1−−−−√+z√=12(x+y+z)
b) Tìm k để phương trình x2−(2+k)x+3k=0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2, sao cho
x1;x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
Giải

phương

10
c) Cho biểu thức

A=x3+y−−−−√+y3+x−−−−√,
giá trị nhỏ nhất của A.

Bài
Cho
a) Chứng

4.
tam
minh tâm

I

là

giác
tâm đường

với

x,y≥0;x+y=2012.

(5,0
nhọn
tròn nội tiếp

tam

Tìm

điểm)
$ABC(AB
giác DEF

b) Giả sử BACˆ=600. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R

Bài
Cho đường tròn
cắt các cạnh

5.
nội tiếp tam giác đều

(O)
AB,AC

(3,0
điểm)
ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O)

P,Q. Chứng minh rằng:
PQ2+AP.AQ=AP2+AQ2

của tam giác theo thứ tự ở

a)
b) APBP+AQCQ=1
-----HẾT-----