giao trinh xac suat thong ke va ung dung 1 8097

TRl/CfNG DAI HOC CONG NGHIEP TP.HCM
KHOA KHOA HOC CO BAN
T S . N g u y e n P h u V in h (C h u b ie n )
T a p T h e G ia o V ie n T o T o a n K h o a K H C B

G IAO
X A C

SU A T
V A

T R 'lN H
■ T H O N G

U N G

K E

D U■ N G

DUNG CHO BAC DAI HOC

V A

CAO DANG

t=x
= J -;=
tU A

NHA XUAT BAN THONG KE - 2008

. L_
e 2 dt



LCfl N O ID A U
Xac su§'t thong k§ (XSTK) dtidc bien soan dtia tren de ctidng mon hoc
cung ten do Bo Giao Due va Dao Tao qui dinh bat buoc cho sinh vien cac
khoi nganh cong nghe va khoi nganh kinh te cua Trtidng Dai hoc Cong
nghiep Tp.HCM. Rieng sinh vien khoi kinh te co the bo qua cac phan co
lien quan den tich phan boi.
Trong giao trinh hau het cac dinh ly deu dtidc chting minh mot
cach chi tiet, tham chi co nhieu chting minh muon hieu, doi hoi ngtidi doc
phai co trinh do toan nhat djnh, nhat la chticfng vectd nglu nhien, nhiftig
chu trtidng khong bat buoc sinh vien phai hieu ttfcfng t$n cac chting minh,
ma chi can nhd dinh ly va van dung chung vao bai t|p va thtic te. Song
song do giao trinh van luon coi trong phan cong nghe thtic hanh tmh toan,
nen sinh vien se bat gap nhting ham thong ke trong excel, cung nhti cac
ham trong calculator 570MS diTdc long ghep trong phan tmh toan, de sinh
vien co da dang cong cu tinh toan khac nhau. Co sau bang tra so lieu cac
phan pho'i thong dung dtidc lap trinh so' bang MALAB, d dau m5i bang co
vi du cach tra cu the tting tham so" cho tting bang so li6u. Tat ca bai tap,
d£*u co lcTi giai trong sach Ngan hang c§u hoi XSTK vdi cung tac gia va
da xuSt ban nam 2006.
Sach duoc viet boi Tap the giao vien To toan thuoc Khoa Cd ban
trifdng Dai hoc Cong nghiep Tp.HCM. Tap the tac gia cung xin bay to
long cam chan thanh den Ban Giam Hieu trticfng Dai hoc Cong Nghiep
Tp.HCM, dac biet Tign ST. Hieu Trtiofng Ta Xuan T l, Ngai da dong
vien giup d3 de giao trinh nay kip ra mat phuc vu sinh vien va thay giao.

Mac du cac tac gia da rat co gang nhOhg chac han khong tranh
khoi thieu sot, bdi mot le "khuyet tat nglu nhien ton tai mot cach tat
nhien trong bat ky mot ca'u true vat the nao", do la "tat nhien tan ltic,
ngau nhien l6i lam" va chung ta dang di tim qui luat tCf trtic quan sinh
dong trong khong gian lion don ngau nhien den qui luat tat nhien trong tti
duy ttiu ttidng, tim cai tat dinh trong khong gian bat dinh. Day cung chmh
la vi nhan sinh, la muc dlch cua mon hoc nay. Nhting y kien dong gop ve
nOi dung va hinh thtic cua tap sach se dticJc tiep thu vdi sti tran trong va
long biet cm sau sac, xin gdi ve TS.Nguyln Phu Vinh, Khoa Cd Ban,
Trtidng Dai hoc Cong nghiep Tp.HCM.
Tp.HCM, ngay 01 thang 04 nam 2007
Thay mat cac tac gia .
Tien ST: Nguy§n Phu Vinh



LCfl NOI DAU
Xac suat thong ke (XSTK) difdc bien soan di/a tren de ctidng mon hoc
cung ten do Bo Giao Due va Dao Tao qui dinh bat buoc cho sinh vien cac
khoi nganh c6ng nghe va khoi nganh kinh te cua Trtidng Dai hoc Cong
nghiep Tp.HCM. Rieng sinh vien khoi kinh te co the b6 qua cac phan co
lien quan den tich phan boi.
Trong giao trinh hau het cac dinh ly deu dtidc chting minh mot
cach chi tiet, tham chi co nhieu chting minh muon hieu, doi hoi ngtidi doc
phai co trinh do toan nhat dinh, nhat la chtidng vectd ngSu nhien, nhtftig
chu trtidng khong bat buoc sinh vien ph£i hieu ttidng t3n cac chting minh,
ma chi can nhd dinh ly va van dung chung vao bai tfp va thtic te. Song
song do giao trinh vSn luon coi trong phan cong nghe thtic hanh tmh toan,
nen sinh vien se bat gap nhting ham thong ke trong excel, cung nhti cac
ham trong calculator 570MS dtidc long ghep trong phan tmh toan, de sinh

vien co da dang cong cu tmh toan khac nhau. Co sau bang tra so' lieu cac
phan phoi thong dung dtidc lap trinh so bang MALAB, d dau m5i bang co
vi du cach tra cu the tting tham so cho tting bang so lieu. Tat ca bai tap,
deu co lefi giai trong sach Ng§n hang c§u hoi XSTK vdi cung tac gia va
da xuSt ban nam 2006.
Sach dugc viet boi Tap the giao vien To toan thu0c Khoa Cd ban
trticJng Dai hoc Cong nghiep Tp.HCM. Tap the tac gia cung xin bay to
long cam chan thanh den Ban Giam Hieu trticfng Dai hoc Cong Nghiep
Tp.HCM, dac biet Tien ST. Hieu Trtftfng Ta Xu3n T l, Ngai da dong
vien giup d3 de giao trinh nay kip ra mat phuc vu sinh vien va thay giao.
Mac du cac tac gia da rat co gang nhtihg chac han khong tranh
khoi thieu sot, bdi mot le "khuye't tat ng§u nhien ton tai mot cach tat
nhien trong bat ky mot cau true vat the nao", do la "ta't nhien tan ltic,
ngau nhien 16i lam" va chung ta dang di tim qui luat tti trtic quan sinh
dong trong khong gian hon don ngSu nhien den qui M t tat nhien trong tti
duy ttiu ttidng, tim cai tat djnh trong khong gian bat dinh. Day cung chinh
la vj nhan sinh, la muc dich cua mon hoc nay. Nhting y kien dong gop ve
nfli dung va hinh thtic cua tap sach se dticJc tiep thu vdi sti tran trong va
long biet On sau sac, xin gefi ve TS.Nguyen Phu Vinh, Khoa Cd Ban,
Trtidng Dai hoc Cong nghiep Tp.HCM.
Tp.HCM, ngay 01 thang 04 nam 2007
Thay mat cac tac gia .
Tien ST: Nguyln Phu Vinh



LCfl

n6 i dau

Xac sua't thong k§ (XSTK) dufdc bien soan dtia tren de ctidng mon hoc
cung ten do Bo Giao Due va Dao Tao qui djnh bat buoc cho sinh vien cac
khoi nganh c6ng nghe va khoi nganh kinh te cua Trtidng Dai hoc Cong
nghiep Tp.HCM. Rieng sinh vien khoi kinh te co the bo qua cac phan co
lien quan den tich phan b0i.
Trong giao trinh hau het cac djnh ly deu dtidc chting minh mot
cach chi tiet, tham chi co nhieu chting minh muon hieu, doi hoi ngtfdi doc
phai co trinh do toan nhat djnh, nhat la chtfdng vectd ngau nhien, nhtfng
chu trtidng khong bat buoc sinh vien ph&i hieu ttidng tan cac chting minh,
ma chi can nhd dinh ly va van dung chung vao bai t$p va thtic te. Song
song do giao trinh van luon coi trong phan cong nghe thtic hanh tmh toan,
nen sinh vien se bat gap nhting ham thong ke trong excel, cung nhti cac
ham trong calculator 570MS dUdc long ghep trong phan tmh toan, de sinh
vien co da dang cong cu tinh toan khac nhau. Co sau bang tra so' lieu cac
phan phoi thong dung dtidc lap trinh so bang MALAB, d dau mdi bang co
vi du cach tra cu the tting tham so cho tting bang so' lieu. Tat ca bai tap,
d£»u co lcTi giai trong sach Ng$n hang cSu hoi XSTK vtfi cung tac gia va
da xuat ban nam 2006.
Sach duoc vie't bdi Taip the giao vien To toan thuoc Khoa Cd ban
trtidng Dai hoc Cong nghiep Tp.HCM. Tap the tac gia cung xin bay to
long cam chan thanh den Ban Giam Hieu trtidng Dai hoc Cong Nghiep
Tp.HCM, dac biet Tien ST. Hieu Trtidng Ta Xuan Te, Ngai da dong
vien giup dd de giao trinh nay kip ra mat phuc vu sinh vien va thay giao.
Mac du cac tac gia da rat co gang nhiftig chac han khong tranh
khoi thie'u sot, bdi mot le "khuye't tat ngiu nhien ton tai mOt cach tat
nhien trong bat ky mot ca'u true vat the nao", do la "ta't nhien tan ltic,
ngau nhien 16i lam" va chung ta dang di tim qui luat tti triTc quan sinh
dong trong khong gian hon don ng2u nhien den qui luat ta't nhien trong tti
duy ttiu ttidng, tim cai ta't djnh trong khong gian ba't djnh. Day cung chinh
la vj nhan sinh, la muc dich cua mon hoc nay. Nhting y kie'n dong gop ve

noi dung va hinh thtic cua tap sach se dtidc tiep thu vdi sti tran trong va
long biet dn sau sac, xin gdi ve TS.Nguyin Phu Vinh, Khoa Cd Ban,
Trtidng Dai hoc Cong nghiep Tp.HCM.
Tp.HCM, ngay 01 thang 04 nam 2007
Thay mat cac tac gia .
Tien ST: Nguyen Phu Vinh


MUCLUC
Left noi d^u

...3

Muc luc....

....4
PHAN I: LY THUYET XAC SUAT

CHl/CfNGl: XAC SUAT BIEN CO VA CONG THLfC
XAC SUAT....................................................................... 5
CHl/CfNG 2: BIEN NGAU NHIEN (BNN).......................... 27
CHUCfNG 3: CAC DINH LY G I0 I HAN.............................. 93
CHl/CfNG 4: VECTCf NGAU NHIEN (VTNN)..«................ 113
PHAN II: LY THUYET THONG KE
CHl/CfNG 5: LY THUYET M A U ......................................... 198
CHl/CfNG 6: l/CfC LI/0N G DAC TRl/NG DAM DONG... 217
\CHl/CfNG 7: KIEM DINH GIA THIET THONG K E ___ 241
CHl/CfNG 8: LY THUYET Tl/CfNG QUAN......................... 271
BANG SO A, GIA TRI HAM MAT D O ............................... 298
BANG SO B, TICH PHAN LA PLA CE................................ 299

BANG SO C, PHAN PHOI STUDENT.... ........................... 300
BANG SO D, PHAN PHOI CHI BINH PHl/CfNG............. 302
BANG SO E, PHAN PHOI FISHER - SNEDECORE........306
BANG SO F, PHAN PHOI CHUAN DCfN GIAN N(0,1) ... 314
TAI LIEU THAM KHAO ....................................................... 316


Chufdng 1: Xdc suaft cua bien co v£ c ic cone thtfc xac suat.

PHAN I: LY THUYET XAC SUAT

Chtfctag 1
X ac su a t cu a bien cd" va cac cong thufc xac su at
I. Xac sufi't cua bien co'
1.1. Dinh nghTa co dien v i xac suSft

Trong xac su§t, ta hieu phep thu* nhu* la viSc thifc hien
mot nh6m dieu kien xac djnh (chSng han lam thi nghiem)
de nghlen clTu mot doi tifdng hay mpt hien tutfng nao do.
Ket
qua cua DheD thCraol la bien_co.
—--------------Vi du: Cac vi du ve phep thu*
- Tha hon bi tir do cao lm , bien co: "hon bi rcfi xuong".
- Gieo 1 dong xu, bien co: "dong xu sap", "dong xu
ngfra".
- Gieo 1 con xuc x3c, bien co: "xuat hien mat 3 cham*.
- Kiem tra 1 SV ve mon XSTK, bien co:’ "dat", "khong
dat".
1.2. Cac lo a i bien co
0 B i|i^ c 6 c'hSc ch in (ky hi§u Q) la bien co nhat djnh xay

ra khittuJeirffn^phep thu*.
@Biifr^c6 khong the (ky hieu 0 ) la bien co nhat djnh
khoncfxay ra RTfi th u t hien phep thir.
Q Bien co tonq: C la bi£?n co tong cua hai bien co A, B, ky
hieu la C=AuB, neu C xay ra khi va chi khi it nhaft m6t
trong hai bien co A hay B xay ra.
(p)Bien co t ich: C la bien co tich cua hai bien co A, B, ky
hieu la C=AnB=A.B=AB, neu C xay.ra khi va chi khi ca
hai bien co A hay B deu xay ra.

Vf du:
-Bien co "hon bi rcfi xuong" la Q.
-Bien co "xuat hien dong thcli mSt s£p va ngfra" khi gieo
dong xu la 0 .

5


8 Chitong 1: X£c suat cua bien co va c£c cong thtfc x£c su£t.

« f o - ( c |c J + c |c J )

Cach 2: Ta dung BC doi l|p : P ( c ) =

•

f 16
c 10

Han che: Djnh nghTa theo quan dielm co dien con nhtfng

han ch§ sau:
+ s6 lifting cSc bcsc la hull han.
+ tmh chat dong kh& nSng kh6ng phai bao gid cung xac
djnh dutfc.
Clilnh v) the ta co mot djnh nghla khac nhir sau:
I I I . D jnh nghla xac suat th e o th o n g ke:
Neu I3p lai n lln phep thu*, trong do co m I3n xu§t hien
bien co A thi ty s6: f „ ( A ) = — dutfc goi la tBn suSt cua
ft

bien c6 A.
Vdi n du I6n thi tl so nay co gi6i han being so p nao
do, di/dc goi la xac su§t cua A.
P ( A ) = Um f „ ( A ) = p
n—»oo

Ta se th§y y nghla cua dinh nghla n&y qua djnh ly
Bernuilli d chutfng 3 ro rang hdn.
- Uu di£m: Kh6ng gian bcsc Q g$m v6 han bcsc mS
kh6ng d in doi hoi tmh dong kha nSng.
- Nhu’dc diem: ©di h6i phai lap lai nhieu Ian phep
thCr. Trong thi/c te, nhiSu bai toSn kh6ng cho phep th u t
hien do dieu kien va kinh phi lam phep thir.
V i.d n li

Trong th6ng ke dSn s6, ngi/di ta da tong ket dutfc xac
suSt em be ra ddi la trai hay gai x§p xi being 0,5.
b

Vf d u 2 :
Xac su a t dugc m ^ t sap khi tung dong xu la —.
2

IV . D jnh nghla x£c su a t b ln g hin h hoc


Chitting 1: X£c suat cua bien co va c ic c6ng thtic xac suat.

9

Cho m i4n f t . Goi do do cua ft la do dai, dien tich, t h i tich
(ting vdri ft la diffrng cong, m ien phang, khoi).
Goi A la b ien co la (diem, dtf&ng cong, m ien phang, kho'i)
M e S d f t . Ta c6
-

P(A) = ^

.
d6 do f t

Vf du:
Tim x^c su at cua diem M rcri vao h in h tro n noi tie p h in h
vuong can h 2 cm.

Giai:
_ dodoS _ ;r x l 2 _ /r
do do ft ~ 4 ” 4
Ngoai ra mot djnh nghla tong quat nhat cua xac suat la

theo ti§n de do do, do nha toan hoc Nga Kolmogorop nam
1933, dieu nay da day XSTK len mot tarn cao m6i, nhu*ng
cut ky phut tap, ta khong xet trong giao trinh nay.
V. Tm h c h a t va y nghla cua xac suat:
5.1. Tm h c h a t cua x£c s u it
i.
P(0)=O
ii.
P(Q)=1
iii.
05.2. Y nghTa:
Xac suat P(A) dac triffig cho kha nang xu§t hien bien co A
trong phep thu*. P(A) cang Icfn (cang g in 1) thi kha nang
xuSt hi§n A cang nhieu, P(A) cang nh6 (cang gBn 0) thi
kha nang xuat hien A cang It.
V I. Cdc cong thufc tm h x i c suat
6.1 Cong thufc cong
• pien co A, B xung khSc, tu t A nB= 0.
P(AuB)=P(A)+P(B)
• Md rong: A,B,C xung kh ic tCtag doi:
P ( A u B u C)=P(A)+P(B)+P(C)


10 Chifcfng 1: Xac suat cua bien co va cac cong thtic xac suat.

• A,B bat ky:
P(A u B) = P(A)+P(B)-P(AB)
• P(A) = 1-P(A).
• Md rong: n = 3.

P(A!U A2U A3) = P(Aj) + P(A2) + P(A3) - P(A iA2) - P(A,A3) - P(A2A 3)+
+P(A,A2 A3).
• Md rong : n =4.
P(A!U A2U A 3 U A4) = P(Ai) + P(A2) + P(A3) + P(A4) - P(A,A2) -P(Aj A3) - P(AiA4) - P(A2A3) - P(A2A4) - P(A3A4) +
+P(A,A2 A3)+P(A,A2 A4) +P(A2A 3 A4) - P(A!A 2 a 3 A4)
• Md rong: Vdi n tong quat.
•—
c*
P ( A , u A , u - An ) = X P ( A , ) - X P ( A 1Aj )+ X P(AjAjAk )
ti=l

i
i
c"
+ ( - 1 ) " - ' X P(A,A2A3 ...A n)

Vf dul:
' Mot hop di/ng 10 bi, trong do co 4 bi do. LSy ngau nhien
3 bi tu* hop. Tlnh xac suat de
a/ lay 3 bi khong co bi-do.
b/ lay dutfc it nhat 1 bi do.
Giai:
a/ A: BC: 3 bi khong co bi do: P(A) = ^ —^
c 10

b/ Ta dung bien co doi lap.
B: BC: dutfc It nhat 1 bi do : p ( b ) = 1 - P ( a ) = 1 - '~4\ 6
cc ^10

, , ( c 6zc j + c j c 42 + c 6° c 43 )
Hay tlnh tru t tiep : P(B)
B) = ±-----------------------------r---- I

c 10

Vi du2:
Cong ty md mot cuoc dieu tra thi triTcJng ve chi so tieu dung cua khach
hang cho 3 loai san pham cua cong ty lam ra: may tmh (C), dien thoai
di dong (T), dia DVD (D) nhir sau: Trong mot sieu thi: Co 60 ngi/di


Chifdng 1: Xac suat cua bien co' va cac cong thtic xac suat. 11
dung (C), Co 75 ngiTdi dung (D), Co 70 ngtfcfi dujig (T), Co 30 ngi/di
dung (C,T), Co 25 ngifdi dung (D,T), Co 30 ngifdi dung (C,D), Co 10
ngirdi dung (C,D,T), Co 50 ngi/di khong dung ca ba. Neu co mua it
nhat mot mon hang thi dtfdc thifdng. Lay NN mot ngifdi trong sieu thi,
tmh XS de ngiTcfi nay dUdc thtfcfng qua.
Giai:

Ta tim so phan tti tting vung nhu tren hinh ve: do \Cn D n T\ = 10 nen
|(C n r)\Z > | = 3 0 -1 0 = 20, |( Z ) n r )\C | = 25-10 = 15,
|(Z> n C) \ rj = 30 -1 0 = 20,
|C \ ( D uT )! = 6 0 -(2 0 + 10+ 20) = 10,
|Z )\(C u 7 ’)| = 7 5 -(2 0 + 10 + 15) = 30,
|r \( C u Z ) ) | = 7 0 -(2 0 + 10+ 15) = 25 , vay
|(7, uC uZ>)| = (20 + 10 + 30 + 20 + 10 + 15 + 25) = 130 ,

Vay tong so'phan tti = |r u C u £ > | + 50 = 130+50=180
.

130
13
P(TuCuD ) =
130 + 50 18
Cach khac:


12 Chtfcfng 1: Xac suat cua bien co va c£c c6ng thtic x£c suat.
P{T' u C kjD) = P ( T ) + P [ C ) + P { D ) - P { T r \ C ) - P [ T r \ D ) - P [ C n D )
,
^
. 60
75
70 30
25
30
10
+ P ( T u C( j D) =---- + -----+ --------------------------- + ----- = ----»
v
’ 180 180 180 180 180 180 180 180

Vi du3:
L6p hoc day bon mon: co 55 em gioi dai so' (A=Algebra), co 65 em
gi6i sinh hoc (B=Biology), co 65 em gioi may tmh (C=Computer), co
75 em gi6i thiet ke do hoa (D=Designer), co 20 em gioi A&B, co 30
em gi6i A&C, co 30 em gioi A&D, co 35 em gioi B&C, co 45 em
gi6i B&D, co 50 em gi6i C&D, co
10 em gi6iA&B&C, co 15 em gi6i
A&B&D, co 25 em gioi A&C&D,
co 30 emgioi B&C&D, co10 em

gi6i ci bo'n A&B&C&D va co 10 em khong gi6i mon nao. Gi6i mot
mon thi dUcfc thifdng. Goi ten NN mot em, tinh XS de em do diftfc
thifcfng.
Giai:
Vi A r ^ B n C

A n B n C n D va \Ar\ B r\C\ = \ A n B r^C r\D\ = \Q

nen ta co hinh ve difdi day.
Bang phtfdng phap loai truf dan ta se co cau true phan tuf nhif hinh ve
tren.
Tong so phan tuf = \A u B u C u D\ +15 =
= |Z)| + 5 + 5 + 10 + 5 + 5 + 5 +15= 75+35+15 =125
Va theo cong thtic xac suat co dien ta co ket qua:
P(AuBuC uD ) =

Z)|+ 5 + 5 +10+ 5 + 5 + 5
125

75 + 35
125

110
125

130_


Chiftftig 1: XAc suaft cua bien co v i c ic cong thufc xac suat. 13
Cach khdc:

P ( A v B v C u D ) = P{A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(A n B) - P(A n C)
- P ( A n D ) - P(B n C ) - P(B n D ) - P{C n D ) +
+ P ( A n B n C ) +P ( A n B n D ) +P ( A n C n D ) + P ( B n C n D ) -P(AnBnC nD )
55
65
65 75
20
30 40
35 45 50
~ 125 125+ 125 125
125 125 125 125 125 125+
10
15
25 30
10 110
H-------1------H------ + ------------ —----S
125 125 125 125
125 125

]6L2l Xac suS't co dieu kien, cong th tfc nhan xac suat.
6.2.1. Xac s u a t co dieu kien
- Dinh nahia: Cho 2 bien co A va B. Xac su§t co dieu kien
cua^A vdi dieu kien B, ky hi§u P(A/B), la xac suat cua A
du'dc tmh sau khi B da xay ra.
- Cong thtic t m h :
P ( A l B) =

"(•o)

=> P(AB) = P(B)P(A / B) = P(A)P(B / A)


14 Chifdng 1: Xac suat cua bien co v i cdc cone thufc xac suat.

V j d u l:
Mot cong ty can tuyen 2 nhan vien. Co 6 ngi/di nop
trong do co 4 ntf va 2 nam. Kha nang dutfc tuyen cua moi
ngutfi la nhif nhau. Tinh xac suat de
a/ ca 2 ngutfi nu' dutfc chon, biet rin g co It nhat 1ngutfi
ntt da dutfc chon.
b/ Neu Hoa la mot trong 4 ntf, tinh xac suat de Hoa dutfc
chon, suy ra xac suat de Hoa dutfc chon vdi dieuki e n
r3ng co it nhat 1 ngutfi nu' da dutfc chon.
Giai:
a/ Ta dung xac suat co dieu kien:
C: BC co 2 nur difdc chon.
D: BC co it nhat mot nff dtfdc chon.

b/ Xac suat de Hoa difcfc chon la: ~

Cl

= — , do do xac suat de

15
5

Hoa difcfc chon vdi dieu kien da co mot ntf dtfdc chon la: — = —
14 1 4

15

Vi du2:
Mot cong ty can tuyen 2 nhan vien. Co 6 ngu'di nop dcfn,
trong do co 4 nu1va 2 nam. Tuyen NN lien tiep 2 ngi/di.
Tinh xac suat de ca 2 ngutfi nur dutfc chon.
Giai
Ta dung xac suat co dieu kien:
P( Ai A2) = P ( A l ) p [ Ay A
/ ^j

4 3 = 2 = C^
6 5~5

cl


ChiftJnp 1: Xdc suat cua bien co" va cac cong thtfc xac suat. 15

V« du3:
Mot xi/dng phim, tuyen 100 ngifcfi, tiong do co 40 ngUfri la nff, co 10
ngirdi la d vi tri quan ly, trong do co 5 ngifcfi vijfa la ntf vCfa la quan ly.
Goi ngSu nhien mot ngifcfi. Tinh XS de:
a/ la nu\
b/ la ngtfdi khong phai d vi tri quan ly.
c/ la quan ly nhtfhg vdi dieu kien lai la nff.
Giai:
40
a/B: BC la ntf: P{B) =
100

-X 100-10
b/ Q: BC la vi tri quan ly: p [q ) =
100

90
100

c/ Ta dung xac suat co dieu kien:P (/l//?).

P{AnB)
P(B)

5/100
40/100

1
8

6.2.2. Cong thufc nhan:
Bien co doc U p : 2 bien co A va B goi la doc lip neu
P(A/B) = P(A) (hoac P(B/A)=P(B)), tift la si/xay ra hay
khong cua bien co nay khong anh hi/dng den kha nang
xay ra cua bien co kia.
C h u y:

♦ Bien co A, Bdoc lap -> A, B doc lap.
♦ A va B la 2 b ie n co doc lap neu B co xay ra hay khong cung
khong a n h hiforng d en k h a n an g xay ra A. Ta co
P(AB) = P(A).P(B)

♦ Vdi A, B,C k h ong doc lap th i :
P(AB) = P(A n 5 ) = P(B)P(A / B)
P(ABC) = P(A)P(B / A)P(C / AB)
♦ Md rong: ^
P{A\A2A$....An ) = P ( A X) ' P( AZ / a x). p ( a z / A xA1).P(A a I A xA2/^):..
p ( A / A. A- A~
A A
1 ■ ’r


16 Chifdng 1: X£c suat cua bien co \ k c£c c6ne thufc xac s u a t

Vf d u l: 'Itu JA.
Ba vien dan doc lap b in vao 1 bia Xac suat trung dlch
cua vien thu* n h it, vien thu* hai, vien thuf ba tUdng CiTng la
0,4; 0,5; 0,7. Tim xac suat de:
a/ Co dung 1 vi§n trung dlch.
b/ Co It n h it 1 vien trung dlch.
Giai:
a/
A i: BC vien thu* nhSt trung dlch.
A2: BC vien thu* hai trung dlch.
A3: BC vi§n thu* ba trung dlch.
A: BC co dung 1 vien trung dlch
A —A j A j A j u A j A 2 A j u A x A j A^

P(A ) = p ( a 1 A ^ A 3) + p ( a 1A1 ^ ) + p ( a i A ^ A 3 )

b/ A: BC co It nhat 1 vien trung dlch.
P { T ) = p(A^A^Ai)=>P(A) =i ~ p ( T )

U

Vj du2:
TCf 16 san pham co 20 san pham trong do c6 5 san pham
xau, liy lien tiep 2 s in pham (khong hoan lai). Tinh xac
suat de ca 2 san phcfm deu la san ph3m x iu .
Giai:
5
P(Al ) = ^ - ,
v w 20

4 .
P \ * 2 / = -!= >
I / A l J 19

n /j .
4 5
Cf
P(A\ o ^ [2) = — — = —fVl
2 ) 192Q c 2q

(lay cung mot luc) ■

V j du3:
Trong tren, ISy lien tiep 3 san phSm (khong hoan lai).
Tinh xac suat de c i 3 san pham deu xau.
Giai:
Tuong tu bai tren: P ( A ) = A ± A = i i _ (i£y cftng mot luc)

■

Vi du4:
M ot to co 4 nam va 3 nuf. Chon lie n tie p 2 ngtfcri. T im xac
suat de:


yhyjggg i: Xac suat cua bien co va c ic c6ng thufc xac suat. 17
a/ Ca 2 l i nuf.
b/ Co 1 nam v& 1 nur.
rfT
Q iai:
B at
SW
Ai: “ chon dUtfc nuf d la n thuf i”. Bi:“chon diXofc nam d la n thuf
i”.
aJ Goi A: “ chon difcfc 2 nuf”.
Ta co
A = A, A2 => Pi A) = P(Al A1) = P(A,)P(A2/ A, ) = 1 4 = \ ■
"lb 7
b/ Goi B:“chon difcrc m ot nam va m ot nuf”. Ta c6
P ( B ) = P(A xB2 U A2Bl )
xk P(A xB2) + P(A2Bx)
= P(AX)P(B2 / Ax) +P(BX)P(A2 / Bx)
3 4 4 3 4
= —x - + - x '- = —
7 6 7 6 7
C ach khdc: D ung x£c su at c8 dien (lay cung mot luc):

c \c \

4

C 72

7'

Nhan x e t: Dufa v&o vl du 2,3,4 ta n h a n x et ra n g viec xac
su a t lay lien tie p la n lufoft n vat, m6i la n m ot v a t va khong
hoan lai, th i ttfcrng difomg vdi xac su at lay cung luc n vat.
,

'

\

V II. Cdng thufc xac su at d iy du, cong thufc Bayes
Ta xem hinh duoi day: Tap Q dirge phan cat thanh n tap rdi nhau, ta. '
goi:
• He day du m o d i : Ai, A2, A3, A4 ,.....An rdi nhau c Q , thoa:

DAI HOC TRAi NGUYEN

TRDUGTAMHOCLltl)


18 Chifdng 1: Xdc suat cua bien co v i c ic cone thtfc xac suat,
i=n
Al 'uA2 u...i=l

• He day du trons cac bien co co dieu kien: ^ / g y V(^ B cz Q. (bat
ky)
Co n bien co xung khac tung doi (roi nhau) co dieu kien:
f

r

*

\

)
Va chung thoa: (At n i ? ) u (a 2 n Z ?)u (a 3 n 5 ) u - u

n B ) =B

i=n

Y . p \ a ‘//BU

i

1=1

Vi du:

He {^ ,/l}la day du ngoai.
7.1. C o n g th tfc xac su a t day du
Xac su3t cua B tren he day du: Ai, A2, A3, A4 ...... An roi nhau e Q. la:

Chufng minh:
Vi chung thoa: [Aa n B ) u ( ^ n B ) u ( ^ n l { ) u - u ( / l n n / l ) = /}
va tifng cap (/!,- n f i ) la xung khac, nen theo cong thtic cong ta co: