ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TOÁN

ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Khi nào thì sử dụng hàm số :
Đó là các phương trình, hệ phương trình hổn hợp (cùng chứa nhiều loại hàm
số) hoặc chúng không thể chuyển về được dạng cơ bản .
- Nhẩm nghiệm
0
x x=
- Chứng minh chỉ có các nghiệm đó bằng phương pháp đạo hàm
 VD : Giải phương trình :
2 1 0
x
x− − =
(1)
 Giải : Rõ ràng x=0 và x=1 là nghiệm của phương trình vì PT(1) thỏa.
ta chứng minh chỉ có hai nghiệm đó .
Xét hàm số
2 1 ' 2 ln 2 1
x x
y x y= − − ⇒ = −
2
1
' 0 2 ln 2 1 0 log
ln 2
x
y x
 
= ⇔ − = ⇔ =
 ÷

 
.
Hàm số có duy nhất một cực trò
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trình y=0 có nhiều nhất 2 nghiệm.
Vậy x=0 và x=1 là các nghiệm của PT .
2. Xét phương trình dạng : f(x) = m (m là tham số)
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trò của hàm số
y=f(x) và số nghiệm của PT là số giao điểm của hàm số y=f(x) với đường
thẳng y=m .
- Nếu f(x) đồng biến trên
[ ]
;a b
thì miền giá trò
( ) ( ) ( )f a f x f b≤ ≤
Phương trình : f(x) = m có nghiệm
( ) ( )f a m f b⇔ ≤ ≤
- Nếu f(x) nghòch biến trên
[ ]
;a b
thì miền giá trò
( ) ( ) ( )f b f x f a≤ ≤
Phương trình : f(x) = m có nghiệm
( ) ( )f b m f a⇔ ≤ ≤
 VD1: Tìm m để phương trình :
2
3 1x x m+ + =
có nghiệm.
 Giải:
Số nghiệm của phương trình
2

3 1x x m+ + =
bằng số giao điểm của đồ thò
hàm số
2
3 1y x x= + + và đường thẳng y=m cùng phương với trục hoành.
Xét hàm số
2
3 1y x x= + + trên R
1
ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK

2
2 2
3 3 1 3
' 1
3 1 3 1
x x x
y
x x
+ +
= + =
+ +


⇔
2
' 0 3 1 3y x x= ⇔ + = −

2 2
0

0
6
1 6
6
3 1 9
6
6
x
x
x
x x
x
<

<

−

⇔ ⇔ ⇔ =
 
± ±
+ =
= =



Với
6
6
−=

x
thì
6
3
y =
Bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm khi
6
3
m ≥

 VD2: Đònh m để phương trình sau có đúng hai nghiệm :

4 4
4
4 4 6x x m x x m+ + + + + =
 Giải : Đặt
4
4
4 0t x x m= + + ≥
Thu được phương trình :
2
2
6 0
2
3
0
0
t
t t

t
t
t
t
 =


+ − =


⇔ ⇔ =
= −
 

≥


≥


Khi đó :
4 4
4
4 2 4 16x x m x x m+ + = ⇔ + + =
4
4 16x x m⇔ + − = −
Xét hàm số :
4 3
4 16 ' 4 4y x x y x= + − ⇒ = +
3

' 0 4 4 0 1y x x= ⇔ + = ⇔ = −
và
( 1) 19f − = −
Lập bảng biến thiên của hàm số ta thấy :
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;− +∞
và nghòch biến trên khoảng
( )
; 1−∞ −
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
19 19m m⇔ − > − ⇔ <
 VD3 : Đònh giá trò của m để phương trình sau có ngiệm :
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
(1)
2
ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
 Giải : Điều kiện :
3 1x
− ≤ ≤
.
3 3 4 1 1
(1)
4 3 3 1 1
x x
m
x x
+ + − +
⇔ =

+ + − +

Nhận thấy rằng :
( ) ( )
2 2
2 2
3 1
3 1 4 1
2 2
x x
x x
   
+ −
+ + − = ⇔ + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Nên tồn tại góc
0;
2
π
ϕ
 
∈
 
 
sao cho :

2
2

3 2sin 2
1
t
x
t
ϕ
+ = =
+
và
2
2
1
1 2cos 2
1
t
x
t
ϕ
−
− = =
+

với
[ ]
tan ; 0;1
2
t t
ϕ
= ∈
2

2
3 3 4 1 1 7 12 9
5 16 7
4 3 3 1 1
x x t t
m m
t t
x x
+ + − + − + +
= ⇔ =
− + +
+ + − +
Xét hàm số :
[ ]
2
2
7 12 9
( ) ; 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− + +
= ∈
− + +
( )
[ ]
2
2
2

52 8 60
'( ) 0, 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− − −
= < ∀ ∈
− + +
.
Suy ra hàm số nghòch biến trên đoạn
[ ]
0;1
và
9 7
(0) ; (1)
7 9
f f= =

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm
trên đoạn
[ ]
0;1
khi và chỉ khi :
7 9
9 7
m≤ ≤
3. Xét bất phương trình dạng :
( )f x m≤
( m là tham số )

TH1 : Nếu f(x) đồng biến trên
[ ]
;a b
thì miền giá trò
( ) ( ) ( )f a f x f b≤ ≤
- Bất phương trình :
( )f x m≤
có nghiệm
( )f a m⇔ ≤
và
- Bất phương trình :
( )f x m≤
có nghiệm
[ ]
;x a b∀ ∈ ( )f b m⇔ ≤
TH2 : Nếu f(x) nghòch biến trên
[ ]
;a b
thì miền giá trò
( ) ( ) ( )f b f x f a≤ ≤
- Bất phương trình :
( )f x m≤
có nghiệm
( )f b m⇔ ≤
và
- Bất phương trình :
( )f x m≤
có nghiệm
[ ]
;x a b∀ ∈ ( )f a m⇔ ≤

 VD : Cho bất phương trình :
2 2
2 24 2x x x x m− + ≤ − +
(m là tham số)
Tìm m để BPT thỏa
[ ]
4;6x∀ ∈ −
 Giải :
3
ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
Đặt
2
2 24t x x= − +
Tìm điều kiện của t :
[ ] [ ]
4;6 0;5x t∀ ∈ − ⇒ ∈

Thu được bất phương trình :
2
24t t m+ − ≤
với
[ ]
0;5t ∈
Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để
2
24t t m+ − ≤
,
[ ]
0;5t∀ ∈
Xét hàm số

2
( ) 24f t t t= + −
trên đoạn
[ ]
0;5
1
'( ) 2 1 0
2
f t t t
−
= + = ⇔ =
. Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên
đoạn
[ ]
0;5
.
Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi trên đoạn
[ ]
0;5
Max
( )f t m≤ ⇔
(5) 6 6f m m m≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥
4. Khi gặp hệ phương trình có dạng :
( ) ( )
( , ) 0
f x f y
g x y
=



=


Cách giải :
- Xét hàm số y=f(t) và nếu chứng minh được hàm số đơn điệu thì kết luận
x=y. Khi đó đưa bài toán về giải hoặc biện luận PT : g(x,y) =0 theo một ẩn.
- Nếu hàm số y = f(t) có một cực trò tại t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên
một lần khi đi qua a .Từ phương trình đầu suy ra x = y hoặc x,y nằm về hai phía
của a.
 VD1: Giải hệ phương trình :
3
1 1
(1)
2 1(2)
x y
x y
x y

− = −



− =


 Giải : Từ PT :
1 1
x y
x y
− = −

(1)
Xét hàm số đại diện :
1
( ) ,( 0) '( ) 0 0f t t t f t t
t
= − ≠ ⇒ > ∀ ≠
.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác đònh .
PT (1) có dạng f(x) = f(y)
, 0x y∀ ≠
, suy ra x = y .
Thế vào PT ( 2 ) ta được PT :





±
=
−=
⇔=−−⇔=−
2
51
1
01212
33
x
x
xxxx
4

ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK
Hệ có nghiệm là: (-1;-1);








−−








++
2
51
;
2
51
;
2
51
;
2

51
 VD2 : Giải hệ phương trình :
2 2
ln(1 ) ln(1 )
2 5 0
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =


 Giải : x > -1 ; y > -1 .

ln(1 ) ln(1 )x y x y+ − + = − ⇔ ln(1 ) ln(1 )x x y y+ − = + −

Xét hàm số đại diện :
( )
( ) ln(1 ) ; 1; '( )
1
t
f t t t t f t
t
−
= + − ∈ +∞ ⇒ =
+
.
Ta có :
'( ) 0 0f t t= ⇔ =

. Hàm số đồng biến trong khoảng (-1;0) và nghòch
biến trong khoảng
(0; )+∞
.
ln(1 ) ln(1 ) ( ) ( )x x y y f x f y x y+ − = + − ⇔ = ⇔ =
thay vào PT
2 2
2 5 0x xy y− + =
ta có nghiệm x = y =0 .
BÀI TẬP
Bài 1 : Tìm m để phương trình có nghiệm
(
)
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
(ĐỀ THI ĐHKB-2004)
Bài 2 : CMR với mọi giá trò của m phương trình sau có hai nghiệm thực phân
biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
(ĐỀ THI ĐHKB-2007)
Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(ĐỀ THI ĐHKA -2007)
Bài 4 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc
[
)
32;+∞

( )
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 . log 3x x m x+ − = −
(ĐH KTQS KA-2001)
Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 

2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
(ĐH KA-2002 -TOÀN QUỐC)
Bài 6 : Tìm m để
[ ]
0;2∀∈
đều thoả bất phương trình sau

2 2
2 4
log 2 4 log ( 2 ) 5x x m x x m− + + − + ≤
(ĐH SPHN KA- 2001)
Bài 7: Giải phương trình :
(
)
2

3 1
2
3
1
log 3 2 2 2.
5
x x
x x
− −
 
− + + + =
 ÷
 
(UD ĐH)
II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –
5