bài giảng kinh tế lượng chương 2 mô HÌNH hồi QUI HAI BIẾN ước LƯỢNG và KIỂM ĐỊNH

CHƯƠNG 2
MOÂ HÌNH HỒI QUI HAI BIẾN
ƯỚC LƯỢNG VAØ KIỂM ĐỊNH


1. PHƯƠNG PHÁP BÌNH
PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS)
Giả sử một mẫu gồm n quan sát
(Yi, Xi), (i = 1, 2, . . . , n)

ˆ
Yi : giá trò lý thuyết của Y ứng với

quan sát thứ i.
Yi giá trò thực tế của Y ứng với qsát i.


ei = Yi − Yˆi

ˆ
ˆ
β
β
= Yi − 1 − 2 Xi

ei : sai số ngẫu nhiên của mẫu
ứng với quan sát thứ i


Y
Yi

Y^i

0

..
.
. . SRF
.
.
.
.
.
.
e
.
.
..
.
i

Xi

X


Theo phöông phaùp OLS, ta
phaûi tìm βˆ (j= 1,2) sao cho
j

n

n

∑ e =∑
i =1

2
i

i =1

(

ˆ
ˆ
Yi − β 1 − β 2 X i

)

2

⇒ min


 ∂ f (βˆ 1 , βˆ 2 ) n
ˆ
ˆ
=
2
(

Y
−
β
−
β

i
1
2 X i )( − 1) = 0
∂ βˆ 1

i =1
 ˆ ˆ
n
 ∂ f (β 1 , β 2 ) =
2( Yi − βˆ 1 − βˆ 2 X i )( − X i ) = 0
 ∂ βˆ
i =1
2


∑

∑

Hay:

n
n


ˆ + βˆ
n
β
Xi =
Yi

1
2

i =1
i =1
 n
n
n
2
ˆ
βˆ
Xi + β2
Xi =
X i .Yi
1
 i =1
i =1
i =1

∑

∑

∑

∑

∑


Giaỷi heọ p.tr naứy ta ủửụùc:
n


2 =

n

X Y n X .Y x y
i =1
n

i i

=

i =1
n

i

X n ( X ) x

1 = Y 2 X
i =1

2
i

Trong ủoự :xi = Xi- X

2

; y i = Yi - Y

2
i

i


Thí dụ 2:

Bảng sau cho số liệu về lượng bán
được (Y- tấn/tháng) và đơn giá
của hàng A (X- ngàn đồng/kg)

Giả sử Y, X có quan hệ t.t. Hãy
ước lượng hàm h.qui của Y theo X.


CÁC GIẢ THUYẾT CỦA
PHƯƠNG PHÁP OLS

 Biến độc lập là phi ng.n

Kỳ vọng toán có điều kiện
của Ui bằng 0


tức: E(Ui/Xi) = 0
 Các Ui có p.sai bằng nhau


Không có t.quan giữa
các Ui, tức


cov(Ui, Uj) = 0
 Ui và Xi không
với nhau, tức
cov(Ui, Xi) = 0

(i ≠ j)
t.quan


ĐỊNH LÝ GAUSS-MARKOV

Với các g.t 1-5 của PP
OLS, các ước lượng của PP
OLS sẽ là các ước lượng
tuyến tính, không chệch và
có p.sai nhỏ nhất.

2- Phương sai và sai số
chuẩn của các ước lượng
n

var(βˆ1 ) =

∑X
i =1
n

2
i

n ∑x
i =1

2
i

ˆ
ˆ
se(β 1 ) = var(β 1 )

σ

2

ˆ
var(β 2 ) =

σ
n

2

∑x
i =1

2
i

ˆ
ˆ
se(β 2 ) = var(β 2 )


Trong đó: σ = var(Ui)
2

se: sai số chuẩn (Standard Erorr)

σ
được ước lượng bằng
2
ˆ
ước lượng không chệch σ
n

2

σˆ =
2

∑e
i =1

2
i

(1 − R )∑ y
2

=

n−2
n−2
Với R2 là hệ số xác đònh

2
i


3- HEÄn SOÁ XAÙC ÑÒNH R

2

TSS =

∑( y )
i =1

i

2

( )

= ∑Yi − n. Y
2

2

TSS (Total Sum of Squares)
ESS =

(
∑
n

i =1

)

2

ˆY − Y = (βˆ ) 2
i
2

n

∑
i =1

2
xi

ESS (Explained Sum of Squares)


RSS =
 

n

∑
i =1

2
ei

=

(
Y
∑
n

i

ˆ
−Y
i

i =1

)

2

RSS (Residual Sum of Squares)

TSS = ESS + RSS

Nếu hàm hồi qui mẫu phù hợp
tốt với các số liệu quan sát thì
ESS sẽ càng lớn hơn RSS.


n

ESS
R =
=
TSS
2

2

2
ˆ
( β 2 ) ∑ xi
n

i =1

y
∑
i =1

0≤ R ≤ 1
2

2
i


R = 1 thì đường h.q phù
hợp “hoàn hảo”, tất cả
các sai lệch của Y (so với
giá trò TB) đều giải thích
được bởi MH hồi quy.
2
Khi R = 0 chứng tỏ X và Y
không có quan hệ.
2


4- HỆ SỐ TƯƠNG QUAN

TUYẾN TÍNH r
Hệ số tương quan r dùng để
đo mức độ chặt chẽ của quan
hệ tuyến tính giữa X, Y.
Công thức của hệ số tương
quan là:


r=

∑x y
∑ x .∑ y
i

i

2
i

2
i

Có thể chứng minh được:

r=± R

2

Trong trường hợp này dấu
ˆ

cuả r trùng với dấu của β2


CÁC TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ
TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH r
 r có thể âm hoặc dương,
dấu của r phụ thuộc vào dấu
của hệ số góc.
 r lấy giá trò trong đọan[1;1]


 r có tính chất đối xứng
rXY = rYX
 r độc lập với gốc tọa độ và
các tỷ lệ.


Nếu X, Y độc lập thì rXY = 0;
nhưng khi rXY = 0 thì điều đó
không có nghóa là hai biến này
độc lập.
 r chỉ đo mức độ phụ thuộc
tuyến tính, r không có ý nghóa
khi mô tả quan hệ phi tuyến.



30

r=1

25
20
Y

15
10
5
0

0

5

X

10

15


30

r = -1

25
20
Y

15

10
5
0

0

5

X

10

15