Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HOÀNG VĂN THI

NH Ạ CH NH H NH CHU N TẮC
VÀ M T S Đ NH
C ĐI N
CỦ
THU T HÀM

UẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HOÀNG VĂN THI

NH Ạ CH NH H NH CHU N TẮC
VÀ M T S Đ NH
C ĐI N
CỦ
THU T HÀM
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

UẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM VIỆT ĐỨC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

ỜI C M ĐO N
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả

Hoàng Văn Thi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

ỜI CẢM ƠN
Luận văn đƣợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán, trƣờng Đại học

Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến thầy giáo PGS.TS. PHẠM VIỆT ĐỨC, ngƣời hƣớng dẫn khoa học, ngƣời
đã gợi ý đề tài, định hƣớng nghiên cứu và tận tình hƣớng dẫn tác giả trong suốt
quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo công tác tại Viện
Toán học Việt Nam; khoa Toán, Phòng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học)
Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tạo mọi điều
kiện trang bị cho tác giả về kiến thức, về học liệu và kinh nghiệm nghiên cứu
cũng nhƣ mọi thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bạn bè, đồng
nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu hoàn thành luận văn.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận
văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc những ý kiến
đóng góp quý báu, sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Tác giả

Hoàng Văn Thi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

MỤC ỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii

MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chƣơng 1. M T S

KI N THỨC CHU N B ............................................. 2

1.1. Đa tạp phức ................................................................................................... 2
1.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức ...................................... 3
1.3. Metric vi phân Kobayashi ............................................................................ 5
1.4. Không gian phức Hyperbolic ....................................................................... 5
1.5. Không gian phức nhúng Hyperbolic ............................................................ 7
1.6. Định lý Picard lớn và m rộng trong giải tích hyperbolic ........................ 9
1.7. Các hàm đ c trƣng Nevanlinna .................................................................. 10
1.8. Các định lý cơ bản về phân bố giá trị hàm phân hình ................................ 12
Chƣơng 2.
Đ NH

C

NH

Ạ CH NH H NH CHU N TẮC VÀ M T S

ĐI N CỦ

THU

T HÀM ........................................... 13

2.1. Ánh xạ chỉnh hình chu n tắc ...................................................................... 13

2.2. Một số ví dụ về ánh xạ chỉnh hình chu n tắc ............................................. 15
2.3. Ƣớc lƣợng của các hàm đ c trƣng .............................................................. 17
2.4. Tổng quát hóa định lý Picard lớn ............................................................... 21
2.5. Các giá trị tiệm cận ..................................................................................... 23
2.6. Tổng quát hóa định lý Lindel f trong giải tích hyperbolic ........................ 29
K T UẬN....................................................................................................... 31
TÀI IỆU TH M KHẢO............................................................................... 32

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết về không gian phức hyperbolic đã đƣợc đƣa ra b i
S.Kobayashi vào những năm 1966 - 1970 và có ảnh hƣ ng không nhỏ đến
việc nghiên cứu và phát triển của ngành giải tích phức. Không những vậy,
rất nhiều nhà toán học quan tâm và đã có những thành tựu đáng kể nhƣ
Kiernan, Kwack, Joseph và Noguchi. Cộng thêm việc Montel đƣa ra khái
niệm họ chu n tắc các ánh xạ chỉnh hình đã làm cho giải tích phức
hyperbolic có mối liên hệ mật thiết với lý thuyết họ ánh xạ chu n tắc. Những
đ c trƣng của tính nhúng hyperbolic của các không gian phức có thể đƣợc
nghiên cứu từ cách nhìn của ánh xạ chỉnh hình chu n tắc, tổng quát hóa một
số định lý và m ra những hƣớng đi mới trong ngành giải tích phức cũng
nhƣ trong ngành toán học hiện đại.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chi tiết kết quả của Ken-Ichi
unahashi năm 1984 về ánh xạ chỉnh hình chu n tắc trong các không gian phức
trong mối liên hệ với lý thuyết các đa tạp hyperbolic và lý thuyết Nevanlinna.

Luận văn gồm có hai chƣơng. Chƣơng 1, chúng tôi trình bày những vấn
đề cơ bản về giải tích hyperbolic và lý thuyết Nevanlinna. Chƣơng 2 là nội
dung chính của luận văn. Trong chƣơng này chúng tôi trình bày một số kết quả
về các ánh xạ chỉnh hình chu n tắc và các m rộng một số định lý cổ điển của
lý thuyết hàm nhƣ định lý Picard lớn và định lý Lindelöf.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




2

Chƣơng 1
M TS

KI N THỨC CHU N B

1.1. Đa tạp phức
1.1.1. Định nghĩa
Cho X là một không gian tôpô Hausdorff
(1) C p (U, j ) đƣợc gọi là một bản đồ địa phƣơng của X trong đó U là
một tập m trong X , j : U ® £ n nếu các điều kiện sau thỏa mãn
(i) j (U ) là một tập m trong £ n .
(ii) j : U ® j (U ) là một đồng phôi.
(2) Họ A = {(Ui , j i )}iÎ I các bản đồ địa phƣơng của X đƣợc gọi là một
tập bản đồ giải tích (atlas giải tích) của X nếu các điều kiện sau thỏa mãn :
(i) {Ui }iÎ I là một phủ m của X .
(ii) Với mọi Ui ,U j mà Ui Ç U j ¹ Æ thì ánh xạ

j j oj

- 1
i

: j i (Ui Ç U j ) ® j j (Ui Ç U j ) là ánh xạ chỉnh hình.

Xét họ các atlas giải tích trên X . Hai atlas giải tích đƣợc gọi là tƣơng
đƣơng nếu hợp của chúng là một atlas giải tích. Đây là quan hệ tƣơng đƣơng
trên tập các atlas giải tích. Mỗi lớp tƣơng đƣơng xác định một cấu trúc khả vi
phức trên X , và X với cấu trúc khả vi phức trên nó đƣợc gọi là một đa tạp
phức n chiều.
1.1.2. Ví dụ

D là miền trong £ n , khi đó D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ
địa phƣơng {( D, IdD )}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

1.1.3. Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
(1) Cho M, N là hai đa tạp phức. Ánh xạ liên tục f : M ® N gọi là
chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phƣơng (U, j ) của M và bản đồ
địa phƣơng ( V, y ) của N sao cho f (U ) Ì V thì ánh xạ

y o f oj

- 1

: j (U ) ® y ( V) là chỉnh hình.

Ta kí hiệu H( M, N ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức M đến
đa tạp phức N .
(2) Cho M, N là hai đa tạp phức và f : M ® N là một song ánh. Nếu

f , f - 1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f đƣợc gọi là song chỉnh hình giữa M và N .
1.1.4. Định nghĩa
(1) Cho M là đa tạp phức, một không gian phức đóng X là một tập con
đóng của M mà về m t địa phƣơng đƣợc xác định b i hữu hạn các phƣơng
trình giải tích. Tức là, với x0 Î X tồn tại một lân cận m V của x0 trong M
và

hữu

hạn

các

hàm

chỉnh

hình

j 1,..., j

m

trên

V

sao

cho

X Ç V = {x Î V j i ( x) = 0,i = 1,..., m}.
(2) Cho M là đa tạp phức, không gian con phức đóng A của M đƣợc
gọi là một divisor trên M nếu về m t địa phƣơng tại mỗi điểm có thể xác định
b i một phƣơng trình giải tích, tức là tại mỗi điểm có lân cận V của x trong

M sao cho A Ç V đƣợc xác định b i phƣơng trình j = 0 , với j là một hàm
chỉnh hình nào đó trên V .
1.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.2.1. Khoảng cách Bergman - Poincare trên đĩa đơn vị
Giả sử D = {z Î £ , z < 1} là đĩa đơn vị m trong £ .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




4

Xét ánh xạ r D : D´ D ® ¡

+

xác định b i:

a- b
1- ba
r D (a, b) = ln
; " a, b Î D .
a- b
11- ba
1+

Ta có r D là một khoảng cách trên D và gọi đó là khoảng cách Bergman
- Poincare trên đĩa đơn vị.
1.2.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.2.2.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .

H( D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian
phức X đƣợc trang bị tôpô compact m .
Xét dãy các điểm

p0 = x, p1,..., pk = y của X , dãy các điểm

a1, a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1, f2 ,..., fk trong H( D, X) thỏa mãn
fi (0) = pi- 1, fi (ai ) = pi , " i = 1,2,..., k .
Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình g nối x với y là tập hợp :

g = {p0 ,..., pk , a1,..., ak , f1,..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên.
k

Ta đ t Lg =

å

r D (0, ai ) và định nghĩa dX ( x, y) = inf Lg trong đó infimum

i= 1

lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình g nối x với y .
Dễ thấy dX thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là:
i) dX ( x, y) ³ 0, " x, y Î X .
ii) dX ( x, y) = dX ( y, x), " x, y Î X .
iii) dX ( x, z) £ dX ( x, y) + dX ( y, z), " x, y, z Î X .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5

Nói cách khác dX là một giả khoảng cách trên X . Giả khoảng cách dX đƣợc
gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X .
1.2.2.2. Tính chất
Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của dX :
i) dD = r D và dDn (( zi ),(wj )) = max r ( zi , wj ) với mọi ( zi ),(wj ) Î Dn .
j = 1,n

ii) Nếu f : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

Y thì dX ( p, q) ³ dY ( f ( p), f (q)), " p, q Î X .
Từ đó suy ra rằng nếu f : X ® Y là song chỉnh hình thì:

dX ( p, q) = dY ( f ( p), f (q)), " p, q Î X .
iii) Đối với một không gian phức X tùy ý , hàm khoảng cách dX là liên
tục trên X´ X .
iv) Nếu X và Y là các không gian phức thì với mọi x1, x2 Î X và

y1, y2 Î Y thì ta có:

max {dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )}= dX´ Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) .
1.3. Metric vi phân Kobayashi
Giả sử M là đa tạp phức. Khi đó ta định nghĩa K M là vi phân Kobayashi
trên M đƣợc xác định b i :

KM ( p, v) = inf {r > 0: j (0) = p, dj (0, re) = v; j Î H( D, M)}trong đó
p Î M, v Î Tp M ; dj là ánh xạ tiếp xúc của j và e là véc tơ đơn vị tại
0Î D.
1.4. Không gian phức Hyperbolic
1.4.1. Định nghĩa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




6

Không gian phức X gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách
Kobayashi dX là khoảng cách trên X , tức là:

dX ( p, q) = 0 Û p = q, " p, q Î X .
1.4.2. Ví dụ

(a) D là không gian phức hyperbolic vì dD = r D mà r D là khoảng cách
trên D nên dD cũng là khoảng cách trên D .
(b) £ n không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử d£ n là giả khoảng cách
Kobayashi trên £ n , ta chỉ ra rằng d£ n = 0 và do đó d£ n không phải là khoảng
cách trên £ n . Với x, y Î £ n , " p Î D( p ¹ 0) ta xét ánh xạ:

f : D® £ n
za x+

y- x
z
p

Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, f (0) = x, f ( p) = y . Do f làm giảm
khoảng cách đối với dD và d£ n nên ta có:

dD (0, p) ³ d£ n ( f (0), f ( p)) Þ d£ n ( x, y) £ r D (0, p) .
Cho p ® 0 ta có d£ n ( x, y) = 0 . Vậy £ n không là hyperbolic.
1.4.3. Tính chất
i) Nếu X, Y là các không gian phức thì X´ Y là không gian hyperbolic
khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic.
ii) Không gian con phức của một không gian hyperbolic là không gian
hyperbolic.
iii) Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và

f : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là hyperbolic.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

7

1.4.4. Định lí Barth (xem [2])
Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì dX
sinh ra tô pô tự nhiên của X .
1.4.5. Mệnh đề (Bổ đề Eastwood)
Giả sử p : X ® Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức. Giả
sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y Î Y có lân cận U của y sao cho

p - 1(U ) là hyperbolic thì X là hyperbolic.
1.5. Không gian phức nhúng hyperbolic
1.5.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó ta nói

X là nhúng hyperbolic trong Y nếu " x, y Î X; x ¹ y luôn tồn tại các lân cận
m U của x và V của y sao cho dX ( X Ç U,Y Ç V) > 0 . Trong đó dX là giả
khoảng cách Kobayashi trên X .
1.5.2. Nhận xét
i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng
hyperbolic trong chính nó.
ii) Nếu X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X2 là nhúng hyperbolic
trong Y2 thì X1 ´ X2 là nhúng hyperbolic trong Y1 ´ Y2 .
iii) Nếu có hàm khoảng cách r trên X thỏa mãn dX ( x, y) ³ r ( x, y) với
mọi x, y Î X thì X là nhúng hyperbolic trong Y .
1.5.3. Định lí
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

8

HI2. X là hyperbolic và {xn },{yn } là các dãy trong X thỏa mãn

xn ® x Î ¶ X, yn ® y Î ¶ X, dX ( xn , yn ) ® 0 thì x = y .
HI3. Giả sử {xn },{yn } là các dãy trong X thỏa mãn

xn ® x Î X, yn ® y Î X . Khi đó nếu dX ( xn , yn ) ® 0 khi n® ¥ thì

x = y.
HI4. Cho hàm độ dài H trên Y , tồn tại hàm liên tục, dương j trên Y
sao cho với mọi f Î H( D, X) ta có f * (j H ) £ HD trong đó H D là chuẩn
hyperbolic trên đĩa đơn vị D .
HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f Î H( D, X) ta
có f * H £ HD .
1.5.4. Định lí Kiernan
Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian
phức Y . Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu H( D, X) là
compact tương đối trong H( D, Y) .
Chứng minh
Giả sử H( D, X) là compact tƣơng đối trong H( D, Y) nhƣng X không
là nhúng hyperbolic trong Y . Theo định lí 1.4.3, HI5, thì với mỗi hàm độ dài
trên Y và với mỗi số nguyên dƣơng n , tồn tại một ánh xạ chỉnh hình

fn : D ® X và zn Î D ,
sao cho dfn ( zn )v ³ n v với mọi v Î Tzn D

(**)

Do tính thuần nhất của D đối với nhóm Aut( D) ta có thể giả sử

zn = 0 . Vì X compact tƣơng đối trong Y , tồn tại y Î X thỏa mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




9

fn (0) ® y . Theo giả thiết H( D, X) compact tƣơng đối trong H( D,Y) , sau
khi lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng

{fn } hội tụ đều tới f

trên một lân

cận của 0 . Do đó fn '(0) ® fn (0) . Điều này mâu thuẫn với (**). Vậy X là
nhúng hyperbolic trong Y .
Ngƣợc lại, giả sử X là nhúng hyperbolic trong Y , theo định lí Ascoli,
vì X là compact tƣơng đối trong Y , nên ta chỉ cần chứng minh H( D, X) là
đồng liên tục đối với một hàm khoảng cách dH sinh b i một hàm độ dài H
trên Y . Nhƣng điều này trực tiếp suy ra từ định lí 1.4.3, HI5. Vậy định lí
đƣợc chứng minh.
1.6. Đ nh l Picard lớn và mở r ng trong giải t ch hyperbolic
Để thấy r ý nghĩa của việc nghiên cứu tính hyperbolic và tính nhúng
hyperbolic của các không gian phức. Trong phần này trình bày một số ứng

dụng quan trọng, đó là việc m rộng định lý Picard lớn.
Định l Picard l n
ỗi ánh xạ chỉnh h nh f t đĩa thủng D * vào P1 (C) \{3 điểm} đều
thác triển đư c thành một ánh xạ chỉnh h nh t D vào P1 (C) . Tức là tồn tại
ánh xạ chỉnh h nh F : D  P1 (C) thỏa mãn F D*  f .
Để m rộng định lý Picard lớn, Kobayashi đã đƣa ra khái niệm nhúng
hyperbolic của các không gian phức và chứng minh đƣợc P1 (C) 3 điểm là
nhúng hyperbolic trong P1 (C) . M.Kwack và Kobayashi đã m rộng đƣợc
định lý Picard lớn b i định lý sau:
Định l
Giả sử

là không gian con phức compact tương đối trong không gian

phức . Khi đó, nếu

là nh ng hyperbolic trong

th mọi ánh xạ chỉnh h nh

f : D*  X đều thác triển đư c thành ánh xạ chỉnh h nh F : D  Y .

Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, Kiernan đã m rộng định lý
Picard lớn lên trƣờng hợp nhiều chiều b i K 3 -định lý.
Định l ( K 3 -định l )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10

Giả sử

là divisor có giao chuẩn t c trong đa tạp phức

. Giả sử

là không gian con phức compact tương đối, nh ng hyperbolic trong không
gian phức . Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh h nh
f :M \ A X

thác triển đư c thành ánh xạ chỉnh h nh f : M  Y .
1.7. Các hàm

c trƣng Nevanlinna

Trong phần này, ta xét K là trƣờng đóng đại số, đầy đủ với chu n không
Acsimet có đ c số 0.
1.7.1. Định nghĩa
Giả sử

f  A(  ( K ) , 0     và



f ( z )   an z n , (m  0, am  0) ,
nm

a  K . Ta định nghĩa:

+ n( r ,

1
) : {z  K [0; r ] : f ( z )  a  0} là hàm đếm số không điểm
f a

(kể cả bội) của f  a trong đĩa K[0; r ] .
+ n( r ,

1
) là hàm đếm số không điểm phân biệt của f  a trong đĩa
f a

K[0; r ] .
+ Với 0  0   , hàm:
r

N (r ,

1
) : 
f a
0

n(t ,

1
)
f a

dt , ( 0  r   )
t

đƣợc gọi là hàm đếm tại các không điểm của f  a trên đĩa K[0; r ] .
1.7

Mệnh đề


Với f ( z )   an z n  Ar ( K ) ,  (r , f ) là chỉ số ứng với số hạng lớn nh t
nm

 (r , f ) , ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




11

1
n( r , )   ( r , f ) .
f

1.7

Định nghĩa
Với a  K  {} , ta định nghĩa:
+ Hàm đếm số

- điểm (kể cả bội) của f  a trong đĩa K[0; r ] đƣợc xác

định b i :
1

n(r , f )  n(r , f ), khi a  
1

0
n( r ,
)
1
f a 
n( r ,
),
khi a  

f1  af 0

+ Hàm giá trị của f  a trên đĩa K[0; r ] đƣợc xác định b i:
1

 N (r , f )  N (r , f ), khi a  
1

0
N (r ,
)
1
f a 

N (r ,
),
khi a  

f1  af 0

1.7.4. Mệnh đề ( ông thức ensen)
Với f  M (  ( K ) , ta có:
1
N (r , )  N (r , f )  log  (r , f )  log  ( 0 , f ) với 0  0  r  .
f

1.7

Định nghĩa
Giả sử f  M (  ( K ) , với r   ta định nghĩa:
+ Hàm xấp xỉ của hàm f trên đĩa K[0; r ] đƣợc xác định b i:

m(r , f )  log   (r, f )  max{0, log  (r, f )} .

+ Hàm đ c trƣng:
T (r , f )  m(r , f )  N (r , f ) .

Chú ý: ta có

log  (r, f )  log   ( r, f )  log 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

1

 (r , f )



12

1
 m(r , f )  m(r , ).
f

Do đó công thức Jensen có thể viết lại nhƣ sau:
1
T (r , )  T (r , f )  log  ( 0 , f ).
f

1
T (r , )  T (r , f )  O(1) .
f

hay

1.7. Mệnh đề
Với fi  M (  ( K ) , i  1,..., k và r  0 , ta có:
k

k

i 1
k

i 1
k

i 1

i 1

T (r ,  fi )  T (r , f i ) ,
T (r ,  f i )  T (r , f i ) .

1.7. Mệnh đề
Giả sử f là hàm phân h nh trên đĩa K (0, r ) sao cho f (0)  0,  . Khi đó,
f bị ch n trên đĩa K (0, r ) khi và chỉ khi T (  , f ) bị ch n trên [0 ; r ) .
1.7. Mệnh đề
Giả sử f là hàm phân h nh trên đĩa K (0, r ) ,

là đa thức bậc n trên K.

Khi đó:
T (r , P( f ))  nT (r , f )  O(1) .

1. . Các nh l cơ bản v ph n bố giá tr hàm ph n h nh
Định l cơ bản thứ nhất
Giả sử f là hàm phân h nh khác h ng trên K (0,  ) . Khi đó, với mọi
a  K ta có:
m(r ,

1
1
)  N (r ,

)  T (r , f )  O(1) .
f a
f a

(r   )

1.8.2 Định l cơ bản thứ hai
Giả sử f là hàm phân h nh khác h ng trên K (0,  ) và a1 ,..., aq là các
điểm phân biệt thuộc K. Định nghĩa:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




13

  min{1, ai  a j },
i j

A  max{1, ai }.
i

Khi đó với 0  r   ta có:
q

(q  1)T (r , f )   N (r ,
j 1

1
1

)  N (r , f )  N (r , f ')  N (r , )  log r  S f
f  aj
f'
q

 N (r , f )   N (r ,
j 1

1
)  log r  S f ,
f  aj

q

với S f   log  ( 0 , f  a j )  log  ( 0 , f ')  (q  1)log
j 1

A



.

Chƣơng 2

NH Ạ CH NH H NH CHU N TẮC VÀ M T S
C

ĐI N CỦ

THU

Đ NH

T HÀM

2.1. nh xạ chỉnh h nh chuẩn tắc
Cho M và N là hai không gian giải tích phức. Ta kí hiệu tập các ánh xạ
chỉnh hình từ M vào N là Hol (M , N ) (ho c H (M , N ) ) . Ta nói một tập con F
của Hol (M , N ) là họ chu n tắc nếu F

là compact tƣơng đối trong

Hol (M , N ) theo tôpô m compact.

2.1.1. Định nghĩa
Cho D là miền thuần nhất bị ch n trong

n

và N là không gian giải tích

phức. Ta nói ánh xạ chỉnh hình f : D  N là chu n tắc nếu họ:
F  {f g; g  Aut D}
là chu n tắc, với Aut D là nhóm các tự đẳng cấu chỉnh hình của D.
2.1.2. Định nghĩa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14

Ta nói tập con F của Hol ( D, N ) là Aut D - bất biến nếu f g  F với
mọi f  F và g  Aut D .
2.1.3. Mệnh đề
Cho dsD2 là metric Bergman của miền thuần nh t bị ch n D trong

n

và ( N , dsN2 ) là đa tạp Hermit compact. Nếu ánh xạ chỉnh h nh f : D  N
thỏa mãn:
f * dsN2  C.dsD2

với C là h ng số hữu hạn, th khi đó f là ánh xạ chỉnh h nh chuẩn t c.
Chứng minh
Vì dsD2 là Aut D - bất biến nên ta có:
( f g ) * dsN2  g * f * dsN2  C.g * dsD2  C.dsD2

với mỗi g  Aut D . Vì thế F  {f g; g  Aut D} là đồng liên tục. Do N là
compact nên F  Hol ( D, N ) là chu n tắc theo định lý Ascoli-Arzela. Mệnh đề
đƣợc chứng minh.
2.1.4. Định l
Cho D là miền thuần nh t bị ch n trong

n

và ( N , dsD2 ) là đa tạp phức

Hermit. Nếu tập con F của Hol ( D, N ) là họ chuẩn t c Aut D - b t biến th tồn
tại một h ng số C thỏa mãn:
f * dsN2  C.dsD2 f  F .

Chứng minh
Đ t C ( z )  sup f * dsN2 / dsD2 ( z, x) với mỗi z  D , x  Tz
x 1, f F

và

là độ dài sinh b i metric phẳng trong

n

n

.

. Ta chứng minh C (0)   với 0  D .

Giả sử C (0)   . Khi đó tồn tại dãy {f n }n1  F và {xn T0

n

, xn  1}

các vectơ tiếp xúc chỉnh hình sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

15

f n * dsN2 (0, xn )  n2 .dsD2 (0, xn ) ,

(i)

đó ta có thể giả thiết rằng {xn } hội tụ đến x  T0
(ii)
đó

N

f n*xn

N

n

. Từ (i) ta có:

 n. ,

là độ dài sinh b i dsN2 và  là hằng số dƣơng.

Từ F là compact tƣơng đối trong Hol ( D, N ) nên tồn tại dãy con {f nk }k 1 của
{f n } sao cho f nk  f  Hol ( D, N ) và f nk (0)  p  N khi k   . Do đó

f nk  xnk  f x và f nk *xnk

N

 f*x

N

  khi k   . Điều này mâu thuẫn với

(ii) nên C (0)   .
Ta chứng minh C ( z ) là không đổi trên D. Từ định nghĩa của C ( z ) ta có
f * dsN2 ( z )  C ( z ).dsD2 ( z ) với mỗi f  F .

Vì dsD2 là Aut D - bất biến, ta có:
( f g ) * dsN2 ( z )  C ( g ( z)).dsD2 ( z) với mọi g  Aut D .

Do đó C ( g ( z ))  C ( z ) . Tƣơng tự ta suy ra C ( g ( z ))  C ( z ) . Nhƣ vậy
C ( g ( z ))  C ( z ) , vì D là thuần nhất, nên C ( z ) là hằng số trên D và định lý đƣợc

chứng minh.
2.1.5. Hệ quả
Cho D và N như trên. Nếu f : D  N là ánh xạ chỉnh h nh chuẩn t c th
tồn tại một h ng số hữu hạn C sao cho f * dsN2  C.dsD2 .
2.2. M t số v dụ v ánh xạ chỉnh h nh chuẩn tắc
2.2.1. Ví dụ
Gọi   { z  1} 

là đĩa đơn vị.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16

(i) Ta lấy q điểm phân biệt tùy ý p1 ,..., pq trong cầu Riemann P1 . Giả sử
F là họ các ánh xạ chỉnh hình từ  vào P1 thỏa mãn điều kiện (C) sau:
(C) Mỗi f trong F nhận các giá trị pi  P1 (i  1,..., q) với bội  mi ho c f bỏ
qua một điểm pi và {mi }iq1 thỏa mãn:
q

2   (1 
i 1

1
)  0,
mi

trong đó ta đ t mi   trong trƣờng hợp f bỏ qua pi .
Khi đó f là chu n tắc [3]. Đ c biệt, nếu ánh xạ chỉnh hình f :   P1
thỏa mãn điều kiện (C) thì f là ánh xạ chỉnh hình chu n tắc và là hàm phân hình
chu n tắc [9].
(ii) Cho T 

/ L là xuyến phức và lấy một điểm p trên T. Họ F gồm tất

cả các ánh xạ chỉnh hình từ  đến T loại bỏ điểm p  T . Khi đó F là chu n tắc.
Hơn nữa, mỗi f trong F đều là ánh xạ chỉnh hình chu n tắc.
(iii) Cho V là diện Riemann compact có giống  2 . Khi đó Hol (,V ) là

chu n tắc và hơn nữa mỗi ánh xạ chỉnh hình f :   V là chu n tắc.
(iv) Cho N là không gian giải tích phức paracompact liên thông và M là
không gian con nhúng hyperbolic trong N. Khi đó Hol ( D, M ) là compact
tƣơng đối trong Hol ( D, N ) [7]. Hơn nữa ánh xạ chỉnh hình từ D vào N là
chu n tắc nếu ảnh của f nằm trong M.
2.2.2. Ví dụ
(i) Cho ds2  dzd z / (1  z )2 là metric Bergman trên đĩa đơn vị  . Ta
2

lấy tọa độ thuần nhất ( z0 , z1 ) của P1 và đ t w  z1 / z0 ( z0  0) . Khi đó metric
Fubini-Study của P1 đƣợc cho b i:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




17

dsP21 

1
(1  w )2
2

dwd w .

Khi đó hàm phân hình f :   P1 là chu n tắc nếu và chỉ nếu
f '( z )
1  f ( z)

2

 C.

(ii) Cho T 

1
1 z

n

( z ) với C là hằng số hữu hạn [9].

2

/ L là một xuyến phức n chiều. Khi đó f :   T là

chu n tắc nếu và chỉ nếu phép nâng f  ( f1,..., f n ) của f tới
n

 f ( z)

2

'

i

i 1

 C.

1
1 z

2

n

thỏa mãn:

,

(*)

với C là hằng số hữu hạn.
Một hàm số chỉnh hình thỏa mãn điều kiện (*) thì đƣợc gọi là hàm Bloch.
2.3. Ƣớc lƣợng của các hàm

c trƣng

Trong phần này ta xét D là hình cầu đơn vị B n  { i 1 zi  1} 
n

2

n

.

Metric Bergman của B n đƣợc cho b i:
n

ds  
2
Bn

i , j 1

1

[1  z ) i j  zi z j ]dzi d z j ,
2

(1  z )

2 2

với z   i 1 zi .
2

n

2

Cho ( N , dsN2 ) là đa tạp Hermit và N , Bn lần lƣợt là (1,1)- dạng liên kết với
dsN2 , dsB2 n . Ta tính hàm đ c trƣng của ánh xạ chỉnh hình chu n tắc f : B n  N .

2.3.1. Bổ đề
Cho f : B n  N là ánh xạ chỉnh h nh sao cho f * dsN2  C.dsB2 n với C là

h ng số. Đ t   1 / 2 i 1 dzi  d zi và B(r )  { z  r} . Khi đó ta có
n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




18



B(r )

f * N   n1  C. B ( r ) Bn   n1 .

Chứng minh
1 n
 g dzi  d z j ,
2 i , j 1 i j

Đ t f * N 

1 n
B n 
 h dzi  d z j
2 i , j 1 i j
n

n

i 1

j 1

f * N   n1  (n  1)!.(  gii )

Khi đó

1
dz j  d z j
2

1 n
 ( gii ) n .
n i 1

Vì ma trận ( gi j )  C.(hi j ) là nửa xác định âm nên
(i  1,..., n) .

gii  C.hii

Do đó



B(r )

f * N   n1 

n
n
1
1
n
n
(
g
)


C
.
(
B ( r )  ii
B ( r )  hii )


n
n
i 1
i 1

 C. B ( r ) Ln   n1.

Bổ đề đƣợc chứng minh.
2.3.2. Bổ đề
1



n

r

dt

0

2 n 1



t

1
1
(  B ( r ) Bn   n1 )  log
 (n  1).C1
2
1 r2

(0  r  1)

với C1  2log 2 .
Chứng minh
Vì diện tích biên B(r ) của B(r ) là 2 n / (n  1)!.r 2 n1 và

B   n1 
n

n!
(1  z )
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

(1 
2

n 1 2  n
z ). ,
n
n!



19



B (t )

B  

n 1

n

n!

n  1 2 2 n 2 n1

(1 
u ).
u du
0 (1  u 2 ) 2
n
(n  1)!
t

t
u 2 n1
u 2 n1
n
 2 
du  2 (n  1).
du .
0 (1  u 2 ) 2
0 (1  u 2 ) 2
n

t

Sử dụng các ƣớc lƣợng
t
u 2 n1
udu
2 n2
du


t
0 (1  u 2 )2
0 (1  u 2 )2 ,
t

t du
u 2 n1
2 n 1
du

t
0 1  u 2
0 1  u 2 .
t

và
ta thấy

n 1
n
 B ( t ) B    
n

t 2n
1
 (n  1) n .t 2 n1[log
 log(1  t )] .
2
1 t
1 t

Do đó

dt 
n 1





n

 n 0 t 2 n1  B(t ) B

1

r

tdt
du   n  1
0 1 t2



r

1


log


log
1

t


0  1  t
dt
r

1
1
 log
  n  1 C1 ,
2
1 r2

trong đó
1
1

C1   log
 log 1  t  dt  2log 2.
0
 1 t


Bổ đề đƣợc chứng minh.
2.3.3. Định nghĩa

Cho B n , ( N , dsN2 ) đƣợc định nghĩa nhƣ trên và f : B n  N là một ánh xạ
chỉnh hình. Ta định nghĩa hàm đ c trƣng f b i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




20

T  r, f  

dt 
n 1 
f
*

n 

.
B
(
t
)
B
 0 t  

1

n

r

2 n 1

2.3.4. Mệnh đề
Cho F là họ các ánh xạ chuẩn t c Aut B n - b t biến t B n đến  N , dsN2  .
Khi đó sẽ tồn tại một h ng số C (r ) chỉ phụ thuộc vào r sao cho
T  r , f   C (r ),

 0  r  1

với mỗi f  F .
Chứng minh
Vì tồn tại một hằng số C sao cho f *dsN2  C.dsB2 n với mỗi f  F theo
Định lý 2.1.4 ta có thể chọn
C r  

C
1
log
  n  1 C1.C.
2
1 r2

Theo bổ đề 2.3.2 ta suy ra mệnh đề đƣợc chứng minh.
2.3.5. Hệ quả
Nếu một ánh xạ chỉnh h nh f : B n  N là chuẩn t c th ta có
1 


T  r , f g   O  log

 1 r 

 r  1

với mọi g  Aut B n .
2.3.6. Nhận xét
(i) Tính chất của hàm đ c trƣng đối với ánh xạ chỉnh hình chu n tắc là
mạnh hơn
1 

T  r , f   O  log

 1 r 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

 r  1 .