Bài giảng tối ưu hóa chương 3 PHƯƠNG PHÁP đơn HÌNH

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

CÁC VÍ DỤ


V. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
 Xét bài toán f (X) = CX → min
AX = B

X ≥ 0
 Trong đó ma trận A cấp m × n, rankA = m
 Ta có các vectơ cột A j ∈ ¡ m . Trường hợp X là phương
án cực biên, ta có { A j / j ∈ J(X)} độc lập tuyến tính.
 Khi đó | J(X) |≤ m
 Nếu |J(X)| < m ta nói X là phương án cực biên suy biến.


Nếu |J(X)| = m ta nói X là phương án cực biên không suy
biến.


PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
 Ta xét bài toán min dạng chính tắc với các giả thiết đã

nêu ở trên, và Xo là phương án cực biên không suy
biến của bài toán.
 Ta có

{A

/ j ∈ J(X)}

độc lập tuyến tính và có m vectơ
m
m
¡
trong ¡ nên nó là một cơ sở của
m
A
∈
¡
 Các vectơ cột
k
j

A k = ∑ z ik A j

 Đặt

j∈J 0

∆ k = ∑ C j z jk − Ck
j∈J 0

(J o = J(X o ))


PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
 X = (x1, x2, …, xn) là phương án bất kỳ.
 Ta có

f (X) = f (X 0 ) −

∆K x K
∑
K∉J
0


VÍ DỤ 1
f (x) = 2x1 + 2x 2 + x 3 − 6x 4 → min
 x1 + 3x 2 + x 3 = 7

x4 = 2
 x1 + x 2 +

 x j ≥ 0, j = 1, 4


VÍ DỤ 2

f (x) = 2x1 + x 2 − 8x 3 → min
−3x1 + x 2 = 2

 − x1 + x 3 = 4
 x ≥ 0, j = 1, 2,3
 j


VÍ DỤ 1
f (x) = x1 + 4x 2 − x 3 − x 4 + x 5 + 3x 6 → min

=1
2x1 − x 2 + 5x 3 + x 4

=2
2x1 + 4x 2 − 2x 3 + x 5
 x + 2x + x +
x6 = 5
1
2
3

 x ≥ 0, j = 1, 6
 j


VÍ DỤ 1
f (x) = 2x1 + 2x 2 + x 3 − 6x 4 → min
 x1 + 3x 2 + x 3 = 7

x4 = 2
 x1 + x 2 +

 x j ≥ 0, j = 1, 4


VÍ DỤ 2

f (x) = 2x1 + x 2 − 8x 3 → min
−3x1 + x 2 = 2


 − x1 + x 3 = 4
 x ≥ 0, j = 1, 2,3
 j


VÍ DỤ 2
f (x) = 2x1 + x 2 − 3x 3 + x 4 − x 5 − 2x 6 → min
+ x6 = 2
 x 2 + 2x 3 + 5x 4

+ 2x 6 = 1
 x1 − 2x 3 + x 4

4x 3 + x 4 + x 5 − 4x 6 = 1

 x ≥ 0, j = 1, 6
 j


VÍ DỤ 3

f (x) = − x1 + 4x 2 + 2x 3 − x 4 → max
2x1 − x 2 + x 3
=4

+ x4 = 7
3x1 + x 2

 x j ≥ 0, j = 1, 4

VÍ DỤ 4

f (x) = 3x1 + 4x 2 + 2x 3 → min
 − x1 + 2x 2
≤5

 2x1 + 4x 2 + x 3 = 2
 x ≥ 0, j = 1, 2,3
 j


VÍ DỤ 5

f (x) = 4x1 + 8x 2 + x 3 + 2x 4 → min
5x1 − x 2 + x 3
=2

+ x4 ≥ 3
 x1 + 4x 2

 x j ≥ 0, j = 1, 4


VÍ DỤ 6

f (x) = 2x1 + x 2 − x 3 − x 4 → min
=1
6x1 + 2x 2 + x 3


+ x4 = 4
 x1 − x 2
x , x , x ≥ 0 ; x ≤ 0
2
 1 2 3


VÍ DỤ 7
f (x) = x1 + 4x 2 − 2x 3 + 2x 4 → min
=4
2x1 + x 2 + x 3

+ x4 = 6
− x1 + 4x 2
x , x , x ≥ 0 ; x ∈ ¡
1
 2 3 4


VÍ DỤ 8

f (x) = x1 − 2x 2 − 3x 3 + x 4 → min
4x + x + 2x + 2x = 1
1
2
3
4

 x1 + 2x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 6


 x j ≥ 0, j = 1, 4


CHƯƠNG 2

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU


BÀI TOÁN

f (X ) =

n

∑c x
j =1

j


a
x
=
b
∑
ij
j
i

 j =1

x ≥ 0
 j
n

j

→ min
(i = 1, m )
(j = 1, n )


BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

g (Y ) =

m

∑b y
i =1

i

i

→ max

m
∑ aij yi ≤ c j (j = 1, n )
 i =1
( y ∈ R i = 1, m )

 i


► BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TRƯỜNG
HỢP TỔNG QUÁT
► CÁC ĐỊNH LÝ
► CÁC VÍ DỤ


CHƯƠNG 3

BÀI TOÁN VẬN TẢI


BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
 Giả sử có m địa điểm A1 , A2 , . . . ,

Am cung cấp một loại hàng hóa với
lượng hàng có tương ứng là a1 ,
a2 , . . . , am (đơn vị), và có n địa
điểm nhận hàng hóa đó là B1 , B2 , .
. ., Bn với yêu cầu lần lượt là b1 ,
b2 , . . . , bm (đơn vị)

 Chi phí chuyên chở một đơn vị hàng

từ Ai đến Bj là cij đồng.


BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

m



n

∑ a = ∑b
i =1

i

j =1

j

► BÀI TOÁN
 Các dịa điểm A1 , A2 , . . . , Am được
phát hết hàng và các địa điểm B1 ,
B2 , . . ., Bn được nhận đủ yêu cầu.
 Đồng thời tổng chi phí chuyên chở

là ít nhất.


BÀI TOÁN CHO DƯỚI DẠNG
BẢNG
Thu Bj
Phát Ai

b1

b2

...

a1

c11

c12

a2

c21

c22

c2n

cm2

cmn

...
am

...

bn
c1n

...
cm1


ĐỊNH NGHĨA
Ta gọi một tập hợp ô có dạng
{ (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2),…, (ik,jk), (ik,j1)}
là một vòng nếu
2 ô liên tiếp thì cùng nằm trên một
dòng hoặc cùng nằm trên một cột.
3 ô bất kỳ thì không cùng nằm trên
một dòng và không cùng nằm trên
một cột.