ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CÓ ĐÁP ÁN

Đề bài.

x
3
3
3

Bài 1(3đ). Cho biểu thức: A = 2
+ 3
+
+ 1
3
x
x
+
x
3
+
3
x

27



a. Rút gọn A.
b. Tính giá trị của A khi x = 3 +2010
Bài 2(3đ).
Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5).
b. Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm đợc ở câu a. Gọi giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục Ox là B;

giao điểm của đờng thẳng hạ từ A vuông góc với Ox là C. Tính diện tích tam giác ABC?
x
y
z
Bài 3(2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn
=
=
2008 2009 2010
Chứng minh rằng: z x =2 ( x y )( y z )
Bài 4(2.5). Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x3 + y3 + xy
b2
a2
+
a+ b
a
b
Bài 6(3) Cho tam giác vuông ABC ( B = 900, BC > BA) nội tiếp đờng tròn đờng kính AC. Kẻ dây cung BD
vuông góc với đờng kính AC. Gọi H là giao điểm của AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với
A qua H. Đờng tròn đờng kính EC cắt cạnh BC tại I ( I khác C). Chứng minh rằng:
a. CI.CA = CB.CE
b. HI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính EC
Bài 5(2.5). Cho a, b>0. Chứng minh rằng:

Bài 7(4). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (0; R). Đờng cao AK cắt đờng tròn (0) tại D; AN là đờng kính
của đờng tròn (0).
a. Chứng minh: BD = CN.
b. Tính độ dài AC theo R và . Biết ABC = .
c. Gọi H, G lần lợt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng H; G; O thẳng hàng.
Bài

1(3đ)

2(3đ)

3(2đ)

Nội dung

Giải


x
3
3
3

a.(2đ) A = 2
+ 3
+
+ 1 ĐKXĐ: x 0; x 3 =

x
x + x 3 + 3 x 27 3


x 2 + x 3 + 3
3
3

+
x 2 + x 3 + 3 ( x 3 )( x 2 + x 3 + 3)

3x




x 2 + x 3 + 3
1
( x 3) 3 + 3

=
=
2

x 3
3x
( x 3 )( x + x 3 + 3)

1
1
1
=
=
b.(1đ) Thay x = 3 +2010 vào A ta có: A =
x 3
3 + 2010 3 2010
Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)

a. Vì đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5). Thay x = 1; y = 5 vào (1) ta có: 5 = 3
3
+ 2m 1 <=> m =
2
b. - Học sinh vẽ đợc đồ thị đúng.
- Học sinh lập luận lôgic:
1
1 5
25
- Tính đợc SABC= BC.AC = . .5 =
(đvdt)
2
2 3
6
x
y
z
=
=
2008 2009 2010
áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có:
x y
yz
x
y
z
zx
=
=
=

=
=
2008 2009 2010
2008 2009 2009 2010 2010 2008

Biểu
chấm

0.5
0.5
0.5
0.5
1.0

0.5
0.5
1.0
0.5
0.5

Cho các số thực x, y , z thỏa mãn

0.25
0.25


x y yz zx
zx 2
=> ( x y )( y z ) = (
=

=
) => 4(x-y)(y-z) = (z x)2
1
1
2
2
=> (z x) = 2 (x - y)(y - z)
Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x3 + y3 + xy
Ta có: B = x3 + y3 + xy = (x + y)( x2 xy + y2) + xy
= (x + y)[ (x + y)2 3xy] + xy
Thay x + y = 1 ta có: B = 1 2xy
Từ x + y = 1 => y = 1 x thay vào B ta có:
1
1 1
B =1 2x(1-x) = 2x2 2x + 1 = 2(x - )2 +
2
2 2
1
1
Do đó Min B =
khi x = y =
2
2
=

4(2.5đ)

5(2.5đ)

b2

a2
+
a+ b
a
b
2
2
b
a
Xét hiệu: b + a a b = . a + . b a b
a
b
a
b
b
a
b
a
= ( . a a ) + ( . b b )= a ( -1) + b ( -1)
a
b
a
b
ba
ab
(a b) a b (a b) (a b)( a b)
=
+
=
=

a
b
ab
ab

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5

Cho a, b>0. Chứng minh rằng:

=
Vậy:
6(3đ)

0.5
0.5
0.5

( a b)2 ( a + b)
ab

0 với mọi a, b > 0

0.5

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25

b2
a2
+
a + b với mọi a, b > 0 là đúng.
a
b

a.(1.5đ) Chứng minh: CI.CA = CB.CE
Học sinh lập luận đợc: ABC = EIC = 900
Xét hai tam giác: ABC và EIC
Có : ABC = EIC (c/m trên); Góc C chung
BC AC
Do đó : ABC đồng dạng EIC (g.g)=>
=
IC CE
=> CI.CA = CB.CE (Đpcm)
b.(1.5đ) Chứng HI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính EC
Ta có: HCB + CBH = 900
IDB + IBD = 900
Lập luận đợc: HCB =

0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25