2 (17 09 15) FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

КОНВЕКТИВНЫЙ
ТЕПЛООБМЕН В
ОДНОФАЗНЫХ СРЕДАХ

1


Конвективный тепломассообмен
Виды конвекции
Вынужденная конвекция - движение жидкости
вызывается внешними силами (насос, вентилятор и др.)
Свободная (естественная) конвекция - движение
возникает под действием неоднородного поля
массовых сил (сила тяжести, центробежная сила и др.)
В рамках феноменологического метода среда
рассматривается как непрерывное вещество без
какой либо структуры.
Перенос тепла и массы происходит:
не только за счет grad T или grad C,
но и совместно с движущейся средой.
2


Режимы свободной конвекции

1 – ламинарный; 2 – переходной;

3 - турбулентный
3

Осборн Рейнольдс
Osborne Reynolds
(1842-1912)

4


Людвиг Прандтль
Ludwig Prandtl
(1875-1953)

5


Пограничный слой
Гидродинамический П.С. - область, в которой жидкость
замедляется под действием сил вязкости.
Толщина Г.П.С. - расстояние
от стенки, на котором
скорость с точностью до 1%
достигает значения вдали от
стенки

δ = fn( W∞ ,ρ ,µ , x )
δ
= fn(Rex )
x

ρW∞ x W∞ x
Rex =

=
µ
ν

δ 4 ,92
=
x
Rex
6


Пограничный слой
Ламинарный поток

Турбулентный поток
ламинарный П.С.

переходной П.С.

развитый
турбулентный П.С.

вязкий
подслой
безразмерное расстояние
7


Пограничный слой
Тепловой или диффузионный П.С. - область вблизи

стенки, на которую
основная доля изменения
температуры
Г.У. III рода
∂t
−λf
= α( t w − t∞ )
∂y y =0
Закон Фурье
q_тепл

Число Нуссельта (Nusselt)

 Tw − T 

∂
 Tw − T∞ 
∂ y 
 L y

Закон Ньютона
q_конв

=
L

=0

αL
= Nu L

λf
8


Ernst Kraft Wilhelm Nusselt (1882-1957)

9


Оценка толщины пограничного слоя
Касательное напряжение (Закон Ньютона)
Оцениваем толщину П.С. из условия
Сила инерции единичного
объема жидкости в П.С.

Fин = ρ

dW
τк = µ
dy

Fин ~ Fm р
dW
dx dW
dW
=ρ
= ρW
dτ
dτ dx
dx

длина пластины L - порядок градиента скорости W/L
Сила трения, отнесенная к единице объема:

Fm р

dτ w
d 2W
W
=
=µ 2 ~µ 2
1 ⋅ 1 ⋅ dy
dy
δ

δ ≈ µL ρW = νL W

Fин

W2
~ρ
L

W2
W
ρ
≈µ 2
L
δ
более точно

δ 4 ,92
≈
L
Re

10


Дифференциальные уравнения конвективного
теплообмена (законы сохранения)

Dt
2
= a∇ t
dτ

(1) энергии

→

→
DW → 1
2
=
g
−
gradP
+
ν

∇
W
(2,3,4) количества движения
dτ
ρ

(5) массы

→

div( ρW ) = 0

(6) состояния

(неразрывности)

F ( P ,V ,t ) = 0

для газов

PV = RT

Система из шести уравнений - шесть неизвестных

Wx ,W y ,Wz , P ,V ,t
11


Дифференциальные уравнения конвективного
теплообмена

Субстанциональная производная
DΨ ∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ ∂Ψ
=
+ Wx
+ Wy
+ Wz
=
+ (W ⋅ gradΨ )
∂τ
∂τ
∂ x
∂ y
∂ z ∂τ
условия однозначности :
 геометрические (форма, размер);
 физические (свойства);
 временные (условия протекания процесса во времени);
 граничные (скорости, температуры на границах и т.д.);
I, II, III рода

Все уравнения должны решаться совместно
12


Осреднение скорости по сечению канала
Через кольцо радиуса r,
шириной dr протекает

количество жидкости

ρ ⋅ W ( r ) ⋅ 2πr ⋅ dr
Массовый расход
жидкости в трубе
Если ρ = const

R

G = ρW ⋅ πR 2 = ∫ ρW (r ) ⋅ 2πr dr

W= 2

R

R

2

∫W ( r ) r dr
0

Вводим безразмерные координаты,

ξ=r R

u =W( r ) W

0

1

1
u
ξ
d
ξ
=
∫
0

2

служит для проверки правильности измерений распределения скорости.
13


Осреднение температуры по сечению канала
Количество тепла в потоке жидкости:
R

Q = ρc p ⋅ W ⋅ t ⋅ πR 2 = ∫ ρc p ⋅ t( r ) ⋅ W ( r ) ⋅ 2πr dr
0

Если ρ , c p = const
средняя по теплосодержанию температура жидкости
R

1

W( r ) r  r 
t = ∫ t( r ) ⋅
2 d   = 2 ∫ t ( ξ ) u( ξ ) ξ dξ
W
R R
0
0
.

14


Изменение температуры вдоль обогреваемого канала

q = const Уравнение баланса тепла для элемента канала dx

q ⋅ P ⋅ dx = G ⋅ c p ⋅ d t
периметр канала – P; расход - G

d t qP
=
= const
dx Gc p
Средняя по сечению
температура жидкости
меняется линейно
вдоль канала
Начальный участок,
(участок тепловой стабилизации)

15


Изменение температуры вдоль обогреваемого канала

t w = const , т.е. тепловой поток меняется по длине канала
Уравнение теплового баланса:
Здесь

[

q( x) = α ( x) ⋅ t w − t f ( x)

]

q( x) ⋅ P ⋅ dx = G ⋅ c p ⋅ d t

пусть температура стенки tw=0

α( x) P
dt
=−
dx
Gc p
t

После интегрирования

 x α( x) P 
t ( x) = tвх ⋅ exp − ∫

dx 
 0 Gc p

tвх – темп. жидкости на входе в канал

Начальный участок

16


Подобие и моделирование тепловых процессов
Данные, полученные при изучении одного явления, можно
распространить на другие явления, подобные данному
Условия подобия физических процессов (теорема Кирпичева-Гухмана):
1. Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую
природу или описываться одинаковыми по форме
дифференциальными уравнениями.
Теплопроводность - электропроводность
2. Условия однозначности должны быть одинаковыми. Они
могут различаться лишь числовыми значениями.
Г.У.одного рода
3. Определяющие числа подобия (т.е. критерии подобия,
составленные из параметров, входящих в условия
однозначности) должны иметь одинаковые числовые значения.
Reнат = Reмод
17


Подобие и моделирование тепловых процессов
Уравнение

движения:

→

→
DW → 1
2
= g − gradP + ν∇ W
dτ
ρ

Субст. производная в направлении х:

сумма сил на единицу массы

DWx ∂Wx
∂Wx
∂Wx
∂Wx
=
+ Wx
+ Wy
+ Wz
∂τ
∂τ
∂x
∂y
∂z
Уравнение движения по оси х:

1 ∂P
∂Wx
∂Wx
∂Wx
∂Wx
+ ν∇ 2Wx
+ Wx
+ Wy
+ Wz
= gx −
ρ ∂x
∂τ
∂x
∂y
∂z

18


Подобие и моделирование тепловых процессов
Число Рейнольдса - характеристика отношения (но не само
отношение) инерционных сил к силам трения.

Fин

одномерное уравнение движения:
Введем безразмерные координаты:

ξ=x l

u = Wx W

отношение сил инерции к
силам вязкости

Fвяз

∂Wx
∂ 2Wx
Wx
=ν
2
∂x
∂x
2

du
1 d u
Wu
=ν
dξ
l dξ 2

du
du
du
dWx
W u
u
u

Wx
dξ
dξ W l
d
ξ
dx =
Re
=
=
2
2
2
2
d
u
ν
1 d u
d u
d Wx
ν
ν
2
2
2
2
d
ξ
l dξ
dξ
dx

19


Подобие и моделирование тепловых процессов
Толкование числа Рейнольдса, данное Карманом
Согласно кинетической теории кинематическая вязкость

ν=µ ρ

с точностью до постоянного множителя равна сL, где с - средняя
скорость молекул; L - средняя длина свободного пробега.

W l
Re = ⋅
c L

Т.е. с точностью до постоянного множителя :
В обычных задачах гидродинамики

l
L

W
c

W
Если
c не мало, как обычно, то нужен учет сжимаемости газа
l

Если
мало, то газ нельзя рассматривать как сплошную среду
L
20


Подобие и моделирование тепловых процессов
Физический смысл числа Нуссельта
а).

Пусть у стенки имеется неподвижный слой жидкости с
теплопроводностью λ , в котором сосредоточен весь
температурный напор. По этому напору рассчитывается
коэффициент теплообмена α.

характерная длина
α ⋅l
l
Nu =
=
=
λf
λf /α
толщина П .С .
Пример:
Теплообмен в трубе
Nu=100,
диаметр трубы в 100 раз больше толщины т.п.с.(где
сосредоточен почти весь температурный перепад ).

α⋅d
Nu =
λf

21


Подобие и моделирование тепловых процессов
б). Nu как характеристика отношения действительного теплового

потока, определяемого коэффициентом теплообмена α, и теплового
потока через слой l с теплопроводностью λ :

α
Nu =
λ/l

в). Nu - безразмерный градиент
температуры на границе стенка-жидкость

q
λ=−
( ∂t ∂n ) n

q
α=
tw − t f

 tw − t
 ∂t 

 ∂t 
∂
− q 
− 
 tw − t f
 ∂n  n
 ∂n  n

Nu =
=
=
tw − t f q / l tw − t f / l
∂( n l )

(

)

(

)




n

тангенс угла
наклона
касательной к

температурной
кривой у стенки

22


Подобие и моделирование тепловых процессов
теорема Букингема
"Если какое-либо уравнение однородно относительно
размерностей (т.е. математическая запись не зависит
от выбора единиц), то его можно преобразовать к
соотношению, содержащему безразмерные
комплексы, составленные из определяющих
параметров".
Если не удается получить систему безразмерных величин,
описывающих какое-либо явление, то это верный признак
того, что было что-то пропущено.

23


Подобие и моделирование тепловых процессов
π-теорема
"Если существует однозначное соотношение между n
размерными физическими величинами
f1 A1 , A2 ,.....An

(

) =0

в котором используется k основных единиц размерности, то
существует также соотношение
f π ,π ,.....π
=

2

(

1

2

n −k

)

0

где π - безразмерные комплексы
т.е. если имеется n величин и k единиц, то можно
получить (n - k) безразмерных комбинаций".
если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n
физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k
независимых фундаментальных физических величин, то исходное выражение
эквивалентно выражению, включающему множество из p = n-k безразмерных
24
величин, построенных из исходных переменных.

Подобие и моделирование тепловых процессов
Пример : формула Дарси для расчета гидравлического
сопротивления канала:

ξ - коэффициент гидравлического

l ρW 2
∆p = ξ
d 2

сопротивления трения;
l - длина;
d - гидравлический диаметр.

Из физических соображений

(

∆p = f1 l , d , W , ρ , µ , ∆

)

шероховатость
25