Bài 5 tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số phương pháp giản đồ fre nen

Một dao động điều hòa:

+
M

A

x = A c o s(ω t + ϕ)

φ

O

x

được biểu diễn bằng một
vectơ quay.
Vectơ quay có:

- Gốc tại gốc tọa độ của trục Ox.
- Độ dài bằng biên độ dao động A.
- Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu

ϕ

- Quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc

ω


Một vật có thể thực hiện đồng thời hai

hoặc nhiều dao động : dao động tổng hợp
Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động
cùng phương, cùng tần số

x1 = A1cos(ωt + ϕ1 ) và x 2 = A 2 cos(ωt + ϕ2 )
Dao động tổng hợp :

x = x1 + x 2 =

?


Giả sử ta phải tìm phương trình dao động của một vật thực hiện
đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
y

M
M2

uur uuu
r
A1 ,A 2

A2

φ2
O

φ1 φ

x 2 = A 2 c o s(ω t + ϕ2 )

Ta lần lượt vẽ hai vectơ
quay

A

A1

x1 = A1 c o s(ω t + ϕ1 )

biểu diễn hai dao động
thành phần.

M1
x

ur
Vẽ vectơ tổng A

biểu diễn dao động tổng hợp

ur ur ur
A = A1 + A 2


Khi vectơ A1, A2 cùng quay
ngược chiều kim đồng hồ với
tốc độ góc ω.

y

M

Thì tứ giác OM1MM2 không
biến dạng.

M2
A

Tức là độ dài OM không đổi
và quay quanh O với cùng tốc
độ góc ω.
Như vậy OM là vectơ quay
biểu diễn dao động tổng hợp.

A2
φ2
O

.

A1
φ1 φ

M1
x


Vậy:

Dao động tổng hợp của
hai dao động điều hòa
cùng phương , cùng tần
số là một dao động
điều hòa cùng phương,
cùng tần số với hai dao
động đó.

y

M
M2
A

A2
φ2
O

.

A1
φ1 φ

M1
x


Bieõn ủoọ

Q

ã M M)
A = A + A 2A1A 2 c os(O
1
2

2
1

2
2

ẳM M = 1 8 0 0 M
ẳO M
maứ O
1
2
1
ẳO M )
c o s(OẳM1M) = c o s(M
2
1
maứ



ẳO M =
M
2
1

2
1
ẳM M) = c o s( )
c o s(O
1
2
1
2

2
1

2
2

y

M
M2

y2

A
A2

.

A1

y1

2
O

M1

1
x2

x1

Vaọy : A = A + A + 2A1A 2 c o s(2 1 )

x
P


 Pha ban ñaàu φ
PM O Q A.sin ϕ
t an ϕ =
=
=
O P O P A.c o s ϕ

Q

y
M2

y2

y1 + y2
tan ϕ =
x1 + x2
maø : y1 = A1 sin ϕ1 ; x1 = A1 cos ϕ1

M

A
A2

.

A1

y1
φ2
O

φ1
x2

A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ2
⇒ tan ϕ =
A1 c o s ϕ1 + A 2 c o s ϕ2

M1

φ
x1

P

x


nh hưởng của độ lệch pha:
a) Độ lệch pha:
Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x1 = A1 c o s(ω t + ϕ1 )(1) ; x 2 = A 2 c o s(ω t + ϕ2 )(2)

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 gọi là độ lệch pha
∆ϕ = 2n π : hai dao động cùng pha (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,. . . )
∆ϕ = (2n + 1)π : hai dao động ngược pha
π
∆ϕ = (2n + 1) : hai dao động vuông pha
2


b) nh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
A2

A1

A

A
A1
A2

A

A2

A1

Hai dao động cùng pha: A = A1 + A 2 ⇒ Amax
Hai dao động ngược pha: A = A1 − A 2 ⇒ Amin
2
2
Hai dao động vuông pha: A = A1 + A 2

Hai dao động có pha bất kỳ: A1 − A 2 < A < A1 + A 2


Vectơ
quay

PP :
Kết
luận :

Tổng
hợp
dao
động

Biên độ :
Pha ban

đầu:
Phương
pháp
giảng đồ
Fre-nen

Ảnh
hưởng
của độ
lệch pha

Độ lệch pha
Cùng pha

Ngược pha
Vuông pha
Pha bất kỳ


2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

 Biên độ
2

2
1

2
2

A = A + A + 2A1A 2 c o s(ϕ2 − ϕ1 )
 Pha ban đầu φ

A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ2
tan ϕ =
A1 c o s ϕ1 + A 2 c o s ϕ2


a) Độ lệch pha:
Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x1 = A1 c o s(ω t + ϕ1 )(1) ; x 2 = A 2 c o s(ω t + ϕ2 )(2)

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 gọi là độ lệch pha
∆ϕ = 2n π : hai dao động cùng pha (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,. . . )
∆ϕ = (2n + 1)π : hai dao động ngược pha
π
∆ϕ = (2n + 1) : hai dao động vuông pha
2


b) nh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
Hai dao động cùng pha:

∆ϕ = 2n π : (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,. . . )
A = A1 + A 2 ⇒ Amax

A2

A1

A


b) nh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
Hai dao động ngược pha:

∆ ϕ = (2n + 1)π : (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,. . . )
A = A1 − A 2 ⇒ Amin
A2

A
A1


b) nh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
Hai dao động vuông pha:
π
∆ϕ = (2n + 1) : (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,. . . )
2
A

A = A12 + A 22
A1

A2

b) nh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
A

Hai dao động có pha bất kỳ:

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = b / ky
A1 − A 2 < A < A1 + A 2

2

2
1

2
2

A2
A1

A = A + A + 2A1A 2 c o s(ϕ2 − ϕ1 )


b) nh hưởng của độ lệch pha tới biên độ dao
động tổng hợp:
A2

A1

A

A
A2

A1

A

A2

A1

Hai dao động cùng pha: A = A1 + A 2 ⇒ Amax
Hai dao động ngược pha: A = A1 − A 2 ⇒ Amin
2
2
Hai dao động vuông pha: A = A1 + A 2

Hai dao động có pha bất kỳ: A1 − A 2 < A < A1 + A 2


VÍ DỤ
Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương :

x 1 = 4 2 sin(2π t ) cm và x 2 = 4 2 cos(2π t ) cm
Viết phương trình dao động tổng hợp của vật

x 1 = 4 2 sin(2π t ) cm = 4 2 cos(2π t − π / 2) cm

A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
=

( 4 2) + ( 4 2)
2

2

(

+2 4 2

)

2

cos(π / 2 − 0) = 8cm

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
4 2 sin(−π / 2) + 4 2 sin 0
tg ϕ =
=
= −1
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 4 2 cos(−π / 2) + 4 2 cos 0
x = 8 cos(2π t − π / 4) cm


VÍ DỤ
Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương :

x 1 = 4 2 sin(2π t ) cm và x 2 = 4 2 cos(2π t ) cm
Viết phương trình dao động tổng hợp của vật
PHƯƠNG PHÁP KHÁC

x 1 = 4 2 sin(2π t ) cm = 4 2 cos(2π t − π / 2) cm

x 2 = 4 2 cos(2π t ) cm

(

A = 4 2 cm
2

4 2

O
x1
4 2

x2

ϕ
x

gốc
A

x2

) (

2

+ 4 2 cm

A = 8 cm

)

2

= 64 cm 2

ϕ = −π / 4 rad
x = 8 cos(2π t − π / 4) cm


VÍ DỤ
Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương :

x 1 = 4 2 sin(2π t ) cm và x 2 = 4 2 cos(2π t ) cm
Viết phương trình dao động tổng hợp của vật đ
PHƯƠNG PHÁP KHÁC

Phương pháp: x = x1 +x2; A‫ ے‬φ = A1 ‫ ے‬φ1 + A2 ‫ ے‬φ2
Bấm Mode 2:
Nhập A1; shift; (-); φ1 + A2; shift; (-); φ2 ;=
Bấm shift; 2; 3 ;= ta được A và φ
Bài giải: Bấm Mode 2:
Nhập A1; shift; (-); φ1 + A2; shift; (-); φ2 ;=
Bấm shift; 2; 3 ;= ta được A và φ

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 1
Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà
cùng phương, cùng tần số. Trong trường hợp nào sau
đây, biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực đại ?
A. Hai dao động thành phần cùng pha
B. Hai dao động thành phần ngược pha
C. Hai dao động thành phần lệch pha nhau π /2
D. Hai dao động thành phần lệch pha nhau một góc
bất kì


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 2
Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hoà cùng phương, cùng tần số. Trong trường hợp
nào sau đây, biên độ dao động tổng hợp có thể triệt
tiêu ?
A. Hai dao động thành phần cùng pha
B. Hai dao động thành phần ngược pha
C. Hai dao động thành phần lệch pha nhau π /2
D. Hai dao động thành phần ngược pha và cùng biên
độ


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 3 Hai dao động điều hòa cùng phương có
phương trình lần lượt là

x1 = 4sin100π t cm và x2 = 3sin(100π t + π /2) cm.
Dao động tổng hợp của hai dao động đó có biên
độ là
A. 7cm

B. 5cm

C. 1cm

D. 3,5cm

(Đề thi Tốt nghiệp THPT 2007)
HƯỚNG DẪN

x

x2
3

x2

A

A = (4cm )2 + (3cm )2 = 5cm

x1
O

4

gốc


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 4 Hai dao động điều hoà cùng phương có phương
trình lần lượt là
x1 = 4 cos(π t − π / 6) cm và x2 = 4 cos(π t − π / 2) cm
Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là

A. 4 3 cm

B. 2 7 cm

C. 2 2 cm

D. 2 3 cm

(Đề thi Tuyển sinh Đại học 07/ 2007)
HƯỚNG DẪN
O

-π /6

-π /3 4
4
M2

H
A

gốc

M1

OM1M2 = 60o
Tam giác OM1M2 đều

4

A = 2OH = 2(OM 1 cos 30o )

M

= 2(4 cm × 3 / 2) = 4 3 cm


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 5 Cho hai dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là
π/3 và −π/6 . Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai
dao động trên bằng
D. π /12
C. π / 6
B. π / 4
A. −π / 2
(Đề thi Tuyển sinh Đại học 07/ 2008)
M1

π/4
O

M

π/3

HƯỚNG DẪN

ϕ=

-π/6

gốc

M2

π π
π
− =
3 4 12