Phần mềm tạo banme hay

GIAÛI TÍCH

Giáo viên: LƯU THỊ NHÀN
Trường THPT Trại Cau

12


Phương pháp tính tích phân từng phần
b

1.Công thức:

∫ u ( xb)v '( x)dx = u ( x)v(bx)
a

∫

b

∫

b
a

b

− ∫ v ( x )u '( x)dx
a

udv = uv a − vdu (*)

hay
Em
Em hãy
hãy
nêu
a nêu
a
xcông
) và thức
v = vtính
( x) là hai hàm số có đạo hàm
Với u = u (công
thức
tính
phân
b] .
liên tục trêntích
đoạn
[ a;từng
tích
phân
từng
phần?
phần?
2.Cách giải:
du = u ' ( x ) dx
Bước 1. Đặt

u = u ( x )


=>


dv = v ' ( x ) dx
v = ∫ dv = v ( x )

Bước 2. Thay vào CT(*)
a

Bước 3. Tính uv |b và ∫ vdu rồi đưa ra kết quả.
a

b




Dạng 1 : b


I = ∫ P ( x) cos ( mx + n ) dx


a
 sin(mx + n)  (P(x) là đa thức của x)
e mx+ n

Đặt : u = P(x) ⇒ du = P’(x)dx.

 e


dv =  cos(mx + n)  dx


 sin(mx + n) 
mx + n

BÀI
BÀI 11

e


1

⇒ v=
sin(mx + n)

m
 − cos(mx + n) 
mx + n

Tính các tích phân sau:
1

a ) I = ∫ x.e dx
0

3x

π
2

b) I = ∫ ( x − 1) cos xdx
0


Dạng 2:

b

I = ∫ P ( x ).ln(mx + n)dx
a

Trong đó P(x) là đa thức của x.
Đặt:

u = ln ( mx + n )

mdx
⇒ du =
mx + n

dv = P ( x )dx ⇒ v = ∫ P( x)dx
BÀI
BÀI 22

Tính các tích phân sau:
1

a ) I = ∫ ln(1 + x )dx
0

e

b) I = ∫ ln xdx
1

2


BÀI
BÀI 22

Tính các tích phân sau:

dx

a ) I = ∫ ln(1 + x )dx Đặt: u = ln(1 + x) ⇒ du = 1 + x


0
 dv = dx
v = x
1

Đáp số

e

b) I = ∫ ln xdx
2

1

Từng phần 2 lần

Đặt:

I = 2ln 2 − 1

2ln xdx

u = ln x
 du =
⇒
x

 dv = dx
 v = x

Đáp số

2

I = e−2


a, Tính :I

1

= ∫ ln(1 + x ) dx
0

• Cách 2 :

dx

u = ln(1 + x)
 du =
⇒
1+ x

 dv = dx
v = x + 1

Đặt:

x +1
I = ( x + 1) ln(1 + x) − ∫
dx
1+ x
1

0

1

= 2ln 2 − ∫ dx

0

= 2ln 2 − x |

1
0

= 2ln 2 − 1

1

0


1

Tính tích phân

BÀI
BÀI 33

Phương pháp đổi biến số

N = ∫ x(1 − x)5 dx
0

PP tích phân từng phần

dt = −dx
t = 1 − x => 

= 1 −hãy
t
 xEm

Đặt:
du = dx
u=x

so sánhxem
hai
6
⇒

(1
−
x
)
5
dv
=
(1
−
x
)
pháp thì phương dx v = − 6
x = 0 => t phương
=1
Đổi cận: x = 1 => t = 0pháp nào dễ làm hơn?
1
6

1
6
0
Đặt:

1− x)
(
(1 − x)
I1 = −
x +∫
dx
6
6
0
0

=> N = − ∫ (1 − t )t dt
5

1

1

6
7


t
t
5

6
= ∫ (t − t )dt =  − ÷
 6 7 0
0
1 1 1
= − =
6 7 42
1

1− x)
(
=−
6

6

1

7 1

0

0

1 ( 1− x)
x −
6 7

1
1 1

= 0 −  0 − ÷=
6
7  42


BÀI
BÀI 44

π

Tính: a, I = ∫ ( x + cosx ) dx
0
π

2

cos x
I
=
(
e
+ x ) sin xdx
b,
∫
0

Quan sát hai tích phân
và đưa ra phương pháp
giải?

π

Tính: I = ∫ (e cos x + x ) sin xdx

•Giải:
π

0
π

π

0

0

I = ∫ (e cos x + x ) sin xdx = ∫ e cos x sin xdx + ∫ x sin xdx = I1 + I 2
0

π

I1 = ∫ e cos x sin xdx
0

Ñaët: t = cosx ⇒ dt = –sinxdx
x 0 π

t

−1

1

–1

1

I1 = − ∫ e dt = ∫ e dt = e
1

t

−1

1
= e−e = e−
e
−1

t

t 1
−1

π

I 2 = ∫ x sin xdx
0

u = x
⇒
Đặt: 
 dv = sin xdx

 du = dx

 v = − cos x

π

π

I 2 = − x cos x 0 + ∫ cos xdx
0

π

= π + 0 + sin x 0 = π

1
Vaäy I = I1 + I2 = e − + π
e


Củng cố
Các phương pháp tính tích phân

ĐN,TC tích phân

Đổi biến
D¹ng 1

x = ϕ (t )

D¹ng 2

u = u ( x)

Tích phân
từng phần
(2 dạng)


Một số dạng đổi biến và tích phân từng phần thường gặp
a

1) ∫ a 2 − x 2 dx ;
0

a

∫
0

a

2) ∫
0

1
a −x
2

2

Đặt x = a sin t

dx (a > 0)

1
dx ( a > 0) Đặt x = a tan t
2
2
a +x

b

sin( mx + n) 


6) ∫ P ( x) cos( mx + n) dx
a
mx +n


e

b

3) ∫ ( px + q ) dx (n ≠ − 1) Đặt t = px + q

Đặt u = P ( x)


sin( mx + n) 




dv
=
cos(
mx
+
n
)


 dx
mx +n



e




n

a

b

4) ∫ g ( u ( x ) ) u '( x)dx Đặt
a

b

(

)

t = u ( x)

5) ∫ f x, n px + q dx Đặt t = n px + q
a

b

7) ∫ P ( x ) ln ( α x + β ) dx
a

Đặt

u = ln ( mx + n )

dv = P( x)dx

- Laøm hoaøn chænh caùc baøi taäp SGK.
- Làm thêm BT trong SBT.

- Chuẩn bị bài 3: Ứng dụng của tích phân.