Slide bài giảng kinh tế lượng cô lê thị hồng hoa chương 2

(Ordinary Least Square)
Giả sử có một mẫu gồm n quan
sát (Yi, Xi), (i = 1, 2, . . . , n)

ˆ
Theo pp OLS, ta phải tìm Y
i
sao cho nó càng gần với giá trị
thực (Yi) càng tốt, tức phần dư:


ˆ
ei = Yi − Yi
ˆ
ˆ
= Yi − β1 − β 2 Xi

càng nhỏ càng tốt


Y
Yi
Y^i

0

..
.
. . SRF
.

.
.
.
.
.
e
.
.
..
.
i

Xi

X


Do ei có thể dương, có
thể âm, nên ta cần tìm
SRF sao cho tổng bình
phương của các phần dư
đạt cực tiểu.
ˆ βˆ,
Tức β
phả
i
thoả
1
2
mãn điều kiện:

n

n

∑ e =∑
i =1

2
i

i =1

(

ˆ
ˆ
Yi − β 1 − β 2 X i

)

2

⇒ min

(*)

ĐK (*) có nghóa là tổng bình
phương các sai lệch giữa giá

trị thực tế q.sát được (Yi) và
giá trị tính theo hàm hồi qui
ˆ
mẫu ( Yi) là nhỏ nhất.


ˆ ,β
ˆ
Tức đường hồi qui mẫu với β
1
2
thỏa mãn điều kiện (*) sẽ là
đường thẳng “gần nhất” với tập
hợp các điểm quan sát, do vậy nó
được coi là đường thẳng “tốt
nhất”, “phù hợp nhất” trong
lớp các đường hồi qui mẫu có thể
dùng để ước lượng hàm (2.2).


Y

Y
• •
• • •
•
•
• • •
••
•

•
•

•

•

• •
•

•
•
•

•
•

•

•

H. 1a

X

H. 1b

X

Do Yi, Xi (i = 1, 2, . . . , n) đã biết,
n
2
nên
ˆ
ˆ

∑ (Y

i

i =1

− β1 − β 2 X i

)

ˆ
ˆ
là hàm của β1, β 2
ˆ
ˆ sao cho:
Vì vậy ta cần tìm β1 , β
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
f( β1, β 2) =∑(Yi - β1- β 2Xi )2 → min
ˆ , βˆ laø nghiệm của hệ p.t:

Tức β
 

1

2


 ∂ f (βˆ 1 , βˆ 2 ) n
ˆ
ˆ
=
2
(
Y
−
β
−
β

i
1
2 X i )( − 1) = 0
∂ βˆ 1

i =1
 ˆ ˆ
n
 ∂ f (β 1 , β 2 ) =
2( Yi − βˆ 1 − βˆ 2 X i )( − X i ) = 0

 ∂ βˆ
i =1
2


∑

∑

n
n

Hay:
ˆ + βˆ
n
β
Xi =
Yi

1
2

i =1
i =1
 n
n
n
(2.6)  ˆ
2
ˆ

β1
Xi + β2
Xi =
X i .Yi
 i =1
i =1
i =1

∑

∑

∑

∑

∑


Hệ phương trình (2.6) gọi
là hệ phương trình chuẩn.
Giải hệ p.tr này ta được:
n

ˆβ =
2

∑X Y

− n X.Y

∑X

( )

i =1
n

i =1

i

i

2
i

−n X

2


ˆβ = Y − βˆ X
1
2
ˆ
Có thể tính β 2 theo công
thức:

ˆβ =

2

∑
x
∑

xi y i
2
i

Trong đó: xi = Xi − X ; yi = Yi − Y


Thí dụ 2:

Bảng sau cho số liệu về mức chi
tiêu (Y- đôla/tuần) và thu nhập
(X- đôla/tuần) của một mẫu gồm
10 gia đình.
Giả sử Y, X có q.hệ t.quan t.t. Hãy
ước lượng hàm h.qui của Y theo X.


Giải: Từ các số liệu q.sát của X
và Y cho ở bảng trên ta tính
được: ∑ Y = 1110;
∑ X = 1700;
i
i

∑ Xi2 = 322000;

1110
Y=
= 111;
10

∑ XiYi = 205500;

1700
X=
= 170
10

ˆβ = 205500 − 10 × 170 × 111 = 0,5091
2
2
322000 − 10(170)


ˆβ = 111 − 0,5091 × 170 = 24,4545
1

Hàm hồi qui tt mẫu của chi
tiêu theo thu nhập là:

ˆ
Yi = 24,4545 + 0,5091X i

ˆ = 24,4545
β
1

(không có ý nghóa k.tế)

ˆβ = 0,5091 cho biết: xét các
2

giá trị của X trong khoảng
(80; 260), khi thu nhập tăng 1
đô la/tuần thì chi tiêu của một
gia đình tăng trung bình
khoảng 0,51 đôla/tuần.


 Biến giải thích là phi ng.n
 Kỳ vọng toán của Ui bằng 0,

tức: E(Ui/Xi) = 0
 Các Ui có p.sai baèng nhau


Không có t.quan giữa
các Ui, tức


cov(Ui, Uj) = 0
 Ui và Xi không
với nhau, tức

cov(Ui, Xi) = 0

(i ≠ j)
t.quan


ĐỊNH LÝ GAUSS-MARKOV

Với các giả thiết 1-5 của
MH hồi qui tt cổ điển, các
ước lượng của PP OLS sẽ
là các ước lượng tuyến tính,
không chệch và có p.sai
nhỏ nhất.


Đối với hàm hai biến,
ˆ
ˆ
β1 ,β 2 tương ứng là các

ước lượng t.tính, không
chệch, có p.sai nhỏ
nhất của β 1, β 2.


3- Phương sai và sai số
chuẩn của các ước lượng
n

ˆ )=
var(β
1

∑

2
Xi

i =1
n

n

∑

2
xi

i =1

ˆ
ˆ
se(β 1 ) = var(β 1 )

σ

2

ˆ
var(β 2 ) =

σ
n

∑

2
2
xi

i =1

ˆ
ˆ
se(β 2 ) = var(β 2 )


Trong đó: σ = var(Ui)
2

se: sai số chuẩn (Standard Erorr)

σ
được ước lượng bằng
2
ước lượng không chệch σ
ˆ
2

n

2

σˆ =

σˆ =

∑
i =1

2
ei

n−2
2
σˆ là sai số chuẩn


TSS = ∑ ( Yi − Y ) = ∑
n

2

2
Yi

( )

− n. Y

i =1

2

TSS (Total Sum of Squares)
ESS =

(
∑
n

i =1

)

2

ˆY − Y = (βˆ ) 2
i
2

n

∑
i =1

2
xi

ESS (Explained Sum of Squares)


RSS =
 

n

∑
i =1

2
ei

=

(
Y
∑
n

i

ˆ
−Y
i

i =1

)

2

RSS (Residual Sum of Squares)

TSS = ESS + RSS
Nếu hàm hồi qui mẫu phù hợp
tốt với các số liệu quan sát thì
ESS sẽ càng lớn hơn RSS.