Phương pháp tối ưu đàn kiến giải bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất của một đồ thị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 62 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
LÊ THÁI HÒA
PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU ĐÀN KIẾN GIẢI BÀI TOÁN
TÌM TẬP THỐNG TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT ĐỒ THỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Thái Nguyên - Năm 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
LÊ THÁI HÒA
PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU ĐÀN KIẾN GIẢI BÀI TOÁN
TÌM TẬP THỐNG TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT ĐỒ THỊ
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. ĐỖ ĐỨC ĐÔNG
Thái Nguyên - Năm 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dƣới sự chỉ
dẫn của TS. Đỗ Đức Đông. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung
thực, bảo đảm tính khách quan, luận văn này cho đến nay chƣa đƣợc bảo vệ
tại bất kỳ hội đồng nào và chƣa hề đƣợc công bố trên bất kỳ phƣơng tiện
nào khác. Các tài liệu tham khảo có nguồn gốc xuất xứ rõ ràng.
Tác giả xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.
Thái nguyên, ngày 23 tháng 7 năm 2015
Tác giả luận văn
Lê Thái Hòa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
ii
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Đỗ Đức Đông đã trực tiếp
giao cho em đề tài, tận tình hƣớng dẫn và tạo mọi điều kiện cho em hoàn
thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các cán bộ nhân viên
phòng đào tạo, ban lãnh đạo Trƣờng Đại học Công nghệ thông tin và
Truyền thông đã giúp đỡ tạo điều kiện cho em hoàn thành bản luận văn
này.
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn của mình đến giáo sƣ Raka Jovannovic,
ngƣời đã chia sẻ cho em rất nhiều tài liệu về thuật toán tối ƣu hóa đàn kiến
và cũng là ngƣời đã cung cấp cho em bộ dữ liệu để em thử nghiệm trong
bài luận văn này.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia
đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học K12I đã cổ vũ động viên em hoàn
thành tốt luận văn của mình.
Thái nguyên, ngày 23 tháng 7 năm 2015
Học viên Lê Thái Hòa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... ii
MỤC LỤC .................................................................................................... iii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt ........................................................... v
Danh mục các bảng ..................................................................................... vii
Danh mục các hình ..................................................................................... viii
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chƣơng 1. BÀI TOÁN TÌM TẬP THỐNG TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT
ĐỒ THỊ ......................................................................................................... 3
1.1. Bài toán tối ƣu tổ hợp tổng quát ......................................................... 3
1.2. Bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất của một đồ thị (MWDSP) ........... 5
1.3. Các cách tiếp cận hiện nay giải quyết bài toán tìm tập thống trị nhỏ
nhất của đồ thị ............................................................................................ 5
1.3.1. Thuật toán tham lam tìm tập phủ đỉnh nhỏ nhất. .......................... 5
1.3.2. Thuật toán tham lam 1 (Greedy1) ................................................. 6
1.3.2. Thuật toán tham lam 2 (Greedy2) ................................................. 9
1.4. Một số ứng dụng trong thực tế về bài toán MWDSP ....................... 10
1.5. Kết luận chƣơng ................................................................................ 11
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU ĐÀN KIẾN.................................... 13
2.1. Kiến tự nhiên và kiến nhân tạo ......................................................... 13
2.1.1. Kiến tự nhiên............................................................................... 13
2.1.2. Kiến nhân tạo .............................................................................. 17
2.2. Phƣơng pháp ACO cho bài toán TƢTH tổng quát ........................... 18
2.2.1. Đồ thị cấu trúc............................................................................. 18
2.2.2. Thuật toán ACO tổng quát .......................................................... 20
2.3. Phƣơng pháp ACO giải bài toán ngƣời chào hàng ........................... 23
2.3.1. Bài toán TSP và đồ thị cấu trúc .................................................. 23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
iv
2.3.2. Các thuật toán ACO giải bài toán TSP ....................................... 24
2.3.2.1. Hệ kiến AS ........................................................................... 27
2.3.2.2. Hệ đàn kiến ACS ................................................................. 30
2.3.2.3. Hệ kiến Max-Min ................................................................ 33
2.3.2.4. Phƣơng pháp Max-Min trơn: SMMAS (Smoothed Max Min
Ant System) ....................................................................................... 36
2.4. Một số lƣu ý khi sử dụng các thuật toán ACO ................................. 36
2.4.1. Thông tin heuristic ...................................................................... 37
2.4.2. Số lƣợng kiến .............................................................................. 37
2.4.3. Tham số bay hơi.......................................................................... 38
2.5. Kết luận chƣơng ................................................................................ 38
Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU HÓA ĐÀN KIẾN GIẢI BÀI TOÁN
TÌM TẬP THỐNG TRỊ NHỎ NHẤT CỦA ĐỒ THỊ................................. 39
3.1. Xây dựng lời giải .............................................................................. 40
3.2 Cập nhật mùi cho bài toán MWDSP .................................................. 41
3.3. Thực nghiệm và đánh giá .................................................................. 43
3.4. Kết luận chƣơng ................................................................................ 48
KẾT LUẬN ................................................................................................. 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
v
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
Kí hiệu và
chữ viết tắt
Ý nghĩa
Cận trên của vết mùi
Cận giữa của vết mùi
Vết mùi đƣợc khởi tạo ban đầu
Vết mùi trên cạnh
Vết mùi trên đỉnh
Thông tin heuristic trên cạnh
Thông tin heuristic trên đỉnh
Số vòng lặp trong thuật toán ACO
Số kiến sử dụng trong thuật toán ACO
Tham số bay hơi
3-LAS
Three-Level Ant System (Hệ kiến ba mức)
ACO
Ant Colony Optimization (Tối ƣu đàn kiến)
ACS
Ant Colony System (Hệ đàn kiến)
AS
Ant System (Hệ kiến)
G-best
Global-best (Lời giải tốt nhất tính đến thời điểm hiện
tại)
I-best
Iteration-best (Lời giải tốt nhất trong bƣớc lặp hiện tại)
MLAS
Multi-level Ant System (Hệ kiến đa mức)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
vi
MMAS
Max-Min Ant System (Hệ kiến Max Min)
MWDSP
Bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất của đồ thị
SMMAS
Smoothed Max-Min Ant System (Hệ kiến Max Min
trơn)
TSP
Bài toán ngƣời chào hàng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
vii
Danh mục các bảng
Trang
Bảng 2.1: Thuật toán ACO theo thứ tự thời gian xuất hiện……….. 26
Bảng 3.1: Kết quả thực nghiệm trên bộ dữ liệu 1 với kích thƣớc
nhỏ…………………………………………………………………. 44
Bảng 3.2: Kết quả thực nghiệm trên bộ dữ liệu 2 với kích thƣớc
nhỏ…………………………………………………………………. 45
Bảng 3.3: Kết quả thực nghiệm trên bộ dữ liệu 1 với kích thƣớc
lớn…………………………………………………………………. 46
Bảng 3.4: Kết quả thực nghiệm trên bộ dữ liệu 2 với kích thƣớc
lớn…………………………………………………………………. 47
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
viii
Danh mục các hình
Trang
Hình 1.1: Thuật toán tham lam tìm tập phủ đỉnh ..………………..
6
Hình 1.2: Một ví dụ về đồ thị làm cho Greedy1 sai kết quả………..
7
Hình 1.3: Thuật toán tính
trong Greedy1_new………………..
8
Hình 1.4: Thuật toán tính
trong Greedy2_new………………..
10
Hình 2.1: Thực nghiệm cây cầu đôi………………………………...
15
Hình 2.2: Tỉ lệ các con kiến chọn đƣờng đi………………………...
15
Hình 2.3: Thí nghiệm bổ xung……………………………………...
16
Hình 2.4: Đồ thị cấu trúc tổng quát cho bài toán cực trị hàm
………………………………………………………...
20
Hình 2.5: Thuật toán ACO…………………………………………
21
Hình 2.6: Thuật toán ACO giải bài toán TSP có sử dụng tìm kiếm
cục bộ………………………………………………………………
25
Hình 3.1: Thuật toán cập nhật mùi SMMAS cho bài toán MWDSP
42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1
MỞ ĐẦU
Hiện nay, có rất nhiều bài báo, luận văn, luận án hay các công trình
nghiên cứu đề cập đến vấn đề giải quyết các bài toán tối ƣu tổ hợp. Đa số
các bài toán này thuộc lớp các bài toán NP – khó. Trừ các bài toán cỡ nhỏ
có thể tìm lời giải bằng cách tìm kiếm vét cạn, còn lại thì thƣờng không thể
tìm đƣợc lời giải tối ƣu.
Đối với các bài toán kích thƣớc lớn không có phƣơng pháp giải
đúng. Hiện nay, ngƣời ta thƣờng tìm lời giải gần đúng nhờ các thuật toán
mô phỏng tự nhiên nhƣ giải thuật di truyền (Genetic Algorithm - GA), tối
ƣu bầy đàn (Particle Swarm Optimization -PSO)…
Trong các phƣơng pháp mô phỏng tự nhiên, tối ƣu hóa đàn kiến (Ant
Colony Optimization - ACO) là cách tiếp cận metaheuristic tƣơng đối mới,
đƣợc giới thiệu bởi Dorigo năm 1991 đang đƣợc nghiên cứu và ứng dụng
rộng rãi cho các bài toán TƢTH - khó.
Các thuật toán ACO mô phỏng cách tìm đƣờng đi của các con kiến
thực. Trên đƣờng đi, mỗi con kiến thực để lại một vết hoá chất gọi là vết
mùi (pheromone trail) và theo vết mùi của các con kiến khác để tìm đƣờng
đi. Đƣờng có nồng độ vết mùi càng cao thì càng có nhiều khả năng đƣợc
các con kiến chọn. Nhờ cách giao tiếp gián tiếp này đàn kiến tìm đƣợc
đƣờng đi ngắn nhất từ tổ tới nguồn thức ăn. Theo ý tƣởng đó, các thuật toán
ACO sử dụng kết hợp thông tin kinh nghiệm (heuristic) và học tăng cƣờng
qua các vết mùi của các con kiến nhân tạo để giải các bài toán TƢTH bằng
cách đƣa về bài toán tìm đƣờng đi tối ƣu trên đồ thị cấu trúc tƣơng ứng của
bài toán.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2
Bài luận văn này em trình bày phƣơng pháp tối ƣu hóa đàn kiến
ACO để giải quyết bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất của một đồ thị vô
hƣớng. Em sẽ thử nghiệm trên các đồ thị với kích cỡ khác nhau, mật độ
cạnh khác nhau, các chức năng phân phối trọng số trên các đỉnh khác nhau
để thấy đƣợc hiệu quả của thuật toán đề xuất so với một số thuật toán đang
đƣợc sử dụng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
3
Chƣơng 1. BÀI TOÁN TÌM TẬP THỐNG TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
MỘT ĐỒ THỊ
Trong các bài toán thực tế cũng nhƣ trong lý thuyết, ta thƣờng phải
tìm các giá trị cho các biến rời rạc để cực trị hàm mục tiêu nào đó. Các bài
toán này thƣờng dễ phát biểu nhƣng lại khó giải do chúng thuộc loại tối ƣu
tổ hợp (TƢTH) NP - khó. Chƣơng này giới thiệu các bài toán tối ƣu tổ hợp
dƣới dạng tổng quát, bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất và các cách tiếp
cận hiện nay.
1.1. Bài toán tối ƣu tổ hợp tổng quát
Trong đời sống thực tế ta thƣờng phải giải quyết nhiều bài toán
TƢTH quan trọng. Chẳng hạn nhƣ: tìm đƣờng đi ngắn nhất nối hai điểm
trên một đồ thị đã cho, lập kế hoạch phân phối nguồn hàng tới nơi tiêu thụ
với chi phí cực tiểu, lập thời khóa biểu cho giáo viên và học sinh thuận lợi
nhất, định tuyến cho các gói dữ liệu trong Internet, lập lịch hợp lý cho các
hệ thống sản xuất, đối sánh các chuỗi gen trong sinh học phân tử v.v…
Mỗi bài toán TƢTH ứng với một bộ ba ( S , f , ) trong đó:
- S là tập hữu hạn trạng thái (lời giải tiềm năng hay phƣơng án);
- f là hàm mục tiêu xác định trên ;
- là tập các ràng buộc.
Mỗi phƣơng án s S thỏa mãn các ràng buộc gọi là phƣơng án trả
lời (hay lời giải). Mục đích của ta là tìm phƣơng án chấp nhận đƣợc s* tối
ƣu hóa toàn cục hàm mục tiêu , tức là một phƣơng án s* tốt nhất. Chẳng
hạn với bài toán cực tiểu thì ta phải tìm
với mọi phƣơng án
trả lời .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
4
Mỗi bài toán đều có thể chỉ ra một tập hữu hạn gồm
{
} sao cho mỗi phƣơng án
trong
thành phần
đều biễu diễn đƣợc nhờ
và có các đặc
liên kết các thành phần trong nó. Cụ thể hơn, các tập
điểm sau:
là tập các vectơ trên
1) Ký hiệu
{
}
Khi đó, mỗi phƣơng án
định nhờ ít nhất một vectơ trong
2) Tồn tại tập con
nào đó của
3) Từ
của
:
đƣợc xác
trong
.
và ánh xạ
, trong đó tập
rỗng với mọi
có độ dài không quá
từ
lên
sao cho
không
có thể xây dựng đƣợc từ tập con
nhờ thủ tục mở rộng tuần tự dƣới đây.
nhƣ sau:
ta mở rộng tuần tự thành
là mở rộng đƣợc với mọi
i) Ta xem
.
là mở rộng đƣợc và chƣa thuộc
ii) Giả sử
ràng buộc , xác định tập con
. Từ tập
của , sao cho với mọi
)
là mở rộng đƣợc.
thì
iii) Áp dụng thủ tục mở rộng từ các phần tử
đƣợc mọi phần tử của
cho phép ta xây dựng
.
Nhƣ vậy, mỗi bài toán TƢTH đƣợc xem là một bài toán cực trị hàm
có
biến, trong đó mỗi biến nhận giá trị trong tập hữu hạn
kể cả giá trị
rỗng. Nói một cách khác, nó là bài toán tìm kiếm trong không gian vectơ
độ dài không quá
trên đồ thị đầy đủ có các đỉnh có nhãn trong tập .
Chú ý:
Với các bài toán TƢTH có dạng giải tích: Tìm cực trị hàm
trong đó mỗi biến
nhận giá trị trong tập hữu hạn
ứng và các biến này thỏa mãn các ràng buộc nào đó, thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
tƣơng
là tập
5
là các vectơ
và
trong tập
,
là tập
- chiều, trong đó thành phần
còn
nhận giá trị
là tập các vectơ thỏa mãn các ràng buộc .
1.2. Bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất của một đồ thị (MWDSP)
{
Cho một đồ thị vô hƣớng
cạnh của đồ thị. Với mỗi đỉnh
Một tập thống trị của
} trong đó
là tập đỉnh,
có gắn một trọng số
là một tập
đều kề với ít nhất một đỉnh thuộc tập
là tập
.
sao cho mọi đỉnh thuộc
. Trong các tập thống trị đó,
tập thống trị nhỏ nhất là tập thống trị mà tổng trọng số của tất cả các đỉnh
thuộc
nhỏ nhất.
Bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất của đồ thị thuộc lớp bài toán NP-
khó và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Đã có nhiều nhà nghiên cứu đƣa ra
các phƣơng pháp khác nhau để giải quyết bài toán trên, tuy nhiên các thuật
toán này chƣa thực sự hiệu quả.
1.3. Các cách tiếp cận hiện nay giải quyết bài toán tìm tập thống trị
nhỏ nhất của đồ thị
1.3.1. Thuật toán tham lam tìm tập phủ đỉnh nhỏ nhất.
Trƣớc hết ta xét đồ thị mà chƣa quan tâm đến trọng số của các đỉnh
(coi mỗi đỉnh đều có trọng số bằng 1). Khi đó bài toán trở thành “Tìm tập
phủ đỉnh có số lƣợng đỉnh ít nhất”.
Để dễ hình dung ta gọi:
- Tập các đỉnh đã đƣợc chọn vào làm kết quả là các đỉnh tô màu đen
( ).
- Tập các đỉnh không thuộc
nhƣng kề với ít nhất một đỉnh thuộc
gọi là các đỉnh tô màu xám ( ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
6
- Các đỉnh còn lại là các đỉnh chƣa đƣợc phủ gọi là đỉnh tô màu trắng
( ).
Trong tài liệu [4] ngƣời ta đƣa ra ý tƣởng nhƣ sau: Tại mỗi lần lặp
ta kết nạp thêm một đỉnh mới thuộc
hoặc
vào
Việc ƣu tiên chọn đỉnh nào đó kết nạp vào
|
|(
cho đến khi
.
đƣợc xác định bởi giá trị của
là những đỉnh trắng kề với ).
Thuật toán đƣợc mô ta nhƣ sau:
;
While
;
Do
;
Begin
Tìm
(|
| lớn nhất).
;
{ };
;
End;
Hình 1.1: Thuật toán tham lam tìm tập phủ đỉnh
1.3.2. Thuật toán tham lam 1 (Greedy1)
Với ý tƣởng trình bày trong tài liệu [12] ngƣời ta biến đổi đồ thị ban
đầu thành đồ thị đầy đủ bằng cách thêm các cạnh vào đồ thị. Khi đó những
cạnh ban đầu của đồ thị có trọng số bằng 1 (kí hiệu bằng màu đen), cạnh
đƣợc thêm vào có trọng số bằng 0 (kí hiệu bằng màu đỏ).
Khi thêm một đỉnh vào tập
ta phải cập nhật lại đồ thị, tất cả những
cạnh liên thuộc với đỉnh đó sẽ đƣợc tô màu đỏ, những đỉnh kề với nó bằng
cạnh màu đen sẽ đƣợc tô thành màu xám.
Nhƣ vậy sau khi ta kết nạp đƣợc
đổi thành
đỉnh vào
thì đồ thị đƣợc biến
. Khi đó trọng số của cạnh của đồ thị
đƣợc biểu
diễn nhƣ sau:
(1.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
7
Lƣu ý
chỉ nhận giá trị bằng 0 hoặc bằng 1.
Khi muốn kết nạp một đỉnh nào đó vào
thì giải pháp đƣợc chọn
để ƣu tiên nhƣ sau:
∑
(1.2)
(1.3)
thực chất là số lƣợng những đỉnh kề
Từ (1.1) và (1.2) ta thấy
với mà chƣa đƣợc phủ (còn là đỉnh màu trắng).
Nhƣ vậy việc chọn một đỉnh để kết nạp vào
dựa trên hai tiêu chí:
+ Số lƣợng đỉnh màu trắng kề với nó càng nhiều càng tốt.
+ Trọng số của đỉnh đó càng nhỏ càng tốt.
Phép cộng 1 vào tử số để đảm bảo đƣợc việc so sánh giữa các đỉnh
không còn kết nối nữa, tức là những đỉnh cô lập (khi đó ta sẽ chọn đỉnh nào
có trọng số nhỏ hơn).
Theo công thức (1.3) ta thấy rằng khi đồ thị
chỉ gồm các đỉnh cô
lập thì việc lựa chọn đỉnh nào chỉ phụ thuộc vào trọng số của nó chứ không
phân biệt đỉnh đó đã đƣợc phủ hay chƣa. Tức là có thể chọn thêm vào kết
quả đỉnh đã đƣợc tô màu xám mà không kề với bất kỳ đỉnh màu trắng nào.
A
1
C
B
6
5
Một ví dụ về đồ thị làm cho Greedy1 sai kết quả.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
8
Ta có đỉnh A là đỉnh đã đƣợc chọn, bây giờ xét tiếp đỉnh B và C, ta
có:
nên theo Greedy1 thì đỉnh tiếp theo đƣợc chọn vào
Vì
làm kết quả là đỉnh B, sau đó mới chọn đỉnh C. Kết quả cuối cùng bằng
. (kết quả này sai so với kết quả
thực tế).
Ta có thể cải tiến thuật toán này bằng cách thêm vào đồ thị ban đầu
những cạnh khuyên
với
Khi đó nếu một đỉnh màu xám
nằm cô lập (đã đƣợc phủ bởi đỉnh khác) thì giá trị
của nó sẽ bằng
không, trong khi một đỉnh màu trắng nằm cô lập thì giá trị
của nó lại
bằng 1. Vì vậy ta không cần cộng thêm 1 vào tử số, đồng thời tránh đƣợc
sai sót nhƣ trong ví dụ trên (cải tiến này đƣợc minh họa trong chƣơng 3
bằng thuật toán Greedy1_new). Khi đó công thức (1.3) sẽ đƣợc biến đổi
nhƣ sau:
(1.4)
For
to
do
If kề và là đỉnh mầu trắng then
;
Hình 1.3: Thuật toán tính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
trong Greedy1_new.
9
1.3.2. Thuật toán tham lam 2 (Greedy2)
Trong thuật toán tham lam 1 việc lựa chọn các đỉnh chỉ coi trọng số
lƣợng các đỉnh kề với nó chứ không quan tâm đến tổng trọng số của các
đỉnh kề với nó. Tài liệu [6], [11] đã cải tiến công thức trên bằng việc cho
thêm tổng trọng số của các đỉnh màu trắng kề với nó. Nếu tổng trọng số
này càng lớn thì càng đƣợc ƣu tiên.
∑
(1.5)
Cũng tƣơng tự nhƣ thuật toán trƣớc, tại công thức (1.5) giả sử đồ thị
chỉ gồm các đỉnh thuộc W và R (màu trắng và màu xám) nằm cô lập.
Lúc đó
với mọi , làm cho
nhƣ vậy sẽ không có tiêu
chí để chọn lựa đỉnh nào là đỉnh tiếp theo kết nạp vào kết quả. Trên thực tế
ta thấy việc chọn những đỉnh màu xám không có ý nghĩa gì mà chỉ làm xấu
đi kết quả. Vì vậy, để thuật toán tốt hơn ta vẫn phải thêm vào đồ thị ban
đầu những cạnh
với
. Do đó ta có thể sửa công thức (1.5)
thành công thức sau:
∑
(1.6)
Cải tiến này làm cho kết quả tốt hơn đáng kể so với thuật toán
Greedy2 trong [11] (ta gọi thuật toán đã cải tiến là Greedy2_new).
Trong hai thuật toán tham lam đã đề cập ở trên việc thêm những
cạnh khuyên vào đồ thị làm cho thuật toán cải thiện đáng kể vì tránh đƣợc
việc chọn những đỉnh màu xám vào tập kết quả trong khi nó không còn kề
với một đỉnh màu trắng nào. Việc chỉnh sửa công thức chỉ là thay đổi cho
phù hợp sau khi đã thêm các cạnh khuyên chứ không phải là nguyên nhân
chủ yếu làm cho kết quả tốt hơn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
10
For
to
do
If kề và là đỉnh mầu trắng then
{
}
;
Hình 1.4: Thuật toán tính
trong Greedy2_new.
1.4. Một số ứng dụng trong thực tế về bài toán MWDSP
Đa số các bài toán về đồ thị đều đƣợc áp dụng rộng rãi trong thực tế,
bài toán MWDSP cũng không ngoại lệ, có thể đƣa ra một số ứng dụng cụ
thể nhƣ sau:
Ứng dụng 1: Ứng dụng trong việc chọn địa điểm để xây dựng cột phát
sóng điện thoại. Giả sử một công ty viễn thông muốn phát sóng điện thoại
di động cho tất cả
ngôi làng, do địa hình phức tạp nên khi xây dựng cột
phát sóng tại ngôi làng
thì đƣơng nhiên ngôi làng
sẽ đƣợc phủ sóng,
ngoài ra có thể có một số ngôi làng khác cũng sẽ đƣợc phủ sóng. Do giá
thành mặt bằng để thuê đặt cột phát sóng, cũng nhƣ nhiều yếu tố khác làm
cho việc xây dựng và thuê đặt địa điểm của các cột phát sóng tại các ngôi
làng là khác nhau. Vấn đề đặt ra cho công ty này là làm sao xây dựng các
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
11
cột phát sóng để có thể phát sóng cho tất cả mọi ngƣời dân trong
ngôi
làng nói trên nhƣng có chi phí thuê và lắp đặt nhỏ nhất.
Ứng dụng 2: Ứng dụng trong việc xây dựng các công trình nƣớc sạch phục
vụ cho đồng bào vùng cao. Việc xây dựng một công trình nƣớc sạch tại
một địa phƣơng nào đó có thể cấp phát nƣớc cho địa phƣơng đó cũng nhƣ
một số địa phƣơng lân cận khác. Chi phí để xây dựng công trình nƣớc sạch
tại những địa phƣơng khác nhau là khác nhau do việc vận chuyển vật liệu
cũng nhƣ giá thuê nhân công. Vì vậy bài toán đặt ra là phải xây dựng các
công trình nƣớc sạch sao cho có giá thành nhỏ nhất nhƣng vẫn đảm bảo cấp
phát nƣớc đầy đủ cho tất cả các địa phƣơng trên.
Trên thực tế còn có rất nhiều bài toán đƣợc mô hình hóa bởi bài toán
MWDSP chẳng hạn nhƣ bài toán đặt các trạm biến áp điện, bài toán về xây
dựng các đại lí phân phối hàng...
1.5. Kết luận chƣơng
Các bài toán TƢTH
nhằm tìm cực trị hàm
trên tập hữu
hạn trạng thái , thỏa mãn ràng buộc , có vai trò quan trọng trong nghiên
cứu lý thuyết và ứng dụng. Đa số các bài toán trong chúng thuộc loại NPkhó, khi đó với các bài toán cỡ lớn thì không giải đúng đƣợc. Đã có nhiều
phƣơng pháp để giải quyết đƣợc đề xuất, trong đó các phƣơng pháp giải
gần đúng với các kỹ thuật bổ trợ nhƣ tìm kiếm cục bộ, memetic đang đƣợc
sử dụng rộng rãi.
Bài toán tìm tập thống trị nhỏ nhất của đồ thị là một bài toán NP–khó
với không gian bài toán là
(với
là số đỉnh của đồ thị). Bài toán có
nhiều ý nghĩa về mặt khoa học cũng nhƣ ứng dụng trong thực tế.
Có nhiều ý tƣởng tham lam để giải quyết bài toán tìm tập thống trị
nhỏ nhất của đồ thị tuy nhiên các chiến lƣợc tham lam này cho kết quả còn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
12
sai lệnh nhiều so với kết quả thực tế của bài toán. Việc nghiên cứu cách
giải bài toán trên để đạt kết quả tốt hơn là một lĩnh vực đƣợc nhiều nhà
khoa học trong nƣớc và thế giới quan tâm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
13
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU ĐÀN KIẾN
Bài toán tối ƣu hóa tổ hợp là bài toán hấp dẫn và thú vị bởi vì phần
lớn chúng đều dễ để hình dung nhƣng khó mà tìm ra lời giải cho chúng.
Nhiều bài toán tối ƣu tổ hợp là các bài toán NP-khó và chúng không thể
giải đƣợc trong thời gian đa thức. Trên thực tế ngƣời ta thƣờng giải quyết
các bài toán này bằng các phƣơng pháp xấp xỉ, chúng có nghiệm gần tối ƣu
và thời gian chạy khá ngắn. Các thuật toán thuộc lại này tạm gọi là các
thuật toán heuristic, chúng đƣợc sử dụng để giải quyết các bài toán cụ thể.
Mở rộng của chúng là các thuật toán metaheuristic có thể giải quyết đƣợc
cả một lớp các bài toán rộng lớn. ACO là một phƣơng pháp theo hƣớng tiếp
cận nhƣ thế.
Tối ƣu đàn kiến (ACO) là một phƣơng pháp metaheuristic dựa trên ý
tƣởng mô phỏng cách tìm đƣờng đi từ tổ tới nguồn thức ăn của các con
kiến tự nhiên. Đến nay phƣơng pháp này đƣợc cải tiến đa dạng và có nhiều
ứng dụng. Trƣớc khi giới thiệu phƣơng pháp ACO, luận văn sẽ giới thiệu
phƣơng thức trao đổi thông tin gián tiếp của kiến tự nhiên và mô hình kiến
nhân tạo.
2.1. Kiến tự nhiên và kiến nhân tạo
2.1.1. Kiến tự nhiên
Tối ƣu hóa đàn kiến (ACO) là các thuật toán dựa vào sự quan sát bầy
kiến thực. Kiến là loại cá thể sống bầy đàn. Chúng giao tiếp với nhau thông
qua vết mùi mà chúng để lại trên hành trình mà chúng đi qua. Mỗi kiến khi
đi qua một đoạn đƣờng sẽ để lại trên đoạn đó một hóa chất mà chúng ta gọi
là vết mùi. Số lƣợng mùi sẽ tăng lên khi có nhiều kiến cùng đi qua. Các con
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
14
kiến khác sẽ tìm đƣờng đi dựa vào mật độ vết mùi, mật độ vết mùi càng lớn
thì chúng càng có xu hƣớng chọn. Dựa vào hành vi tìm kiếm này mà đàn
kiến tìm đƣợc đƣờng đi ngắn nhất từ tổ đến nguồn thức ăn và sau đó quay
trở tổ của mình.
Thí nghiệm trên cây cầu đôi
Có rất nhiều nghiên cứu để tìm hiểu hành vi của loài kiến đã đƣợc
tiến hành, một trong những thí nghiệm nổi tiếng nhất là thí nghiệm của
Deneubourg và các cộng sự của ông năm 1989, thí nghiệm này là cơ sở lý
thuyết đầu tiên và cũng tạo ra ý tƣởng cho thuật toán ACO mà Dorigo đƣa
ra sau này.
Họ đã thực nghiệm với tỉ lệ độ dài đƣờng r =
nhau của chiếc cầu đôi, trong đó
giữa hai nhánh khác
là độ dài của nhánh dài còn
là độ dài
của nhánh ngắn.
Trong thực nghiệm thứ nhất, chiếc cầu đôi có hai nhánh bằng nhau (r
= 1, hình 2.1.a). Ban đầu, kiến lựa chọn đƣờng đi một cách tự do từ tổ đến
nguồn thức ăn, cả hai nhánh đều có kiến đi, nhƣng sau một thời gian các
con kiến này tập trung đi theo cùng một nhánh. Kết quả có thể đƣợc giải
thích nhƣ sau: ban đầu không có vết mùi nào trên cả hai nhánh, do đó kiến
lựa chọn nhánh bất kỳ với xác suất nhƣ nhau. Một cách ngẫu nhiên, sẽ có
một nhánh có số lƣợng kiến lựa chọn nhiều hơn nhánh kia. Do kiến để lại
vết mùi trong quá trình di chuyển, nhánh có nhiều kiến lựa chọn sẽ có nồng
độ mùi lớn hơn nồng độ mùi của nhánh còn lại. Nồng độ mùi trên cạnh lớn
hơn sẽ ngày càng lớn hơn vì ngày càng có nhiều kiến lựa chọn. Cuối cùng,
hầu nhƣ tất cả các kiến sẽ tập trung trên cùng một nhánh. Thực nghiệm này
cho thấy là sự tƣơng tác cục bộ giữa các con kiến với thông tin gián tiếp là
vết mùi để lại cho phép điều chỉnh hoạt động vĩ mô của đàn kiến.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
15
Hình 2.1: Thực nghiệm cây cầu đôi
(a) Hai nhánh có độ dài bằng nhau. (b) Hai nhánh có độ dài khác nhau.
Hình 2.2. Tỉ lệ các con kiến chọn đƣờng đi.
(a) Hai nhánh có độ dài bằng nhau. (b) Hai nhánh có độ dài khác nhau.
Trong thực nghiệm thứ hai (xem hình 2.1b), độ dài của nhánh dài
gấp đôi độ dài nhánh ngắn (tỉ lệ r = 2). Trong trƣờng hợp này, sau một thời
gian tất cả các con kiến đều chọn đoạn đƣờng ngắn hơn. Cũng nhƣ trong
thực nghiệm thứ nhất, ban đầu đàn kiến lựa chọn hai nhánh đi nhƣ nhau,
một nửa số kiến đi theo nhánh ngắn và một nửa đi theo nhánh dài (mặc dù
trên thực tế, do tính ngẫu nhiên có thể một nhánh nào đó đƣợc nhiều kiến
lựa chọn hơn nhánh kia). Nhƣng thực nghiệm này có điểm khác biệt quan
trọng với thực nghiệm thứ nhất: Những kiến lựa chọn đi theo nhánh ngắn
sẽ nhanh chóng quay trở lại tổ và khi phải lựa chọn giữa nhánh ngắn và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
