Giải phương trình sóng bằng công nghệ mạng nơron tế bào

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

VƯƠNG THỊ TÚ NGA

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG BẰNG CÔNG NGHỆ
MẠNG NƠ RON TẾ BÀO

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ ĐỨC THÁI

Thái Nguyên - năm 2016


1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là kết nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của
giáo viên hướng dẫn khoa học TS. Vũ Đức Thái. Các số liệu, kết quả trình bày
trong luận văn là trung thực, bảo đảm tính khách quan. Nội dung đóng góp mới
trong luận văn này cho đến nay chưa được báo cáo hay công bố trên bất kỳ kỷ yếu,
tạp chí khoa học nào. Các nội dung trích dẫn đều có tài liệu tham khảo có nguồn
gốc xuất xứ rõ ràng.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2016

Học viên

Vương Thị Tú Nga


2

LỜI CẢM ƠN

Sau một khoảng thời gian cố gắng tìm tòi, nghiên cứu luận văn với đề tài
“Giải phương trình sóng bằng công nghệ mạng nơron tế bào” đã được hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Vũ Đức Thái – người đã
trực tiếp giao cho em đề tài, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho em hoàn
thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các cán bộ nhân viên phòng Đào
tạo Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông đã giúp đỡ tạo điều kiện
cho em hoàn thành bản luận văn này.
Nhân dịp này, Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình,
bạn bè và tập thể lớp Cao học CK13C đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình
học tập và làm luận văn của mình.
Tuy đã có những cố gắng nhưng do thời gian và trình độ có hạn nên chắc
chắn luận văn này còn nhiều thiếu sót và hạn chế nhất định. Kính mong nhận được
sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2016
Học viên

Vương Thị Tú Nga

3

MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục ................................................................................................................... 4
Danh mục các chữ viết tắt........................................................................................ 6
Danh mục các bảng ................................................................................................ 7
Danh mục các hình ................................................................................................. 8
MỞ ĐẦU...................................................................................................................10
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH
SÓNG HAI CHIỀU
1.1. Phương trình vi phân và phương trình vi phân đạo hàm riêng……………….12
1.1.1. Các dạng phương trình đạo hàm riêng………………………………………… 12
1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến
độc lập……………………………………………………………………………………….13
1.1.3. Phương pháp sai phân…………………………………………………………..…13
1.1.4. Một số dạng phương trình đạo hàm riêng…………………………………..…16
1.1.5. Các khái niệm cơ bản về công nghệ mạng nơron tế bào CNN………………18
1.2. Phương pháp giải PDE bằng công nghệ mạng nơron tế bào ............…………27
1.3. Giới thiệu về ứng dụng Matlab ……………………………………………….29
1.3.1. Tổng quan về Matlab……………………………………………………………….29
1.3.2. Giao diện làm việc………………………………………………………………….30
1.3.3. Các thao tác cơ bản trên Matlab………………………………………………….31
1.3.4. Biến……………………………………………………………………………………32
1.3.5. Toán tử……………………………………………………………………………….33
1.3.6. Biểu thức……………………………………………………………………………..33
1.3.7. Ma trận……………………………………………………………………………….34

CHƯƠNG 2: KIẾN TRÚC MẠNG CNN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
2.1. Phương trình mô tả sóng dao động hai chiều…………………………………35
2.1.1. Thiết lập phương trình dao động của màng …….…………………………...35


4

2.1.2. Giải phương trình dao động bằng giải tích…………………..…………………37
2.2. Giải phương trình sóng bằng công nghệ mạng CNN………………………….41
2.2.1. Mối quan hệ giữa phương trình đạo hàm riêng và CNN………………………41
2.2.2. Điều kiện để PDE giải được bằng CNN………………………………………....43
2.2.3. Giới thiệu một số phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN………………47
2.2.4. Khái quát các dạng PDE giải trên CNN…………………………………………53
2.3. Vấn đề ổn định của mẫu……………………………………………………….59
2.3.1.Chứng minh sự ổn định của mạng bằng phương pháp hàm Lyapunov ......59
2.3.2. Sự ổn định của mạng CNN có mẫu đối xứng……………………………………61
2.3.3. Chứng minh sự ổn định của mạng CNN theo hàm dấu………………………..62
2.4. Mạng CNN giải phương trình sóng hai chiều…………………….…………...64
2.4.1. Biến đổi phương trình vi phân ban đầu………………………………………….64
2.4.2. Lưu đồ mô tả thuật toán …………………………………………………….……..65
CHƯƠNG 3: CÀI ĐẶT MÔ PHỎNG TÍNH TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
SÓNG TRÊN MATLAB
3.1 Mô tả bài toán và các điều kiện ràng buộc…………………………………....66
3.2. Kích thước và hằng số vật lý của tấm phẳng…………………………….........69
3.3. Các điều kiện ràng buộc và tính toán mô phỏng……………………………..70
3.3.1. Giả thiết giá trị và trạng thái ban đầu…………………………………….……..71
3.3.2. Kết quả tính toán ……………………………………………………...……………73
KẾT LUẬN………………………………………………………………….…….73
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….…….74

5

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Tiếng Anh

Tiếng Việt

CNN

Cellula Neural Network

Công nghệ mạng nơron tế bào

CNN-UM

CNN Universal Machine

Máy tính CNN

Partial Differential Equation

Phương trình đạo hàm riêng

FPGA

Field Programable Logic Array

Ma trận cổng logic lập trình được

VLSI

Very Large Scale Intergrated

Chip tích hợp mật độ cao

VHDL

Very High hardware description
language

Ngôn ngữ đặc tả phần cứng dùng
lập trình cấu hình chip FPGA

PDE


6

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 3.1. Giá trị đầu vào của bài toán ở thời điểm t=0 .......................................... 72
Bảng 3.2. Tại thời điểm t+t (giả sử chọn t = 0.05 giây) .................................... 73
Bảng 3.3. Giá trị hàm dao động 0,5 giây (trạng thái của tấm phẳng sau 1 giây) ….74


7

DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 1.1. Một cell của CNN tuyến tính đơn giản.....................................................18
Hình 1.2. Kiến trúc CNN chuẩn...............................................................................19
Hình 1.3. Dạng đồ thị hàm ra của một tế bào...........................................................20
Hình 1.4. Kiến trúc làm việc của mạng CNN...........................................................22
Hình 1.5. CNN không gian bất biến với 3 láng giềng..............................................23
Hình 1.6. Một số kiến trúc CNN không chuẩn........................................................24
Hình 1.7. Kiến trúc CNN 2 chiều 3 lớp...................................................................25
Hình 1.8. Mô tả một hệ CNN 1D có 5 tế bào ..........................................................29
Hình 1.9. MATLAB desktop...................................................................................31
Hình 2.1. Mô hình màng chữ nhật............................................................................36
Hình 2.2. Hình biểu diễn các dạng màng ứng với các dao động.............................41
Hình 2.3. Mô hình mẫu của phương trình truyền âm................................................51
Hình 2.4. Mô hình mạng CNN 1D...........................................................................54
Hình 2.5 . Lưới sai phân hai chiều…………………………………………………55
Hình 2.6. Sơ đồ các tế bào trong CNN 2D................................................................56
Hình 2.7 Mô hình mạch cho bài toán giải hệ PDE..................................................57
Hình 2.8. Hệ CNN 3D..............................................................................................58
Hình 2.9 Mẫu ổn định...............................................................................................63
Hình 2.10 Các mẫu CNN....................................................................................................63

Hình 2.11 Mạng CNN giải phương trình dao động của tấm phẳng.........................65
Hình 2.12 Mạng CNN giải phương trình sóng.........................................................65
Hình 2.13. Lưu đồ thuật toán tính toán bằng CNN..................................................67
Hình 2.14. Khối tính toán số học của mạng CNN..................................................67
Hình 3.1. Tấm phẳng và các trạng thái dao động.....................................................68
Hình 3.2. Mô phỏng dao động của một điểm...........................................................70
Hình 3.3. Sự biến thiên dao động của tấm phẳng....................................................70

8

Hình 3.4. Hình ảnh ban đầu thời điểm t0 của tấm phẳng.........................................71
Hình 3.5. Hình ảnh thời điểm t0+t của tấm phẳng..............................................32
Hình 3.6. So sánh hình ảnh của tấm sau 1 giây....................................................74
Hình 3.7. Hình ảnh của tấm tại thời điểm t=t0+2 t (1 giây)..................................75
Hình 3.8. Hình ảnh tấm phẳng với nhiều sóng.......................................................75
Hình 3.9. Dao động của tấm phẳng với điều kiện ban đầu như hình 3.8..............76


9

Mở đầu
Khoa học tính toán ngày càng phát triển là công cụ đắc lực cho các nhà
nghiên cứu trong các lĩnh vực khác nhau để có thể xử lý tính toán giải các bài toán
phức tạp. Việc tính toán giải các bài toán có độ phức tạp cao như giải các hệ
phương trình đại số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, mô phỏng
cho các hệ thống, cơ sở dữ liệu lớn đang đặt ra những nhu cầu về những giải pháp
tính toán mới. Việc sử dụng công cụ máy tính tốc độ cao, với các ngôn ngữ lập trình
chuyên dụng giúp cho việc giải các bài toán trước đây gặp nhiều khó khăn trở nên
dễ dàng đơn giản và đặc biệt là độ chính xác cao hơn. Tuy nhiên, với sự phát triển
của khoa học, các nhà khoa học luôn cần có những công cụ tính toán mới mạnh, có
kích thước số lớn và tốc độ cao để có thể đáp ứng yêu cầu tính toán ngày càng phức
tạp trong sự phát triển của các bài toán tính toán khoa học.
Công nghệ thông tin là một khoa học ứng dụng, từ những công cụ như ngôn
ngữ lập trình, các phần mềm chuyên dụng giúp cho các nhà khoa học ở các lĩnh vực
như toán, lý, sinh, hóa giải quyết được nhiều bài toán mà con người không thể giải
quyết nếu không có công cụ tính toán mạnh. Tuy đã được áp dụng nhiểu nhưng các
bài toán khoa học vẫn cần được nghiên cứu để bổ sung những thành tựu của khoa

học tính toán làm cơ sở cho những ứng dụng thực tế. Những phương pháp toán học
dùng trong vật lý học hiện đại rất đa dạng bao gồm một khối lượng lớn các kiến
thức thuộc các chuyên đề như hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phân,
các phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính ... Phương trình dao động - sóng cơ
học là một trong những phương trình rất cơ bản của cơ học và đến nay có nhiều
dạng phương trình được xây dựng và phát triển với những mô hình thực nghiệm,
phương trình toán học mô tả khác nhau [8,9].
Nghiên cứu giải phương trình sóng dao động hai chiều nhằm mục đích nâng
cao năng lực của học viên trong việc vận dụng lý thuyết vào giải một bài toán ứng


10

dụng cụ thể. Phát triển ứng dụng của công nghệ tính toán vào thực tế khẳng định ý
nghĩa của công nghệ thông tin đối với lĩnh vực tính toán khoa học.
Phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là bài toán có ứng dụng
nhiều trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật mô tả các hiện tượng xảy ra trong
chuyển động, dao động cơ học cổ điển, chuyển động trong vũ trụ, truyền âm, truyền
nhiệt, truyền sóng điện từ. Phần lớn các hiện tượng trên đều được mô tả bằng
phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng nên giải phương
trình vi phân đạo hàm riêng là nhu cầu cần thiết trong thực tế. Phương trình vi phân
có nhiều loại, có nhiều cách giải khác nhau như: phương pháp giải tích, phương
pháp sai phân với các công thức sai phân đã tiến hành cài đặt trên máy PC. Các máy
tính thông thường hiện nay có thể giải được nhưng với tốc độ chậm, một số trường
hợp không đáp ứng được với ứng dụng cần tốc độ tính toán cao.
Công nghệ mạng nơron tế bào (Cellular Neural Network-CNN) là mô hình
tính toán song song vật lý với các mảng các chip có mật độ lớn thực hiện tính toán
đồng thời (có tốc độ tính toán cực nhanh cỡ micro giây). Do vậỵ áp dụng công nghệ
CNN vào giải phương trình đạo hàm riêng có nhiều triển vọng trong tương lai đáp
ứng cho các bài toán trong thời gian thực, hệ điều khiển, tự động hoá. Chính vì vậy

em chọn đề tài “Giải phương trình sóng bằng công nghệ mạng nơron tế bào”.
Luận văn này thực hiện nghiên cứu về công nghệ CNN và ứng dụng vào giải
phương trình sóng hai chiều. Đề tài này tập trung nghiên cứu các nội dung sau:
- Nghiên cứu phương trình toán học, kiến trúc điện tử, phương pháp phân tích
bài toán theo công nghệ CNN dựa trên lý thuyết thiết kế mẫu CNN và tính ổn định
của mạng.
- Nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên điều kiện
ban đầu, phương pháp sai phân Taylor áp dụng vào giải phương trình sóng phẳng là
một dạng dao động xảy ra trên một bề mặt phẳng dưới tác động ngoại lực tập trung
tại thời điểm ban đầu.
- Xây dựng mô hình kiến trúc mạng CNN cho phương trình sóng phẳng.
- Cài đặt mô phỏng tính toán và đánh giá kết quả trên công cụ Matlab.


11

Chương 1. Phương trình đạo hàm riêng
và phương trình sóng dao động hai chiều

1.1. Phương trình vi phân và phương trình vi phân đạo hàm riêng
1.1.1. Các dạng phương trình đạo hàm riêng
Trong các bài toán xuất phát từ khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật nhiều
hiện tượng lý hóa xảy ra được mô tả bằng các phương trình toán học. Các phương
trình mô tả có thể là phương trình đại số, phương trình siêu việt hoặc phương trình
chứa các đạo hàm của hàm cần tìm, khi đó ta có phương trình vi phân. Nếu ẩn hàm
cần tìm là hàm có hơn một biến thì phương trình được gọi là phương trình vi phân
đạo hàm riêng hay gọi tắt là phương trình đạo hàm riêng.
Định nghĩa 1.1. Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có chứa đạo hàm riêng
của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [5,6,7]. Ví dụ:
u u u



0
x y z

(1.1)

 2u  2u  2u


u
x 2 y 2 z 2

(1.2)

phương trình (1.1) và (1.2) là các phương trình đạo hàm riêng của hàm chưa biết là
u(x,y,z);
Cấp của phương trình: là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của (1.1)
là cấp 1; cấp của (1.2) là cấp 2.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và các
đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với lũy thừa bậc nhất và không có tích của chúng với


12

nhau. Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp hai đối với hàm hai biến x,y
là:
A( x, y)

 2u

 2u
 2u
u
u

2
B
(
x
,
y
)

C
(
x
,
y
)
 D( x, y)  E ( x, y) F ( x, y)u  G( x, y)
2
2
x
xy
y
x
y

(1.3)

nếu G(x,y)  0 thì phương trình gọi là thuần nhất, nếu không gọi là không thuần
nhất.
Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó vào
phương trình ta được một đồng nhất thức. Ví dụ: u(x,y) = x + y – 2z là nghiệm của
(1.1), hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phương trình (1.2).
1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến
độc lập
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, trong đó
hàm u ( x, y ) chưa biết phụ thuộc hai biến độc lập ( x, y ) là
A( x, y)

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B
(
x
,
y
)

C
(
x
,
y

)
 D( x, y)  E ( x, y)  F ( x, y)u  G( x, y)
2
2
xy
x
y
x
y

(1.4)

Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình có dạng (1.4) nhờ những phép
biến đổi thích hợp có thể đưa về một trong ba dạng sau:
a) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì bằng các phép biến đổi thích hợp có
thể đưa phương trình (1.4) trong miền ấy về dạng
 2u  2u
u
u
 2  D1
 E1
 F1u  G1 ( , )
2





(1.5)

Trong trường hợp này phương trình (1.5) gọi là phương trình loại eliptic.
b) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.4) trong miền ấy có
thể đưa về dạng
 2u  2u
u
u
 2  D2
 E2
 F2 u  G2 ( , )
2





(1.6)

Trong trường hợp này phương trình (1.6) gọi là phương trình loại hypebolic.
c) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.4) trong miền ấy có
thể đưa về dạng


13

 2u
u
u
 D3
 E3
 F3u  G3 ( , )

2




(1.7)

Trong trường hợp này phương trình (1.7) gọi là phương trình loại parabolic.
1.1.3. Phương pháp sai phân
Trong lĩnh vực toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan tới
phương trình vi phân thường. Trong mục 1.1.2 ta có thể sử dụng các phương pháp
tìm nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân
hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các
bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì
nghiệm tường minh của bài toán không có hoặc có nhưng rất phức tạp. Chính vì vậy
chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng. Do nhu cầu
của thực tiễn và của sự phát triển lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất
nhiều phương pháp để giải gần đúng các phương trình vi phân thường (các phương
pháp giải tích như phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica,
các phương pháp số như phương pháp một bước, phương pháp Ađam, phương pháp
Runghe-Kuta,…) [8,9].
Để tiện trình bày phương pháp ta xét một bài toán cụ thể sau.
Đặt bài toán.
Cho các số a, b với a  b .
QT  a  x  b ; 0  t  T  ;

QT  a  x  b ; 0  t  T  .

Tìm hàm số u ( x, t ) thoả mãn
Lu 

u  2 u

 f ( x, t )
t x 2

u ( x,0)  g ( x)

u ( a, t )  g a (t )

u (b, t )  g b (t )

( x, t )  QT

(1.8)

a xb

(1.9)

0t T

Lưới sai phân.
Chọn hai số nguyên N  1 , M  1 và đặt
h

ba
N

x i  a  ih

i  0,1,2,...., N

(1.10)


14



T
M

t j  j.

j  0,1,2,...., M

Ta chia miền QT thành ô bởi những đường thẳng x  xi , t  t j , mỗi điểm

x , t 
i

j

được gọi là một nút và ký hiệu là i , j  . Mục tiêu của phương pháp là tìm

nghiệm gần đúng của bài toán tại các nút i , j  . Giá trị h gọi là bước không gian,
giá trị  gọi là bước thời gian.
Tập tất cả các nút i , j  tạo thành một lưới sai phân trên QT .
Xấp xỉ các đạo hàm.

Áp dụng công thức Taylor ta có
u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j 1 )
2



u
( xi , t j )  o( )
t

u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( x i 1 , t j )
h2



(1.11)

 2u
( xi , t j )  o( h 2 )
x 2

(1.12)

Từ đó ta thấy có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phương án khác nhau
để thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Bài toán sai phân.
j
Bài toán đặt ra là phải tìm nghiệm gần đúng vi  u ( xi , t j ) .

* Xuất phát từ

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u
( xi , t j )  o( )
t

u ( x i 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )
h2



 2u
( xi , t j )  o(h 2 )
2
x

suy ra
u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )
h2





u
 2u
( x i , t j )  2 ( x i , t j )  o(  h 2 ) .
t
x

j

Để tính v i ta đưa về bài toán sai phân sau:

v ij 1  v ij



v ij1  2v ij  vij1

 f ( x i , t j ) i  1..N  1, j  0..M  1 (1.13)
h2


15

vi0  g ( xi ) ; i  1..N  1 ; v0j  g a (t j ) v Nj  g b (t j )
đặt  


h

( 

2


h

2



(1.14)

j  1..M

1
) thì (1.13) được viết thành:
2

vij 1  (1  2 )vij   (vij1  vij1 )   f ( xi , t j )

(1.15)

Từ (1.15) ta thấy nếu biết ba điểm vij1 , vij , vij1 thì tính được vij 1 với các điều kiện
đầu cho giá trị ở lớp thời gian đầu tiên j  0 , các giá trị trên biên cho ở (1.14)
* Nếu ta xuất phát từ

u( xi , t j 1 )  u( xi , t j )





u
( xi , t j 1 )  o( )
t

u( xi 1 , t j 1 )  2u( xi , t j 1 )  u( xi 1 , t j 1 )
h2

 2u
 2 ( xi , t j 1 )  o(h 2 )
x

thì ta có
u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u ( x i 1 , t j 1 )  2u ( x i , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 )
h2



u

 2u
( xi , t j 1 )  2 ( xi , t j 1 )  o(  h 2 )
t
x
Từ đó ta có bài toán sai phân sau:


vij1  vij



vij11  2vij 1  vij11

 f (xi , t j 1 ) i  1..N  1, j  0..M  1
h2

0
i

i  1..N 1

v  g ( xi )

v0j  ga (t j ) vNj  gb (t j )
Đặt  


h2

j  1..M

ta đưa hệ về dạng sau:

 vij11  (1 2 )vij1   vij11  vij  f (xi , t j1 )
v0j1  0.v1j1

0.vNj11

 ga (t j1)

 vNj1  gb (t j1)

i  1..N  1, j  0..M  1

j  0..M 1

j  0..M 1

Từ hệ trên ta thấy nếu biết vij thì ta tính được vij11 , vij 1 , vij11 với vi0  g ( xi )
Việc giải hệ này được thực hiện bằng phương pháp truy đuổi ba đường chéo.
1.1.4. Một số dạng phương trình đạo hàm riêng
- Phương trình đạo hàm riêng Burgers


16

Phương trình đạo hàm riêng Burger là phương trình phi tuyến mô tả mật độ
của các hạt chất lỏng chuyển động hỗn độn do nội năng phân tử trong khối chất
lỏng [12]. Giả thiết vận tốc các hạt tăng lên tỷ lệ với mật độ của các hạt.
Phương trình mô tả như sau :

u(x, t) 1 2u(x, t)
u(x, t)

 u(x, t)
 F(x, t)
2
t
R x
x

hoặc viết gọn là:
u
1  2u
u

u
F
2
t
R x
x

Trong đó:
• Hàm u(x,t) là mật độ trung bình của các hạt trong hệ tọa độ 0x là hàm của biến
không gian x và biến thời gian t.
• F(x,t) là hàm đã biết đặc trưng cho nguồn nhiệt bên ngoài trao đổi với khối chất
lỏng, nếu F(x,t) =0 coi như khối chất lỏng không trao đổi nhiệt với bên ngoài.
• R: là tham số vật lý đặc trưng cho mỗi chất lỏng.
- Phương trình đạo hàm riêng Lotka volterra.
Phương trình Lotka - Volterra còn được gọi là một phương trình vi phân thường [8]

được sử dụng để mô tả sự biến đổi của các hệ thống sinh học mà trong đó hai loài
tương tác với nhau. Trong đó một là động vật ăn thịt và một được xem như con mồi.
Các quần thể thay đổi qua thời gian theo cặp phương trình:

trong đó:
• x là số con mồi
• y là số động vật ăn thịt
•

dx dy
;
đại diện cho tốc độ tăng trưởng của hai quần thể theo thời gian
dt dt

• t là biến thời gian


17

• α, β, γ, δ :Là các thông số mô tả sự tương tác giữa hai loài.
- Phương trình đạo hàm riêng Black- Scholes:
Phương trình Black Scholes [7] là một phương trình đạo hàm riêng trong đó
miêu tả sự phụ thuộc của giá một sản phẩm phát sinh theo thời gian và theo sản
phẩm sản phẩm nền (underlying asset). Phương trình như sau:

trên miền S Î [0,+¥ ),t Î [0,T]
Trong đó:








N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
T - t là thời gian còn lại đến kì hạn.
S là giá giao ngay (spot price) của tài sản gốc.
K là giá điểm (strike price).
r là lãi suất không rủi ro.
là biến động giá của tài sản gốc.

1.2. Các khái niệm cơ bản về công nghệ mạng nơron tế bào CNN
 Kiến trúc, mô hình toán học của mạng CNN
Mạng nơ ron tế bào được L.O. Chua và L. Yang đưa ra năm 1988 có kiến
trúc chuẩn là một mảng hai chiều các tế bào (cell) mà mỗi tế bào là một chip xử lý,
các tế bào chỉ có liên kết cục bộ với các tế bào láng giềng [11,12,14]. Các tế bào có
cấu tạo giống hệt nhau gồm các điện trở, tụ tuyến tính; các nguồn dòng tuyến tính
và phi tuyến (Hình1.1). Cho đến nay kiến trúc mạng CNN đã được phát triển đa
dạng phức tạp nhưng vẫn hoạt động dựa trên nguyên tắc mà Chua và Yang đưa ra.
vxij

vuij

Eij

I


C

vyij

Rx
Ry



Ixu(ij,kl)

Ixy(ij,kl)

Hình 1.1. Một cell của CNN tuyến tính đơn giản

Iyx


18

Một ví dụ điển hình của ô C(i,j) của CNN được chỉ ra trong hình trên. Các
thông số vxij, vyij vuij lần lượt là trạng thái, đầu ra, đầu vào của điện áp. Với điện áp
trạng thái vxij được giả sử rằng điều kiện ban đầu có độ lớn nhỏ hơn hay bằng 1.
Điện áp vào vuij giả sử là hằng số với độ lớn nhỏ hơn hay bằng 1. Mỗi cell C(i,j)
chứa một điện áp nguồn độc lập Eij, một nguồn dòng độc lập I, 1 tụ tuyến tính C, 2
trở tuyến tính Rx và Ry. Ixy(i,j;k,l) và Ixu(i,j;k,l) là nguồn dòng điều khiển điện áp
tuyến tính với đặc tính Ixy(i,j:k,l) = Aij,kl vykl và Ixu(i,j:k,l) = Bij,kl vukl đối với mọi
C(k,l) Nr(i,j). Phần tử phi tuyến duy nhất trong mỗi một cell là nguồn dòng điều
khiển điện áp ngược. Ixy = (1/R)f(vxy). Cặp hệ số Aij,kl và Bij,kl được gọi là hệ số hồi
tiếp mẫu và hệ số điều khiển mẫu. Chúng ta giả sử rằng mọi cell đều có cùng tham
số và như vậy có cùng mẫu (biến không gian). Tên gọi mẫu vô tính được sử dụng để
nhấn mạnh đặc trưng này của biến. Điều này có nghĩa là tập 2.(2r+1)2 +1 số thực

Aij,kl và Bij,kl xác định hoàn toàn hoạt động của hệ CNN hai chiều có độ lớn bất kỳ.
Các mẫu có thể được diễn tả bằng dạng thu gọn bởi các bảng hoặc ma trận.
Một kiến trúc mạng CNN chuẩn bao gồm một mảng hình chữ nhật MxN các tế
bào (cell), mỗi tế bào C(i,j) trong không gian hệ toạ độ Đề các hai chiều: 0xy với i =
1,…,M; j = 1,…,N (Hình 1.2).

Hình 1.2. Kiến trúc CNN chuẩn

 Các phương trình toán học mô tả mạng
- Phương trình trạng thái:


19

(1.16)
trong đó:
xi,j(t) là biến trạng thái của tế bào,
Nr là tập các điểm lân cận có tương tác với điểm (i,j) chính là các điểm thuộc mặt
cầu tác dụng Sr.
Hàm ykl(t) là hàm mô tả điện áp ra;
ukl(t) là hàm mô tả điện áp vào.
- Phương trình đầu ra:

yij  f ( xij ) 

1
1
| xij  1 |  | xij -1 |
2
2

(1.17)

Đây được gọi là chuẩn phi tuyến

Hình 1.3. Dạng đồ thị hàm ra của một tế bào

hàm f(xij) tuyến tính có giá trị trong khoảng xác định [-1,1]

Giá trị hàm ra yij được đưa vào mẫu hồi tiếp A để tính toán trạng thái của tế
bào C(i,j) cho bước thời gian tiếp theo, ngoài ra giá trị này còn gửi cho tế bào lân cận
như thông tin lan truyền. Như vậy, khi hoạt động hệ CNN vừa xử lý tín hiệu tại chỗ
(local) bằng việc thay đổi trạng thái của tế bào, vừa lan truyền thông tin qua các lân


20

cận đến toán bộ mạng CNN (global). Mô hình toán học này thể hiện tính “nơ ron”
của CNN như các nơ ron thần kinh của cơ thể sống vừa trực tiếp thực hiện các xử lý
tại chỗ vừa truyền thông tin lên não bộ để ra các quyết định xử lý toàn cục.
Thực ra, tùy theo kiến trúc CNN cũng có trường hợp không có sự lan truyền
tín hiệu trong toàn mạng CNN, ta gọi là CNN không ghép cặp. Có trường hợp hệ
CNN không có tín hiệu vào (mẫu B=0) mà chỉ thay đổi trạng thái ban đầu với các
tương tác nội tại trong CNN.
- Trạng thái ban đầu:
xij(0); i=1,…, M; j=1,…, N
- Đầu vào:
Trước khi xử lý, ta phải thiết lập giá trị trạng thái ban đầu cho mỗi tế bào.
Giá trị này được mô tả bằng phương trình đầu vào:
vuij = Eij

1  i  M; 1  j  N

- Các ràng buộc:
Để đảm bảo cho hệ CNN làm việc ổn định cần có một số điều kiện ràng buộc,
những điều kiện nay đã được nghiên cứu chứng minh về mặt toán học. Ở đây chỉ
đưa ra điều kiện ràng buộc về điện áp trạng thái ban đầu và điện áp vào. Dựa trên cơ
sở này, khi thiết kế mạch tế bào người ta chọn các giá trị tụ điện C và điện trở Rx,
Ry cho thích hợp.
|vxij(0)|  1

1  i  M; 1  j  N

|vuij(0)|  1

1  i  M; 1  j  N

- Các tham số giả định:
Giả thiết này thể hiện tính đối xứng và được gọi là thuộc tính “vô tính” của tế bào,
các tế bào có thể hoán đổi vị trí cho nhau nhưng không ảnh hưởng tới quá trình tính
toán, nghĩa là các tế bào có kiến trúc giống hệt nhau giúp cho việc chế tạo dễ dàng,
đơn giản:
A(i,j;k,l) = A(k,l;i,j) 1  i  M; 1  j  N
C > 0; Rx > 0
trong đó C, Rx là điện dung và điện trở tuyến tính trong mạch điện của tế bào.


21

 Mô hình làm việc của mạng CNN

Theo như cấu trúc xử lý của tế bào C(i,j) được mô tả trong Hình 1.1. Trước
khi xử lý ta thiết lập trạng thái ban đầu cho tế bào và các láng giềng. Sau đó tính
hàm ra tại thời điểm t0, theo công thức (1.17). Trạng thái của tế bào C(i,j) ở thời
điểm t1 được tính theo công thức (1.16) với các mẫu (A,B,z) tương ứng. Giá trị
ngưỡng z cho thấy nếu tổng trọng số đưa vào vượt qua một giá trị nào đó thì trạng
thái của tế bào mới thay đổi, nếu không tế bào giữ nguyên trạng thái như thời điểm
t0. Quá trình tính toán được thực hiện liên tục và được đưa ra khi cần thiết. Tuy
nhiên, quá trình này diễn ra rất nhanh, với mạch analog chỉ là thời gian quá độ của
mạch điện. Như vậy công nghệ CNN có thể thực thi tính toán cho những không
gian tính toán lớn và khối lượng tính toán đồ sộ các kết quả đưa ra gần như liên tục
với thời gian tính bằng mili giây hoặc thậm chí với công nghệ mạch điện tử VLSI
hiện nay có thể tới mcro giây. Mô hình này có thể mô phỏng các xử lý của hệ thần
kinh với mật độ tế bào có độ phân giải lớn.

Hình 1.4. Kiến trúc làm việc của mạng CNN
Mô hình hóa quá trình xử lý trên CNN, chúng ta xét trường hợp tổng quát
được mô tả trực quan về tương tác giữa các tế bào thông qua mẫu, với hệ CNN có
đủ các tham số. Cấu trúc luồng tín hiệu của một CNN với 3x3 láng giềng, 2 bóng
hình nón bóng mầu tím là biểu tượng của trọng số bổ sung của điện áp đầu vào (giá
trị của ma trận trọng số B) và bóng mầu vàng là biểu tượng của trọng số hồi tiếp từ
đầu ra (giá trị của ma trận trọng số A) của tế bào C(k,l)S1(i,j) tới trạng thái điện áp


22

của tế bào trung tâm C(i,j). Cấu trúc hệ thống của tế bào C(i,j) được mô tả trong
Hình 1.5. Mũi tên in đậm đánh dấu đường dữ liệu song song từ đầu vào và đầu ra
của các tế bào láng giềng ukl và ykl. Mũi tên trên các đường mảnh theo thứ tự biểu
thị ngưỡng, đầu vào, trạng thái và đầu ra, z, uij, xij và yij.

Đầu vào U

Trạng thái X

Đầu ra Y

Hình 1.5 CNN không gian bất biến với 3 láng giềng

 Phân loại mạng CNN
- Phân loại theo hình trạng
Về mặt hình trạng mạch (topology) chúng ta có thể phân loại CNN thành các
mô hình khác nhau. Ngoài kiến trúc chuẩn như đã giới thiệu trên, sau đây chúng ta
xét một số mô hình tiêu biểu:
+ CNN không đồng nhất: (NUP – CNN) có hai loại tế bào được mô tả bởi ô trắng
và đen trong Hình 1.6.a Cấu trúc NUP-CNN có chứa hơn một kiểu tế bào trên lưới
trong khi các tế bào tương tác với nhau là biến không gian.
+ CNN đa lân cận (MNS-CNN: Multiple Neighborhood Size – CNN): CNN có hai
kiểu lân cận như Hình 1.6.b. Mọi chip trong mạch có cấu tạo phần cứng giống nhau
nhưng chia làm hai lớp lưới (P, S). Lưới P có các lân cận r=1; lưới S là lớp trên
hoặc dưới của lưới P có r=3. Kiến trúc MNS-CNN có chứa những lớp có những
lưới và lân cận khác nhau, chúng mô phỏng theo hệ thống tế bào tự nhiên. Trường
hợp đặc biệt của MNS-CNN với hai kiểu lân cận chỉ chứa một chip trong lớp S, và
mọi chíp khác đều kết nối tới con chíp này. Như đã nói CNN có cấu tạo rất linh hoạt
tùy theo yêu cầu giải quyết xử lý của mỗi bài toán, do vậy người ta cũng đưa ra mô


23

hình MSN-CNN. Loại MSN-CNN không phổ biến chỉ sử dụng trong một số trường
hợp đặc biệt cho những bài toán thích hợp.

(a)

(b)

Hình 1.6. Một số kiến trúc CNN không chuẩn
(a) Không đồng nhất; (b) Đa lân cận
+ Kiến trúc CNN đa lớp: Như đã xét ở phần trước, một lớp CNN đơn, mỗi tế bào
chỉ có một biến trạng thái. Với bài toán có nhiều biến trạng thái (như giải hệ phương
trình vi phân có nhiều biến) người ta cần một hệ có nhiều lớp gọi là cấu trúc đa lớp
Hình 1.7. Trong cấu trúc CNN đa lớp có nhiều biến trạng thái cho mỗi đầu vào.
Khái niệm đa lớp nhấn mạnh đến sự tương tác giữa các biến trong một lớp, giữa các
lớp. Có thể hình dung một hệ CNN đa lớp là kết hợp của nhiều lớp đơn xếp chồng
lên nhau, ngoài tương tác giữa các tế bào trong một lớp còn có tương tác giữa các
lớp.
Khi có nhiều biến trạng thái ta có thể chọn nhiều kiểu tương tác đồng thời
cho mỗi biến trạng thái khác nhau. Thuộc tính này làm cho CNN cực kỳ linh hoạt
và cho phép chúng ta giải quyết những bài toán xử lý phức tạp.


24

23

22

21

Hình 1.7. Kiến trúc CNN hai chiều 3 lớp

Một cách tổng quát trong CNN đa lớp, kích thước và hình trạng liên kết có
thể khác nhau giữa các lớp. Ký hiệu mỗi lớp kj trong đó k kích thước của lớp (nếu
k = 2 nghĩa là ở lớp j có là ma trận 2 chiều MxN), j là chỉ số của lớp. Xét một hệ
CNN hai chiều 3 lớp (Hình 1.7) có ký hiệu các lớp là 21, 22, 23 trong đó mỗi lớp
là các ma trận 3x5. Tuy nhiên, để đơn giản hoá ta coi kích thước của các lớp là
giống nhau nên ta có thể bỏ chỉ số k, chỉ còn chỉ số j (j) với mọi j{1,2,...n}. Ta
thấy mỗi tế bào ta xét trong Hình 1.7 không chỉ liên kết với các tế bào trong lớp mà
còn liên kết với các tế bào trong lớp trên và dưới. Một cách tổng quát chúng ta có
thể coi kích thước của các lân cận của mỗi tế bào ở mỗi lớp là tùy ý.
- Phân loại theo thời gian xử lý
+ Discrete-Time Cellular Neural Network (DT-CNN): Xử lý các tín hiệu rời rạc
theo thời gian
+ Continuous-Time Cellular Neural Network (CT-CNN): Xử lý các tín hiệu liên
tục theo thời gian
- Phân loại theo tín hiệu đầu vào
+ CNN tuyến tính (Linear CNN): Tín hiệu đưa vào xử lý là tín hiệu tuyến tính.
CNN loại này được sử dụng cho xử lý các tín hiệu tuyến tính rất phù hợp cho một
số thao tác cơ bản trong xử lý ảnh tuyến tính. Mẫu CNN tuyến tính được ký hiệu: