Giao trinh bai tap 2 động lực học chất điểm

Nội dung
1.
2.
3.
4.

Nhiệt ñộng lực học

Nguyên lý thứ nhất
Nguyên lý thứ hai – Cách phát biểu của Kelvin
Nguyên lý thứ hai – Cách phát biểu của Clausius
Nguyên lý thứ hai – Entropy

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1. Nguyên lý thứ nhất
• Nội năng gồm:

Lord Kelvin

Rudolf Clausius

Sadi Carnot

– ñộng năng (tịnh tiến, quay, dao ñộng) của các phân
tử,
– thế năng tương tác trong các phân tử,
– thế năng tương tác giữa các phân tử.

• Độ biến thiên nội năng của một hệ bằng tổng
công và nhiệt mà hệ trao ñổi với chung quanh.

Ludwig Boltzmann

dU = dW + dQ

• Công, nhiệt cho ñi là âm
• Công, nhiệt nhận là dương

∆U = W + Q

• Công, nhiệt phụ thuộc quá trình
• ∆U không phụ thuộc quá trình


Bài tập 1
Một lượng khí nitơ (N2) ñược nung nóng ñẳng áp,
thực hiện một công bằng 2,0 J.
Tìm nhiệt lượng mà chất khí nhận ñược.

Trả lời BT 1
• Theo nguyên lý thứ nhất:
∆U = nCV ∆T
Q = ∆U − W
• Công trong quá trình ñẳng áp:
W = − P∆V
• Từ pt trạng thái ta ñược:
P∆V = nR∆T
⇒ n∆T = P∆V R = −W R

Đường ñẳng nhiệt

Q

f
|W|

• Vậy:
∆U = −CV W R = − ( 5 2 )W
Q = − ( 7 2 )W = 7,0 J

Bài tập 2
Hai mol khí lý tưởng ở nhiệt ñộ 300K ñược làm
lạnh ñẳng tích cho ñến khi áp suất giảm ñi 2 lần.
Sau ñó khí dãn nở ñẳng áp ñể trở lại nhiệt ñộ ban
ñầu.
Tìm nhiệt toàn phần do chất khí hấp thụ trong
suốt quá trình trên.

Trả lời BT 2 – Cách 1
• Nhiệt trao ñổi trong quá
trình ñẳng tích i→t:

Q1 = ∆U1 = nCV ∆T1
Q1 = −nCV Ti 2
• Nhiệt trao ñổi trong quá
trình ñẳng áp t→f:

Q2 = ∆U 2 − W2

∆U 2 = nCV ∆T2 = nCV Ti 2
W2 = − Pi Vi 2 = −nRTi 2

Đường ñẳng nhiệt
Pi

i

½Pi

f
t

Ti
½Ti
Vi

2Vi


Trả lời BT 2 – Cách 1 (tt)
• Tổng nhiệt trao ñổi trong cả hai quá trình là:

Q = Q1 + Q2 = nRTi 2
Q = 2,0 ( mol ) × 8,314 ( J mol.K ) × 150 ( K ) = 2,5kJ

• Q > 0: hệ nhận nhiệt.
• Nhiệt trao ñổi trong quá trình nở ñẳng nhiệt từ i
ñến f là:
2V

Q3 = −W3 = − nRTi ln i = − nRTi ln 2
Vi
• Nhiệt trao ñổi phụ thuộc vào quá trình.

Trả lời BT 2 – Cách 2 (tt)
• Nhiệt trao ñổi trong quá trình ñẳng áp:
Q2 = ∆U 2 − W2
• Suy ra tổng nhiệt trao ñổi trong quá trình i→t→f:
Q = Q1 + Q2 = ( ∆U1 + ∆U 2 ) − W2

Q = −W2 = PV
i i 2 = nRTi 2
Q = 2,0 ( mol ) × 8,314 ( J mol.K ) × 150 ( K ) = 2,5kJ

Trả lời BT 2 – Cách 2
• Xét chu trình i→t→f→i:
∆U = ∆U1 + ∆U 2 + ∆U 3
• Trong một chu trình ∆U = 0
• Trong quá trình ñẳng nhiệt
từ f tới i: ∆U3 = 0
• Do ñó:
∆U1 + ∆U 2 = 0
• Nhiệt trao ñổi trong quá
trình ñẳng tích:
Q1 = ∆U1

Đường ñẳng nhiệt
Pi

i

½Pi

f
t

Ti
½Ti
Vi

2Vi

Bài tập 3
Ba mol khí lý tưởng ở 273K ñược dãn nở ñẳng
nhiệt cho ñến khi thể tích tăng lên 5 lần.
Sau ñó khí ñược nung nóng ñẳng tích ñể trở về áp
suất ban ñầu.
Nhiệt toàn phần trao ñổi trong suốt quá trình là 80
kJ.
Tìm chỉ số ñoạn nhiệt γ = CP/CV của khí này.


Trả lời BT 3

Trả lời BT 3 (tt)

• Nhiệt trao ñổi trong quá
trình ñẳng nhiệt:

• Tổng nhiệt trao ñổi trong suốt quá trình:

Q = Q1 + Q2 = nT ( R ln 5 + 4CV )
• Suy ra nhiệt dung mol ñẳng tích:

Q1 = −W1 = nRT ln (V f Vi )

Q1 = nRT ln 5

P

i

f
5T

• Nhiệt trao ñổi trong quá
trình ñẳng tích:

Q2 = ∆U 2 = nCV ∆T2

t
V

5V

Q2 = 4nCV T

T

1 Q
CV = 21,075 ( J / mol.K )

CV = 
− R ln 5 
4  nT

• Chỉ số ñoạn nhiệt của chất khí:

γ=

CP CV + R
R
=
= 1+
CV
CV
CV

γ = 1, 4

Bài tập 4
Một mol khí oxy (O2) ở nhiệt ñộ 290K ñược nén
ñoạn nhiệt cho ñến khi áp suất tăng lên 10 lần.
Tìm:
(a) nhiệt ñộ khí sau khi nén;
(b) công mà khí nhận ñược.

Trả lời BT 4 – 1
• Trong quá trình ñoạn nhiệt:
γ

nRT 

PV γ = P 
 = const
 P 
1−γ

⇒ P γ T = const

• Vậy nhiệt ñộ sau quá trình
nén là:
1−γ

 Pi  γ
T f = Ti  
 Pf 

Các ñường ñẳng nhiệt
Quá trình ñoạn nhiệt


Trả lời BT 4 – 2
• Nếu phân tử O2 là rắn (không dao ñộng) ta có:
5
CV = RT
2
7
⇒γ =
5
• Suy ra:

7

CP = CV + R = RT
2
1− γ
2
=−
γ
7

1
T f = 290 ( K ) ×  
 10 

−

2
7

= 560 ( K )

2a. Cách phát biểu của Kelvin
• Hiện tượng sau ñây có vi phạm nguyên lý thứ
nhất không?
• Tách cà phê nóng bỗng nhiên nguội ñi và cà phê
bắt ñầu xoáy tròn như ñược khuấy.
• Năng lượng bảo toàn: nội năng ñã chuyển thành
công làm cho cà phê chuyển ñộng xoáy tròn.
• Tuy nhiên, hiện tượng trên không hề xảy ra.
• Kelvin: không thể biến nhiệt hoàn toàn thành
công mà không có một biến ñổi nào khác xảy ra.

Trả lời BT 4 – 3
• Công trong quá trình ñoạn nhiệt:

W = ∆U = nCV ∆T
5
W = n R∆T
2
5
W = 1( mol ) × × 8,314 ( J mol.K ) × ( 560 − 290 )( K )
2
= 5,6 ( kJ )

2b. Động cơ nhiệt – 1
• Động cơ nhiệt là một thiết bị:
– hoạt ñộng theo chu trình,
– nhận nhiệt từ một nguồn nóng,
– biến một phần nhiệt thành
công,
– và thải phần còn lại ra nguồn
lạnh.

• Trên giản ñồ PV chu trình của
ñộng cơ nhiệt là một ñường:
– khép kín,
– hướng theo chiều kim ñ.hồ.


2b. Động cơ nhiệt – 2
• Hiệu suất của ñộng cơ nhiệt:

• Động cơ Carnot:
– dùng tác nhân là khí lý tưởng,
– hoạt ñộng theo chu trình
Carnot.

W
Qh
• Trong một chu trình:
e=

• Hiệu suất:

∆U = 0 = Qh + Qc + W

• Suy ra:
Nguyên lý 2 (Kelvin):
Động cơ lý tưởng có e = 1
không tồn tại!

Qc
Qh

Tc
Th
• Trong các ñộng cơ hoạt ñộng
giữa hai nguồn có nhiệt ñộ như
nhau, ñộng cơ Carnot có hiệu
suất lớn nhất.
eCarnot = 1 −

Qh − Qc − W = 0

e = 1−

2c. Động cơ Carnot

Bài tập 5
Một ñộng cơ nhiệt lý tưởng làm việc theo chu
trình Carnot. Nhiệt ñộ nguồn nóng và nguồn lạnh
tương ứng là 400 K và 300 K. Nhiệt lượng mà tác
nhân nhận của nguồn nóng trong một chu trình là
600 cal. Nhiệt lượng mà tác nhân truyền cho
nguồn lạnh trong một chu trình là:
A. 150 cal
B. 450 cal
C. 200 cal
D. 400 cal

Trả lời BT 5
• Hiệu suất ñộng cơ Carnot:

Q
Tc
= 1− c
Th
Qh
• Suy ra:
T
Qc = Qh c
Th

300 ( K )
Qc = 600 ( cal )
= 450 ( cal )
400 ( K )
e = 1−

• Trả lời: B


Bài tập 6
Một ñộng cơ Carnot dùng tác nhân là hydrô (H2).
Tìm hiệu suất của ñộng cơ nếu trong quá trình nở
ñoạn nhiệt:
(a) thể tích tăng lên 2 lần.
(b) áp suất giảm ñi 2 lần.

Trả lời BT 6 (a)
• Trong quá trình nở ñoạn nhiệt:
ThVBγ −1 = TcVCγ −1
• Suy ra:
γ −1
γ −1
Tc  VB 
1

=
= 
Th  VC 
 2
• Chỉ số ñoạn nhiệt của khí lý

tưởng lưỡng nguyên tử:

γ =7 5
• Vậy:
e = 1 − 0,52 5 = 0, 24

Trả lời BT 6 (b)
• Trong quá trình nở ñoạn nhiệt:
1−γ

Th PB

γ

1−γ

= Tc PC

γ

• Suy ra:
1−γ

1−γ

Tc  PB  γ
=  =2 γ
Th  PC 
• Vậy:

e = 1 − 2−2 7 = 0,18

Bài tập 7
Xét một ñộng cơ dùng tác
nhân khí lý tưởng hoạt ñộng
theo chu trình Stirling gồm
hai ñường ñẳng nhiệt và hai
ñường ñẳng tích.
Động cơ hoạt ñộng giữa hai
nguồn có nhiệt ñộ Th = 95°C
và Tc = 24°C.
Tìm hiệu suất của ñộng cơ.

A
Qh
B
Th
D

Qc

C

Tc


Trả lời BT 7
• Công thực hiện trong quá
trình nở ñẳng nhiệt:
WAB = − nRTh ln VB VA

• và trong quá trình nén ñẳng
nhiệt:
WCD = − nRTc ln VD VC

Trả lời BT 7 (tt)
• Nhiệt nhận từ nguồn nóng trong quá trình nở ñẳng
nhiệt:
Qh = −WAB = nRTh ln VB VA
• Vậy hiệu suất của ñộng cơ Stirling là:

A
Qh
B
Th
D

Qc

C

• Ta có:
VB VA = VC VD

e=

W Th − Tc
=
Qh
Th

e=

95°C − 24°C
= 0,19
( 95 + 273) K

Tc

• Vậy công toàn phần:

W = − nR (Th − Tc ) ln VB VA

3a. Cách phát biểu của Clausius
• Hãy xem xét hiện tượng sau:
• Đầu nguội của chiếc muỗng khuấy cà phê bỗng
lạnh ñi và ñầu kia, nằm trong cà phê nóng, lại
nóng thêm.
• Nhiệt chỉ chuyển từ ñầu nguội sang ñầu nóng:
nguyên lý thứ nhất không bị vi phạm.
• Nhưng hiện tượng trên cũng không hề xảy ra.
• Clausius: không thể chuyển nhiệt từ nguồn lạnh
sang nguồn nóng mà không có một biến ñổi nào
khác xảy ra.

3b. Máy lạnh (bơm nhiệt) – 1
• Máy lạnh là thiết bị
–
–
–
–

hoạt ñộng theo chu trình,
nhận công từ bên ngoài,
bơm nhiệt từ nguồn lạnh,
và thải nhiệt ra nguồn nóng.

• Trên giản ñồ PV chu trình của
máy lạnh là một ñường
– khép kín,
– quay ngược chiều kim ñồng
hồ.


3b. Máy lạnh (bơm nhiệt) – 2
• Máy lạnh có hiệu suất:
Q
K= c
W
• Trong một chu trình ta có:

• Máy lạnh Carnot:

• Hiệu suất:

W − Qh + Qc = 0

• Suy ra:

Qc
>1

Qh − Qc

P

– dùng tác nhân là khí lý tưởng,
– hoạt ñộng theo chu trình
Carnot ngược.

∆U = W + Qh + Qc = 0

K=

3c. Máy lạnh Carnot

Nguyên lý 2 (Clausius):
Máy lạnh lý tưởng có K = ∞
không tồn tại!

Một tủ lạnh có hiệu suất bằng 5,00. Tủ lạnh bơm
ñược 120 J nhiệt trong mỗi chu trình. Tìm:
(a) Công cung cấp trong mỗi chu trình.
(b) Nhiệt thải ra chung quanh trong mỗi chu trình.

S = |W |

Qc

Tc
K Carnot =
Th − Tc

• Trong các máy lạnh hoạt ñộng
giữa hai nguồn có nhiệt ñộ như
nhau, máy lạnh Carnot có hiệu
suất lớn nhất.

Bài tập 8

Qh

Trả lời BT 8
• Hiệu suất máy lạnh:
Q
K= c
W

Qc 120 ( J )
=
= 24,0 ( J )
5,00
K
• Trong mỗi chu trình ta có:
W =

∆U = W + Qh + Qc = 0
Qh = W + Qc = 120 + 24 = 144 ( J )

Th
Tc
V

Bài tập 9

Trả lời BT 9

Một tủ lạnh có hiệu suất bằng 3,00. Nhiệt ñộ ngăn
ñá là −20,0°C, và nhiệt ñộ phòng là 22,0°C. Mỗi
phút tủ có thể chuyển 30,0g nước ở 22,0°C thành
30g nước ñá ở −20,0°C.
Tìm công suất cung cấp cho tủ lạnh.

Q1
Nước ở 22°C

Nước ở 0°C

Q2

Nhiệt dung riêng của nước

4186 J/kg.°C

Nhiệt dung riêng của nước ñá

2090 J/kg.°C

Nhiệt ñóng băng của nước

3,33×105

J/kg

Trả lời BT 9
• Ta có:
Q
W = c
K

W t=

Qc t
K

• Nhiệt bơm ra khỏi tủ trong một ñơn vị thời gian:
Qc
= mH 2 0cH 2 0 ( 22°C ) + mH 2 0 L + mice cice ( 20°C )
t
Qc
= 1, 4 × 104 J min = 233 J s
t
• Suy ra công suất cung cấp: P = 77,8 W

Q3
Nước ñá ở
0°C

Nước ñá ở
−20°C

4a. Cách phát biểu thứ ba – 1

• Xét hiện tượng sau:
• Hương cà phê ñang lan tỏa khắp phòng bỗng quay
về loanh quanh ở tách cà phê.
• Các phân tử chỉ sắp xếp lại vị trí của chúng,
nguyên lý thứ nhất không bị vi phạm.
• Nhưng hiện tượng trên không bao giờ xảy ra.
• Có những hiện tượng chỉ diễn tiến theo một chiều,
là chiều tăng của entropy.
quá trình bất thuận nghịch


4a. Cách phát biểu thứ ba – 2

4a. Cách phát biểu thứ ba – 3

• Ví dụ về quá trình bất thuận nghịch:

• Các quá trình thuận nghịch:
Chân không

– khí dãn nở trong chân không.
– sự khuếch tán các hạt,
– sự truyền nhiệt ...

Màn
Khí

• Trong một hệ cô lập, entropy luôn
luôn tăng hoặc giữ nguyên không
ñổi.

• Ngược lại, các quá trình bất thuận nghịch:
– diễn tiến nhanh,
– không ñi qua các trạng thái cân bằng,
– không thể biểu diễn bằng một ñường cong trên
giản ñồ PV.

– Entropy tăng trong các quá trình bất
thuận nghịch,
– không ñổi trong các quá trình thuận
nghịch.

4b. Entropy – 1
• Entropy là một hàm trạng
thái, ñộ biến thiên entropy
của một hệ giữa hai trạng
thái ñược xác ñịnh bởi:

P

Quá trình
thuận nghịch
i

dQ
f
T

f

dQ
∆S = ∫
T
i
• Tích phân ñược tính theo
một quá trình thuận nghịch
bất kỳ nối liền hai trạng
thái.

– diễn tiến chậm,
– ñi qua các trạng thái cân bằng,
– có thể biểu diễn bằng một ñường cong trên giản ñồ
PV.

4b. Entropy – 2
• Độ biến thiên entropy
trong một quá trình vi phân
thuận nghịch:
dQ
dS =
T

P

i
dQ
f
T

V

V

: quá trình vi phân

: quá trình vi phân

dQ : nhiệt trao ñổi trong
quá trình vi phân

dQ : nhiệt trao ñổi trong
quá trình vi phân

T : nhiệt ñộ hệ trong quá
trình vi phân

T : nhiệt ñộ hệ trong quá
trình vi phân


Bài tập 10

Trả lời BT 10

Một mole khí lý tưởng ở nhiệt
ñộ 300K dãn nở ñoạn nhiệt
trong chân không, có thể tích
tăng gấp ñôi.
Hãy tìm ñộ biến thiên entropy
của khí.

• Khí nở ñoạn nhiệt trong chân không nên không
trao ñổi công và nhiệt: Q = 0, W = 0
∆U = nCV ∆T = 0
• Vậy nhiệt ñộ khí cũng không ñổi, bằng 300K.
• Độ biến thiên entropy:

Vỏ cách nhiệt
Chân không
Màn
Khí ở 300K

f

f

dQ 1
Q
∆S = ∫
= ∫ dQ = = 0
T Ti
T
i
• Kết quả này là sai, vì sao?
• Tích phân trong công thức trên phải ñược tính
theo một quá trình thuận nghịch nối liền i và f.

Trả lời BT 10 (tt)
• Nối liền hai trạng thái
bằng một quá trình nở

ñẳng nhiệt ở T = 300K:
f

Bài tập 11

P

f

dQ 1
Q
∆S = ∫
= ∫ dQ =
T Ti
T
i
V
Q = −W = nRT ln f
Vi
V
∆S = nR ln f
Vi
∆S = 1728,85 ( J K )

T
Vi

Vf

V

Cho 100g nước ñá ở T0 = 0°C vào một bình cách
nhiệt ñựng 400g nước ở nhiệt ñộ T1 = 40°C. Cho
biết nhiệt dung riêng của nước c = 4,18 J/g.°C,
nhiệt nóng chảy nước ñá λ = 333 J/g.
(a) Tính nhiệt ñộ cuối cùng sau khi quá trình cân
bằng.
(b) Tính ñộ biến thiên entropy của quá trình
trên.


Trả lời BT 11 – 1

• Nhiệt do nước ở 40°C tỏa ra:
Qout = m1c ( 40 − T f )

Nước ñá 0°C
Nước 40°C

Qin,1

(1)

Qout

Nước 0°C

(3)

Qin,2

(2)

Trả lời BT 11 – 2

Bình cách nhiệt

Nước Tf°C
Nước Tf°C

• Nhiệt do nước ñá ở 0°C hấp thụ ñể chuyển thành
nước cũng ở 0°C:
Qin,1 = m0λ
• Nhiệt do nước ở 0°C hấp thụ:
Qin ,2 = m0c (T f − 0 )
• Hệ cách nhiệt nên Qout = Qin:
m1c ( 40 − T f ) = m0λ + m0 cT f

|Qout| = Qin,1 + Qin,2

⇒

T f = 16°C

Trả lời BT 11 – 3

Trả lời BT 11 – 4

• Tìm ñộ biến thiên entropy khi nước ñá có khối
lượng m0 ở 0°C tan thành nước ở 0°C.

• Xét một quá trình tan chảy thật chậm ñể có thể
coi là thuận nghịch, ta có:

• Tìm ñộ biến thiên entropy của một vật khối lượng
m khi nhiệt ñộ thay ñổi từ Ti ñến Tf.
• Đặt vật tiếp xúc với một bình ñiều nhiệt và thay
ñổi nhiệt ñộ của bình ñiều nhiệt thật chậm.
• Khi ñó quá trình thay ñổi nhiệt ñộ có thể coi là
thuận nghịch.
• Độ biến thiên entropy của vật:
Tf
T
dQ
dT
∆S = ∫
= mc ∫
= mc ln f
T
T
Ti
Ti
• c là nhiệt dung riêng của vật.

∆S1 = ∫

dQ
T0

∆S1 =

Qin ,1
1
dQ
=
T0 ∫
T0

∆S1 =

m0λ
T0

Quá trình tan chảy xảy ra ở
nhiệt ñộ không ñổi T0 = 0°C


Trả lời BT 11 – 5
• Áp dụng hệ thức trên cho các quá trình thay ñổi
nhiệt ñộ ñang xét ta có:
T

f
T
dQ
dT
∆S 2 = ∫
= m0 c ∫
= m0 c ln f
T
T

T0
T0

T

f
T
dQ
dT
∆S3 = ∫
= m1c ∫
= m1c ln f
T
T
T1
T1

• Độ biến thiên entropy toàn phần:
∆S = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3
∆S = 12 ( J K )

4b. Entropy – 4
• Chia một bình có 3 hạt làm hai nửa bằng nhau,
• và coi mỗi cấu hình là một cách sắp xếp các hạt vào một
trong hai nửa bình, ta có tất cả 8 cấu hình vi mô.
• Số cấu hình ứng với ba hạt phân tán khắp bình là W1 = 6,
• và ứng với cả ba phân tử dồn một phía là W2 = 2.
• W1 > W2 : Trạng thái phân tán có entropy lớn hơn trạng
thái co cụm.
• Do ñó nếu ñể tự nhiên các hạt sẽ phân tán khắp bình.

4b. Entropy – 3
• Entropy của hệ tăng theo số
cấu hình vi mô W:
S = k ln W
• Trong một bình khí, mỗi cấu
hình vi mô ứng với một cách
hoán vị các phân tử.
• W càng lớn hệ càng hỗn loạn:
entropy là số ño mức ñộ hỗn
loạn của hệ.