Giao trinh bai tap đề cuối kỳ 2014 2015 ca 1

ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY
HKI -2014-2015.
Môn Thi: Giải tích 1
Ngày thi: 31/01/2015.
Thời gian: 90 phút

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán - Ứng dụng

CA 1
Hình thức thi: TỰ LUẬN.
2
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = √
.
x 4 − x2
+∞

Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I =
0
+∞

Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
ln 2

√

1 + x2
dx.
xm (1 + xm+1 )

dx
.
(1 − e2x )ex

Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi
√
y = 2 − x, x = y, y = 0
quay quanh trục Oy.
Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân
(xy − y) arctan

y
=x
x

thỏa điều kiện y(1) = 0.
Câu 6: Giải phương trình vi phân y − 3y + 2y = 2xe2x .
Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân
x (t) = x(t) − y(t) + et ,
y (t) = x(t) + 3y(t) − 3.
Đề gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy


Đáp án CA 1
2
1) y= √

. TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2). 3 TCĐ: x = 0, x = ±2.
x 4 − x2
√
√
4x2 − 8
. Cực đại (− 2, −1), cực tiểu ( 2, 1).
y =
x2 (4 − x2 )3
√
√
−2
−2
0
2
+2
x
BBT:

f (x)

f (x)

+

−∞

−

0

−1

||

−∞ ||

+∞

2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I =
0

−

+∞

0

+

. Vẽ ĐT.
+∞

1

√

1 + x2
dx =
xm (1 + xm+1 )

1
0

+

+∞
1

= I1 + I2 . Hàm f (x) > 0, ∀x > 0

1
. Suy ra I1 hội tụ khi và chỉ khi m < 1.
xm
1
1
x → +∞ : f ∼ 2m . Suy ra I2 hội tụ khi và chỉ khi m >
x
2
1
Vậy I hội tụ khi và chỉ khi < m < 1.
2
dx
dt
+∞
+∞
3 ) Tính I = ln 2 x
. Đặt t = ex ⇒ I = 2
.
2x
e (1 − e )

(1 − t2 )t2
+∞
1
1
1 t+1 1
1 1
+∞
I= 2
+ 2 dt =
ln
−
I = − ln 3.
2
1−t
t
2 t−1 t 2
2 2
√
4 ) Tính Vy , D : y = 2 − x, y = x, y = 0.
38π
1
2 √
Cách 1: Vy = 2π 0 x.xdx + 2π 1 x 2 − xdx(1đ) =
15
38π
0
2 2
2
Cách 2: Vy = π −1 [(2 − y ) − y ]dy(1đ) =
15

y
5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan = x thỏa điều kiện y(1) = 0.
x
1
y
y
y =
y + x . Đặt u = x
arctan
x
dx
1
arctan udu =
=⇒ u arctan u − ln(1 + u2 ) = ln |x| + C.
x
2
y
y 1
y2
Thay điều kiện: C = 0. Vậy nghiệm arctan + ln(1 + 2 ) = ln |x|.
x
x 2
x
x → 0+ : f ∼

6 ) Giải y − 3y + 2y = 2xe2x .
Nghiệm thuần nhất y0 = C1 ex + C2 e2x
yr = x(Ax + B)e2x
=⇒ A = 1, B = −2. Vậy y = C1 ex + C2 e2x + (x2 − 2x)e2x .
7 ) Giải hệ phương trình vi phân

x (t) = x(t) − y(t) + et ,
y (t) = x(t) + 3y(t) − 3.

Cách 1: Khử x
y − 4y + 4y = et + 3 =⇒ y(t) = C1 e2t + C2 te2t + et +
3
Suy ra x = −C1 e2t + C2 (2t − 2)e2t − 2et + .
4
Cách 2: Khử y : x − 4x + 4x = −2et + 3 .

3
4