Giao trinh bai tap 7 trả lời câu hỏi phần cơ học 01

Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu

Chương I:

TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

I.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
a) Điện tích nguyên tố là điện tích nhỏ nhất có trong tự nhiên e = 1,6 x 10-19 C.
b) Vật tích điện dương: khi nguyên tử hay phân tử trung hòa của vật bò mất electron.
c) Vật tích điện âm: khi nguyên tử hay phân tử trung hòa của vật nhận thêm electron.
d) Điện tích điểm: vật có kích thước rất nhỏ tích điện.
e) Hệ điện tích điểm: tập hợp nhiều điện tích điểm phân bố rời rạt.
f) Vật tích điện: là hệ điện tích điểm phân bố liên tục và có mối liên kết rắn.
Đònh luật bảo toàn điện tích:“ Trong 1 hệ cô lập, điện tích luôn được bảo toàn”.
I.2. ĐỊNH LUẬT COULOMB : Đònh luật tương tác giữa 2 điện tích điểm.
r
Phát biểu: Hai điện tích điểm q1 và q2 đặt cách nhau một đoạn r thì chòu tác dụng tương tác bởi lực F1 ,
r
r
r
r
r
k q1 .q 2 r21
k q1 .q 2 r12
F2
F2 .
F1 = . 2 .
F2 = . 2 .
F1
q2
ε r

ε r
r21
r12
r
r21
q1 , q2 : các điện tích điểm
r
q1
r21
: vectơ đơn vò hướng từ điện tích gây ra tác dụng
r21
⎧ * Điểm đặt: tại điện tích đang xét.
q2 đến điện tích chòu tác dụng q1 .
⎪ * Phương: đt nối từ q1 đến q2
1
Nm 2
k = 9.10 9
=
⎪ * Chiều: q1.q2 > 0 lực đẩy
4π .ε 0
C2
⎨
q1.q2 < 0 lực hút
2
⎪
−12 C
: hằng số điện
⇒ ε 0 = 8.86.10
⎪⎩ * Độ lớn: F1 = F2 = k . q1 .2q 2
Nm 2

ε r
ε : là hằng số điện môi của môi trường >1.
Môi trường chân không ε =1, không khí ε ~1
I.3. Điện trường:
1. Điện trường của một điện tích điểm: điện tích điểm q tạo xung quanh nó một điện trường và để xác
r
đònh điện trường đó tại một vò trí thông qua một đại lượng hửu hướng E gọi là vectơ cường độ điện
trường.
r
r
k .q r
m đang xét M.
⎧ * Điểm đặt: điể
E
=
.
r
q
M
M
2
ε .r r
i từ q đến M
⎪ * Phương: đt F2 nố
r
⎪
⎨ * Chiều: q > 0 Er hướng xa điện tích
q < 0 E hướng vào điện tích
⎪
⎪⎩ * Độ lớn: Er M = E M = k.q

ε .r 2
2. Điện trường của một hệ điện tích điểm ( q1 , q2 ,..., qn ) tại M như sau:
r
Nguyên lý chồng chất điện trường: Điện trường của một hệ
r
k .q1 r1
q1
M
E1 =
.
điện tích điểm bằng tổng điện trường của từng điện tích
ε .r12 r1
điểm riêng rẻ của hệ.
r
Ghi chú:
r
k .q n rn
r
qn
M
En =
.
2
E
*
Nế
u
cá
c
i cùng phương ta cộâng đại số.

ε .r r
r
F1

n

(q1,…,qn)

M

n r
r
E = ∑ Ei
1

n

n

E = ∑ Ei
1


Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
r
* Nếu các E i khác phương ta chiếu lên ba phương:
n

n

n

E x = ∑ E ix , E y = ∑ E iy , E z = ∑ E iz
1

1

r
F1

1

r r
r
r
E = E x + E y + E z và E = E x2 + E y2 + E z2

r
r1

3. Điện trường của một vậtä tích điện
r
dq
dE
M
r
r
VTĐ
E = ∫ dE
M

z Er

q1

Ghi chú:
r
* Nếu các d E cùng phương ta cộâng đại số.
E = ∫ dE

n

y r
dE

vtd

r
* Nếu các dE khác phương ta chiếu lên ba phương:
E x = ∫ dE x , E y = ∫ dE y , E z = ∫ dE z
Vtd

x

r
E

qn

q2

Vtd

Vtd

r
E2 y r
E1

z

Vtd

M

x

r r
r
r
E = E x + E y + E z và E = E x2 + E y2 + E z2
Ghi chú:
dq
- Nếu vật là 1 dây tích điện:
Trên 1 phần tử chiều dài dq = λ .dl
dq
⇒λ=
(C/m): mật độ điện tích dài
dl
- Nếu vật là 1 mặt tích điện:

Trên 1 phần tử điện tích :dq= σ .dS
dq
⇒ σ =
(C/m2): mật độ điện tích mặt
dS
- Nếu vật là 1 khối tích điện:
Trên 1 đơn vò thể tích: dq= ρ .dV
dq
⇒ρ=
(C/m3) : mật độ điện tích khối
dV
- Nếu vật tích điện đều thì:
là hằng số.
Q
Q
Q
λ=
;σ =
;ρ =
L
S
V
p dụng:
r
1/ Xác đònh vectơ E do 1 lưỡng cực gây ra tại 1 điểm M trên trục đối xứng của lưỡng cực.
- Lưỡng cực điện là 1 hệ gồm 2 điện tích trái dấu, cùng độ lớn, đặt cách nhau 1 khoảng l rất nhỏ.
r
r
q l
Vectơ moment lưỡng cực điện : p e = q.l ( l hướng từ − q → + q ) E = 2.E1 . cos α = 2 K 2 .

r1 2r1
r
(vì r >> l)
r
k pe
k ql
E
M
EM = − . 3 = − . 3
ε r
ε r
Tại N:

EN =

k 2. p e
.
ε r3

r
pe
-q

r
l

r
EN

+q

Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
2/ Điện trường gây ra bởi 1 đoạn dây thẳng L tích điện đều λ >0 gây ra tại 1 điểm M nằm trên đường
nối dài của dây và cách đầu gần nhất một đoạn a : dq = λ .dx
r
L
a
dq
dE
M
r r
r
r
dE E M x
O
dây
E = ∫ dE
M
day
x
k λ .dx k
λ .dx
r
=
dE =
2
2
ε r
ε ( L + a − x)

L
r
k .λ ⎛ 1
1 ⎞
k .λ − d ( L + a − x)
⎜⎜ −
⎟
⇒ EM =
⇒ E = ∫ d E ⇔ E = ∫ dE =
2
∫
ε 0 ( L + a − x)
ε ⎝ a ( L + a) ⎟⎠
dây
Tóm tắt:
⎧ * Điểm đặt: điểm đang xét M.
⎪ * Phương: đường thẳng sợi dây.
r ⎪ * Chiều: λ > 0 Er hướng xa sợi dây.
E M ⎨ * Độ lớn:
⎪ r
⎪⎩ E M = E M = k .λ .⎜⎜⎛ 1 − 1 ⎞⎟⎟
ε . ⎝ a ( L + a) ⎠
y
3/ Điện trường gây ra bởi 1 đoạn dây thẳng tích
r
r
d
E
d
E

y
điện đều λ >0 gây ra tại 1 điểm M nằm ngoài dây
và cách dây một đoạn a : dq = λ .dx
r
dq
dE
M
r
x
d
E
x
r
r
dây
E = ∫ dE
M
ϕ r
day
a
k λ .dx
Với : dE =
ε r2
r
* Các dEi khác phương ta chiếu lên hai phương:
O
E x = ∫ dE x , E y = ∫ dE y ,
x
Vtd
Vtd

r r
r
E = E x + E y và E = E x2 + E y2 Với
x = a.tgϕ ⇒ dx =

a
a.dϕ
và r =
2
cos ϕ
cos ϕ

a.dϕ
α
k .λ 2
cos 2 ϕ
E x = ∫ dE.(sin ϕ ) = ∫
. sin ϕ =
sin ϕ .dϕ
∫
2
ε
.
a
⎞
⎛
a
day
−α1
−α1

⎟⎟
ε ⎜⎜
2
⎝ cos ϕ ⎠
a.dϕ
α 2 k .λ .
α
k .λ 2
cos 2 ϕ
E y = ∫ dE.(cos ϕ ) = ∫
. cos ϕ =
cos ϕ .dϕ
ε .a −∫α1
a2 ⎞
day
−α1 ⎛
⎟⎟
ε ⎜⎜
2
⎝ cos ϕ ⎠
α2

Ey =

k .λ.

k .λ
[sin α 2 − sin( −α 1 )] = k .λ (sin α 2 + sin α 1 )
ε .a
ε .a

⇒ Ex =

k .λ
(cos α 1 − cos α 2 )
ε .a


Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
r
r
r
* Điểm đặt: điểm đang xét M.
2
2
Tóm tắt: E M = E ⊥ + E // EM = E⊥ + E//
* Phương: đt ⊥ dây tại M
* Chiều: hướng xa dây
Chọn α2 > α1: giá trị số học
k .λ
* Độ lớn: E ⊥ =
(sin α 2 + sin α 1 ) khi cM∈dây
r
r
⊥
ε .a
E
E⊥
k .λ
(sin α 2 − sin α 1 ) khi hcM∉dây

E⊥ =
ε .a

⎧
r ⎪⎪
E ⎨
⎪
⎪⎩

r
E //

α2

α1
a
O

⎧
r ⎪⎪
E // ⎨
⎪
⎪⎩

* Điểm đặt: điểm đang xét M.
* Phương: đt ⊥ dây tại M
* Chiều: hướng về phía đoạn ngắn của
dây
k .λ
cos α 2 − cos α 1

* Độ lớn: E // =
ε .a

4/ Điện trường gây ra bởi 1 cung tròn (O,R) tích điện đều λ >0 gây ra tại tâm O: dq = λ .dx
góc chắn cung 2α
r
r
dq
dE
dE
M
k λ .dl
r
r Với dE =
ε r2
cung
E
=
d
E
M

∫

day
r
* Các dEi khác phương ta chiếu lên hai phương x, y:

∫ dE

Ex =

x

=0,

∫ dE y =

Vtd

α

∫α

−

α
ϕ

Vtd

Ey =

−α

k .λ.R.dϕ
. cos ϕ
ε .R 2

2k .λ

. sin α
⇒ E=
ε .R

r
EO

Tóm tắt:

dq

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩

* Điểm đặt: điểm đang xét O.
* Phương: đường trung trực dây cung.
r
* Chiều: λ > 0 E hướng xa sợi dây.
r
2k .λ
. sin α
* Độ lớn: EO = EO =
ε .R

5/ Điện trường gây ra bởi 1 vành tròn (O,R) tích điện đều λ >0 gây ra tại điểm M nằm trên trục
r

của vành và cách O một đoạn h
EM
h
k .dq
cos β =
, dE =
2
2
ε .( R 2 + h 2 )
R +h
r β
d
E
Tương tự ta có
M
E x = ∫ dE x = 0 ,
Vtd

Ey =

∫ dE y =

Vtd

⇒ EM =

k .dq
∫day ε .( R 2 + h 2 ) . cos β

k .Q.h

h.λ.R
=
2
2 3/ 2
3
ε .( R + h )
2.ε 0 .ε ( R 2 + h 2 ) 2

h
dq
O

R


Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
5/ Điện trường gây ra bởi 1 dóa tròn (O,R) tích điện đều σ >0 gây ra tại rđiểm M nằm trên trục
EM
của đóa và cách O một đoạn h
r
r k .h
dq
d
E
M
vành dq = σ .dS = σ .2π .r.dr → M→ dE =
.
ε (r 2 + h 2 ) 3 / 2
R
M

r
k .h.σ .2π
r.dr
. 2
đóa → M → E M = ∫
ε
(r + h 2 ) 3 / 2
0
h
R
⎞
dq
h.σ .2π
1
h.σ ⎛ 1
1
⇒E =
(− 2
=
⎜ −
⎟
2 1/ 2
r
4π .ε 0 .ε (r + h ) 0 2ε 0 .ε ⎝ h
O
R 2 + h2 ⎠

⎞
⎛
⎟

⎜
σ ⎜
1
σ
⎟
EM =
1−
R → ∞ : mặt phẳng vô hạn : R → ∞ : E =
⎟
⎜
2
2ε 0 .ε
2.ε 0 .ε
R
⎜
1 + 2 ⎟⎟
⎜
h ⎠
⎝
Vậy điện trường gây ra bởi 1 mặt phẳng rộng vô hạn: là điện trường đều có phương vuông
góc mặt phẳng, chiều hướng ra ngoài nếu mặt tích điện dương, không phụ thuộc vào vò trí
của điểm đang khảo sát.
I.4.Đònh lý Gauss:
r
1. Đường sức của E :
a/ Đònh nghóa: là một đường cong mà tiếp tuyến tại mọi điểm trên đường cong có phương trùng
r
r
với E ,chiều của đường sức là chiều của E .
b/ Tính chất:

- Các đường sức không cắt nhau
- Đường sức của điện trường là đường cong hở. Xuất phát từ +q, kết thúc là –q.
- Tập hợp các đường sức của điện trường là điện phổ.
r
- Người ta qui ước vẽ số đường sức qua 1 đơn vò diện tích tiết diện có giá trò E .
r
- Đường sức của E khi qua mặt phân cách giữa 2 môi trường bò gián đoạn.


Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
r
r
r
C 2
2. Vectơ điện cảm D : D = ε .ε 0 .E
m
r
Đường sức của D không phụ thuộc ε ε0 nên không bò gián đoạn khi qua mặt phân cách.
r r
r
r r
3. Điện thông (thông lượng của D ) gửi qua 1 diện tích dS: dφ = D.dS = D.dS .cos D, dS

[ ]

ε

(

r

D

r
dS

⎧
r⎪
dS ⎨
⎪
⎩

)

Điểm đặt : với mọi điểm thuộc dS
Phương: vuông góc dS
Chiều: hướng ra ngoài mặt kín.
Độ lớn: dS

r
n

dSn
4. Đònh lý Gauss:
α
a/ Góc khối: Cho một diện tích vi phân dS (coi như phẳng) và một
r
điểm O ngoài dS; điểm M ∈ dS cách O một đoạn r. Góc khối từ O
nhìn
M
O

diện tích dS :
dS
dS. cos α dSn
dΩ =
= 2 (sr)(stêradian)
r
r2
2
4π .R
Góc khối cả không gian:
Ω=
= 4π (sr)
R2
r
b/ Đònh lý Gauss đối với điện trường: Thông lựợng của D qua mặt kín S bằng tổng đại số các điện tích
r r n
Φ D = ∫ D.dS = ∑ qi
chứa trong mặt kín đó.
(S )

i =1

c/ Công thức dạng tích phân và vi phân của đònh lý Gauss:
r r
(V: thể tích phần có điện tích nằm trong mặt Gauss)
∫ D.dS = ∫ ρ .dV
(S )

∫

(V )

r
divD.dV =

∫

r ∂Dx ∂Dy ∂Dz
r
r
+
+
divD = ∇.D = ρ với ∇.D =
∂x
∂y
∂z

ρ .dV ⇒

(V )

(V )

r
Tương tự với E :

∑q

r
r

ρ
divE
dV
divE
=
.
;
=
∫S
∫
ε .ε 0 V
ε .ε 0
( )
r
5. p dụng đònh lý Gauss để tính D :
a/ Tại 1 điểm nằm ngoài dây tích điện đều (λ > 0) dài vô hạn.
Mặt kín S (mặt Gauss) là mặt trụ, trục là sợi dây bán kính R = a , độ cao h bất kỳ.
r r
r r
r r
r r
∫ D.dS = ∫ D.dS1 + ∫ D.dS2 + ∫ D.dS3 = ∫ D.dS3 = D ∫ dS3 = D.2π .a.h
r
E.dS =

(S )

S1

i

S2

S3

( S3 )

r
dS1

r
dS3

r
D

λ
r
dS
2
2π .a
KL: Vậy điện trường do dây dài vô hạn gây ra tại M có phương vuông góc dây, chiều hướng ra nếu
λ > 0 , hướng vào nếu λ < 0 .
r
b/ Tính D tại M cách mặt phẳng vô hạn (σ > 0 ) tích điện đều gây ra tại M cách khoảng h.
σ
σ
E=
⇒D=
2ε .ε 0

2
Mặt Gauss là mặt trụ bán kính R bất kỳ, độ cao 2h vuông góc mặt phẳng.
D.2π .a.h = ∑ qi = λ .h ⇒ D =


r
D

Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
r r
r r
r r
r r
.
.
.
D
d
S
=
D
d
S
+
D
d
S
+
D
∫

∫ 1 ∫ 2 ∫ .dS 3
(S )

( S1 )

(S2 )

r
dS1
r
dS3

(S3 )

= D ∫ dS1 + D ∫ dS 2 = D.S1 + D.S 2 = 2 D.S1
( S1 )

(S2 )

2 DS1 = ∑ qi = σ .S1 ⇒ D =

σ

2
r
c/ Tính D tại M cách tâm quả cầu đặc tích điện đều (ρ > 0) 1 đoạn r.
⎡4
⎤
Q = ρ ⎢ π .R 3 ⎥
⎣3

⎦
Mặt Gauss là mặt cầu tâm 0, bán kính r.
r r
r r
2
D
.
d
S
=
D
∫
∫ .dS = D ∫ dS = D.4π .r = ∑ qi
r
(S )

(S )

D

(S )

o Xét r < R:

4
ρ .r
D.4π .r 2 = ρ π .r 3 ⇒ D =
3
3
o Xét r > R:

4
D.4π .r 2 = ρ π .R 3 = Q ⇒
D=
3

* Nếu cầu rỗng: Q = σ .4π .R 2
o r < R:
D.4.π .r 2 = 0 ⇒ D = 0
o r > R:
D.4.π .R 2 = Q = σ .4.π .R 2 ⇒

D
K .Q
⇒E=
= 2
ε .ε 0
r

Q
ρ .R 3
=
4π .r 2
3r 2
r r
2
D
∫ .dS = D.4.π .r = ∑ qi

D=

σ .R 2
r

2

=

r
dS 2

r
dS

r
D

r
dS

Q
4.π .r 2

Khi 1 quả cầu tích điện đều đặc hay rỗng, với điện tích toàn thể là Q, thì ta coi quả cầu đó tương
đương như điện tích điểm đặt tại tâm O quả cầu khi xét điểm M nằm từ mặt quả cầu ra ∞ .
I.5. Lực tónh điện (lực điện): Một điện tích q 0 đặt trong điện trường mà tại đó có vectơ cường độ điện
r
r
r
r
r

trường là E thì điện tích q 0 chòu 1 lực: FE = q0 .E
E
FE
r
r
r
1/ Điện tích điểm q0 → E → FE = q0 .E
r
r
dq → E → dFE ⇒
r
r
r
2/ Vật tích điện:
Vtd → E → FE = ∫ dF
Vtd

Vd: Hai thanh L tích điện đều λ > 0 , cách khoảng a.


r
Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
x
dFE
r
O
k .λ ⎡ 1
1
⎤
→ E1 =

−
⎢
r
ε ⎣ a + x L + a + x ⎥⎦
E
r
r
L
a
dq2 → E1 → dF2 E
2
r
r
r
k .λ 2 ⎡ ( a + L ) ⎤
F 1=
ln ⎢
Thanh 1: Q2 → E1 → F2 E = ∫ dF2 E
⎥
ε
⎢⎣ ( 2 L + a ) a ⎥⎦
dq2 = λ.dx
L
L
k .λ 2 ⎡ 1
1
k .λ 2 ⎛ ⎛ a + x ⎞
⎤
dx =
⇒ F2 E =

−
⎜ ln
ε ∫0 ⎣⎢ a + x L + a + x ⎦⎥
ε ⎝⎜ ⎝⎜ L + a + x ⎠⎟ 0
I.6.ĐIỆN THẾ
1.Công của lực tónh điện:Điện tích q 0 đặt trong điện trường của q chòu tác dụng của lực tónh điện
r
r
FE và di chuyển từ A → B :

A

Cộng nguyên tố:
B
B
r r
dA = FE .dl ⇒ A = ∫ dA = ∫ FE .dl.cos α
A

rA

A

rB

Xét điện tích q > 0 và q0 > 0 di chuyển trong điện trường của q :
B

A = ∫ q0
A

k .q.q0
k .q
dl.cos α =
2
ε .r
ε

rB

dr

∫r

2

rA

(vì : dl.cos α = dr )
k .q.q0 ⎛ 1 ⎤ B k .q.q0 ⎛ 1 1 ⎞
−
=
A=
⎜ − ⎟
ε ⎜⎝ r ⎦⎥ rA
ε ⎝ rA rB ⎠
r

r
dl

α

FE
B

*Công của lực tónh điện khi di chuyển điện tích đi từ chỉ phụ
thuộc vào vi trí đầu và vò trí cuối mà không phụ thuộc vào đường
đi thì lực tónh điện là lực thế và trường tónh điện là trường thế.
2. Thế năng: ( năng lượng phụ thuộc vào vò trí) Wt
B

WtB

∫ dA = ∫ −dW

t

A

= Wt A − WTB =

Wt A

k .q.q0 k .q.q0
−
ε .rA
ε .rB

K .q.q0

k .q.q0
Wt (r =∞ ) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ Wt (r ) =
+ C .Chọn thế năng gốc ở ∞ :
ε .r
ε .r
Cũng chính là công di chuyển điện tích q 0 trong điện trường gây ra bởi điện tích q đi từ r → ∞ .
⇒ Hàm thế năng: Wt =

3. Điện thế của 1 điện tích điểm đặt cách q một đọan r:
Một điện tích điểm q sẽ tạo ra xung quanh nó 1 điện trường và điện thế (V) tại điểm M được xác đònh
bằng.
q > 0 → VM > 0
k .q
VM =
q < 0 → VM < 0
ε .r
*Điện thế này chính là công di chuyển 1 đơn vò điện tích q 0 từ M → ∞
4. Điện thế của 1 hệ điện tích điểm ( q1 , q2 ,..., qn ) gây ra tại M:

⎧q1 → M → V1
⎪q → M → V
⎪ 2
2
⎨
⎪M
⎪⎩qn → M → Vn
n

q1 ,..., qn → M → VM = ∑ Vi
i =1

5. Điện thế của vật tích điện: Vật tích điện → M → V =

∫

VTD

dV


Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
Vd1: Điện thế tại điểm M gây ra bởi dây L tích điện đều λ > 0
r = x+a
L
dq = λ .dx
x

⇒ dV =

K .dq
K .λ .dx
=
ε .r
ε ( x + a)

a

x
r

Cả thanh:
K .λ .dx
K .λ dx
K .λ
ln ( x + a )
V =∫
=
=
∫
ε ( x + a)
ε 0 x+a
ε
0
L

M

O

L

L
0

⇒V =

K .λ

⎛ L+a⎞
ln ⎜

⎟
ε
⎝ a ⎠

Vd2: Điện thế tại điểm O gây ra bởi cung (O,R) tích điện đều Q chắn góc α
k
k .Q k .λ .R.α k .λ.α
dq =
⇒ V0 = ∫ dV =
=
=
∫
ε
ε
ε
ε
.
R
.
R
.
R
cong

O

α

6. Mặt đẳng thế:
a/ Đònh nghóa: là tập hợp mọi điểm có cùng điện thế

b/ Tính chất:
- công di chuyển 1 điện tích q 0 trong mặt đẳng thế thì bằng 0.

dq

⎛ K .q K .q ⎞
Aq0 ( A→ B ) = q0 ⎜
−
⎟ = q0 (VA − VB )
⎝ ε .rA ε .rB ⎠
- Vecto cường độ điện trường tại 1 điểm nằm trên mặt đẳng thế thì vuông góc mặt đẳng thế và
theo chiều giảm của điện thế.
r
I.7 LIÊN HỆ GIỮA E VÀø V:
r
Cho 2 điểm M, N rất gần nhau trong điện trường E : điện thế tại M là VM = V øvà
tại N là V+dV (dV>0) Ta di chuyển 1 điện tích q 0 đi từ M → N
r r
r r
dA = q0 .E.dl = q0 .E.dl.cos E , dl = q0 .El .dl

(

)

dA( M → N ) = q0 (VM − VN ) = q0 ( − dV )
dV
r
dl
E

dV ⎞
dV
dV
⎛
Chọn : l ≈ x; l ≈ y; l ≈ z ⇒ ⎜ Ex = −
; ⎟ Ey = −
; Ez = −
dx ⎠
dy
dz
⎝
r
r
r
r
⎛ ∂V r ∂V r ∂V r ⎞
⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞
i+
j+
k ⎟ = −⎜ i +
j + k ⎟V
Mà: E = Ex .i + E y . j + Ez .k = − ⎜
∂y
∂z ⎠
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂x
uuuuur
r

r
E = − grad .V = −∇.V
⇒ − dV = El .dl ⇒ El = −

* Từ

uuuuur
r
r
⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞
V ⇒ E = − grad .V = −∇V = − ⎜ i +
j + k ⎟V
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x

Vd: Cho điện thế trong điện trường phân bố theo quy luật: V=x2+ y3+ z (V)
r
r
r r
V = x 2 + y 3 + z ⇒ E = − 2 x.i + 3 y 2 . j + k

(

)

Vd:Điên thế tại điểm M nằm trên đường nối dài của dây (trục x ) cách
đầu gần nhất gốc O một đoạn x là:

r

dl
M
r
El

N


Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu
K .λ ⎡ L + x ⎤ K λ
ln
=
VM =
⎡ln ( L + x ) − ln x ⎤⎦
x ⎥⎦
ε ⎢⎣
ε ⎣
r
1⎤ r
1 ⎤
K .λ ⎡ 1
K .λ ⎡ 1
⇒E=−
− ⎥ .i hay : E =
−
⎢
⎢
ε ⎣L + x x⎦
ε ⎣ x L + x ⎥⎦
r

r
r
*Từ: E → V : Chọn phương E là phương r ⇒ Tổng quát: −dV = Er .dr
VB

rB

VA

rA

∫ −dV = ∫ E .dr ⇒ V

⇒

r

Lưu ý:

rB

A

− VB = ∫ Er .dr
rA

K .q
(ta chọn thế năng Wt (r = 0 ) = 0, hay : V∞ = 0 ) thì điện tích phải hữu hạn
ε .r
(không được tiến ra ∞ ).

- Khi điện tích phân bố vô hạn thì ta tính hiệu điện thế chứ không thể tính được điện thế tại 1
điểm.
Vd1: Dây dài vô hạn tích điện đều λ >0 tính hiệu điện thế giữa hai điểm M và N cách dây rM và rN .
Hay hai mặt trụ dài vô hạn,đồng trục,tích điện đều có mật độ điện dài theo trục là + λ và - λ tính hiệu
điện thế hai mặt trụ. Dùng đònh lý Gauss ⇒ E ⇒ VM - VN

-

2.k .λ
1
λ
=
.
ε .r
2.π .ε .ε 0 r

E=
VN

∫

VM

Công thức: V =

λ
− dV = ∫ Er .dr =
2π .ε .ε 0

⇔ VM − VN =

r
rN

∫

rM

r
E

dr
r

r
λ
λ
r
ln . r r =
ln N
2π .ε .ε 0
2π .ε .ε 0 rM
N

M

Vd2:
Mặt phẳng vô hạn tích điện đều σ tính hiệu điện thế giữa hai điểm M và N
cách mặt phẳng rM và rN :

σ

∫ dr.E = ∫ 2ε .ε
r

0

dr = − ∫ dV ⇒

VN

σ

∫ −dV = 2.ε .ε

VM

. r rN ⇔ VM − VN =
r

0

M

M

N

σ
( rN − rM )

2.ε .ε 0

Vd3:Quả cầu đặc: (0, R) tích điện đều ρ hay điện tích toàn thể là Q tính điện thế ở điểm O , A∈mặt cầu
và M cách O một đoạn r .
0< r < R:

ρ .r
ρ R
ρ R 2 ρ .R 2
Er =
⇒ ∫ −dV = ∫ Er .dr =
r
.
dr
⇔
V
−
V
=
.
=
0
A
3.ε .ε 0
3.ε .ε 0 ∫0
3.ε .ε 0 2 6.ε .ε 0
V
VA

0

VA =

K .Q
1
4
ρ .R 2
ρ .R 2 ρ .R 2
ρ .R 2
=
⇒ V0 =
+
=
ρ . π .R 3 =
3.ε .ε 0
6.ε .ε 0 3.ε .ε 0 2.ε .ε 0
ε .R 4π .ε .ε 0 .R 3

V0 − VM =

ρ .r 2
ρ .R 2
ρ .r 2
⇒ VM =
−
6.ε .ε 0
2.ε .ε 0 6.ε .ε 0

k .Q
r > R : VM =

ε .r

O M A
r

r