Giao trinh bai tap bài tập lớn 2013

CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
I. Tính giới hạn bằng cách dùng giới hạn cơ bản hoặc VCB, VCL

x 1

n

1 / lim m

x 1

x 1

t  x  1 lim

t 0

(1  t )

1

(1  t )

1

n

m

1 t

m
VCB lim n 
t 0 1 t
n
1
m

1

VCB : (1  x )  1 ~  x
1
.2 x
3
tan( 3 1  2 x  1)
1  2x  1
2
3
2. lim
VCB lim
 lim

x 0
x 0
x 0 x
x
x
3
VCB : tan  ( x )  ~  ( x ),  ( x )  0

ax  a

a t 1  a
a (a t  1)
a (et ln a  1)
a (t ln a )
3 / lim
t  x  1 lim
 lim
 lim
VCB lim
 a ln a
x 1 x  1
t 0
t 0
t 0
t 0
t
t
t
t
VCB : e ( x )  1 ~  ( x ),  ( x )  0 ( ( x )  VCB)
ln 2  ln(1  t )
ln(2  t )
2 1
1
t
log2 x  1
log 2 (2  t )  1
1
ln
2

ln
2
4 / lim
t  x  1 lim
 lim
 lim
VCB lim 2 
x 2
t 0
t 0
t 0
t 0 t
x2
t
t
t
2
VCB : ln(1  x ) ~ x
2  2 cos(t   )
2  2 cos x
4  lim 2  2(cos t  sin t )  2 lim 1  cos t  sin t
6 / lim
t  x   lim
4

t 0
t 0
t 0
4x  
4t

4t
4t
x
4
1 t2  t
t
2
VCB 2 lim 2
 2 lim 
t 0
t  0 4t
4t
4
1 2
VCB : 1  cos x ~ x , sin x ~ x
2

Tổng các VCB không cùng bậc tương đương với VCB bậc thấp nhất
2 x 1 2
x
 2 2 x 1

x

2
 2x  1 

8 / lim 
 lim  1 



x   2 x  1 
x  
2x  1 

2
2 x 1  2 x 1 x
 2 


2

 lim 1 

x  
2x  1





e

lim

2 x

x  2 x 1



1
e

1

Giới hạn dạng :

10 / lim

lim (1   ( x ))

 ( x)

 ( x ) 0

tan x  sin x

 lim (tan x  sin x )

x 0
x3
VCB : tan x ~ x,sin x ~ x
x 0

e

1
x

VCB lim ( x  x )
3
x 0

1
x3

Cách làm này đưa giới hạn cần tính thành dạng 0.∞ nên không sử dụng được.
Cách làm đúng cho bài này như sau:

10 / lim

x 0

tan x  sin x
x3

VCB : 1  cos x ~

1 x2
sin x
1
1  cos x 1
1 1
 lim (
 sin x ) 3  lim sin x
VCB lim x 2

3
x  0 cos x

x 0
x 0
cos x x
1 x3 2
x

1 2
x , sin x ~ x
2


1

e
11/ lim

x 

1
t2  t2
t2
t2
 cos( 1 )
x t  1 lim e  cos t  lim (e  1)  (1  cos t )  lim
2 0
x
1
t  0 arctan t
t 0
t 0

arctan t
t
arctan
x

t2

1

t2

 cos( 1 )
x  0 . Giới hạn này không có dạng vô định vì
12 / lim
x 
arctan x
1
1
1

2
lim  0  lim (e x  cos )  e0  cos0  1, lim arctan x  
x  x
x 
x 
x
2
e

13 / lim

sin 3x.tan5 x
( x  x 3 )2

x 0

 lim

3x.5 x
x2

x 0

 15 . Mẫu số là tổng các VCB không cùng bậc,

tương đương với VCB bậc thấp nhất.

14 / lim

ln(1  x  2 x 2  3x 3 )
ln(1  2 x  4 x )
3

x 0

x  2 x 2  3x 3

15 / lim

x 

16 / lim

2x  4x

3

x log5 (1  5x )

x 0

2

 lim

3x 3

x 0 4 x

 lim


x 0



1

sin2 x

3



2

3

x 1

x 0 2 x
2

 lim

3
4

x ln(1  5x )

x  0 arcsin

17 / lim cos x  sin 2 x

2x  4x

x 0

VCL lim

arcsin x

x  2 x 2  3x 3

 lim

x.5x

x  0 x 2 .ln5

x.ln5


x 0

 lim 1  sin 2 x



1

sin2 x



5
ln5

 e.

Không được phép thay hằng số hữu hạn, khác 0 trong tổng. Chỉ được thay hằng số
hữu hạn, khác 0 trong tích hoặc thương
Cách làm đúng cho bài này: (dạng 1 : lim

 ( x ) 0


x 0

17 / lim cos x  sin 2 x



cos x 1 sin 2 x 1
1
sin 2 x
 e x 0
lim

1

sin 2 x

1   ( x) 

1

 ( x)




 lim  1  (cos x  sin 2 x  1)
x 0





 1 x2  x2 1
2
1
x 0
x2
e
lim



 e)
1
.
cos x sin 2 x 1

cos x  sin 2 x 1 1
1

sin 2 x







 e
1
1
sin  cos 1
x
x x
1


1

1
1
1
1 
  1
 1
18 / lim  sin  cos   lim 1   sin  cos  1   sin x  cos x 1 

x  
x   
x
x
x
x 




x

1
1
sin  cos 1
x
x x
lim
1
x

e

1
1
sin  cos 1
x
x
lim
1
x 
x
e



1 1 1

x 2 x2

lim
1
x 
x
e

e
1
1 x 1
1
1
x  ( x)
19 / lim ln
 lim  ln(1  x)  ln(1  x)   lim
1
x 0 x
1  x 2 x 0 x
2 x 0
x





x 0

20 / lim x  e

2x



1

x


 lim  1  ( x  e2 x  1)
x 0 




x  e2 x 1 1
 2 x

1

 xe

2x

1 



x  e2 x 1 1
 e x 0 2 x
lim

x 2x
 e x 0 2 x
lim

 e3

II. Tính bậc của các VCB sau so với x khi x→0

1 ( x)  sin 2 x  2sin x ~ 2 x  2. x = 0.
Đây là trường hợp không được thay VCB tương đương.
Cách làm đúng cho câu này như sau:

1 ( x )  sin 2 x  2 sin x  2 sin x(cos x  1) ~ 2. x.

1 2
x   x 2 . Bậc 2
2

1
2

1
2

2 ( x )  esin x  cos x  (esin x  1)  (1  cos x) ~ sin x  x 2 ~ x  x 2 ~ x1
Bậc 1.

3 ( x )  cos x  3 cos x  (cos x  1)  (1  3 cos x )  (cos x  1) 

1  cos x

1  cos x  cos x
3

3

2


 1 1 
1
1
 (1  cos x ) 
 1 ~ x 2   1    x 2

 2 3 
3
2
3
 1  3 cos x  cos x

Bậc 2.




4 ( x )  1  2 x  1  x  ( 1  2 x  1)  x   (1  2 x)

1

2

1
1
1
1

 1  x 2 ~ 2 x  x 2 ~ x 2
2


Bậc ½

5 ( x )  arcsin

1


2 2

x
1 x2 1 2
2
2


4  x  2 ~ 4  x  2  2 1    1 ~ 2.
 x


4 

2 4 4








Bậc 2

1
2

1
2

6 ( x )  tan x  sin x  tan x(1  cos x ) ~ x. x 2  x 3 . Bậc 3
1


4 3

x
1 x4 1 4


7 ( x )  arctan( 8  x  2) ~ 8  x  2  2 1    1 ~ 2.
 x .



8
3
8
12




3

4

1  e

x ln 3

3

4

Bậc 4

8 ( x )  3

x

 1 ~ x ln3  ln3. x

9 ( x )  3 x 2  x  x ~  x

1

3

x

1

2

~ x

1

3.

1

2.

Bậc 1/2

Bậc 1/3

1
2

3
2

10 ( x )  1  cos3 x  (1  cos x)(1  cos x  cos2 x) ~ x 2 .3  x 2 . Bậc 2




III. Tính các giới hạn 1 phía

1. lim

x 





x 2  x  1  x 2  x  1  lim
2x

lim

x 

x  x 1  x  x 1
2

2

x 

 2, lim

x 

2x
x2  x  1  x2  x  1
2x
 2
2
2
x  x 1  x  x 1

1
x 1 0
x 1
1

1

lim arctan
  , lim arctan

x 1 0
x 1
2 x 1 0
x 1
2

2. lim arctan

x

3. lim

x 

x
x  | x |

 lim

x2  1

x
x
x
x
 lim  1, lim
 lim
 1
x  | x | x  x
x  | x | x   x
lim

4. lim ( x  1)e

1

x

x 0

lim ( x  1)e

x 0



1

x

 , lim ( x  1)e
x 0



1

x

0

IV. Hàm liên tục

 sin(ln x )
,x 1

1. Tìm a để hàm f ( x )   x  1
liên tục với mọi x

ax  1, x  1
sin(ln x )
 Khi x<1 : f ( x ) 
là hàm sơ cấp nên hàm liên tục x  1
x 1
 Khi x>1 : f ( x )  ax  1 là hàm sơ cấp nên hàm liên tục x  1


Khi x=1: ta sẽ khảo sát sự liên tục 1 phía của hàm
o Liên tục phải :
Tính giới hạn phải : lim f ( x )  lim (ax  1)  a  1
x 1 0

Và so sánh :

lim f ( x )  f (1)

x 1

x 1 0

Nên hàm liên tục phải khi x=1
o Liên tục trái :
Tính giới hạn trái:

sin(ln x )
ln(1  ( x  1))
 lim
1
x 1

x 1 x  1
x 1

lim f ( x )  lim

x 1 0

Để hàm liên tục trái khi x=1, ta phải có

lim f ( x )  f (1)  1  a  1  a  2

x 1 0

Vậy hàm liên tục với mọi x khi a = 2
2. Tìm f(0) để hàm f(x) liên tục tại x=0:


eax  ebx
a. f ( x ) 
x
tan( 3 1  2 x  1)
b. f ( x ) 
x

ax  bx

,a  b
eax  ebx
(eax  1)  ( ebx  1)  lim
a. lim f ( x )  lim

 lim
  x 0 x
x 0
x 0
x 0
x
x
 Khong thay VCB duoc, a  b
a  b, a  b

 Khong thay VCB duoc, a  b
Để hàm liên tục tại x=0, ta phải có f (0)  lim f ( x )  f (0)  a  b, khi a  b
x 0

Trường hợp a=b sẽ xét ở chương sau

b. Để hàm liên tục tại x=0, ta phải có f (0)  lim f ( x )  f (0) 
x 0

2
(Kết quả ở I.2)
3


Bài tập :
I. Tính các giới hạn sau
x n 1  ( n  1) x  n
1. lim
x 1
( x  1)2

2. lim

a x  am
xm x  m
12. lim 1  x  log x 2

1  x  1  5 x   1

x 0

11. lim

x

x  x  x 3  ...  x n  n
x 1
x 1
2

x 1

3. lim

 HD : x

n



1  2x  3

x4
x 2
cos x  cos 3 x
5. lim
x 0
x2
x
6. lim 1  x  tan
x 1
2
x
t 

 t 
 HD : t  x  1  tan 2  tan  2  2    cot 2 




4. lim

7. lim

x 0

cos x  3 cos x


x 0

15. lim 1  x 2



 sin x 
16. lim 

x  a  sin a 

1

tan 2 x

1
x a

 x2  1 
17. lim  2

x   x  2 



x2

x 0

sin x
cos x  cos 3
8. lim

x 3
x3

19. lim  sin x 
x 



ax 1
9. lim
( a  0) HD : a x  e x ln a
x 0
x
1  x sin x  1
10. lim
2
x 0
ex  1



II. Tính các giới hạn 1 phía
1
1. lim arctan
x 1 0
1 x
1
2. lim
1
x 0

1 e x



ln 1  e x
x 



x
1

4. lim

x 1 0

x 

18. lim x 1  2 x

2

3. lim

ln x  ln m
( m  0)
xm
xm
14. lim x  ln( x  1)  ln x 
13. lim

 1  1  ( x  1)   1
n

1 e

x

1 x

III. Khi x  x0 , tính bậc của các VCB sau so với  x  x0 
1. x  0 :

a. ( x )  1  2 x  3 1  3x
b. ( x )  tan x  sin x
c. ( x )  (2  x ) x  2 x

a. ( x )  x x  1
2. x  1 :

b. ( x )  e x  e
c. ( x )  3 1  x

tan x

2

 x2 
20. lim 


x   2 x  1 

x2