skkn PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, ĐỘC LẬP, SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học
theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn
của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ
nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập
và thực tiễn. Trong đó có đổi mới dạy học môn toán, Trong trường phổ thông, dạy
toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình
thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giảI toán đặc biệt là giải toán hình
học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng
kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố,
khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh
chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy GV cần chỉ cho
HS cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi
để phát hiện kiến thức mới. Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói
chung là các phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng các
phương pháp có tính chất tìm đoán. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy
như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Việc
nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được
tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời
phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui
trong học tập.
Là một giáo viên toán trong quá trình tự học bồi dưỡng thường xuyên về đổi mới
phương pháp dạy học hiện nay bản thân cũng nhận thấy được yêu cầu trên là rất phù
hợp và thiết thực. Trong quá trình dạy học giải toán giáo viên phải biết hướng dẫn,
tổ chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa các
kiến thức đã học trong một bài toán để từ đó học tìm được cho mình phương pháp
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN

giải quyết vấn đề trong bài . Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học
sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới
những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn đề, biết
đề xuất nhữnh giải pháp khác nhau khi sử lý một tình huống.
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều
thiếu xót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn.
Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao các em luôn có cảm giác học hình khó hơn học đại
số. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu kĩ bài
toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán. Trong quá trình giải
thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn. Trình bày cẩu thả, tuỳ tiện …
Về phía giáo viên phần lớn chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy giải
toán. Hầu hết GV chưa cho HS làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh, chú ý
đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học giải toán GV ít quan tâm
đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận. Thông thường GV
thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không những vậy
mà nhiều GV coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt động . GV chưa thấy
được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng,
kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ xung nguồn kiến thức mới
phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được.
Trong quá trình công tác bản thân tôi không ngừng học tập nghiên cứu và vận
dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Qua quá trình tập huấn, được
sự cộng tác của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tôi đã tiến
hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và
thấy rất có hiệu quả.
Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu. Đề tài mang tên:

“

PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, ĐỘC LẬP, SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI TOÁN

Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


HÌNH HỌC

”.Với mong muốn góp phần nâng coa chất lượng dạy học môn toán theo

tinh thần đổi mới.

II – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI:
Đề tài giúp học sinh rèn luyện phương pháp suy luận có căn cứ, các thao tác tư
duy như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương tự hoá, lật ngược
vấn đề, quy lạ về quen, … có thói quen dự đoán, tìm tòi, nhìn nhận một vấn đề dưới
nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vấn đề, giải quết vấn đề, đặt vấn
đề, diễn đạt một vấn đề có sức thuyết phục, sử dụng kí hiệu và thuật ngữ chính xác
…Giúp học sinh nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản, có kỹ năng vận dụng
các kiến thức vào bài tập và thực tiễn. Cung cấp cho các em phương pháp tự học từ
đó các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán.
Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc và
nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy môn toán. Đặc biệt đây là kinh nghiệm giúp
cho GV tham khảo khi thiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trong quá
trình dạy học của mình.
Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực hiện đổi
mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh
THCS.

III- PHƯƠNG

PHÁP NGHIÊN CỨU:

Để hoàn thành đề tài tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:
+ Phương pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


+ Phương pháp thực nghiệm.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
+ Phương pháp trò chuyện.
+ Phương pháp điều tra, trắc nghiệm.
Ngoài ra tôi còn sử dụng một số phương pháp khác.

IV- NỘI

DUNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI:

A- PHẦN LÝ LUẬN:
1- Quan niệm vấn đề dạy học giải toán:
Dạy học giải toán bao gồm hai nội dung cơ bản:
+ Tìm tòi lời giải bài toán ( đường lối ).
+ Trình bày lời giải ( Diễn đạt ).
Trong quá trình giảng dạy hai nội dung này nhiều lúc tiến hành đồng thời nhưng
nhiều khi tách thành hai quá trình. Do vậy trong thực hành cần phân biệt hai nội
dung trên và độc lập với nhau vì:
- Giải một bài toán khi có một đường lối là kết quả của một quá trình bao gồm
nhiều khâu và là cái đích cuối cùng của người làm toán song dù sao quá trình này

vẫn là thứ yếu bởi lẽ dù có kĩ thuật tốt có thành thạo trong các thao tác nhưng chưa
có đường lối thì chưa có lời giải bài toán. Mặt khác trong khâu thực hiện các thao
tác khi đã có phương hướng là giai đoạn lao động có tính chất kĩ thuật không chứa
đựng những yếu tố sáng tạo như trong giai đoạn tìm tòi lời giải.Chỉ trong quá trình
tìm tòi lời giải học sinh mới có cơ hội củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện các
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


thao tác tư duy, phương pháp suy luận, khả năng phán đoán và lập luận chứng
minh, khả năng phát hiện kiến thức mới, vấn đề mới …
- Mặt khác khi đã có đường lối thì việc trình bày, diễn đạt mới dễ dàng, lôgic, trật
tự, khoa học. Rèn luyện được cho học sinh thói quen sử dụng kí hiệu, thuật ngữ
chính xác và từ đó phát triển được tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác. Giúp học
sinh tự tin hơn, chủ động hơn.
2- Rèn luyện phẩm chất trí tuệ thông qua giải toán.
* Tính linh hoạt biểu hiện ở các mặt sau:
+ Kĩ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của
các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề.
+ Kĩ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược lại với cách
đã học.
+ Kĩ năng nhìn một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau.
* Tính độc lập biểu hiện:
+ Kĩ năng tự mình thấy được vấn đề cần giải quyết, tự mình giải đáp vấn đề đó
không đi tìm lời giải có sẵn, không dựa vào ý nghĩ của người khác.
+ Có khả năng đánh giá ý nghĩ của người khác và tự đánh giá ý nghĩ của bản
thân.
* Tính sáng tạo biểu hiện:
+ Tự mình biết tìm ra phương pháp ngắn gọn, hay nhất, phát hiện kiến thức mới

từ vấn đề.
+ Tự mình phát hiện vấn đề và đặt ra vấn đề ( Biết khai thác và phát triển bài
toán, biết vận dụng bài toán vào các vấn đề khác, biết tự mở rrộng kiến thức, … ).
3- Các biện pháp để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trên:
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


+ Thường xuyên tập dượt cho học sinh khả năng dự đoán và suy luận có lý, dự
đoán thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp, … để học sinh tự mình phát
hiện vấn đề.
+ Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc, phương pháp nào đó cần đưa ra các
bài tập có cách giải quyết riêng.
+ Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán. Việc tìm
nhiều lời giải khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều
khía cạnh khác nhau mở đường cho sự sáng tạo phong phú.
+ Rèn luyện cho học sinh khả năng nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư
duy nghịch
+ Dưa ra nhiều bài toán không theo mẫu.
Sau đay tôi xin đưa ra một số bài toán minh hoạ các công việc cần làm của giáo
viên khi hướng dẫn học sinh giải toán hình học 9.

B- PHẦN VẬN DỤNG

Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng
vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D. Lấy
điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P.
a) ÄAMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.

c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?

Hướng dẫn tìm tòi lời giải:

a)- HS dự đoán thông qua quan sát: (ÄAMN cân tại A)
Chứng minh: ÄAMN cân tại A
(?1)
Ngêi thùc hiÖn:

⇑

THANG70@.COM.VN


ˆ B = ANˆB
AM

(?2)

⇑

1


ˆ B = 1 sdAm
AM
B và ANˆB = sdAnB và AmB = AnB
2
2
⇑

⇑

(Góc nội tiếp)

⇑

( Góc nội tiếp)

( (O) bằng (O’))

(?1) Chứng minh ÄAMN cân bằng cách nào?
(?2) Chứng minh như thế nào để có AMˆB = ANˆB ?
Từ sơ đồ học sinh trình bày lời giải:

ˆ B = 1 sdAm
AM
B ( Góc nội tiếp ) (1)
2
ANˆB =

1

sdAnB ( Góc nội tiếp ) (2)
2

(O) bằng (O’) nên ta có: AmB = AnB (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ AMˆB = ANˆB ⇒ ÄAMN cân tại A.
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
⇑

(?3) ACˆP + ADˆP = 180 0
⇑

(?4)

ˆ P = AD
ˆ N + AD
ˆ P = 180 0 (kề bù)
ACˆP + AD
⇑

(?5)

ˆ N ( Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
ACˆP = AD
⇑

(?6)
Ngêi thùc hiÖn:



A M = AN

THANG70@.COM.VN


⇑

(?7)

AM = AN
⇑

ÄAMN cân tại A
(?3): Để chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp cần chứng minh điều gì ?
(?4) Góc ADP cộng với góc nào bằng 1800 ? ta cần chứng minh điều gì ?
(?5) Muốn chứng minh ACˆP = ADˆN cần chứng minh được điều gì ?




(?6) Muốn chứng minh AM = AN cần chứng minh được điều gì ?
(?7) Chứng minh AM = AN bằng cách nào ?
Học sinh trình bày lời giải:


ÄAMN cân tại A ⇒ AM = AN ⇒ AM = AN ⇒ ACˆP = ADˆN ( Góc nội tiếp chắn hai
ˆ P = AD
ˆ N + AD
ˆ P = 180 0 (kề bù) ⇒ ACˆP + AD
ˆ P = 180 0 ⇒
cung bằng nhau) ⇒ ACˆP + AD

tứ giác ACPD nội tiếp.
c) HS dự đoán ( BCPQ là hình thang )
Để chứng minh BCPQ là hình thang
⇑

(?8)

BQ // CP
⇑

(?9)

AQˆB = APˆC ( ở vị trí đồng vị )
⇑

(?10)

ˆ C và APˆC = AD
ˆC
AQˆB = AD
⇑

(? 11)( =

1
sđAmB )
2

Ngêi thùc hiÖn:

⇑

(=

1

sđ AC ) (?12)
2

THANG70@.COM.VN


⇑

(Tứ giác ACPD nội tiếp )
(?8) Để chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang cần chứng minh được điều gì ?
(?9) Muốn chứng minh BQ // CP cần chứng minh được điều gì ?
(?10) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh AQˆB = APˆC ?
(?11) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh AQˆB = ADˆC ?
(?12) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh APˆC = ADˆC ?
Học sinh trình bày:
1
Tứ giác ACPD nội tiếp ⇒ APˆC = ADˆC (= sđ AC ) (4)
2

Mặt khác lại có: AQˆB = ADˆC ( =

1
sđAmB ) (5)
2

Từ (4) và (5) ⇒ AQˆB = APˆC ( ở vị trí đồng vị ) ⇒ BQ // CP ⇒ Tứ giác BCPQ là
hình thang.
Sau khi giải xong Gv cho HS nhắc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh mục
đích:
* Củng cố kiến thức:

+ Trong hai đường tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau.
+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Củng cố phương pháp:
+ PP chứng minh tam giác cân.
+ PP chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng hai góc kề bù để chỉ ra tổng
hai góc đối bằng 1800.
+ PP chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


+ PP chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chỉ ra hai góc ở vị trí
đồng vị bằng nhau.
Sau khi củng cố GV khuyến khích học sinh tìm tòi cách giải khác.
b) Cách 2:Dễ thấy tứ giác AMPN nội tiếp vì có hai góc vuông. như vậy nếu tứ
giác ACPD nội tiếp thì CAˆD = MAˆN . Giáo viên củng cố PP chứng minh một tứ giác
nội tiếp bằng cách sử dụng tứ giác bên cạnh nội tiếp để chỉ ra tổng hai góc đối bằng
1800.
Cách 3: Nếu tứ giác ACPQ nội tiếp thì APˆM = ADˆC = ANˆB GV củng cố PP chứng
minh tứ giác ACPD Bằng cách chứng minh APˆC = ADˆC
GV: -Em có thể thay đổi yêu cầu phần a, b, c để có một yêu cầu tương tự mà
quá trình chứng minh không thay đổi.
- Nếu hai đường tròn không bằng nhau thì kết quả bài toán còn đúng không ? vì
sao ?

GV bổ sung yêu cầu
d) Chứng minh: PM.PC = PD.PN.
e) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N Chứng minh khi M di dộng trên cung nhỏ
BC thì E luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx’ , gọi C, D là hai điểm
nằm trên đường tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt
Bx tại M, tia AD cắt Bx’ tại N.
a) Chứng minh: AC.AM=AD.AN
b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.
c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đường tròn.
Ngêi thùc hiÖn:
THANG70@.COM.VN


Hướng dẫn tìm tòi lời giải:

Khai thác giả thiết:
-Ta có: ACˆB = ADˆB = ABˆM = 90 0
a) Chứng minh AC.AM=AD.AN
⇑
AC
AD
=
AN AM

(?1)

⇑

(?2)

Ä ADC ~ Ä AMN
⇑

(?3) Góc A chung và ADˆC = AMˆN
⇑



1
sd ( AB − CB ) sdAC
ˆ
ˆ
ADC = sđAC và AMN =
=
2
2
2

(?4)

⇑

⇑

(Góc nội tiếp)

(Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)

Câu hỏi dẫn dắt
(?1) Để chứng minh AC.AM=AD.AN cần chứng minh tỷ lệ thức nào ?
(?2) Để có

AC
AD
=
cần chứng minh điều gì ?
AN AM

(?3) Để chứng minh Ä ADC ~ Ä AMN cần chỉ ra các điều kiện nào ?
(?4) Quan sát hình vẽ cho biết cần sử dụng kiến thức nào để chứng minh
ˆ C = AM
ˆN ?
AD

Học sinh căn cứ đường lối trình bày lời giải
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN





sd ( AB − CB ) sdAC
ˆ
A MN =
=
(Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) (1)
2
2
ˆC =
AD

1
sđAC( Góc nội tiếp)
2

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ ADˆC = AMˆN
Xét ADC và AMN có:
GocAchung

AC
AD
⇒ AC.AM=AD.AN.
=
 ⇒ Ä ADC ~ Ä AMN ⇒
ˆ
ˆ
AN AM
ADC = AMN ( cmt )

b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
⇑

(?5)

ˆ N + CD
ˆ N = 180 0
CM
⇑

(?6)

ˆ N + CD
ˆ N = AD
ˆ C + CD
ˆ N = 180 0 (Kề bù)
CM
⇑

(?7)

ˆ N = AD
ˆC
CM
⇑
ˆ C = AM
ˆN
AD

Câu hỏi dẫn dắt
(?5) để chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp ta sử dụng phương pháp nào ? và cần
chỉ ra điều gì ?
(?6) Vận dụng kiến thức nào để chứng minh CMˆN + CDˆN = 180 0
(?7) Muốn có CMˆN + CDˆN = ADˆC + CDˆN cần chứng minh được điều gì ?
Đối với học sinh yếu GV có thể đưa ra bài tập điền khuyết bảng phụ

Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN

ˆ N + CD
ˆ N = .... + .... = 180 0 (.......) ⇒
ˆ C = AM
ˆ N ⇒ CM
ˆ N = .... ⇒ CM
AD
ˆ N + CD
ˆ N = ...... ⇒ …………………………..
CM

C) Chỉ cần cho học sinh quan sát và dự đoán các yếu tố không đổi khi C, D di
động mối quan hệ giữa tích cần chứng minh và các yếu tố không đổi theo kiến thức
nào đã học .
GV cho học sinh đọc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh và từ đó củng cố
+ Phần a là dạng toán có quy trình riêng có thể vận dụng cho nhiều bài khi đi tìm
lời giải bài toán đó ?
+Củng cố, khắc sâu kiến thức về góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường
tròn.
+ Khắc sâu PP chứng minh tứ giác nội tiếp theo hướng sử dụng góc kề bù để
chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800.
+ GV có thể đưa ra một căn cứ để phán đoán khi chứng minh tứ giác nội tiếp
đường tròn như sau.
Nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M
mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp.
Hoặc
Nếu tứ giác ABCD có AC cắt BD tại I
Mà IA.IC = IB.ID thì tứ giác ABCD nội tiếp.

GV khuyến khích học sinh tìm cách giải khác.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO:

Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


Bài 3: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), Một cung tròn BC nằm bên trong tam
giác và tiếp xúc với AB, AC tại B và C sao cho A và tâm của cung BC nằm
khác phía đối với BC. Trên cung BC lấy một điểm M, kẻ MI, MH, MK lần
lượt vuông góc với BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao
điểm của CM và IH.
a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp.
b) Chứng minh MI2 = MH.MK
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp. Suy ra PQ vuông góc với MI.
Hướng dẫn:
a) Chỉ ra các góc vuông.
b) Chứng minh ÄMIK~ ÄMHI ( g.g).
c) Vận dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh
tổng hai góc đối bằng 1800. Chứng minh PQ // BC để có
MI ⊥ PQ.
Từ phần b có thể khai thác phát triển bài toán khuyến khích học sinh giỏi
VD: Tìm vị trí điểm M sao cho MH.MK lớn nhất.
Bài 4: Cho đường tròn (O) và dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn
BC sao cho AC > BC, AC > AB; Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau ở E. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm
của AB với CD; AD với CE.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp.

c) Tứ giác PBCQ là hình gì? tại sao?
d) Gọi R là giao điểm của AD và BC. Chứng minh

Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN

1
1
1
=
+
.
CE CQ CR


Hướng dẫn:
a) Chứng minh BCˆD = CDˆE ở vị trí so le trong.
b) Chứng minh PAˆQ = CAˆQ cùng nhìn PQ .
c) Chứng minh BCˆP = CPˆQ ở vị trí so le trong.
d)

1
1
1
CE CE
CE DE
=
+
.⇐ 1=

+
⇐
+
( vì CE = DE)
CE CQ CR
CQ CR
CQ CR

⇐

CE RD
DE DQ
và
=
=
CQ RQ
CR RQ

Bài 5: Cho đường tròn (O) , vẽ dây AB. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở P.
a) Chứng minh tứ giác AOBP nội tiếp.
b) Kẻ hai dây AC // BD và nằm cùng phía đối với AB. Gọi Q là giao điểm của
AD và BC. Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp.
c) Chứng minh PQ // AC.
Hướng dẫn:
a) Sử dụng hai góc vuông.
b) Sử dụng tứ giác AOPB nội tiếp chứng minh AQˆB = AOˆB
( chú ý hai dây song song chắn hai cung bằng nhau )
c) Chứng minh PQˆB = ACˆB ở vị trí đồng vị.
Bài 6: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau ( R > R’ ). Các tiếp tuyến
chung MN và PQ ( M, P nằm trên (O) )

a) Chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, OO’ đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh tứ giác MNQP nội tiếp.
c) Xác định vị trí của (O) và (O’) sao cho đường tròn đường kính OO’ tiếp
xúc

với MN và PQ.

Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


d) MQ cắt (O) , (O’) lần lượt tại S và T. Chứng minh MS = QT..

Hướng dẫn:
a) Gọi I là giao điểm của MN và PQ
Chứng minh IO, IO’ là tia phân giác của góc MIP.
b) Chứng minh MNQP là hình thang cân.
c) Gọi O1 là tâm đường tròn đường kính OO’,
O1H là khoảng cách từ O1 đến PQ sử dụng đường trung bình của hình thang chứng
minh OO’ = R + R’ suy ra (O) tiếp xúc ngoài với (O’).
d) Chứng minh MT.MQ = MN2 và QS.MQ = PQ2 suy ra MT.MQ = QS. MQ ( vì MN
= PQ) suy ra MT = QS suy ra MT + TS = QS + TS suy ra MS = QT.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, một điểm M thay đổi trên cạnh AC. Đường
tròn đường kính MC cắt BM tại N và cắt NA tại P.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCP.
c) Gọi D, E là các điểm đối xứng với M qua BA và BC chứng minh tứ giác
BDCE nội tiếp.

d) Xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE có đường
kính nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh tứ giác có hai góc vuông.
b) Chứng minh ACˆP = ACˆB ( cùng bằng ANˆB ).
c) Sử dụng tính chất đối xứng chứng minh
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


ˆ M + BEˆC = BM
ˆ D + BM
ˆ C = 180 0 ( kề bù )
BD

d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE suy ra I
nằm trên trung trực của BC, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ I xuống BC suy
ra H cố định do BC cố định. Lập luận (I) có đường kính nhỏ nhất khi IB nhỏ nhất
khi và chỉ khi I ≡ H suy ra M ≡ A.

*

Khi củng cố bài GV cần chú ý khai thác cho

học sinh PP vận dụng tứ giác nội tiếp để
chứng minh hai góc bằng nhau ( Khi chứng
minh

ANˆB = ACˆP ).

Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn sao
cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD >
AC. Gọi M, N lần lượt là các điểm chính giữa của các cung AC, AD. MN cắt
AC, AD thứ tự tại H, I; MD cắt CN tại K.
a) Chứng minh ÄNKD, ÄMAK cân.
b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp; suy ra KH // AD.
c) So sánh góc CAK và DAK.
Hướng dẫn:
a)Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên trong đường tròn
chứng minh NKˆD = NDˆK ;
Chứng minh ÄMKC cân tại M suy ra MK = MC và MA = MC
b) Chứng minh MHˆK = HCˆK cùng nhìn HK. chứng minh MKˆH = MDˆA
ở vị trí đồng vị.
c) chứng minh CAˆK = DAˆK ( = HKˆA ) .
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


Bài 9: Từ một điểm A ở ngoài (O,R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến
AKD với đường tròn sao cho BD // AC. Nối BK cắt AC tại I.
a) Chứng minh IC2 = IK.IB.
b) Chứng minh ÄBAI~ ÄAKI và tính AI nếu KI = 16 cm, BI = 49 cm.
c) Chứng minh AI = IC.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh ÄICK ~ÄIBC ( g.g)
b) Chứng minh ABˆI = KAˆI ( = BDˆA ) và góc I chung.
c) Chứng minh IA2 = IC2 ( = IK.IB).
* GV

có thể khai thác thêm cho học sinh giải quyết theo

hướng phân tích ngược
VD: Tìm điều kiện để CK ⊥ AB.
Bài 10: Cho ÄABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn
đường kính BD cắt BC tại E. CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G.
a) Chứng minh BE.BC = BD.BA.
b) Chứng minh AEˆD = ABˆF .
c) Chứng minh tứ giác AFGC là hình thang.
d) Chứng minh ba đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.

Hướng dẫn:
a) Chứng minh ÄBED ~ÄBAC.
b) Chứng minh hai tứ giác ACBF và ACED nội tiếp
từ đó chứng minh AEˆD = ABˆF . ( cùng bằng góc ACD).
c) Chứng minh GFˆD = ACˆF ( = DEˆG ) ở vị trí so le trong.
d) Sử dụng tính chất đường cao của tam giác.
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


MỘT SỐ BÀI TẬP KHÔNG CÓ HƯỚNG DẪN:
Bài 11: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M nằm trên cung AB,
gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến
tạ A ở K. AH cắt BM tại S.
a) Tam giác Bá là tam giác gì? tại sao? Suy ra S nằm trên một đường tròn
cốđịnh.
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng KS với (B, BA ).

c) Đường tròn đi qua B, I, S cắt đường tròn (B, BA ) tại N. Chứng minh
đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động.
d) Xác định vị trí của M sao cho MKˆA = 90 0

Bài 12: Cho đường tròn (O, R) đường kính AB, một điểm M trên đường tròn sao
cho

MA > MB, Các tiếp tuyến của đường tròn tại M và B cắt nhau ở P,

các đường thẳng AB, MP cắt nhau tại Q; các đường thẳng AM, OM cắt BP
lần lượt tại R, S.
a) Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang.
b) Chứng minh MB // SQ.
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


c) Gọi C là điểm đối xứng với M qua AB. Chứng minh tứ giác AQS C nội
tiếp.
d) Gọi D là giao điểm của AM và SQ, cho biết OMDP là hình bình hành.
Tính OS theo R.

Bài 13: Cho đường tròn (O) trên đó có cung cố định AB bằng 90 0 và một điểm C
thay đổi trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AH, BH
cắt (O) lần lượt tại M, N, AN cắt BM tại P.
a) Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
b) Tứ giác ACBP là hình gì? tại sao?
c) Chứng minh CO // PH.
d) Chứng minh AOˆM − CHˆP không phụ thuộc vào vị trí điểm C .

Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


Bài 14: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên
nửa đường tròn ( M khác A, B ). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường
tròn tạ M và cắt đường trung trực của đoạn thẳng AB tại I. Đường tròn tâm
I tiếp xúc với AB và cắt d tại C, D ( D nằm trong góc BOM ).
a) Chứng minh OC, OD lần lượt là tia phân giác của góc AOM, BOM.
b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.
c) Chứn minh AC.BD = R2.
d) Xác định vị trí điểm M sao cho SABCD nhỏ nhất.

Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A nằm trên cung BC sao cho
AB > AC. Lấy điểm D trên tia AC sao cho AD = AB, kẻ hình vuông BADE,
tia AE cắt đường tròn (O) tại F.
a) Chứng minh ÄFBC vuông cân.
b) ÄFCD là tam giác gì? tại sao?
c) Tiếp tuyến của (O) tạ B cắt CF tạ G. Chứng minh D, E, G thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp điểm E.

Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


Bài 16: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M trên cung AB và điểm
C nằm giữa A và B sao cho CA < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa

điểm M kẻ các tiaAx, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông
góc với MC cắt Ax, By theo thứ tự tại P, Q. Gọi giao điểm của AM với CP;
BM với CQ lần lượt là R, S.
a) Chứng minh các tứ giác APMC, BQMC, RMSC nội tiếp.
b) Chứng minh RS // AB.
c) Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành không? tại sao?
d) Chứng minh nếu RC.RP = SC thì RC = SQ; RP = SC.

Bài 17: Cho ÄABC ( ACˆB > 900 ) nội tiếp đường tròn (O), một điểm M di động trên
cung lớn AB. Gọi I là giao điểm của MC với AB và D là giao điểm của các
tiếp tuyến tại B, C.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của IM, IA.
a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp.
b) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác BICD nội tiếp.
c) Xác định vị trí của M để tứ giác AMPQ nội tiếp.
d) Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để khi tứ giác BICD nội tiếp
thì hai đường tròn (B, C, I) và (B, C, Q) bằng nhau.
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


Bài 18: Cho góc xAy, một đường tròn (O) cắt Ax, Ay tại M, N, P, Q sao cho N nằm
trên tia Mx, Q nằm trên tia Py, kẻ dây MR // PQ.
a) So sánh góc PMR với MNQ.
b) Chứng minh ÄANQ~ ÄPNR.
c) Chứng minh đường tròn ( A, N, P) tiếp xúc với PR.
d) Cho MR = PQ chứng minh (A,N,P) và (I,N,R) tiếp xúc với nhau tại N.

Bài 19: Cho ÄABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC,
tia BD cắt tiếp tuyến tại Ax của đường tròn ở E, gọi F là giao điểm của EC

với (O).
a) Chứng minh BC // Ax.
b) Tứ giác ABCE là hình gì? tại sao?
c) Gọi I là trung điểm của CF ; BC cắt OI tại G so sánh góc BGO và BAC.
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


d) Cho biết DF = 1/2 BC. Tính góc ABC.

Trên đây tôi đã trình bày một số công việc cần thiết khi giáo viên tiến hành tổ
chức hướng dẫn học sinh giải toán hình học. Theo tôi nghĩ các việc làm trên có ý
nghĩa to lớn trong quá trình rèn luyện cho học sinh các tư duy hình học. Đương
nhiên đối với mỗi tiết dạy người giáo viên trong khâu soạn bài cũng như lên lớp cần
chuẩn bị chi tiết hơn.

V- KẾT

QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỀ TÀI:

- Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thể nghiệm trên hai đối tượng là học sinh lớp
8A1và 9A1. Trong quá trình giảng dạy vừa thể nghiệm vừa rút kinh đồng thời kiểm
tra khảo sát đánh giá bản thân thấy được rằng kết quả ứng dụng tương đối khả
Ngêi thùc hiÖn:

THANG70@.COM.VN


quan có nhiều hiệu quả. Đại đa số các em đều có hứng thú giải hình học, hệ thống

kiến thức được củng cố vững chắc, mỗi học sinh đều có phương pháp suy luận ở cấp
độ nhất định.
- Qua kết quả khảo sát giai đoạn và thi học kỳ gần như 100% các em đều đạt
điểm khá giỏi về môn toán.
- Kết quả theo dõi và phân tích :
+Số học sinh phát triển tư duy sáng tạo: 15/41 = 36,5%.
+ số học sinh phát triển tư duy độc lập: 21/41 = 51,2%.
+số học sinh tích cực: 41/41 = 100%.
+Số học sinh sử dụng thành thạo kí hiệu và thuật ngữ có kỹ năng diễn đạt
tốt:30/41= 75,1 %.
Còn lại số học sinh cần sự gợi ý giúp đỡ của GV đối với những bài có nội dung
dài, phức tạp hơn.
Cùng với kết quả trên đề tài có ứng dụng thiết thực trong việc vận dụng đổi mới
PPDH trong quá trình dạy học hiện nay. Dạy học theo hướng trên rèn luyện cho
học sinh kỹ năng thực hành giải toán cũng như kỹ năng vận dụng các kiến thức đã
học vào thực tế đời sống. Từ đó các em phát triển được các phẩm chất trí tuệ cần
thiết của người học toán. Đặc biệt là tính tích cực, chủ động, linh hoạt, sáng
tạo.Không những vậy nó còn thể hiện một mục tiêu cũng không kém phần quan
trọng là dạy người thông qua dạy chữ.
- Riêng đối với bản thân tôi luôn có ý thức nghiên cứu tìm tòi và áp dụng những
phương pháp có hiệu quả nhất trong quá trình dạy học của mình.

VI- TRIỂN

Ngêi thùc hiÖn:

VỌNG CỦA ĐỀ TÀI:

THANG70@.COM.VN