các ứng dụng về toán B1

TOÁN CAO CẤP B1

Chương I. Lời mở đầu
Toán cao cấp B1 là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các
nhóm ngành khoa kinh tế - quản trị kinh doanh. Sách hướng dẫn toán cao cấp B1
bám sát các giáo trình của các trường đại học an giang, giáo trình dành cho hệ
chính qui của khoa kinh tế - quản trị kinh doanh. Chính vì thế, tài liệu có nội dung
để tham khảo cho sinh viên và đánh giá năng lực của nhóm.
Bạn nghĩ gì về môn toán. Tại sao chúng ta phải học môn toán đó luôn là câu hỏi
của rất nhiều bạn trẻ không riêng ai khác chính tôi. Tôi luôn suy nghĩ tại sao mình
phải học môn toán, một môn học khô khan và khó hiểu. Nhưng chúng ta có thể
chưa biết hết lợi ích của việc học toán. Toán được xem là một môn khoa học của
nhân loại nó tạo tiền đề cho các môn khoa học gắn kết các môn địa lý, vật lý thành
khối khoa học công nghệ tuyệt vời.
Toán đem lại lợi ích to nhất giúp chúng ta tư duy lôgic, có cách nhưng khách quan
về vấn đề đan giải và những ứng dụng về thực tiễn được sử dụng rộng rãi trong các
nghành khoa học và kỹ thuật xuất phát từ việc những thứ mà chúng ta được học
( như vận tốc, gia tốc, dòng điện trong mạch) đây chỉ là sở lược ứng dụng của đạo
hàm. Để hiểu hơn những ứng dụng khác của đạo hàm chúng ta sẽ tìm hiểu một vài
bài toán trong kinh doanh về đạo hàm.
Các trình bày trong báo cáo phục vụ đắc lực trong công tác báo cáo của nhóm.
Trước khi nghiên cứu nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần hướng dẫn của
mỗi phần để thấy được mục đích, yêu cầu của mỗi phần. Trong mỗi phần, mỗi nôi
dung thông qua các ví dụ minh họa và các ứng dụng thực tế của phép vi phân hàm
một biến. Các nội dung trên được lựa chọn nhằm trang bị cho sinh viên những kiến
thức cơ bản về phương trình vi phân. Để cho việc tự học của sinh viên được dễ
dàng hơn, nhóm đã đưa thêm một số ví dụ minh họa.Chắc rằng bài báo cáo nhóm
vẫn còn nhiều thiếu sót, nhóm rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp
của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Xin chân thành cảm ơn.

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 1


TOÁN CAO CẤP B1

Chương II. Ứng dụng toán trong kinh doanh
-

-

Ngày nay với sự phát triển của nhiều lĩnh vực khoa học_công nghệ. Trên
Thế Giới người ta ứng dụng toán học vào nghiên cứu kinh tế kinh doanh với
quy mô lớn nhỏ cùng với sự trợ giúp của công nghệ hiện đại.
Những nhà quản trị cố gắng dùng toán học để diễn tả sự liên hệ giữa các
biến kinh tế và hàm kinh tế. Dùng kết quả từ toán học để đưa ra các quyết
định trong hoạt động quản trị kinh doanh.
Tính tiền lãi của doanh nghiệp

Gọi: π: Tiền lãi của doanh nghiệp
TR: Tổng doanh thu
TC: Tổng chi phí
Thì: π= TR – TC
Mặt khác, gọi P là giá bán sản phẩm của doanh nghiệp
Q là số lượng bán được
Thì TR = P.Q
Gọi FC: định phí
VC: biến phí – biến phí phụ thuộc vào sản lượng nên: VC(Q)
Khi đó: π= PQ – (VC(Q) +FC)
= (P – VC).Q – FC

Đặt

a= P – VC; b= FC

⇒π= aQ – b
Chúng ta đã xác định mối liên hệ giữa tiền lãi, sản lượng giá bán và các chi phí.

1. Vấn đề lời - lỗ:
Giới thiệu: một cửa hàng hoặc công ty sản xuất sản phẩm bán ra thị trường trong
đầu họ luôn đặt câu hỏi ra để giải quyết

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 2


TOÁN CAO CẤP B1

+ Sản xuất bao nhiêu để hòa vốn
+ Muốn có lãi một khoảng tiền A cho trước phải sản xuất và tiêu thụ bao nhiêu?
Bài toán:
Gọi Q là sản lượng sản xuất, P giá bán trên thị trường:
Doanh thu: TR= P.Q
Tổng chi phí: TC
Hàm số lợi nhuận: π= P.Q – TC(q)
Để giải quyết vấn đề 1 trên, ta giải bài toán: π = 0
Để giải quyết vấn đề 2 ở trên, ta có: π = A ⇒Q=?
Sao đây là hoạt động kinh doanh của quán hủ tiếu bình dân. Để việc kinh doanh
được thuận lợi và thu được lợi nhuận cao chủ quán đã quan tâm đến nhiều yếu tố.
Ví dụ 1:

Cô Minh vào An Giang thuê mặt bằng bán hủ tiếu. Các chi phí được thể hiện như
sau:
Thuê mặt bằng, điện, nước, FC= 100đ/ngày. Chi phí này không phụ thuộc vào sản
lượng bán được trong ngày.
_ chi phí cho 1 tô hủ tiếu:
Hủ tiếu: 2000đ
Gia vị: 1000đ
Thịt bò + heo: 5000đ
Nhân viên phụ: 1000đ
Tổng cộng: 9000đ/tô
Chi phí này phụ thuộc vào sản lượng tô hủ tiếu bán được trong ngày gọi là biến
phí.
VC = 9000đ/tô
Giá bán 1 tô là: P = 15000đ/tô
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 3


TOÁN CAO CẤP B1

Vấn đề: tính doanh thu lời lỗ của quán hủ tiếu.
Giải quyết vấn đề:
Gọi X là số tô hủ tiếu bán được trong ngày.
Doanh thu TR=P.X =15000.X (P là giá bán )
Chi phí: TC=FC +VC =100000 + 9000.X
Tiền lãi trong ngày là:
π= TR – TC =15000X – 9000X - 100000 = 6000X – 100000
Để phân tích doanh thu, chi phí lời lỗ, ta khảo sát phương trình đường thẳng:
π= 6000.X – 100000

+ Không lãi nếu π = 0
→ X= 16.7 ≈ 17 (mỗi ngày bán được 17 tô: hòa vốn)
+ Có lãi khi X > 17 tô và bị lỗ vốn khi X < 17
Ví dụ 2:
Công ty TNHH Linh Chi tại Long Xuyên, tỉnh An Giang chuyên sản xuất viết
cung cấp cho học sinh. Thông tin được phòng sản xuất kinh doanh cung cấp như
sau:
Giá bán: 3000vnđ/ 1 cây viết.
Chi phí bán: định phí FC = 1800000vnđ.
Biến phí VC = 150vnđ.
Chi phí sản xuất: nguyên vật liệu 1350
Công nhân trực tiếp 240vnđ
Chi phí điều hành: Định lí FC = 18000000vnđ.
Biến phí VC = 60vnđ.
Giám đốc công ty yêu cầu

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 4


TOÁN CAO CẤP B1
a.
b.

Tính doanh thu và sản lượng hòa vốn.
Để có lãi 17000.000 phải sản xuất và tiêu thụ bao nhiêu cây viết ?

FC = 19800000, VC= 1800đ
→ TC = 19800000 + 1800Q

TR= P.Q
a) π= TR.TC = P.Q – 19800000 – 1800Q
= (P – 1800)Q – 19800000
b)

để hòa vốn ⇔ π = 0

→ Q = (19800000)/(3000 – 1800) = 16500 cây viết.
c)

Muốn có lãi π = 17000000 = 1200Q – 19800000

→ Q = 36800000/1200 = 31000 cây viết
Ví dụ 3:
Mì tươi bình dân.
Cô Thành vào Đồng Nai thuê mặt bằng bán mì tươi bình dân, nuôi con trai đi học.
Các chi phí được thể hiện như sau:
_Thuê mặt bằng, điện, nước: Fc =100.000đ/ngày.
Chi phí này không phụ thuộc vào số lượng tô mì bán được trong ngày.
Chi phí cho một tô mì:
1.
2.
3.
4.

Mì : 3000đ
Gia vị : 2000đ
Thịt bò + heo : 6000đ.
Nhân viên phục vụ: 1000đ/tô

Tổng cộng là: 12000đ.
Chi phí này phụ thuộc vào số lượng tô mì bán được trong ngày gọi là biến phí:
VC = 12000đ.
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 5


TOÁN CAO CẤP B1

Giá bán một tô là P = 14000đ.
Vấn đề : Tính doanh thu lời lỗ của quán mì tươi là.
Giải quyết bài toán.
Gọi X là số tô mì bán được trong ngày.
Doanh thu : TR = P.X (trong đó P : là giá bán)
_chi phí : TC = FC + VC
=100000 + 12000X
Tiền lãi trong ngày là : = TR – TC
=14000X -12000X – 100000
=2000X -100000

Để phân tích doanh thu, chi phí, lời lỗ, ta khảo sát phương trình đường thẳng :
=2000X – 100000
-Không lãi nếu = 0  X = 50 (mỗi ngày bán được 50 tô hoàn vốn)
-Có lãi khi X > 50 tô và bị lỗ vốn khi X < 50

2. Bài toán giá trị biên :
a.

Sản lượng biên :

Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động hay vốn tăng lên 1 đơn vị.
Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp
Q = f(L) = 10 với :số công nhân
Ở mức L = 400 công nhân thì
Q =10 =200 đơn vị sản phẩm
Sản phẩm biên tế lao động tại L = 400 là
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 6


TOÁN CAO CẤP B1

Khi L = 400
Điều này có nghĩa là:khi tăng mức sử dụng lao động từ 400-401 thì sản lượng tăng
thêm 0,25 đơn vị sản phẩm.
Thử xét:
L
MQ

400
0.25

410
0.24

450
0.23

500
0.22

800
0.17

1000
0.15

NHẬN XÉT: MQ là một hàm số giảm dần
b.

Sự thay đổi của giá theo yêu cầu:

Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên 1 đơn vị.
Hàm cầu của một sản phẩm: P =10- Q 2 , Q là sản lượng , P là giá bán.Sự thay đổi
của giá theo lượng yêu cầu là : P’= -2Q. Giả sử ở mức Q = 5 đơn vị thì
P’(5)=-10: Nghĩa là khi tăng sản lượng lên một đơn vị ( từ 5 lên 6), giá giảm 10
đơn vị tiền tệ.
VD: Một cửa hàng bán lẽ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10đ
1 cái trong 1 năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là 20đ, cộng thêm 9đ mỗi cái. Cửa
hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí
hàng tồn kho là nhỏ nhất?
Giải.
Ta có: n = 2500, h = 10
Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần.
Khi đó: Q[1;2500]
Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi trong kho là .
Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm là 10. = 5.Q (1).
Số lần đặt hàng mỗi năm là: . Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm là:

(20 + 90.Q). = + 22500 (2).
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 7


TOÁN CAO CẤP B1

Từ (1) và (2) suy ra chi phí cửa hàng là:
C(Q) = 5.Q + + 22500.
Ta có: C’(Q) = 5 C’(Q) = 0 5. = 50000 = 10000
Vì Q[1;2500] nên ta loại Q = -100.
C’(Q) = >0 với Q > 0 nên Min Q[1;2500] C(Q) = C(100) = 23500.
Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm là = 25.
Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt 25 lần mỗi năm và mỗi
lần đặt 100 cái tivi.
c.

Chi phí biên, ký hiệu MC:

Hàm chi phí TC = TC(Q)
Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1 đơn
vị.
Ví dụ: Hàm chi phí một sản phẩm được đo là:
TC = 0,0002Q3 – 0,004Q2 + 10Q + 200
Tìm MC khi Q = 100

= 0,0006Q2 – 0,08Q + 10
Khi Q = 100 thì MC = 8.
Điều này có nghĩa là: khi sản xuất tăng thêm một đơn vị sản lượng ( từ 100 – 101 )

thì chi phí tăng thêm 8 đơn vị tiền tệ.
Chúng ta tính MC ở 1 mức sản lượng khác nhau.
Q
MC

140
10,56

160
12,56

NHÓM THỰC HÀNH 1

200
18

250
27,5

Trang 8

300
40

500
120


TOÁN CAO CẤP B1
-

Chi phí biên là một hàm tăng.
Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn.

d.

Doanh thu biên, kí hiệu MR:

Xét hàm doanh thu: TR=P.Q; P: giá ; Q: sản lượng
Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định, thì MR hay
giá trị cận của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của danh thu khi sản lượng
tăng thêm một đơn vị.
Nếu: Q do danh nghiệp quyết định, P do thị trường quyết định thì MR hay giá
trị cận biên của doanh thu là đại lượng do sự thay đổi của doanh thu khi giá
tăng 1 đơn vị.
Ví dụ 1:
cho hàm chi phí C = C(Q), giá trị biên của chi phí MC(Q) là đại lượng đo sự
thay đổi của chi phí C khi Q tăng lên một đơn vị.
Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một chiếc máy tính là:
= 0.0003Q2 – 0.001Q + 3 +
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với mức sản xuất Q. Gía trị cận biên của chi
phí là bao nhiêu nếu mức sản xuất Q = 70.
Giải:
Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
C =Q. =0.0009Q3 – 0.002Q +3
Khi Q = 70 thì MC(70) = 7.72. Như vậy, nếu tăng Q lên một đơn vị từ 70 lên 71
thì chi phí tăng lên 7,72 đơn vị.
Ví dụ 2:
Một sản phẩm có hàm cầu là Q= 1000 – 14P, Q là sản lượng P là giá bán . Tìm
doanh thu biên khi P= 10,50.

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 9


TOÁN CAO CẤP B1

Ta có hàm doanh thu: TR= P.Q = P(1000 – 14P)= 1000P – 14P2.
Có : MR= 1000 – 28P.
Với P = 10, ta có MR= 720 nghĩa là tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một
đơn vị tiền tệ) thì doanh thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ.
Với P=50 , ta có MR=400 nghĩa là tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì doanh
thu sẽ giảm một mức 400 đơn vị tiền tệ.
Ví dụ 3:
Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q= 1000 – 14P , Q là sản lượng, P là giá bán.
Tìm MR khi P = 40 và P = 30
Hàm doanh thu là: TR = P.Q =P(1000 – 14P) = 1000P – 14P2.
MR = 1000 – 28P
*khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = - 120
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 ( tăng một đơn vị tiền tệ ), thì
doanh thu sẽ giảm 120 đơn vị tiền tệ.
*Khi P = 30, MR = 1000 – 28(40) = 160.
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 ( tăng một đơn vị tiền tệ ), thì
doanh thu sẽ tăng 160 đơn vị tiền tệ.

e.

Lợi nhuận biên

Xét hàm lợi nhuận của sản phẩm A:

Trong đó:
-

TR là hàm doanh thu;
TC là hàm chi phí ;

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 10


TOÁN CAO CẤP B1
-

FC là định phí, VC(Q) là biến phí.

Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên là số đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá
tăng thêm một đơn vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm một đơn vị.
Một doanh nghiệp luôn muốn đạt được lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn:
Cách 1: Giá bán P được xác định theo cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức
sản lượng sản xuất Q.
Giả định là hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp 2.
Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa 2 điều kiện:
(1)

(2)
Từ (1) MR=MC, nghĩa là doanh thu biên = chi phí biên
Từ (2)

Đã biết: doanh thu biên là hàm giảm, chi phí biên là hàm tăng
Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q được xác định theo cầu
thị trường.

(1)

f.

Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần:

Xét hàm mục tiêu y = f(x)
X: yếu tố đầu vào; y: yếu tố đầu ra
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 11


TOÁN CAO CẤP B1

Qui luật lợi ích cận biên giảm dần cho biết:
Khi x càng lớn thì giá trị cận biên của y càng nhỏ.
Nghĩa là f’(x) là một hàm đơn điệu giảm
Điều kiện để giá trị cận biên của y giảm dần theo x là: f’’(x) <0.
Ví dụ 1: Ghi chú:
Q (VC) là biến phí.
FC là định phí.
π là hàm lợi nhuận.
Công ty cổ phần hàng tiêu dùng MASAN đưa vào thị trường sản phẩm, có thông
tin sau:
Hàm cầu: P= 800 - Q= 1600 – 2P.

Hàm chi phí: TC= 0.5Q2 +12Q – 1000
a. Tìm mức sản xuất Q để doanh thu đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi
nhuận đạt được là bao nhiêu?
b. Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản
lương và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa ? Khi ấy lợi nhuận là
bao nhiêu ?
* Giải quyết vấn đề:
TR= P.Q = (1600 – 2P).P = 1600P – 2P2
⇒MR= 1600 – 4P ⇒TC = 0.5.(1600 – 2P)2 +12.(1600 -2P) - 1000
= 2P2 - 3224P +1298200
⇒MC = (TC)’ = 4P – 3224
Ta có:
MR= MC⇔ 1600 – 4P= 4P – 3224
⇔ P = 603 đơn vị tiền tệ để lợi nhuận đạt được tối đa.
⇒Q = 394 đơn vị sản lượng.
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 12


TOÁN CAO CẤP B1

⇒ π = TR - TC = 156236 đơn vị tiền tệ.
*Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty nộp thuế là 22 đơn vị tiền tệ, thì làm chi
phí:
TC = 0.5Q2 + 12Q +22Q – 1000 = 0.5Q2 + 34Q – 1000
⇒ MC = (π)’ = Q + 34
_ Hàm doanh thu:
TR = P.Q = (800 - ).Q ⇒ MR = (TR)’ = 800 – Q
π đạt tối đa khi:

MC = MR ⇔ Q + 34 = 800 - Q⇔ Q= 383 đơn vị sản phẩm.
⇔ P = 609 đơn vị tiền tệ, lợi nhuận là 156092.
Nhận xét: Khi giá tăng từ 603 lên 609 tương ứng 0.98 %, Thì lợi nhuận giảm từ
156236 xuống 156092 tương đương 2.8%. Sản lượng giảm từ Q= 394 còn Q= 383
tương đương 0.09%.
Ví dụ 2: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như
sau:
Hàm cầu là P = 800 – 2q
Hàm chi phí là TC = 0.5Q2 + 20Q +400.
a.Tìm mức nước sản xuất Q để doanh nghiệp được lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán
và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu?
b. Nếu mỗi sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và
gía bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa ? Khi ấy lợi nhuận là bao
nhiêu?
Câu a. Hàm doanh thu: TR=PQ=(800-2Q)Q
=800Q-2Q2
Hàm lợi nhuận: =TR-TC
=800Q-2Q2-(0.5Q2+30Q+400)
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 13


TOÁN CAO CẤP B1

=800Q-2Q2-0.5Q2-3Q-400
= -2.5Q2+797Q-400
Để đạt tối đa thì:
⇒Q=159,4 đơn vị sản lượng.
Khi đó giá bán trên thị trường là.

P=800-2(159,4)=481,2 đơn vị tiền tệ .
Lợi nhuận đạt được là.
-2,5. + 797.159,4 – 400 = 63120,9 (đơn vị tiền tệ)
Nhớ rằng chúng ta có thể tìm Q bằng cho đạt giá trị cực đại:
 MR = MC
 800 – 10Q = Q + 30


Q=

Câu b: Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty nộp thuế là 24 đơn vị tiền tệ thì hàm
chi phí là
TC = 0,5
=


MC = Q+ 54

Hàm doanh thu: TR = P.Q = 800Q – 2Q2.
⇒ MR = 800 – 10Q
đạt tối đa : 800 – 10Q = Q + 54
Khi đó P = 664,4 đơn vị tiền tệ lợi nhuận là 42144,5.
g.

Tiêu dùng và tiết kiệm

Gọi I là tổng thu nhập của quốc gia; C là tiêu dùng của toàn dân và S là tiết kiệm.
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 14

TOÁN CAO CẤP B1

Tiêu dùng sẽ phụ thuộc vào thu nhập, do đó tiêu dùng là hàm số của thu nhập
Gọi C = C (I): hàm tiêu dùng, thì tiết kiệm là S = I - C
Tiêu dùng biên là đại lượng đo sự thay đổi của tiêu dùng khi thu nhập tăng 1 đơn
vị, được xác định là:
MS =
Lưu ý: Người ta thường dùng đơn vị tiền tệ là 1 tỷ USD. (1 đơn vị tiền = 1 tỷ USD)
Ví dụ:
Hàm tiêu dùng quốc dân của một nước được cho là:
C = 20, xác định xu hướng tiêu dùng và tiết kiệm biên ở mức tổng thu nhập quốc
gia 400 tỷ USD
Tiêu dùng biên là:
MC = 20
Ở mức I=400 tỷ thì
MC = 20
Do đó: MS = 100

3. Bài toán tối đa hóa lợi nhuận
Vấn đề kinh doanh: công ty sản xuất sản phẩm X với hàm chi phí là: TC = TC(x)
Hàm cầu là: x = f(p) hay p= ϕ(x)
Trong đó

p: giá

x = QD: lượng cầu

Giả sử thị trường độc quyền. Tìm điều kiện để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Gọi:
-

Hàm doanh thu: TR = p.x
Hàm lợi nhuận: π = pr = TR – TC = p.x – TC(x)

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 15


TOÁN CAO CẤP B1

Tìm điều kiện để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, ta đưa về bài tìm cực trị của
hàm số lợi nhuận.
Áp dụng toán học cơ bản ( tìm cực trị hàm số) ta có:
Để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa, hàm lợi nhuận phải thỏa mản 2 điều kiện:
⇔
(1)

⇒ - =0⇔ =

Nghĩa là: doanh thu biên tế = Chi phí biên tế
⇒ = - <0⇔ <

Ví dụ 1:
Công ty TNHH Hoàng Kim sản xuất nước suối đóng chai. Phòng sản xuất kinh
doanh cung cấp thông tin sau :
Định phí: FC= 1200 đơn vị triệu đồng
Biến phí: VC= x2 + 12x sản xuất độc quyền

Hàm cầu x=- p + 200 p là giá bán do công ty qui định.
Hãy tìm sản lượng cần sản xuất để công ty đạt lợi nhuận tối đa.
Ta có :
Hàm tổng chi phí TC = x2 + 12x + 1200
Hàm cầu: x = - p + 200 ⇒ p = - x + 350
Hàm doanh thu: TR = px = - x2 + 350x
Hàm lợi nhuận: π = p.r = TR – TC = x2 + 338x – 1200
Tìm mức sản lượng cần sản xuất, tiêu thụ để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa ⇔
ta tìm cực trị của hàm số π, để đạt cực trị hàm π thỏa:
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 16


TOÁN CAO CẤP B1

Suy ra:
X ≈ 94 đơn vị sản phẩm
Vậy công ty TNHH Hoàng Kim muốn đạt lợi nhuận tối đa phải sản xuất 94 đơn vị
sản phẩm ( 1000 thùng/ 1 đơn vị).
Khi đó: TC = 2881
TR = 17437
Pπ = 14556
Tỷ lệ tối đa là 50%
Với giá do công ty Hoàng Kim quy định.
P = 18500/chai nước suối với 50% độ đạm/ 1chai 1 lít.
Ví dụ 2:
Công ty TNHH Ngọc Anh sản xuất nước tương đóng chai. Phòng sản xuất kinh
doanh cung cấp thông tin sau:
Định phí: Fc = 400 (đơn vị: triệu đồng)

Biến phí :
Hàm cầu:

sx độc quyền
(p là giá bán do công ty qui định)

Hãy tìm sản lượng cần sản xuất để công ty đạt lợi nhuận tối đa?.
Ta có: Hàm doanh thu: TR =
Hàm tổng chi phí: TC =
Hàm cầu: X =  p =
Hàm lợi nhuận: = pr = TR – TC =
Tìm mức sản lượng cần sản xuất, tiêu thụ để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 
ta tìm cực trị của hàm số , để đạt cực trị hàm thoả :
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 17


TOÁN CAO CẤP B1

(1)
(2)
Suy ra


đơn vị sản phẩm.

Vậy công ty TNHH Ngọc Anh muốn đạt lợi nhuận tối đa phải sản xuất 21 đơn vị
sản phẩm.
Khi đó :

TC = 747
TR = 567
Pr = 482
Tỉ lệ lãi tối đa là 50%.
Với giá do công ty Ngọc Anh quy định P = 59000đ/chai nước tương với 50% độ
đạm / 1 chai 1 lít.

*Bài toán xác định lượng đặt hàng tối ưu
Vấn đề quản trị: lập kế hoạch đặt hàng với chi phí tối thiểu giả sử công ty của bạn
chuyên phân phối một sản phẩm X nào đó
Gọi Q là số lượng sản phẩm thõa mãn thị trường trong năm (nhận và tiêu thụ hết)
Chi phí có 2 loại chi phí chính đặt hàng và lưu kho
Nếu mỗi lần đặt hàng là q sản phẩm, thì trong năm số lần đặt hàng là
chi phí mỗi lần đặt hàng là , thì tổng chi phí đặt hàng là
=.

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 18


TOÁN CAO CẤP B1

Nếu bắt đầu mỗi kì kinh doanh, lượng lưu kho tối đa là q bán hết , nhập tiếp một
lượng q khác vào kho. Vậy lượng tồn kho trung bình là sản phẩm. Gọi chi phí lưu
kho là /1 sản phẩm.
Tổng chi phí lưu kho trung bình .
Tổng chi phí: TC = C = +.=.+.
Vấn đề quản trị tồn kho đặt ra là làm sao để C tối thiểu tìm cực tiểu của hàm chi
phí

Áp dụng bài toán tìm cực trị:
Ta xem C = C(q): Hàm số theo q, giả sử khả vi đến cấp 2
Để tìm cực trị của C, ta phải có:
= 0 ⇒ Tìm được các điểm nghi ngờ có cực trị
≠ 0 ⇒ Để có cực trị: > 0: C có cực tiểu
< 0: C có cực đại
Kết luận: Để giải quyết câu hỏi quản trị đặt ra, ta giải bài toán:

(1): =- = 0 ⇒ = ⇒ q2 = ⇒ q =
(2): = > 0

Ví dụ 1:
Công ty TNHH Sông Hồng phân phối bình nước nóng ở các tỉnh miền nam.
Thông tin được cung cấp như sau:
Chi phí đặt hàng
Định phí : FC=10000000
Chi phí lãi vay: 128000
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 19


TOÁN CAO CẤP B1

Chi phí bảo hiểm: 32000
Dự kiến năm 2014 công ty sẽ bán 10000 bình. Bạn giúp công ty có phương án đặt
hàng sao cho chi phí tối thiểu.
Gọi Q=10000 là số lượng bình nước nóng trong năm 2014
X: số lần đặt hàng trong năm 2014
C0: Chi phí mỗi lần đặt hàng.

Ck : Chi phí lưu kho.
TC : Tổng chi phí.
Như vậy
Chi phí đặt hàng 2014 là C0X
Số bơm đặt hàng mỗi lần : Q/X
Số lượng tồn kho trung bình là :
Chi phí lưu kho cả năm 2014 :
Hàm tổng chi phí là : TC = C0X+
Để chi phí đặt hàng tối thiểu , ta tìm được cực tiểu phải thoả 2 điều kiện:
=> = C0Và

(1)
(2)

Để có cực tiểu thì:
Trong đó : Q= 10000 bình
CK =128000+32000=160000
C0 =FC=10000000
x 9 => năm 2014 sẽ có 9 lần đặt hàng.Mỗi lần đặt hàng là : bình nước nóng.
Với tổng chi phí là : TC
Tương đương :
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 20


TOÁN CAO CẤP B1

Ví dụ 2:
Công ty Nhật Nguyên phân phối bình gas tại An Giang năm 2014, dự kiến bán

được 15600 bình.
Chi phí đặt hàng ( đơn vị tính)
Định phí: 15600
Phí tồn kho: Lãi 192 + Bão hiểm 48
Tìm cách đặt hàng sao cho phí tốn là tối thiểu?
Gọi Q: Nhu cầu trong năm 2014 Q=15600 bình
C0: Chi phí mỗi lần đặt hàng
Ck: Phí lưu kho
TC: Tổng chi phí
X: Số lần đặt hàng trong năm 2014
Ta có: Chi phí đặt hàng là C0x.
Số lượng bình gas mỗi lần đặt hàng:
Số lượng bình gas lưu kho trung bình là:
Chi phí lưu kho: Ck
⇒ TC = C = C0x + Ck
Vậy =C0 = 0 ⇒ x =
= >0
Với Q = 15600
C0 = 15000
Ck = 192 + 48 =240
X = ≈ 11 lần đặt hàng
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 21


TOÁN CAO CẤP B1

Số lượng bình gas mỗi lần đặt hàng = 1418 bình.

Chương III. Ý NGHĨA ỨNG DỤNG TOÁN TRONG KINH DOANH
-

-

Bài toán quản trị là dùng lý thuyết toán học diễn tả sự liên hệ giữa các biến
kinh kế trong hoạt động sản xuất kinh doanh phân giải và chọn lọc giúp nhà
kinh doanh ra quyết định tốt nhất.
Giúp chúng ta chỉ tập trung vào việc ứng dụng toán cho quản trị kinh doanh.
Từ vấn đề quan trị chúng ta đưa ra về giải một bài toán tương đương

NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 22


TOÁN CAO CẤP B1

DANH SÁCH NHÓM
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

11
12
13
14
15
16
17
18

Họ và tên
Lê Thị Mỹ Linh
Phạm Phước Thạnh
Nguyễn Thị Mỹ Tiên
Mạc Kim Ngân
Lư Kim Chi
Ngô Văn Bằng
Phạm Thị Diễm Hương
Lê Minh Luần
Nguyễn Thị Thu Ngân
Huỳnh Thanh Ngân
Trần Thị Gọn
Võ Thị Tuyết Nhi
Trần Thị Thanh Thảo
Nguyễn Thị Thu Sương
Kha Phú Quốc Anh
Nguyễn Thị Thanh Tiền
Lư Thị Mỹ Tiên
Phan Thị Thanh Thảo

MSSV

DQT141785
DQT142206
DQT141856
DQT142197
DQT141762
DQT141756
DQT141779
DQT141792
DQT141800
DQT141799
DQT141773
DQT141814
DQT141843
DQT141830
DQT141752
DQT141861
DQT141854
DQT141842

*Tài liệu tham khảo:
1. Toán cao cấp C1 và một số ứng dụng trong kinh doanh
2. tailieu.vn
NHÓM THỰC HÀNH 1

Trang 23

Nhiệm vụ
Nhóm trưởng
MC
Vấn đề lời lỗ

(VD1,VD2)
Vấn đề lời lỗ (VD3)
Lời mở đầu
Bài toán giá trị biên
(phần a, b)
Bài toán giá trị biên
(phần c, d)
Bài toán giá trị biên
(phần e, f)
Bài toán giá trị biên
(phần g)
Bài toán tối đa
hóa lợi nhuận
Bài toán xác định lượng
Đặt hàng tối ưu