Bài tập giải tích 1 có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (460.95 KB, 23 trang )
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thừa Hợp. Giải tích, tập I, II. NXB. Đại học Quốc gia Hà Nội. 2004.
[2] Nguyễn Thủy Thanh, ... Hướng dẫn giải bài tập Giải tích toán học. Tập I, II. NXB. Đại học
Quốc gia Hà Nội. 1999.
[3] Nguyễn Đình Trí, … Bài tập toán học cao cấp. Tập II. NXB. Giáo dục, Hà Nội. 1998.
[4] Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích. Tập I, II. NXB Giáo dục, Hà Nội. 1998.
[5] Phạm Ngọc Thao, Bài tập giải tích. NXB. ĐH Quốc gia Hà Nội, 1998
[6] Lê Ngọc Lăng, ... Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2. Tập I,II. NXB. Giáo dục.
Lịch học theo đề cương
1
Giới hạn dãy số.
2
Giới hạn hàm số, áp dụng VCB, VCL để tìm giới hạn hàm số.
3
Hàm số liên tục. Các hàm sơ cấp.
4
Đạo hàm, vi phân.
5
Các ứng dụng. Công thức Taylor. Khảo sát hàm số.
6
Nguyên hàm. Tích phân xác định.
7
Áp dụng tích phân.
8
Áp dụng tích phân. Tích phân suy rộng.
9
Chuỗi dương.
10 Chuỗi đan dấu. Hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện.
11 Chuỗi hàm. Chuỗi lũy thừa. Bán kính hội tụ.
12 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa.
13 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa.
14 Chuỗi Fourier.
Giới hạn dãy số thực
- Định nghĩa dãy số thực
- Dãy hội tụ và phân kỳ. Giới hạn là duy nhất
- Giới hạn vô cùng
- Tính chất đại số và tính chất thứ tự của dãy hội tụ
- Dãy bị chặn và sự tồn tại giới hạn
- Dãy con: cho (un),từ các số hạng của nó lập một dãy mới với n1< n2 < ...< nk < .... thì unk gọi là một
dãy con của (un). Chẳng hạn: (u2n) và (u2n+1) là các dãy con của (un)
Bài tập
1. Bằng định nghĩa chứng minh
1
a) lim
n →∞
1
= 0,
n
b) lim n a = 1 ,
an
= ∞, a > 1, k > 0
n →∞ n k
n
c) lim 2
n →∞
n→∞
d) lim n n = 1
=∞
n →∞
an
= 0, a > 1
n →∞ n !
log a n
= 0, a > 1
n →∞
n
e) lim
f) lim
g) lim
2. Sử dụng bài trên để tìm giới hạn của các dãy số
3 + ( −3 )
;
d) un =
4n
n
n
a) un =
;
n +1
n +1
;
b) un =
4n + 1
n2
c) un = 3
;
3n + 1
e) un = n − n 2 − 1 ;
f) un = n − n 2 − n ;
g) un = n ( n + a ) − n ;
h) un = 3 n + 1 − 3 n
i) lim
n1000 + n500 − 3n +1 + 2n + log 3 n
n →∞
n 2 + 2.3n − 6 log 5 ( n + 1)
5n − 2.3n
n →∞ 2.5n + 4.3n + n 7
j) lim
3. Dùng tính chất thứ tự hãy tìm giới hạn của dãy số:
sin 2 n − cos3 n
a) un =
;
n
b) un
( −1)
=
n
n
c) un = n 3 + sin n ;
;
4. Dùng tính chất bị chặn của dãy đơn điệu hãy chứng tỏ các dãy sau có giới hạn:
a) un = 1 +
1
1
+ ... + 2 ;
2
n
2
b) un =
1
1
+ ... +
n!
2!
5. Khảo sát sự hội tụ của các dãy
π
1
a) un = sin n + ,
2 n
e) un = 1 +
b) un = cos n
π
6
c) un = cos n
,
π
3
( −1)
+
n
n
,
n + ( −1)
d) un =
n
1
1
1
+
+ ... +
n
2
3
6. Khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu tồn tại) của các dãy truy hồi sau:
a) un =
2
un −1
d) un =
+ 1; u1 = 1 ;
1⎛
1 ⎞
⎜ un −1 +
⎟ , u1 = 2
2⎝
un −1 ⎠
b) un = 1 + un −1 ; u1 = 3
1 un2−1
1
; u1 = ;
c) un = +
2
2
2
e) un = a a ...a a (n dấu căn);
f) un = a + a + ... a + a (n dấu căn)
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 19,24 (tr 47-48), Nguyễn Thủy Thanh: tr 27-56
Giới hạn hàm số
- Giới hạn hàm số: f(x) đủ gần L khi x đủ gần a.
- Giới hạn bằng vô cùng: f(x) đủ lớn khi x đủ gần a.
- Giới hạn tại vô cùng: f(x) đủ gần L khi x đủ lớn
2
n
- Giới hạn trái và phải
- Vô cùng bé và vô cùng lớn (khi x tiến đến a). vô cùng bé (lớn) cùng cấp, cấp cao, cấp thấp, tương
đương
- Các vô cùng bé đáng nhớ khi x tiến đến 0:
x2
x3
x2
x3
+ o ( x 2 ) ;sin x = x − + o ( x 3 ) ;cos x = 1 −
+ o ( x 2 ) ; tan x = x + + o ( x 3 ) ;
2
6
2
3
3
2
3
x
x
x
sinh ( x ) = x + + o ( x 3 ) ;cosh x = 1 +
+ o ( x 2 ) ; tanh x = x − + o ( x3 ) ;
6
2
3
2
m ( m − 1) 2
x
m
ln (1 + x ) = x −
x + o ( x2 )
+ o ( x 2 ) ; (1 + x ) = 1 + mx +
2
2
ex = 1 + x +
Bài tập
7. Tính các giới hạn
(x
b) lim
x + x 2 + ... + x n − n
a) lim
,
x →1
x −1
d) lim
x →+∞
g) lim
x →a
j) lim
x →0
m
e) lim
x →0
h) lim
x →0
cos x − 3 cos x
,
sin 2 x
⎛ 2x − x +1 ⎞
m) lim ⎜ 2
⎟
x →∞ 2 x + x + 1
⎝
⎠
2
2
1+ α x − n 1+ β x
,
x
x →4
x −2
,
x − 5x + 4
⎛ x −1 ⎞
n) lim ⎜ 2 ⎟
x →∞ x + 1
⎝
⎠
2
x →+∞
f) lim
1+ α x n 1+ β x −1
,
x
i) lim
1 − cos x cos 2 x cos 3 x
,
1 − cos x
x →0
x →+∞
(
x+ x+ x
x +1
c) lim
x →0
l) lim
2
,
m
1 + tan x − 1 + sin x
,
x3
k) lim
x2
1− x
− a n ) − na n −1 ( x − a )
( x − a)
x →a
x+3 x+4 x
,
2x +1
sin x − sin a
x−a
n
3
)
x3 + x 2 − 1 − x ,
x3 −1
x +1
8. Tính các giới hạn
a) lim x 1 − 2 x ,
x →0
αx
e) lim
x →0
x →0
x→
π
,
d) lim ⎡⎣sin ln ( x + 1) − sin ln x ⎤⎦ ,
π
x →∞
2
n
⎛
⎞
h) lim ⎜ x + x + x − x ⎟ ,
x →∞
⎝
⎠
tan 2 x
x→
tan x
(1 + mx ) − (1 + nx ) ,
f) lim
x →0
x2
βx
e −e
,
sin α x − sin β x
l) lim ( tan x )
c) lim ( sin x )
b) lim x cos x ,
3
m
j) lim (1 + x
x →0
n) lim
x →∞
x →∞
4
3
x →0
1
x2
⎛ x+2 ⎞
i) lim ⎜
⎟ ,
x →∞ 2 x − 1
⎝
⎠
m) lim x ⎡⎣ln ( x + 1) − ln x ⎤⎦ ,
g) lim
x 4
x
− 1+
3
4
x
1− 1−
2
1+
ln ( 2 + e3 x )
ln ( 3 + e 2 x )
,
)
2
2 cot an x
⎛ 1 + tan x ⎞ sin x
, k) lim ⎜
⎟
x →0 1 + sin x
⎝
⎠
o) lim ( x + e x )
1/ x
x →0
,
⎛ 3π
⎞
p) lim ⎜
− x ⎟ tan x ,
3π
x→
⎝ 2
⎠
2
q) lim ( sin xcotg3x ) ,
r) lim
x →π
x →±∞
(
x 2 + x − 3 x3 − 2 x 2
)
9. Tính các giới hạn
sin 5 x
,
a) lim
x → 0 tan 3 x
d) lim
x →∞
x →0
e 2 x − e3 x + ln (1 + x 2 )
cos 3 x − 1
x →0
f) lim
b) lim
(
4
ln (1 − 2 x 2 )
4
sin 2 x − tan 2 x + e x − 1
c) lim
cos 3x − 1
( ln (1 + 2 x )) sin 4 x
2
x →0
cos 2 x − e3 x + ln (1 − 5 x 2 )
2
,
e) lim
x →0 5
1 − 2 x 2 − 3 1 − 4 x 2 + 5 1 + 2 x3 − e2 x
)
3
,
cos x cos 2 x cos 3 x cos 4 x − 1
x →0
x2
tan
3
x 4 − 2 x3 + 5 x + 1 − x 2 + 3x + 5 ,
g) lim
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 3-8 (tr 106), Nguyễn Thủy Thanh: tr 56-86
Hàm liên tục, hàm sơ cấp
- Liên tục, liên tục bên trái và bên phải
- Các hàm sơ cấp: Hàm luỹ thừa, Hàm mũ cơ số a, Hàm lôgarit cơ số a, Các hàm số lượng giác (Đã
học ở phổ thông), Các hàm số lượng giác ngược, Các hàm hypebôlic thuận
- Liên hệ hàm lượng giác và hàm hypebolic: gọi i là số ảo đơn vị thì
ch x = cos ( ix ) , sh x = −i sin ( ix )
từ đó ta suy ra các công thức của các hàm hypebolic từ các hàm lượng giác
- Hàm hữu tỉ tối giản là các phân thức có dạng:
A
( x − a)
k
,
(x
Bx + C
2
+ px + q )
k
Trong đó k là số nguyên dương, a,p,q,A,B,C là các số thực và p2-4q<0
Bài tập
10. Xét sự liên tục của các hàm số:
a) f ( x ) = x ,
1
⎧
⎪ x sin
c) f ( x ) = ⎨
x
⎪⎩0
⎧2 x
e) f ( x ) = ⎨
⎩2 − x
⎧⎪( x 2 − 4 ) / ( x − 2 )
b) f ( x ) = ⎨
⎪⎩ A
x≠0
x=0
0 ≤ x ≤1
1< x ≤ 2
,
x≠2
x=2
⎧⎪e −1/ x
d) f ( x ) = ⎨
⎪⎩0
⎧⎪ x 2
f) f ( x ) = ⎨ 2
⎪⎩− x
4
2
,
x≠0
x=0
x ∈Q
x ∈ R, x ∉ Q
x ∈Q
x ∈ R, x ∉ Q
⎧1
g) f ( x ) = ⎨
⎩0
11. Chứng minh bất kỳ đa thức bậc lẻ nào cũng có ít nhất 1 nghiệm thực
⎧2 x 2 − 3x + 1
⎪
f ( x ) = ⎨ Ax + B
⎪− x + 8
⎩
12. Cho
x<2
2≤ x≤4
x>4
tìm A,B để hàm liên tục trên toàn R
13. CM các công thức
π
a) arcsin ( cos x ) =
2
c) 2 ch na = ( ch a + sh a ) + ( ch a − sh a )
b) sin ( arccos x ) = 1 − x 2 ,
−x,
n
14. Tính giới hạn
ch x − 1
,
x →0 x sin x
b) lim
ch 2 x − ch 3x
,
x →0 cos 5 x − cos 3 x
ln ch x
,
x → 0 ln cos 2 x
f) lim ( sh x )
a) lim
ch 2 x − 1
x →0 ln (1 − x )
c) lim
d) lim
x →0
th x − sh x
,
x sin x ln (1 + x )
1/ ln x
e) lim
x →0
15. Tính giới hạn
a) lim
x →+∞
ln ( x 2 + 3x )
ln ( x100 + 2 x )
3x 3 + x 2 − 3x + 9 + 3x + 100 log 2 x 2
,
b) lim
x →±∞
x 3 − 3.2 x + 4.3x − 5 x 2 + 11
,
c) lim ( x − x + x + 6 log 2 x ) 2
3
2
d) lim ( xe
x
x →+0
1/ sin x 2
⎛ 1 + tan x 2 ⎞
f) lim ⎜
⎟
x →0 1 + sin 2 x 2
⎝
⎠
)
x 1/ ln x
x →∞
⎛ x + ln x ⎞
g) lim ⎜
⎟
x →∞ x − ln x 4
⎝
⎠
⎛ x 2 + 3x + 4 ⎞
e) lim ⎜ 2
⎟
x →∞ x − 5 x + 7
⎝
⎠
,
x / ln x
⎛ ex + x ⎞
h) lim ⎜ x
⎟
x →∞ e − 2 x
⎝
⎠
,
3 x +8
,
ex / x
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Thủy Thanh: tr 87-118
Đạo hàm, vi phân
- Định nghĩa đạo hàm, đạo hàm một phía, đạo hàm của hàm hợp (xem lại chương trình phổ thông)
- Một số công thức đạo hàm cấp cao:
( cos x )( ) = cos ⎛⎜ x + n
n
⎝
(x )
α
(n)
π⎞
⎟,
2⎠
( sin x )( ) = sin ⎛⎜ x + n
n
⎝
= α (α − 1) ... (α − n + 1) x
α −n
,
( ln x )
( n)
5
⎟,
2⎠
( −1) ( n − 1)! ,
=
- Đạo hàm theo tham biến: Cho x=f(t), y=g(t) thì y′ ( x ) =
Bài tập
π⎞
n −1
x
n
g′ (t )
f ′ (t )
(α )
x
(n)
= ( ln α ) α x
n
n
16. Tính đạo hàm
a) y = ln tan
(
x
,
2
b) y = ln x + x 2 + 1
3
1 ⎞
⎛
e) y = ⎜1 + 3 ⎟ ,
x⎠
⎝
1
h) y =
2ax − x
2
)
c) y = e
1
2x
,
f) y = arctan
2
1 − x2
,
x2
i) y = ln
1⎞
⎛
l) y = 1 + tan ⎜ x + ⎟ ,
x⎠
⎝
1 − ax
4
,
sin 2
g) y = ln
j) y =
,
d) y = arcsin
2 x2
1 + x4
x ln x − 1
,
x ln x + 1
1
(1 + cos 4 x )
1− x
,
1+ x
m) y = arcsin
1
x
5
,
k) y = cos 2
1− x
,
1+ x
n) y = log 2 log 3 log 5 x
17. Tính đạo hàm bằng phương pháp đạo hàm loga
a) y = x
b) y = ( sin x )
x2
e) y = ( x + 1)
2
sin x
( x + 1) 4 x − 2
c) y =
2
5
( x − 3)
3
cos x
f) y =
3
x ( x 2 + 1)
(x
2
− 1)
2
⎛ x ⎞
d) y = ⎜
⎟
⎝ 1+ x ⎠
x
1
g) y = x x
18. Chứng minh các hệ thức
a) x. y′3 = 1 + y′ với x =
1+ t
3 2
,y= 2 +
3
t
2t
t
b) y 1 + y′2 = y′ với x =
c) yy′ = 2 xy′2 + 1 với x =
1+ 1+ t2
t
,y=
− ln
2
t
1+ t
1+ t2
1
1 + ln t
3 + 2 ln t
,y=
2
t
t
19. Tính các đạo hàm cấp n
a) y =
2x + 3
x − 5x + 4
2
f) y = x
b) y = sin 3 x c) y = 2 x + 2− x ,
g) y = x n x ,
h) y =
1+ x
x
d) y = ln ( ax + b )
i) y =
3
e) y =
ax + b
,
cx + d
x
1+ x
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 1-3 (tr 124-125), 16-23 (tr126-127) , Nguyễn Thủy Thanh: tr
119-168
Các định lý về hàm khả vi, khảo sát hàm số
- Định lí Fermat: Nếu f(x) khả vi tại a và đạt cực trị địa phương tại a thì f'(a)=0
- Định lí Rolle: Cho f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b). Khi đó tồn tại c ∈ ( a, b )
sao cho f'(c)=0
6
- Định lí Lagrange: Cho f(x) liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Khi đó tồn tại c ∈ ( a, b ) sao cho
f (b ) − f ( a ) = (b − a ) f ′ ( c )
- Qui tắc L’Hospital
f ( x) − f (a)
lim
= lim
g ( x) − g (a)
x →a
x →a
f ′( x)
g′( x)
- Khảo sát hàm số trong tọa độ Decartes
- Khảo sát hàm số theo tham số x=x(t), y=y(t)
- Khảo sát hàm số trong tọa độ cực
Bài tập
20. Chứng minh rằng phương trình x n + px + q = 0 không có quá 2 nghiệm thực với n chẵn, không
có quá 3 nghiệm thực với n lẻ.
21. Chứng tỏ rằng phương trình f’(x)=0 có 3 nghiệm thực biết rằng f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)
22. Dùng định lý Lagrange để chứng minh:
a)
b)
a −b
a a−b
≤ ln ≤
,(0 < b ≤ a)
a
b
b
α −β
α −β ⎛
π⎞
≤ tan α − tan β ≤
,⎜ 0 < β ≤ a < ⎟
2
2
2⎠
cos β
cos α ⎝
c) nb n −1 ( a − b ) ≤ a n − b n ≤ na n −1 ( a − b ) , ( b < a )
23. Tìm giới hạn
x
xe 2
a) lim
x →∞ x + e x
f) lim
x →0
1− x
b) lim
x →1
1 − sin
π /x
cot π x / 2
π
2
c) lim
x →a
x
ln ( x − a )
ln ( e − e
x
1 ⎞
⎛1
g) lim ⎜ − x
⎟
x →0 x
e −1⎠
⎝
a
d) lim−
)
x →1
tan π x / 2
ln (1 − x )
h) lim ln x ln ( x − 1)
(
ln (1 + x ) + e x − sin ( 2 x ) − 1
m) lim
,
x →0
x3
) (
n) lim
x →0
ln x
1 + 2 ln sin x
2
i) lim e −1/ x x −100
x →1
x →0
⎡
⎤
1
1
⎢
⎥
k) lim
−
x →1 ⎢
3
2 1− x
3 1− x ⎥
⎣
⎦
q ⎞
⎛ p
−
j) lim ⎜
⎟
p
x →1 1 − x
1 − xq ⎠
⎝
e) lim+
π ⎞
⎛ x
−
l) lim ⎜
⎟
x →π / 2 cot x
2 cos x ⎠
⎝
)
2 ln (1 + x ) − sin x − sinh x + sin 2 x
x tan 2 ( 2 x )
x →0
24. Tìm cực trị các hàm số
(
a) y = x 2 1 − x x
e) y =
)
1 + ln x
x
b) y = x ( x + 2 )
c) y = x 2 / 3 + ( x − 2 )
x
x
f) y = 2 cos + 3cos
2
3
2/3
g) y = sin x 2
25. Khảo sát hàm số
7
d) y = xe − x
2
/2
h) y = ln 1 + x 2 − arctan x
ln x
4 1
+ ;
x x4
a) y = ( 2 + x 2 ) e − x ;
b) y =
f) y = e
2 − x2
; h) y = 3 x 3 − x 2 − x + 1 ;
g) y =
4
1+ x
2
1/ x
− x;
x
c) y =
;
d) y =
1
;
sin x + cos x
i) y =
1− x
⎛ 1⎞
e) y = ⎜1 + ⎟
x⎠
⎝
x
3/ 2
2
26. Khảo sát hàm số trong tọa độ cực
a) r = aϕ ,
b) r = a + a cos ϕ ,
a
c) r =
cos 3ϕ
d) r = a cos 2ϕ
,
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 9-10 (tr 175-176), 12-18 (tr 175-176) Nguyễn Thủy Thanh: tr
169-204
Nguyên hàm và tích phân
- Nguyên hàm và tích phân bất định, phép đổi biến, tích phân từng phần
- Tích phân các hàm hữu tỷ tối giản
dx
∫ ( ax + b )
∫
∫x
dx
(x
2
+ 1)
n
n
1
⎧
n −1
⎪
⎪ a (1 − n )( ax + b )
=⎨
⎪ ln ax + b
⎪⎩
a
x
=
2 ( n − 1) ( x 2 + 1)
dx
= arctan x ,
+1
∫
2
+
n −1
2
n =1
2n − 3
dx
∫
2n − 2 ( x 2 + 1)n −1
xdx
(x
n ≠1
+ 1)
n
=
−1
2 ( n − 1) ( x 2 + 1)
n −1
- Tích phân các hàm hữu tỷ của biểu thức chứa căn
⎛
∫ R ⎜⎜ x,
n
⎝
∫ R ( x,
ax + b ⎞
⎟ dx , đổi biến t =
cx + d ⎟⎠
n
ax + b
cx + d
)
) (
α 2 − x 2 , ∫ R x, x 2 ± α 2 thử 2 cách:
đặt t=x2 hoặc khử bỏ căn thức bằng cách sử dụng các phép đổi biến: x = α sin t , x =
α⎛
1⎞
⎜t ± ⎟
2⎝ t⎠
- Tích phân các hàm chứa biểu thức lượng giác: Thực hiện hữu tỷ hóa bằng phép đổi biến. Trong
trường hợp tổng quát thực hiện đổi biến t=tan(x/2). Tuy nhiên trong rất nhiều trường hợp có thể hữu
tỷ hóa một cách đơn giản hơn nhiều.
- Tích phân vi phân nhị thức
∫ x ( a + bx )
m
n
p
dx
trong các trường hợp trong bảng sau thì có thể tính được tích phân bằng phép đổi biến
8
( m + 1) / n
p
( m + 1) / n + p
nguyên
r/s
a + bx n = t s
r/s
nguyên
xn = t s
r/s
Đổi biến
a + bx n = t s x n
nguyên
Bài tập
27. Tính nguyên hàm
a) ∫ ( 2 x − 5 ) dx
b) ∫
20
e) ∫
ln 2 x
dx
x
5
1 − 2x + x2
dx
1− x
c) ∫
f) ∫ x n ln xdx
)
(
i) ∫ ln x + 1 + x 2 dx
dx
2 + 3x 2
dx
d) ∫
3x 2 − 2
g) ∫ x 2 sin 2 xdx
h) ∫ x 2 arccos xdx
j) ∫ sin ln xdx
28. Tính nguyên hàm các hàm hữu tỷ
xdx
a) ∫
( x + 1)( x + 2 ) + x + 3
d) ∫
xdx
( x − 1)
2
(x
2
+ 2x + 2)
b) ∫
(x
+ 1) dx
3
c) ∫
x3 − 5 x 2 + 6 x
dx
e) ∫
f) ∫
( x + 1) ( x 2 + 1)
x2 + 1
( x + 1) ( x − 1)
2
dx
x 2 dx
(x
2
+ 2 x + 2)
2
29. Tính các nguyên hàm
a) ∫
d) ∫
g) ∫
x3 2 + x
x+ 2+ x
3
b) ∫
dx
xdx
(1 + x )
1− x − x
x3 − 2 x 2 + x + 1
dx
1 + x2
(1 + x )
3
c) ∫
x
dx
e) ∫
2
dx
4
1+ x + 1+ x
f) ∫ x 2 − 2 x + 2dx
x + x + x +1
2
h) ∫
dx
dx
( x + 1)
3
x2 + 2x
30. Tính
sin 3 x
dx
a) ∫
cos 4 x
b) ∫
e) ∫ cos x cos 2 x cos 3 xdx
h) ∫
dx
8 − 4sin x + 7 cos x
dx
sin 3 x
f) ∫
i) ∫
c) ∫ tan 5 xdx
dx
cos x 3 sin 2 x
d) ∫ sin 2 x cos 4 xdx
g) ∫
,
dx
sin x sin 2 x
31. Tính các tích phân vi phân nhị thức
9
dx
2sin x − cos x + 5
a) ∫
dx
x 1+ x
4
b) ∫
2
dx
x 1 + x5
3
32. Tính các tích phân xác định
π
a) ∫ x sin xdx
b) ∫ arccos xdx
0
1
f) ∫
0
arcsin x
x (1 − x )
e
1
dx
c)
∫
a
0
1/ e
1
1
xdx
g) ∫ 2
−1 x + x + 1
d) ∫ x
ln x dx
0
1
2
a − x dx e) ∫
2
2
−1
xdx
5 − 4x
h) ∫ x15 1 + 3x8 dx
0
33. Tính các tích phân bằng cách truy hồi
a) ∫ ln xdx
2
b) ∫ sin xdx
5
c) ∫
(x
1
dx
2
−a
d) ∫
)
2 n
0
1
x n dx
1− x
2
e) ∫ x m −1 (1 − x )
n −1
dx
0
34. Sử dụng tích phân để tính:
1
1 ⎞
⎛ 1
+
+ ... +
a) lim ⎜
⎟
n →∞ n + 1
n+2
n+n⎠
⎝
n
n ⎞
⎛ n
+ 2
+ ... + 2
b) lim ⎜ 2
⎟
2
n →∞ n + 1
n +2
n + n2 ⎠
⎝
1p + 2 p + ... + n p
; ( p > 0)
n →∞
n p +1
n
c) lim
d) lim
n →∞
⎞
n!
3⎛
n
n
n
+
+ ... +
e) lim ⎜1 +
⎟
⎟
n →∞ n ⎜
+
+
+
−
3
6
3
1
n
n
n
n
n
(
)
⎝
⎠
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 1-3 (tr 207-209), Nguyễn Thủy Thanh: tr 205-292,293-330
Ứng dụng tích phân
Tính diện tích hình phẳng
b
- Biên có dạng y=f(x) thì S = ∫ f ( x ) dx
a
t2
- Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) thì S = ∫ y ( t ) x ′ ( t ) dt
t1
- Biên dạng cực r=r(ϕ) thì S =
ϕ2
1
∫ϕ 2 r (ϕ ) dϕ
2
1
Tính độ dài đường cong:
b
- Biên có dạng y=f(x) thì l = ∫ 1 + f ′2 ( x )dx
a
t2
- Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) thì l = ∫ x′2 ( t ) + y′2 ( t )dt
t1
- Biên dạng cực r=r(ϕ) thì l =
ϕ2
∫
ϕ
r 2 (ϕ ) + r ′ 2 (ϕ ) d ϕ
1
Tính thể tích vật tròn xoay xoay quanh Ox
10
b
- Biên có dạng y=f(x) thì V = π ∫ f 2 ( x ) dx
a
t2
- Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) thì V = π ∫ y 2 ( t ) dt
t1
Tính diện tích mặt tròn xoay xoay quanh Ox
b
- Biên có dạng y=f(x) thì S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx
a
t2
- Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) thì S = 2π ∫ y ( t ) x′2 ( t ) + y′2 ( t )dt
t1
Bài tập
35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a) y = 2 x − x 2 , x + y = 0 ;
b) y = 2 x , y = 2, x = 0
c) y 2 = x 2 ( a 2 − x 2 ) ;
x3
d) y =
, x = 2a
2a − x
e) x = 3t 2 , y = 3t − t 3 ;
f) x = 2t − t 2 , y = 2t 2 − t 3 ;
2
a 2 − b2
a 2 − b2
3
g) x =
cos t , y =
sin 3 t
a
b
i) r 2 = a 2 cos 2ϕ ;
h) x = a ( 2 cos t − cos 2t ) , y = a ( 2sin t − sin 2t )
k) r = a cos 5ϕ
j) r 2 + ϕ 2 = 1 ;
36. Tính độ dài đường cong giới hạn bởi các đường
a) y = ln cos x,
0≤ x≤a<
π
b) x =
2
1 2 1
y − ln y,
4
2
c) x = a ( cos t + t sin t ) , y = a ( sin t − t cos t )
d) r =
1≤ y ≤ e
p
π
, ϕ <
1 + cos ϕ
2
37. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt cong
x2 y 2
cx
a) 2 + 2 = 1, z = , z = 0,
a
b
a
a , b, c > 0
b) x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 2 + y 2 = a 2 , a > 0
c) z 2 = b ( a − x ) , x 2 + y 2 = ax,
a, b > 0
38. Tính thể tích vật thể tròn xoay
a) y 2 + x − 4 = 0 quay quanh Oy
b) xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4 quay quanh Ox
c) y = x 2 , y = 4 quay quanh x=-2
d) y = 2 x − x 2 , y = 0 quay quanh Ox, Oy
2
x
⎛x⎞
e) y = b ⎜ ⎟ , y = b quay quanh Ox, Oy
a
⎝a⎠
39. Tính diện tích mặt tròn xoay
a) 3 y − x 3 = 0, 0 ≤ x ≤ a quay quanh Ox
b) y = tan x, 0 ≤ x ≤
11
π
4
quay quanh Ox
⎧⎪ x = a ( t − sin t )
c) ⎨
,
⎪⎩ y = a (1 − cos t )
0 ≤ t ≤ 2π quay quanh Oy
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 4-5 (tr 281-282), 7,9 (tr 282-283), 15-20 (tr 284-285), Nguyễn
Thủy Thanh: tr 356-391
Tích phân suy rộng
∞
∫ f ( x ) dx . Tiêu chuẩn so sánh và tương đương với
- Tích phân suy rộng với cận vô hạn (loại 1):
a
hàm số dương
- Tích phân suy rộng với hàm dưới dấu tích phân có cực điểm (loại 2). Thường so sánh với tích
b
phân
1
∫ ( b − x )α dx
a
Bài tập
40. Tính các tích phân suy rộng
∞
0
∫
xe x dx
2
x 5 dx
a)
−∞
d) ∫
0
∞
b) ∫ cos xdx
−∞
0
4− x
1
2
dx
e) ∫
2
f) ∫
x (1 − x )
0
∫
c)
0
(x
dx
2
+ 1)
2
dx
( x − 1)
2
41. Xét tính hội tụ của các tích phân
∞
∞
x 2 dx
a) ∫ 4
x − x2 + 1
0
b) ∫
a
ln (1 + x )
dx
e) ∫
xn
0
∞
π
dx
j) ∫ k
sin x
0
x +1
2
∫
0
dx
h) ∫ x
e − cos x
0
1
1
l) ∫ x ln dx
x
0
p
d) ∫
1
x m arctan x
dx, ( n ≥ 0 )
f) ∫
2 + xn
0
dx
p
sin x cos q x
arctan x
dx
xn
0
dx
c) ∫
ln x
0
∞
π /2
k)
x
3
∞
2
dx
q
1
m) ∫
0
x
1 − x4
1
i) ∫
0
dx
e
x
−1
dx
42. Xét tính hội tụ của các tích phân
∞
xm
dx,
a) ∫
1 + xn
0
∞
d) ∫
1
ln x
x x −1
2
( n ≥ 0, m, n ∈ N )
∞
b) ∫ x e
λ −β x
dx,
( a, λ , β > 0 )
a
∞
dx
1 − 4sin 2 x
dx
x3 + 3 x
1
e) ∫
43. Xét tính hội tụ và hội tụ tuyệt đối của các tích phân
∞
sin x
dx
a) ∫
x
0
∞
b) ∫ x p sin ( x q ) dx, ( q ≠ 0 )
0
12
∞
c) ∫
0
xdx
e2 x − 1
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 21,22 (tr 285), Nguyễn Thủy Thanh: tr 331-355
Chuỗi dương
∞
- Kí hiệu chuỗi số
∑a
k
k =1
. Số thực ak gọi là số hạng thứ k của chuỗi. Gọi tổng riêng thứ n của chuỗi
n
là S n = ∑ ai . Nếu lim S n = S (hữu hạn) thì nói rằng chuỗi hội tụ và có tổng là S.
n →∞
i =1
- Tiêu chuẩn so sánh
an +1
= D . Nếu D>1 thì chuỗi phân kì, D<1 thì chuỗi hội tụ, D=1 thì
n →∞ a
n
- Tiêu chuẩn D’Alembert: lim
chưa thể kết luận được.
- Tiêu chuẩn Cauchy: lim n an = C . Nếu C>1 thì chuỗi phân kì, C<1 thì chuỗi hội tụ, C=1 thì chưa
n →∞
thể kết luận được.
∞
- Tiêu chuẩn tích phân Cauchy-McLaurin: chuỗi
∑ f ( n ) hội tụ hay phân kì cùng với sự hội tụ hay
n =1
∞
phân kì của tích phân
∫ f ( x ) dx
a
- Chuỗi Rieman
∞
1
∑ nα
hội tụ khi α>1 và phân kỳ trong trường hợp còn lại
n =1
Bài tập
44. Tính tổng của các chuỗi có số hạng tổng quát như sau:
a) an =
1
( 2n − 1)( 2n + 1)
b) an =
1
n +n
c) an =
2
2n − 3n
f) an =
5n
4−n
e) an =
n ( n + 1)( n + 2 )
g) an
2n + 1
n 2 ( n + 1)
( −1)
=
2
2
d) an = ( −1)
n +1
n −1
h) an =
n −1
2n + 1
n ( n + 1)
2n − 1
2n
45. Bằng tiêu chuẩn so sánh và tiêu chuẩn tương đương, xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng
quát sau
a) an =
sin 2 n
n n
1
1
e) an =
tan
n
n
i) an =
2 cos ( 2π / n )
3
n3 − 1
b) an =
1 + cos nπ
n2
1
f) an = n
3 − n +1
j) an =
c) an = tan
π
3n
d) an =
n+2
( n − 1)
n3 − 1
⎡ 2 + cos ( nπ / 2 ) ⎤⎦ n
2 + ( −1)
g) an = ⎣
h) an =
5 7
2n
n +5
ln n + 1
n5 + n
13
n
46. Xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau
n sin 2 n
a) an = 3
n +n
1
n +1
e) an = arctan
n3 + 1
c) an = 2 2
n sin n
cos 2 n n
b) an =
n n
f) an =
1
1
d) an = sin
n
n
n2
1⎞
⎛
⎜2+ ⎟
n⎠
⎝
n
47. Bằng tiêu chuẩn tích phân, xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau
a) an =
1
n ln ( n − 1)
b) an =
1
( n − 1) ln ( n + 2 )
c) an =
n
2
( n + 3) ln 2 n
d) an =
en − 1
(e
n
+ 1)
2
48. Xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau
3n + 2
b) an = 3
n + 2n
a) an = n + 1 − n
f) an = n !sin
π
2
g) an = 1 − cos
n
n2
⎛n+2⎞ 1
j) an = ⎜
⎟ . n
⎝ n +1 ⎠ 2
k) an =
ln n
c) an = 9 / 4
n
π
1
2
n ln ( 2n + 1)
n
2n 2 + 1
ln n
h) an =
n
2 + ( −1)
1
d) an = n tan
e) an =
3
n
n − ln n
i) an =
n
( n − 1) ln n
2
⎛ nα + 1 ⎞
l) an = ln ⎜ α ⎟
⎝ n ⎠
49. Xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau
b) an =
a) an = n 2 + n − n
d) an =
n ( n + 2)
k) an =
1 ⎞
⎛
c) an = ln ⎜ 1 + tan 2 ⎟
n ⎠
⎝
2 + cos n
e) an =
,α > 0
nα
n 2 + 3ln n
⎛ n ⎞
g) an = ⎜
⎟
⎝ n +1⎠
2n + n
3n + n3 + 3
n2
h) an =
1
n + ( −1)
⎛ n +1 ⎞
l) an = ⎜
⎟
⎝ 2n − 1 ⎠
an
n2 + 1
f) an = n
n
i) an =
n
n ln n
⎛ 1 1 ⎞
− ⎜1+ + 2 ⎟
⎝ n n ⎠
n2
2n + n
1⎞
⎛
m) an = ⎜ arctan ⎟
n⎠
⎝
j) an =
n
n) an =
ln ( n !)
n!
n ln n
( ln n )
n
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 1-2 (tr 336-337)
Chuỗi đan dấu, hội tụ tuyệt đối
- Chuỗi số có dạng
∞
∑ ( −1)
k =1
k +1
ak hoặc
∞
∑ ( −1)
k
k =1
ak với ak>0 gọi là chuỗi đan dấu
- Định lí Leibnitz: Dãy an đơn điệu giảm và lim an = 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ về tổng S và có tính
n →∞
chất sau:
1. S≤a1.
2. |Rn|=
∞
∑ ( −1)
k = n +1
k +1
ak ≤ an +1
14
Bài tập
50. Xét sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của các chuỗi có số hạng tổng quát sau đây:
1
1 ⎞
⎛
− sin
a) an = ( −1) ⎜ tan
⎟
n
n⎠
⎝
n ⎞
⎛
b) an = ⎜1 −
⎟
⎝ ln n ⎠
n
( −1) ( n + 1)
=
n −1
d) an
e) an =
n +n+2
2
1 + ( −1) n
1+ n
n
g) an =
j) an
( −1)
=
n
n −1
1
p+
n
( −1)
n
c) an = sin π n 4 + 1
)
⎛1
⎞
f) an = sin π ⎜ + n ⎟
⎝n
⎠
n − ln n
( −1) n2
n
( ln n )
n
h) an =
(
−n
( −1)
n
( −1) + nα
n
i) an =
⎛ ( −1)n ⎞
k) an = ln ⎜1 + p ⎟
⎜
n ⎟⎠
⎝
l) an = ( −1)
n
n −1 1
n + 1 100 n
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 3 (tr 337)
Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa
∞
- Cho dãy hàm thực f n ( x ) , x ∈ ( a, b ) , gọi f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... f n ( x ) + .. = ∑ f k ( x ) là một chuỗi hàm
k =1
xác định trên (a,b). Điểm x0 ∈ ( a, b ) là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số
∞
∑ f ( x ) hội tụ.
k =1
n
0
Tập các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm.
- Để tìm miền hội tụ của chuỗi hàm, ta dùng các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi.
- Một chuỗi hàm có dạng
∞
∑ a ( x − a)
i =0
i
i
gọi là một chuỗi luỹ thừa, các hằng số ai gọi là các hệ số
của chuỗi luỹ thừa.
- Đối với chuỗi luỹ thừa có a=0 thì luôn tồn tại số R≥0 để chuỗi hội tụ tuyệt đối trong khoảng (-R,R)
và phân kì trong các khoảng còn lại. Số thoả mãn điều kiện trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.
- Qui tắc tìm bán kính hội tụ: lim
n →∞
an +1
= ρ hoặc lim n an = ρ thì R=1/ρ. Cần phải xét riêng tại 2
n →∞
an
đầu mút x=R và x=-R.
- Tổng của chuỗi lũy thừa được tìm bằng phương pháp tích phân hoặc đạo hàm liên tiếp để đưa khử
hết các hệ số của các số hạng, từ đó đưa về các chuỗi lũy thừa cơ bản.
Bài tập
51. Sử dụng định lý Leibnitz với chuỗi đan dấu hoặc tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh sự hội
tụ đều của các chuỗi hàm sau trên miền tương ứng
15
( −1)
∞
a) ∑
n =1
n
x2n + n
∞
; ( −∞, ∞ )
∞
∞
n =1
n =1
sin nx
3
n4 + x4
8n3 − 12
; [ 0,1]
∞
x
; 0, ∞ )
4 2 [
n =1 1 + n x
nx
; −∞, ∞ )
5 2 (
n =1 1 + n x
h) ∑
i) ∑
∞
⎛
x2 ⎞
k) ∑ ln ⎜ 1 +
⎟; ( −1,1)
2
n =1
⎝ n ln n ⎠
; ( −∞, ∞ )
3
∞
⎡ 1⎤
f) ∑ x n ; ⎢ 0, ⎥
⎣ 2⎦
n =1
1
; ( −∞, ∞ )
n
2
n =1 e ( x + 1)
∞
xn
n
n =1
e) ∑
1
; ( −∞, ∞ )
2
x + n2
∞
j) ∑
c) ∑ ( −1)
∞
cos nx
; ( −∞, ∞ )
n2
n =1
d) ∑
g) ∑
∞
xn
; [ 0,1]
b) ∑ ( −1)
6n − 5
n =1
n
∞
2x
; ( −∞, ∞ )
x + n3
l) ∑ arctan
2
n =1
52. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa
3n + ( −2 )
b) ∑
n
n =1
∞
∞
xn
a) ∑ p
n =1 n
∞
e) ∑
n =1
n!
αn
( x + 1)
f) ∑
x , (α > 1)
(3 + ( −1) )
∞
xn
h) ∑ n n
n =1 2 + 3
i) ∑
n =1
∞
⎛ 1⎞
d) ∑ ⎜1 + ⎟ x n
n⎠
n =1 ⎝
2
n n
n
n =1
∞
∞
c) ∑ α n x n , ( 0 < α < 1)
n
n =1
∞
n
2
n
∞
xn
( n !)
j) ∑
2
x
⎛ a n bn ⎞ n
g) ∑ ⎜ + 2 ⎟ x , ( a > 0, b > 0 )
n ⎠
n =1 ⎝ n
∞
n
( x + 2)
n2
nn
n =1
53. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm tổng quát
∞
n
∞
∞
1 ⎛ 1− x ⎞
a) ∑
⎜
⎟
n = 0 2n + 1 ⎝ 1 + x ⎠
x
f) ∑ nx
n =1 2 + 1
1
π
b) ∑ n sin n
2
n =1 x
∞
∞
⎛ 1⎞
c) ∑ ⎜1 + ⎟
n⎠
n =1 ⎝
∞
1 ⎞
⎛
g) ∑ ⎜ x n + n n ⎟
2 x ⎠
n=0 ⎝
h) ∑
( x + 5)
n =1
− n2
e − nx
2 n −1
∞
1
j) ∑
n =1 ( x + n )( x + n + 1)
∞
1
xn
e)
, (α ≥ 0 )
∑
n
n
n =1 α + n
n =1 ln x
i) ∑ ( −1)
n 2 4n
n −1
n=0
n2 + 1 ⎛ 4 x − 1 ⎞
k) ∑ ( −1) 2
⎜
⎟
n + n +1⎝ x + 3 ⎠
n =1
∞
∞
∞
d) ∑
n
n
x2n
4n ( 2n − 1)
∞
l) ∑ 3n x n tan
n =1
3x
n
54. Tìm tổng các chuỗi hàm
∞
a) ∑ ( −1)
n=0
∞
e) ∑ nx
n −1
(−x)
b) ∑
n =1 n ( n + 1)
∞
⎛ 1 ⎞ n −1
⎜1 + ⎟ x
⎝ n⎠
∞
d) ∑ ( −1)
n −1
n =1
∞
∞
xn
f) ∑
n =1 n
n =1
∞
2 ⎞
⎛
c) ∑ ⎜1 + n +1 ⎟ x n
3 ⎠
n =1 ⎝
x 2n+2
g) ∑
n = 0 ( 2 n + 1)( 2 n + 2 )
∞
n
n
h) ∑ ( n + 1)( n + 2 ) x n
n =1
55. Tìm tổng các chuỗi hàm
∞
a) ∑ ( 2n − 1) x n + 2
n=0
∞
e) ∑ ( 4n + 9n + 5 ) x
n =1
2
∞
b) ∑ ( 2n − n ) x n +1
n =1
n +1
∞
c) ∑ ( −1)
n =1
∞
f) ∑ ( n 2 + n + 2 ) x n + 2
n =1
16
n +1
x n +1
n ( n + 1)
x 4 n −3
n =1 4n − 3
∞
d) ∑
⎛ 1⎞ 1
⎜1 − ⎟ n
⎝ n⎠ x
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 8-9 (tr 338-339)
Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa
- Giả sử hàm số f(x) khả vi vô hạn tại lân cận điểm x0. Chuỗi luỹ thừa có dạng
f ′ ( x0 )
f ( ) ( x0 )
n
f ( x0 ) +
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 ) + ..
n!
1!
n
được gọi là chuỗi Taylor của f(x) ở lân cận điểm x0. Nếu x0=0 thì gọi là chuỗi McLaurin
Một số chuỗi Taylor cơ bản :
−1) x 2 n +1
(
;
sin x = ∑
n = 0 ( 2 n + 1) !
∞
∞
ln (1 + x ) = ∑
( −1)
n =1
n −1
xn
n
−1) x 2 n
(
;
cos x = ∑
( 2n ) !
n =0
n
∞
xn
e =∑ ;
n =0 n !
x
∞
α (α − 1) ... (α − n + 1) x n
n =1
n!
(1 + x ) = 1 + ∑
α
, −1 < x ≤ 1 ;
n
∞
, −1 < x < 1
- Trên thực tế do tính đạo hàm cấp cao rất khó nên có thể dùng phép tính đạo hàm hoặc tích phân để
đưa hàm cần khai triển về hàm dễ khai triển hơn. Ngoài ra, đối với hàm là một phân thức hữu tỷ thì
được phân tích thành những phân thức đơn giản, sau đó khai triển dựa vào tổng cấp số nhân lùi vô
hạn.
Bài tập
56. Khai triển thành chuỗi lũy thừa và tìm miền hội tụ:
1
a) f ( x ) = ch x
b) f ( x ) =
e) f ( x ) = arcsin x
f) f ( x ) = ln x + 1 + x 2
(1 − x )
2
(
h) f ( x ) = ln ( x 2 + 3 x + 2 )
i) f ( x ) =
d) f ( x ) =
c) f ( x ) = sin 3 x
)
x
4 + x4
1
1 − x2
g) f ( x ) =
1
1 + x + x2
j) f ( x ) =
x3 + 2 x 2 − x
k) f ( x ) = 3 8 + x
2
x +1
57. Khai triển thành chuỗi lũy thừa theo (x-1) của các hàm:
a) f ( x ) = 1/ x
b) f ( x ) = ln x
58. Khai triển thành chuỗi lũy thừa theo (x+4) của hàm f ( x ) =
1
x + 3x + 2
2
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 10-11,13-15 (tr 339)
Chuỗi Fourier
- Cho hàm số f(x) khả tích trên [-π,π], chuỗi lượng giác có dạng
17
a0 ∞
+ ∑ an cos nx + bn sin nx
2 n =1
trong đó a0 =
1
π
π
∫ f ( x ) dx, a
n
−π
=
1
π
π
∫ f ( x ) cos nxdx, b
n
−π
=
1
π
π
∫ f ( x ) sin nxdx ,
được gọi là chuỗi
−π
Fourier của hàm số f(x), các hằng số tính theo công thức trên gọi là các hệ số Fourier của hàm số
f(x).
- Định lí Dirichlet: Nếu f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [-π,π] thì
chuỗi Fourier của hàm số f(x) hội tụ.
- Đối với các hàm tuần hoàn bất kỳ, có thể đổi biến để trở về hàm tuần hoàn có chu kỳ 2π.
- Đối với hàm số f(x) bất kỳ (không tuần hoàn) thì muốn khai triển Fourier, ta xây dựng hàm F(x)
tuần hoàn và trùng với f(x) trên khoảng đã cho, sau đó khai triển F(x). Rõ ràng có rất nhiều cách xây
dựng hàm F(x) như vậy và do đó cũng có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn f(x). Nếu hàm F(x) được
xây dựng là hàm chẵn thì ta có chuỗi Fourier cosin, nếu là hàm lẻ có chuỗi Fourier sin.
Bài tập:
59. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π và f(x)=π-x với 0
0
∞
∑
n=0
1
( 2n + 1)
2
61. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số:
1 ∞ ( −1)
,
∑
2 ∑
n2
n =1 n
n =1
∞
f ( x) = 1−
x2
π2
, −π < x < π . Từ đó tính tổng
n
x
62. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số: f ( x ) = sin , −π < x < π
2
⎧x
63. Khai triển hàm số f ( x ) = ⎨
⎩π / 2
0< x <π /2
thành chuỗi Fourier, tính tổng
π /2≤ x <π
⎧x
⎪
64. Khai triển hàm số f ( x ) = ⎨1
⎪3 − x
⎩
0 ≤ x ≤1
1 < x < 2 thành chuỗi Fourier cosin
2≤ x≤3
Bài tập và ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 16-20 (tr 339-340)
18
∞
∑
n =1
1
( 2n + 1)
2
Đáp số
2. a)1; b)1/4; c)0;
d)0;
e)0;
3. a)0; b)0;
c)1
5. a)pk;
b)pk, c)pk, d)ht
6. a)2; b)
7. a)
1+ 5
;
2
c)1;
f)1/2; g)a/2; h)0;
e)pk
d)1;
n ( n + 1)
n ( n − 1) n − 2
a ,
; b)
2
2
1 + 1 + 4a
2
e)a;
f)
c)1,
d)
h)1/4, i)14,
j) -1/12,
k)1/12,
8. a)e-2,
b)e1/2, c)1,
d)0,
j)e,
l)1/e, m)1,
n)3/2, o)e2,
k)1,
i)-3/2 j)1/2
1
α β
, e) − ,
m n
2
α
m
+
f)mn(n-m)/2, g)7/36,
p)1,
n
,
g)cosa,
h)1/2, i)0,
r)7/6 hoặc ∞
q)-1/3,
9. a)5/3,
b)4/9, c)-1/2, d)2/3, e)-75/7,
f)-2,
10. a)lt,
b)gián đoạn nếu A≠4, c)lt,
e)gián đoạn,
d)lt,
β
n)1/e2,
l)1/3, m)e,
e)1,
f)
g)-45
f)chỉ liên tục tại x=0
g)không liên tục tại mọi điểm
12. 1/2, 2
14. a)1/2,
d)-1/2, e)1/4, f)e2
b)5/16, c)0,
15. a)ln3/ln2, b)1/4 hoặc 3, c)-∞,
16. a)
f)
1
,
sin x
1
b)
1
,
x +1
g)
2
1 + x2
2 ( ln x + 1)
, h)
x 2 ln 2 x − 1
⎛1− x ⎞
sin 2 ⎜⎜
⎟
1 + x ⎟⎠
⎝
k)
,
2
x 1+ x
(
n)
)
l)
1 sin 2 1x
2
sin ,
e
2
x
x
c) −
,
e)e24, f)1/e, g)e5,
d)∞,
x−a
( 2ax − x )
2 3
,
2
d)
4x
,
1 + x4
e) −
i)
2
,
x − ax 5
j)
x2 − 1
1⎞
1⎞
⎛
⎛
2 x cos ⎜ x + ⎟ 1 + tan ⎜ x + ⎟
x⎠
x⎠
⎝
⎝
2
h)e3
, m)
2
1 ⎛
1 ⎞
⎜1 + 3 ⎟ ,
x x⎝
x⎠
20sin 4 x
(1 + cos 4 x )
1
(1 + x )
,
6
2 x (1 − x )
,
1
x log 5 x log 3 ( log 5 x ) ln 2 ln 3ln 5
17. a) x x
2
+1
( 2 ln x + 1) , b) ( sin x )
cos x
⎛ cos 2 x
⎞
− sin x ln sin x ⎟ ,
⎜
⎝ sin nx
⎠
x
4
x ⎞
57 x 2 − 302 x + 361 ( x + 1) x − 2
⎛ x ⎞ ⎛ 1
+ ln
, d) ⎜
c)
⎟ ⎜
⎟
2
20 ( x − 2 )( x − 3)
x +1⎠
5
⎝ x +1⎠ ⎝ x +1
( x − 3)
2
e) ( x + 1)
2
sin x
⎡ 2 x sin x
⎤
2
⎢⎣ x 2 + 1 + cos x ln ( x + 1) ⎥⎦ ,
f)
2
x 4 + 6 x 2 + 1 x ( x + 1)
3 x (1 − x 4 )
19
3
(x
2
− 1)
2
g) y
1 − ln x
x2
19. a)
−5
11
3
π
3n
π
n
−1− n
n
−1− n
( −1) n !( x − 1) + ( −1) n !( x − 4 ) , b) sin ⎛⎜ x + n ⎞⎟ − sin ⎛⎜ 3x + n ⎞⎟
4 ⎝
2⎠ 4
2⎠
3
3
⎝
( n − 1)!a n
,
d) ( −1)
n
( ax + b )
c) ⎡ 2 + ( −1) 2 ⎤ ln 2 ,
⎣
⎦
n
x
−x
( −1) ( 2n − 3)!!
n −1
f)
i)
2n x 2 n −1
( −1)
n +1
, g)
( 2n + 1)!!
2n
3n (1 + x )
( cx + d )
( −1) ( 2n − 3)!!
n −1
x,
h)
2n x ( 2 n +1) / 2
n −1
n +1
,
( x − 2n + 1)
n +1/ 3
c)1,
d)∞,
e)1/2, f)π2/2, g)1/2, h)0,
i)0,
j)(p-q)/2,
d)-e-1/2, e-1/2,
e)1,
f)-5cos(π/5),1,5,5cos(2π/5),
m)11/6,
n)1/6
63 4
,
7 7
b)0,1, c) 3 4 ,2,
24. a)0,
e)
n !( ad − bc )( −c )
.1.4... ( 3n − 5 )( 3n + 2 x )
23.a)0, b)∞,
g)0,1, h)
21
1
e) ln 3 x ,
3
k)1/12,
l)-1,
ln 2 π
−
2
4
1 ( 2 x − 5)
,
27. a)
2
21
h) −
n −1
n
b)
2
−5
1
3
(1 − x ) 5 , c) arctan x ,
2
2
6
d)
1
3
ln 3x + 3x 2 − 2 ,
x n +1 ⎛
1 ⎞
2x2 − 1
x
f)
cos 2 x + sin 2 x ,
⎜ ln x −
⎟ , g) −
n +1⎝
n +1⎠
4
2
x2 + 2
x3
1 − x 2 + arccos x ,
9
3
( x + 2)
1
28. a) ln
,
2 ( x + 1)( x + 3)2
4
)
(
i) x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 ,
1
9
28
b) x + ln x − ln x − 2 + ln x − 3 ,
6
2
3
( x − 1)
1
1
1
1
8
c)
+ ln 2
− arctan ( x + 1) ,
+ ln x 2 − 1 , d) −
x +1 2
5 ( x − 1) 50 x + 2 x + 2 25
2
1
1
1 ( x + 1)
arctan ( x + 1)
, f) 2
e) arc cot x + ln 2
2
4
x +1
x + 2x + 2
2
29. Tính các nguyên hàm
3
3
3
15
27
2t + 1
a) t 4 − t 2 − ln t − 1 + ln ( t 2 + t + 2 ) −
arctan
,t = 3 2 + x
4
2
4
8
8 7
7
⎛ t 5 t 2 1 t 2 + 2t + 1 1
2t − 1 ⎞
12
b) 12 ⎜ − + ln 2
−
arctan
⎟,t = x
3
3 ⎠
⎝ 5 2 6 t − 2t + 1
x
1
1
x ( x + 1) − ln
c) + x −
2
2
2
(
x + 1+ x
)
20
j)
x
[sin ln x − cos ln x ]
2
2 − x + 2 x2 + x + 1
d) − ln
x +1
3
1
t4
e)
+ ln
, t = x + x2 + x + 1
3
2 ( 2t + 1) 2 2t + 1
1⎛1⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞⎞ 1
3
2
2
f) ⎜ ⎜ ( t − 1) +
+
−
−
+
−
+
t
t
1
1
⎟
⎜
⎟
(
)
⎜
⎟ ⎟⎟ + ln t − 1 , t = x + x + x + 1
3
2
⎟
⎜
⎟
−
t
8 ⎜ 3 ⎜⎝
1
2
⎠⎠
( t − 1) ⎠ ⎝
( t − 1) ⎠ ⎝
⎝
g)
(
1 2
x − 3x + 1) 1 + x 2 + 2 ln x + 1 + x 2
(
3
30. a) −
d)
1
1
+
cos x 3cos3 x
b) −
x sin 4 x sin 3 2 x
−
+
16
8
48
e)
)
h)
1
2 ( x + 1)
2
1
1
x 2 + 2 x − arcsin
x +1
2
cos x
1
x
+ ln tan
2
2
2sin x 2
3
( 2x
31 a)
3 tan
1
1
⎛x π⎞
i) ln tan ⎜ + ⎟ −
2
⎝ 2 4 ⎠ 2sin x
− 1) 1 + x 2
( t − 1) + 3 arctan 2t + 1 , t = 3 1 + x5
1
b) ln 2
10 t + t + 1 5
3
2
3x3
c)1
1
2 ( n − 1) a 2 ( x 2 − a
1
π
e)1/6 f)π2/4 g) ln 3 −
2
2 3
d)πa4/16
2
1
b) − cos x + cos3 x − cos5 x
3
6
2
33. a) x ⎡( ln x − 1) + 1⎤
⎣
⎦
)
2 n −1
−
2n − 3
Ln −1
2 ( n − 1) a 2
d) Ln =
n −1
Ln − 2
n
( n − 1)!( m − 1)!
n −1
Bm +1,n −1 =
m
( m + n − 1)!
34. a)ln2
b)π/4 c)1/(p+1)
35 a)9/2;
b)2-1/ln2
c)4a3/3;
d)3πa2
2
2
3π ( a − b )
f)8/15; g)
;
8
ab
d)1/e e)2
h)6πa2;
i)a2;
e) 72 3 / 5 ;
2
e2 + 1
⎛π a ⎞
36. a) ln tan ⎜ + ⎟ b)
4
⎝ 4 2⎠
37. a)2/3abc
b)
x
+1
2
5
2
b)1-1/e
e) Bmn =
1
g)
arctan
5
tan ( x / 2 ) − 5
tan ( x / 2 ) − 3
32. a)π
c) Ln =
tan 4 x tan 2 x
−
− ln cos x
4
2
x sin 2 x sin 4 x sin 6 x
+
+
+
4
8
16
24
3
1 (1 + t ) (1 + t )
3
1− t2
f) ln
−
arctan
, t = 3 sin x ,
3
3
4 (1 − t ) (1 − t )
2
t 3
h)DS: ln
c)
2a 3 ⎛
4⎞
⎜π − ⎟
3 ⎝
3⎠
(
)
d) p ⎡ 2 + ln 1 + 2 ⎤
⎣
⎦
c)2π2a
c)
j)2/3; k)πa2/4
16a 2
ab
15
21
h)29/270
38. a) 34
39. a)
2
π b)12π c)128π/3
15
3/ 2
π⎡
(⎢ 1 + a 4 ) − 1⎤⎥
9⎣
⎦
d)16/15, 8π/3 e)4/15πab2, πa2b/6
(
40. a)-1
b)pk
c)π/2 d)256/15
41. a)ht
b)ht
c)pk
f)ht với m>-2 và n>m+1
)(
) ⎤⎥
⎡
1+ 2
5 −1
b) π ⎢ 5 − 2 + ln
⎢
2
⎣
e)π
f)pk
d)ht với 1
i)ht
c)16π2a2
⎥
⎦
e)ht với 1
j)ht khi k<1
k)ht khi p<1,q<1
l)ht khi p>-1,q>-1
m)ht
42.a)ht khi n-m>1
b)ht
e)ht
43 a)ht, không httd
b)ht khi −1 <
p +1
p +1
< 1 , httd khi −1 <
<0
q
q
44. a)1/2
b)1
c)1
d)1
e)1/2 f)-5/6 g)2/3 h)3
45. a)ht
b)ht
c)pk
d)ht
e)ht
f)ht
46. a)ht
b)ht
c)pk
d)ht
e)pk
f)ht
47. a)pk
b)pk
c)ht
d)ht
48. a)pk
b)ht
c)ht
d)ht
e)pk
f)pk
49. a)pk
b)ht
c)ht
i)ht
k)ht với a≤1
c)ht
d)ht
g)pk
h)ht
i)pk
j)ht
g)ht
h)pk
i)pk
j)ht
d)pk
e)ht với α>1 f)pk
g)ht
h)pk
l)ht
m)ht
n)ht
e)ht
f)ht
k)ht
l)ht khi α>1
j)ht
50. a)httd
b)httd c)httd d)ht
g)pk
h)httd
i)httd khi α>1, pk khi α≤1/2
j)httd khi p>1, pk khi p≤0
k)httd khi p>1, pk khi p≤1/2
l)ht
52. a)nếu p>1 thì miền ht là [-1,1], ngược lại thì miền ht là [1,1)
b)[4/3,-2/3)
c)(-∞,+∞)
d)(-1/e,1/e)
e)(-∞,+∞)
⎡ −1 1 ⎤
g)Miền ht trong 2 trường hợp a
h)(-3,3)
i)(-∞,+∞)
j)[-3,-1]
53. a)x>0
b)|x|>1/2
c)x>-1
f)(-1/4,1/4)
⎡ −1 1 ⎞
, ⎟
⎣⎢ a a ⎠
d)x>e và x
e)nếu α≤1 thì miền ht là -1≤x<1, ngược lại miền ht là |x|<α
h)[-7,-3]
54. a)
i)-2
⎛ −2 4 ⎤
k) ⎜ , ⎥
⎝ 5 3⎦
j) x≠-n và x≠-n-1
1
1
+ ln (1 + x ) , x < 1
1+ x x
b) −
1
ln (1 + x ) + 1, x < 1
1+ x
22
f)x≥0 g)-1
l) ⎢ , ⎟
⎣ 3 3⎠
c)
5 − 3x
, x <1
x − 4x + 3
d)DS:
2
2
(1 − x )
3
b) x
2
( −2 x
1
1 1+ x
d) arctan x + ln
, x <1
2
4 1− x
b) ∑ nx
2n n !
n
∞
h) ln 2 + ∑ ( −1)
n −1
n =1
(1 − x )
n −1
∞
−n
n =0
n=0
∞
i) ∑ ( −1)
n
3
, x <1
n =0
x 4 n +1
,x < 2
4n +1
∞
n −1
n =0
∞
b) ∑ ( −1)
n +1
( x − 1)
n
n =0
1 ⎞
n
⎛ 1
∑
⎜ n +1 − n +1 ⎟ ( x + 4 ) , −6 < x < −2
3 ⎠
n =0 ⎝ 2
2.5.8... ( 3n − 4 ) n
x
23n −1.3n.n !
n
,0 < x ≤ 2
∞
sin kx
k
k =1
59. 2∑
cos nx π 2 π 2
( −1) 2 , , −
∑
n
6
12
n =1
∞
(1 − x )
x 4 n +1
, x <1
2n + 1
k) 2 + ∑ ( −1)
∞
2 4
61. DS: − 2
3 π
2n n !
n =0
n =1
58.
( 2n − 1)!!
∞
n
57. a) ∑ ( −1) ( x − 1) , 0 < x < 2 ,
f)
2 n −1
x 2 n −1
)
1 ∞
n −1 ( 3 − 3
c) ∑ ( −1)
,R=∞
4 n =1
( 2n − 1)!
∞
n
n
, x <1
x5 − x 4 + 2 x3
g) ∑ x3n − ∑ x3n +1 , x < 1
j) x + 2 − 2 ( x + 1) ∑ ( −1) x 2 n , x < 1
n
2
, x <1
e) x + ∑
c) ( x + 1) ln ( x + 1) − x, x < 1
, x <1
x ( −4 x 2 + 8 x + 1)
(1 + 2 ) xn , −1 < x ≤ 1
∞
∞
2
n =1
2n − 1) !! x 2 n +1
(
, x <1
f) x + ∑ ( −1)
n =1
( 2n )!!( 2n + 1)
∞
+ 4 x − 1)
n =1
( 2n − 1)!! x 2 n , ( x < 1)
n =1
2
(1 − x )
e)
∞
x2n
56. a) ∑
,R=∞
n = 0 ( 2n ) !
∞
∞
x
, x <1
1− x
, x <1
x3 ( 2 x − 1)
55. a)
, x <1
1− x
d) 1 + ∑
e)
1
g) ⎡⎣(1 + x ) ln (1 + x ) + (1 − x ) ln (1 − x ) − x 2 ⎤⎦ , x > 1
2
f) − ln (1 − x ) , x < 1
h)DS:
1
⎛ 1⎞
− ln ⎜1 + ⎟ , x > 1
x −1
⎝ x⎠
n
60.
62.
∞
∞
8
∑
π2
∑ ( −1)
n =0
n +1
n =1
cos ( 2n + 1) x
( 2n + 1)
2
,
π2
8
n sin nx
4n 2 − 1
m
⎤
π
1 ∞ sin 2mx 2 ∞ ⎡ ( −1)
+ ∑⎢
+
63. − ∑
⎥ sin ( 2m + 1) x ,
π m =0 ⎢⎣ ( 2m + 1)2 2 ( 2m + 1) ⎥⎦
2 m =1 m
2 cos ( 2m + 1) x + cos 2 ( 2m + 1) x π 2
3π 1
,
−1
− ∑
2
8
8 π m=0
( 2m + 1)
∞
23
2 3
64. − 2
3 π
∞
∑
n =1
2nπ
3 cos 2nπ x
2
n
3
1 − cos
