Bài tập giải tích 1 dùng cho các trường đại học

Chương 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến
A. Lý thuyết.
• Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số. Định nghĩa và cách tính giới hạn
dãy điểm, giới hạn hàm số. Định nghĩa tính liên tục của hàm số.
• Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1. Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp 1.
Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp. Cách tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 (cấp
cao).
• Định nghĩa cực trị. Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực
trị). Công thức tính đạo hàm hàm ẩn. Định nghĩa cực trị có điều kiện. Cách tìm cực trị có điều
kiện. Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội.
B. Bài tập..
a)
lnz xy=
b)
2
1
z
y x
=
−
1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây
c)
2 2
2 2
1
x y
z
a b
= − −
d)
1 1

z
x y x y
= +
+ −
e)
1
arcsin
y
z
x
−
=
f)
lnz x y=
Lời giải.
a)
{ }
2
( , ) : 0D x y xy= ∈ >¡
.
b)
( )
{ }
2 2
, :D x y y x= ∈ ≠¡
c)
( )
2 2
2
2 2

, : 1
x y
D x y
a b
 
 
= ∈ + ≤
 
 
 
¡
.
d)
{ }
2
( , ) :D x y x y x= ∈ − < <¡
.
e) Hàm số xác định khi
1 1
1 1
1 0
0 0
1
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
y x y x
y y x

x x
y
x x
y y x
x
y x y x
x x
x x

≤ + ≥ +
 
− − + +

∨
 

− = ≥

> <
−
  
− ≤ ≤ ⇔ ⇔
 
− + −
≥ − + ≤ − +
 
 
+ = ≥
∨
 




> <
 

f) Hàm số xác định khi
0 0 0 0
ln 0
ln 0 ln 0 1 0 1
x x x x
x y
y y y y
≥ ≤ ≥ ≤
   
≥ ⇔ ∨ ⇔ ∨
   
≥ ≤ ≥ < ≤
   
2. Tính các giới hạn sau đây
a)
( )
2 2
0
0
1
lim sin
x
y
x y

xy
→
→
+
b)
0
2
sin
lim
x
y
xy
x
→
→
c)
2
lim 1
x
x
y
y
x
→∞
→
 
+
 ÷
 

d)
2 2
lim
x
y
x y
x y
→∞
→∞
+
+
e)
2 2
2 2
0
0
lim
1 1
x
y
x y
x y
→
→
+
+ + −
f)
( )
2 2
1

2 2
0
0
lim 1
x y
x
y
x y
+
→
→
+
Lời giải.
a) Từ
( )
2 2 2 2
1
0 sinx y x y
xy
≤ + ≤ +
và
2 2
0
0
lim( ) 0
x
y
x y
→
→

+ =
, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được
( )
2 2
0
0
1
lim sin 0
x
y
x y
xy
→
→
+ =
.
b)
0/0
0 0
2 2
sin sin
lim lim 2
x x
y y
xy xy
y
x xy
→ →
→ →
= =

.
c)
1
2
2 2
lim 1 lim 1
y
x
x
y
x x
y y
y y
e
x x
∞
→∞ →∞
→ →
 
   
 
+ = + =
 ÷  ÷
 
   
 
 
.
d) Từ
2 2 2 2 2 2

1 1
0
x y
x y
x y
x y x y x y
+
< ≤ + < +
+ + +
và
1 1 1 1
lim lim lim 0
x x y
y
x y x y
→∞ →∞ →∞
→∞
 
+ = + =
 ÷
 ÷
 
, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được
2 2
lim 0
x
y
x y
x y
→∞

→∞
+
=
+
.
e)
(
)
2 2 2
0/0
2 2 2
2 2 2
0 0 0
0
lim lim lim 1 1 2, :
1 1 1 1
x t t
y
x y t
t t x y
x y t
→ → →
→
+
= + + = = +
+ + − + −
.
f) Do
2 2
2 2

0 0
0 0
2 2
1
lim lim 0
1 1
x x
y y
x y
x y
y x
→ →
→ →
= =
+
+
nên
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 0
0 0
0 0
lim 1 lim 1 1
x y
x y
x y x y
x x

y y
x y x y e
+
+
→ →
→ →
 
+ = + = =
 
 
 
.
3. Chứng minh các hàm sau đây không có giới hạn khi
( ) ( )
, 0,0x y →
a)
( )
,
x
f x y
x y
=
+
b)
( )
2 2
2 2
,
x y
f x y

x y
−
=
+
c)
( )
( )
2 2
2
2 2
,
x y
f x y
x y x y
=
+ −
Lời giải.
a) Do khi
k → ∞
, ta có
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
, , 0,0
1 2
, , 0;0

k k
k k
x y
k k
x y
k k

 
= →
 ÷

  

 

= − →
 ÷

 

nhưng
( )
( )
1 1
2 2
1/ 1 1
,
1/ 1/ 2 2
1/
, 1 1

1/ 2/
k k
k k
k
f x y
k k
k
f x y
k k

= = →


+

−

= = − → −

− +

.
b) Do khi
k → ∞
, ta có
( )
( )
( )
( )
1 1

2 2
1 1
, , 0,0
2 1
, , 0;0
k k
k k
x y
k k
x y
k k

 
= →
 ÷

  

 

= →
 ÷

 

nhưng
( )
( )
2 2
1 1

2 2
2 2
2 2
2 2
1/ 1/
, 0 0
1/ 1/
4/ 1/ 3 3
,
5 5
4/ 1/
k k
k k
k k
f x y
k k
k k
f x y
k k

−
= = →


+

−

= = →


+

.
c) Do khi
k → ∞
, ta có
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
, , 0,0
1 1
, , 0;0
k k
k k
x y
k k
x y
k k

 
= →
 ÷

  

−

 

= →
 ÷

 

nhưng
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
1/ .1/
, 1 1
1/ .1/ 1/ 1/
1/ .1/ 1 1
,
5 5
1/ .1/ 1/ 1/
k k
k k
k k

f x y
k k k k
k k
f x y
k k k k

= = →

+ −



= = →

+ +

.
4. Tính các đạo hàm hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của các hàm sau đây
a)
3 3
3z x y xy= + −
b)
2 2
2 2
x y
z
x y
−
=
+

c)
sin
y
x
z e=
d)
y
x
z x=
e)
y
z yx=
f)
2 2
z x y xy= −
g)
(
)
2 2
lnz x x y= + +
h)
arctg
y
z
x
=
i)
arcsin
y x
z

x
−
=
j)
sin
xyz
y
u e
z
=
k)
z
x
u xy
y
 
= +
 ÷
 
l)
( )
lnu xy + z=
Lời giải.
a)
2 2
3 3 , 3 3
x y
z x y z y x
′ ′
= − = −

và
( ) ( )
2 2
3 3 3 3dz x y dx y x dy= − + −
.
b)
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
4 4
,
x y
xy x y
z z
x y x y
−
′ ′
= =
+ +
và
( )
( )
2
2 2
4xy xdx ydy
dz
x y
−
=

+
.
c)
sin sin
2
1
cos , cos
y y
x x
x y
y y y
z e z e
x x x
x
′ ′
= − =
và
sin
1
cos
y
x
y y
dz e dx dy
x x x
 
= − +
 ÷
 
d) Ta có

ln
y
x x
z e=
. Vậy
( ) ( )
( )
ln 1 1 1
ln ln ln 1
y y y
x x y x y y x y
x
x
z z e x x x yx x x x y x
− − + −
′
′
= = = + = +
,
( ) ( )
ln 2
ln ln .ln ln
y y y
x x y x y x y
y
y
z e x x x x x x x x
+

= = =
,
( )
(
)
1 2
ln 1 ln
y y
x y x y
dz x y x dx x x dy
+ +
= + +
e)
2 1
, ln (1 ln )
y y y y
x y
z y x z x yx x x y x


= = + = +
v
( )
2 1
1 ln
y
dz x y x dx y x dy


= + +

.
f)
2 2
2 2 2 2
2 2
,
2 2
x y
xy y x xy
z z
x y xy x y xy


= =

v
( )
2 2
2 2
2 2
2
xy y dx x xy dy
dz
x y xy
+
=

.
g)

(
)
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
1
,
x y
x x
x y x y
x
z z
x x y x y x x y
x x y x y
+
+ +

= = = =
+ + + + +
+ + +
,
(
)
2 2
2 2 2 2
dx xdy
dz
x y
x x y x y

= +
+
+ + +
h)
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
/ 1/
,
1 / 1 /
x y
y x y x x
z z
x y x y
y x y x


= = = =
+ +
+ +
,
2 2
ydx xdy
dz
x y
+
=
+
.
i)

( ) ( )
2 2
1 1 1
,
1 / 1 /
x yx
y
z z
x x
y x x y x x

= =


,
( )
2
1 /
x
ydx dy
dz
x y x x
+
=


.
j)
sin
xyz

y
u e
z
=
*)
xyz xyz xyz xyz xyz
x y z
2
y y 1 y y y y
u yze sin ,u xze sin e cos ;u xye sin e cos
z z z z z z
z
  Â
= = + = -
*
*)
xyz
2
y y 1 y y y y
du e yzsin dx xzsin cos dy xysin cos dz
z z z z z z
z
ổ ử
ổ ử
ổ ử
ữ
ỗ ữ
ữ
ỗ
ỗ

ữ
ữ
ữỗ
= + + + -
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ố ứ
ố ứ
ố ứ
k)
z
x
u xy
y

= +
ữ

z 1 z 1 z
x y z
2
1 x x x x x
u z y xy ;u z y xy ;u xy ln xy
y y y y y
y
- -
ổ ử
ổ ửổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ
ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ
ỗ
  Â
ữ ữ ữ ữ ữ
= + + = - + = + +
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ
ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ
ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ỗ

ữ
ố ứố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ỗ
ố ứ
z 1
2
x 1 x x
du xy z y dx z y dy ln xy dz
y y y
y
-
ộ ự
ổ ử
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ
ỗ
ữ ữ ữ
= + + + - + +
ỗ ỗ ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ ữ ữ
ữ
ỗ ỗ ỗ

ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ỗ
ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
l)
( )
lnu xy + z=
x y z
y x 1
u ;u ;u
xy z xy z xy z
  Â
= = =
+ + +
( )
1
du ydx xdy dz
xy z
= + +
+
5. Chứng minh rằng
a) Hàm
( )
2 2
lnz x xy y= + +

thoả phương trình
2.
z z
x y
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂

b) Hàm
/y x
z xy xe= +
thoả phương trình
.
z z
x y xy z
x y
∂ ∂
+ = +
∂ ∂

Lời giải.
a) Ta có
2 2 2 2
2 2
,
z x y z y x
x y
x xy y x xy y
∂ + ∂ +

= =
∂ ∂
+ + + +
Khi đó
2 2 2 2
2 2
2
z z x y y x
x y x y
x y
x xy y x xy y
∂ ∂ + +
+ = + =
∂ ∂
+ + + +
.
b) Ta có
/ /
1
y x y x
z y z
y e x e
x x y
∂ ∂
 
= + − ∧ = +
 ÷
∂ ∂
 
.

Khi đó
/ / /
1 2
y x y x y x
z z y
x y xy xe yx ye xy xe xy z
x y x
∂ ∂
 
+ = + − + + = + = +
 ÷
∂ ∂
 
.
6. Dùng biểu thức vi phân cấp 1 tính gần đúng trị của các biểu thức
a)
( )
1,995
1,003A =
b)
( ) ( )
2 2
9. 1,95 8,1B = +
c)
1,02
arctg
0,95
C =
Lời giải. Trong bài này ta áp dụng công thức
( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0 0 0
, , , ,
x y
f x x y y f x y f x y x f x y y
′ ′
+ ∆ + ∆ ≈ + ∆ + ∆
.
a) Đặt
( )
( ) ( ) ( )
0 0
, 1;2 , , 0,003; 0,005x y x y= ∆ ∆ = −
,
( )
1
, , ; ln
y y y
x y
f x y x f yx f x x
−
′ ′
= = =
,
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
, 1, , 2, , 0
x y
f x y f x y f x y
′ ′
= = =

.
Ta được
( )
( )
0 0
, 1 2 0,003 0 0,005 1,006A f x x y y= + ∆ + ∆ ≈ + × + × − =
.
b) Đặt
( )
( ) ( ) ( )
0 0
, 2;8 , , 0,05;0,1x y x y= ∆ ∆ = −
,
( )
2 2
2 2 2 2
9
, 9 , ;
9 9
x y
x y
f x y x y f f
x y x y
′ ′
= + = =
+ +
,
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
, 10, , 1,8, , 0,8

x x
f x y f x y f x y
′ ′
= = =
.
Khi đó
( )
( )
0 0
, 10 1,8 0,05 0,8 0,1 9,99B f x x y y= + ∆ + ∆ ≈ + × − + × =
.
c) Đặt
( )
( ) ( ) ( )
0 0
, 1;1 ; , 0,02; 0,05x y x y= ∆ ∆ = −
,
( )
2 2 2 2
, arctg , ,
x y
x y x
f x y f f
y
x y x y
−
′ ′
= = =
+ +
,

( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
1 1
, , , , ,
4 2 2
x x
f x y f x y f x y
π
′ ′
= = = −
.
Khi đó
( )
0 0
1 1
, 0,02 0,05 0,035
4 2 2 4
C f x x y y
π π
= + ∆ + ∆ ≈ + × − × = +
.
7. Tính đạo hàm hàm riêng của các hàm hợp sau đây
a) Cho
2
sin , ,
u
z x y x y v u
v
= = =
. Tính

,
u v
z z
′ ′
.
b) Cho
( , ) arctg , sin , cos .
x
f x y x u v y u v
y
= = =
Tính
, .
u v
f f
′ ′
c) Cho
2
arctg , cos
x
z y y x
y
= =
. Tính
x
z
′
.
d) Cho
2 2

( , ) ln sin , 3 , 1 .
x
f x y x t y t
y
= = = +
Tính
t
f
′
.
Lời giải.
a) Ta có
2
2 sin , cos
x y
z x y z x y
′ ′
= =
;
2
1
,
u v
u
x x
v
v
′ ′
= = −
;

,
2
u v
v
y y u
u
′ ′
= =
.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được
2
2
3
2
. . sin cos
2
2
. . sin cos
u x u y u
u x v y v
u v
z z x z y v u v u
u
v
u
z z x z y v u v v u
v
′ ′ ′ ′ ′
= + = +
′ ′ ′ ′ ′

= + = − +
.
b) Cho
( , ) arctg , sin , cos .
x
f x y x u v y u v
y
= = =
Tính
, .
u v
f f
′ ′
2 2 2 2 2 2 2 2
cos sin
sin os 0
sin cos sin cos
u x u y u
u v u v
f f x f y v c v
u v u v u v u v
′ ′ ′ ′ ′
= + = − =
+ +
2 2 2 2 2 2 2 2
cos sin
os u sin 1
sin cos sin cos
u x v y v
u v u v

f f x f y uc v v
u v u v u v u v
′ ′ ′ ′ ′
= + = + =
+ +
c) Ta có
2
2 2 2 2
, arctg ,
x y
y x xy
z z
y
x y x y
′ ′
= = −
+ +
( )
sin 2y x x
′
= −
.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được
( )
4 2
2 4 2 2 4
cos cos
. arctg sin 2
cos cos cos
x y

dz x x x x
z z y x x
dx
x x x x x
 
′ ′ ′
= + = − −
 ÷
 ÷
+ +
 
.